OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej tillåten! Examinator: Edwin Langmann (Epost: langmann@kth.se Bonuspoängen från kursomgången VT8 adderas till första uppgiften, dock max 6 poäng totalt. Lösningar: Kommer att finnas på KTH canvas (Extentor. Poäng: Varje uppgift kan ge 6 poäng. Betygsgränserna finns på KTH social (kurs-pm. Motivera utförligt! Otillräckliga motiveringar kan medföra poängavdrag. Notation: (x, y, z är kartesiska koordinater, och r = xe x + ye y + ze z är ortsvektorn. (ρ, θ, z är cylinderkoordinater definierade genom x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. (r, θ, ϕ är sfäriska koordinater definierade genom x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.. (a Låt e i (i =, 2, vara enhetsvektorerna som definierar koordinataxlarna i ett kartesiskt koordinatsystem K, och e 2 = e 2, e = e 4 e och e enhetsvektorer som definierar koordinataxlarna i ett annat kartesiskt koordinatsystem K som är ett högersystem. Beräkna transformationsmatrisen L ij från koordinatsystemet K till K. Ledning: Börja med att beräkna e. (p (b En tensor definieras i kartesiska koordinatsystemet K genom komponenterna T = 2, T =, T ij = 0 annars. Beräkna komponenterna T ij av tensorn i koordinatsystemet K! (p 2. (a Beräkna flödet av vektorfältet A = L r + r r ut ur kuben som definieras genom L x L, L y L och L z L, där L > 0 är en konstant ( r = x 2 + y 2 + z 2. (p (b Visa att vektorfältet v = cos2 θ e r 4 r + sin 2θ e r 4 θ har en skalär potential f i området r > 0. Beräkna f! (p. A och B är godtyckliga vektorfält. Är följande påstående korrekt? Om ja, bevisa det. Om inte, rätta till det och bevisa det rättade resultat. (2+2+2p (a div rot A är lika med grad div A. (b δ ij ɛ jkl δ km δ ml är lika med. (c (A B är lika med A( B B( A (A B + (B A.
4. Paraboliska koordinater (u, v, w, som är ortogonala, är relaterade till kartesiska koordinater x, y, z genom följande ekvationer, x = 2uv, y = u 2 v 2, z = w. (a Beräkna skalfaktorerna h u, h v, h w och enhetsvektorerna e u, e v, e w. (2p (b Transformera vektorfältet v = xe y till paraboliska koordinater. (2p (c Låt A = u u 2 + v 2 e u + v u 2 + v 2 e v + we w. Beräkna div A. (2p. Beräkna magnetfältet B som genereras av elektriska strömtätheten j = e z f(ρ där f(ρ = J/(R 2 π > 0 om 0 ρ < R och f(ρ = 0 om ρ > R; R > 0 och J > 0 är konstanter, och ρ = x 2 + y 2. Ledning: Magnetfältet uppfyller Maxwell ekvationer B = j, B = 0. 6. Vi betraktar en modell av diffusion av ett ämne inom ett område V : R < r < 2R, där R > 0 är en konstant (r = x 2 + y 2 + z 2. (a kriv ner ekvationerna som ger en matematisk beskrivning av följande tre punkter. Inför själv och förklara symboler du kanske behöver! (i Diffussionsströmtätheten J(r av ett ämne i punkten r inom V är parallel med riktningen där koncentrationen c(r av ämnet minkar snabbast, och beloppet av J(r är proportionell mot ändringen av koncentrationen i denna riktning. (ii Flödet av diffussionsströmtätheten J(r ut ur en godtycklig delvolym inom omådet V är noll. (iii Koncentrationen c(r vid randytorna r = R och 2R till området V är lika med c och c 2, respektive; c > 0 och c 2 > 0 är konstanter. (b Beräkna koncentrationen c(r av ämnet som beskrivs i (a! Ledning: Lös PDE-problemet som du får genom att lösa uppgiften (a ovan. (6p 2 LYCKA TILL!
