TENTAMEN VEKTORANALYS ED1110 Vektoranalys SI1143 MatematiskFysik, del 1

Relevanta dokument
Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

TENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel

0 x 1, 0 y 2, 0 z 4. GAUSS DIVERGENSSATS. r r r r. r r k ut ur kroppen

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten i Griths.

2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

sluten, ej enkel Sammanhängande område

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Potentialteori Mats Persson

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Angående kapacitans och induktans i luftledningar

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Den geocentriska världsbilden

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

TATA44 Lösningar 24/8/ ) Låt S vara den del av x 2 + y 2 + z 2 = 2 innanför cylindern x 2 + y 2 = 1. Inför cylinderkoordinater.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 4: Geometriska transformationer och plottning av figurer

Tentamen: Lösningsförslag

VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

14. Potentialer och fält

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Gravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Edwin Langmann (Epost: x u(x, t); f (x) = df(x)

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

ω = θ rörelse i två dimensioner (repetition) y r dt radianer/tidsenhet kaströrelse: a x = 0 a y = -g oberoende rörelse i x- respektive y-led

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Lösningar till tentamen i tillämpad kärnkemi den 10 mars 1998 kl

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

UPPGIFT 1. F E. v =100m/s F B. v =100m/s B = 0,10 mt d = 0,10 m. F B = q. v. B F E = q. E

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version

12.6 Heat equation, Wave equation

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

REDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Kapitel 8. Kap.8, Potentialströmning

Provmoment Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TK051B Bt2 (Högskoleingenjör i Bioteknik, Åk 2) eller motsvarande. TentamensKod:

Föreläsning 5. Linjära dielektrikum (Kap. 4.4) Elektrostatisk energi (återbesök) (Kap ) Motsvarar avsnitten 4.4, , 8.1.

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Tentamen: Lösningsförslag

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

1. Kraftekvationens projektion i plattans normalriktning ger att

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Transkript:

Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 MatematiskFysik, del kl.. - 6. tosdagen 9 oktobe 9 (+ egenättning 6. ca 7.) i sal M Utdelade fomelblad ä tillåtna hjälpmedel. Miniäknae ä ej tillåten. Anteckna namn, utbildnings-pogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT 9 ge maimalt 9 poäng. Fö godkänt kävs minst 9p sammanlagt. () Bevisa att i koodinatsystemet (u,u,u ) kan gadienten av en skalä φ skivas gadφ h φ eˆi, dä h i ä skalfaktoe. (Sats.) i i ui () Bevisa att flödet av vektofältet V) ä: (Sats.) S A q e genom en sluten yta S (andyta till volymen ˆ om oigo ligge utanfö V A ds 4π q om oigo ligge inuti V () Beäkna linjeintegalen A d A av vektofältet L + y + 5z, 5yz + y + z, e sin y + ln yz längs vägen L definiead av: L + y 4 z fån punkten P (,,) till punkten P (,,) V. G. Vänd!

(4) Använd indeäkning fö att bevisa identiteten ( a b) ( a) b ( b) a (5) Oionnebulosan ä sfäfomad med adie R. Antag att hastigheten hos heliumatomena inuti nebulosan beskivs av vektofältet v cosϕ eˆ ( sin sin ) ˆ + θ ϕ e ϕ Beäkna flödet av heliumatome ut u nebulosan. R kan antas vaa konstant. (6) Gavitationsfältet uppfylle Poisson-ekvationen φ 4πGm dä G ä gavitationskonstanten och m ä masstätheten. Tyngdacceleationen g fås fån g φ Antag att Oionnebulosan ä sfäfomad med adie R och ha masstätheten m() m R Beäkna: a) Gavitationsfältet φ inuti nebulosan. b) Tyngdacceleationen g inuti nebulosan.. Ledning: ) Det gälle att. ) Tyngdacceleationen i nebulosans centum ä g().