Formelblad Vektoranalys Följande formler gäller i ett ortogonalt, kroklinjigt koordinatsystem med koordinaterna u, u 2, u, basvektorerna e, e 2, e och skalfaktorerna h, h 2, h : dr = h du e + h 2 du 2 e 2 + h du e grad φ = h div A = h h 2 h e + u h 2 u 2 e 2 + h [ u ( h2 h A + h e h 2 e 2 h e rot A = h h 2 h u u 2 u h A h 2 A 2 h A div grad φ = h h 2 h [ u ( h2 h h u e u 2 ( h h A 2 + + ( h h u u 2 h 2 ] ( h h 2 A u + ( h h 2 u 2 u h där A, A 2 och A är de kroklinjiga komponenterna av vektorfältet A, pecialfall A = A e + A 2 e 2 + A e. Cylinderkoordinater: h ρ =, h ϕ = ρ, h z =. färiska koordinater: h r =, h θ = r, h ϕ = r sin θ. ɛ-δ-relationen (tensornotation ] u ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ im δ jl tokes sats (tensornotation A jk... ɛ rst d s = x t C A jk... dx r Gauss sats (tensornotation V A jk... dv = A jk... d i x i
Lösningsföreslag tentamen I46 och I40 Del, augusti 208. (a e = e 2 e = e 2 ( e 4 e = e 4 e ger L ij = e i e j, (L ij = (b T ij = L ik L jm T km = (LT L T ij där L = (L ij, T = (T ij = 4 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0, L T = (L T ij = (L ji. Detta ger (T ij = L 0 0 2 0 0 4 0 + 0 0 0 4 = 2 = 6 0 2 2 0 6 4 0 0 0 0 4. 6 0 8 4 0 2. (a A = A + A 2 där A = L r och A 2 = r r. A d = div A dv = L (2L = 24 med Gauss sats, och V A 2 d = 4π (standard integral som löstes flera gånger under kursens gång; full poäng kräver att du förklara detta mer än jag gör här. var: 24 + 4π. (b Om ϕ f = 0, grad f = r fe r + r θfe θ = v r f = cos2 θ cos 2 θ / = r 4 r f = cos2 θ / + g(θ. r r r θf = 2 cos θ sin θ r 4 + g (θ = sin 2θ r 4 + g (θ v = grad f där f = cos2 θ / r. (Detta visa också att v har en skalär potential. 4
. (a Fel. div rot A = ɛ ijk i j A k = 0. (b Fel. δ ij ɛ jkl δ km δ ml = ɛ ikk = 0. (c Korrekt. (A B = ( = A( B + B( A (A B (B A. (Flera detaljer än ( krävs för full poäng. 4. (a u r = (2v, 2u, 0 h u = 2 u 2 + v 2, e u = v r = (2u, 2v, 0 h v = 2 u 2 + v 2, e v = w r = (0, 0, h w =, e w = (0, 0,. (v, u, 0 u2 + v2 (u, v, 0 u2 + v2 (b v u = e u 2uv(0,, 0 = 2u 2 v/ u 2 + v 2, v v = e v 2uv(0,, 0 = 2uv 2 / u 2 + v 2, v w = e w 2uv(0,, 0 = 0 v = (c u2 + v 2 2uv(ue u ve v div A = ( u (2u(u 2 + v 2 + 4(u 2 + v 2 v (2v(u 2 + v 2 + w 4(u 2 + v 2 w = 4(u 2 + v 2 (6u2 + 2v 2 + 2u 2 + 6v 2 + 4u 2 + 4v 2 =. Ansatsen ger B(r = B ρ (ρe ρ + B φ (ρe φ + B z (ρe z ( div(b = ρ ρ(ρb ρ (ρ (2 och rot(b = ρ e ρ ρe φ e z ρ φ z B ρ (ρ ρb φ (ρ B z (ρ Med j = f(ρe z och Maxwell ekvationer, = e φ ρ (B z (ρ + e z ρ ρ(ρb φ (ρ. ( ρ ρ(ρb ρ (ρ = 0, ρ (B z (ρ = 0, ρ ρ(ρb φ (ρ = f(ρ. (4 Detta ger och ρ (ρb ρ (ρ = 0 ρb ρ (ρ = c 0 B ρ (ρ = c 0 ρ ρ (B z (ρ = 0 B z (ρ = c
med integrationskonstanter c och c 2. B 0 där ρ c = 0. B < c 0 = 0. ρ ρ(ρb φ (ρ = f(ρ ρ (ρb φ (ρ = ρf(ρ B φ (ρ = c 2 ρ + ρ c 2 = 0 p.g.a. B <. ρ 0 dssf(s ( Detta ger B φ (ρ = { Jρ/(2πR 2 0 ρ < R J/(2πρ ρ > R. (6 var: B = B φ (ρe φ dvs. B(r = B φ ( ( y, x, 0 x 2 + y 2 (7 x2 + y 2 6. (a (i J = D grad c där D > 0 är en konstant. (ii div J = 0 (iii c r=r = c, c r=2r = c 2 (b (a ger PDE problem et c = 0 (R < r < 2R där c r=r = c och c r=2r = c 2. Rotationssymmetri: c = c(r, c = c (r+ 2 r c (r = 0, som har allmänna lösningen c(r = C + C 2 /r med godtyckliga constanter C,2. Randvillkoren ger var: C + C 2 R = c, C + C 2 2R = c 2 C 2 = 2R(c c 2, C = 2c 2 c c(r = 2c 2 c + 2R r (c c 2 6