PROBLEM L ϕ d A d A( ( ϕ) ) dϕ dϕ ϕ SOLUTIONS 5yz e sin y A,, y 5z y z ln ( yz) + + + + + cosϕ sinϕ 5 e sin y,, ( cosϕ) ( sin ϕ) 5() ( cosϕ) ( sin ϕ) () + ln ( yz) + + + + cosϕ sinϕ 5 e sin y cosϕ e sin y,,, sin ϕ, 9 5 + ln ( yz) + ln ( yz) PROBLEM 4 L + y 4 L z Paameteization of L : cosϕ d ( ϕ) y sin ϕ L: ( ϕ) cos ϕ,sin ϕ, sin ϕ,cos ϕ, dϕ z P(,,) ϕ π P(,,) ϕ π / cosϕ e sin y A d, sin ϕ, ( sin ϕ,cos ϕ,) du + ln ( yz) π / π / π / 4 8 sinϕcosϕ+ 4sinϕcosϕ du sinϕcosϕ du π / 4 4 cos ϕ 4 sin ϕ du [ ] ( a b) ( εijkab j k ) ε, ijkaj, ibk εijkab i j k. i ( εkij j, i ) k ( ε jik k, i ) j k j + a b b a a b b a a b b a k j PROBLEM 5

S v ds V div( v ) dv Gauss theoem v v + v + v sinθ θ sinθ ϕ ( ) ( sinθ θ) ( ϕ) Spheical cood. 4 div cos ϕ,, sinθsinϕ cos ϕ + ( sinθsinϕ) sinθ ϕ sinθ 4 cos ϕ + ( sinϕ) cosϕ+ cosϕ sinθ ϕ S 4π v ds dv R 4π R PROBLEM 6 V 4 m () m R Spheical coodinates. Due to symmety, thee is no θ and ϕ dependence in the solution. Theefoe, we must solve: d dφ φ πgm with 4π Gm d d R multiplying by d dφ 4π Gm d d R integating in and then dividing by φ d c 4π Gm + d 4R integating in c φ 4πGm + d 6 R φ φ φ φ φ g gadφ,, g,, eˆ θ sinθ ϕ Bounday condition : c g 4 πgm g() c 4R FINAL SOLUTION πgmr φ 4πGm + d 6 R R R πgmr g 4π Gm ˆ ˆ e 4 e 4R R R :

Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 Matematisk Fysik, del kl.. - 6. fedagen 9 oktobe (+ egenättning 6. ca 7.) i Studio C, Osquas Backe Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT ge maimalt 9 poäng. Fö godkänt kävs minst 9p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. () Bevisa att i koodinatsystemet (u,u,u ) kan gadienten av en skalä φ skivas gadφ h φ eˆi, dä h i ä skalfaktoe. i i ui (4) Bevisa att om f ha kontinueliga andadeivato i omådet V samt ä kontinuelig i V och S så gälle: φ φ φ i V och på S i V () Beäkna cikulationen av vektofältet A yeˆ + yeˆ y längs vägen L definiead av: y + L z + y V. G. Vänd!

(4) (a) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten (b) Beäkna ( A ) ( A B) ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) dä A ä en konstant (5) Vattenhastigheten i en flod beskivs av vektofältet v y eˆ + ( ze ) ˆ Beäkna flödet av vatten genom ett fisknät med fomen definiead av: + > ne ˆ ˆ > z y y (6) Heliumatomena i solen esultea fån fusion mellan väteatome. I stationäa fallet fås densiteten av heliumatome appoimativt av Poissonekvationen: nhe Antag att (inuti solen) källan beskivs av: S S R (R ä solens adie) och i R ä heliumatomsdensiteten n He N. Beäkna densiteten av heliumatome inuti solen och utanfö solytan. Ledning: - På gund av symmeti ä densitetens deivata noll i. - Långt fån solen ä densiteten noll. S

SOLUTIONS 9-okt- () Beäkna cikulationen av vektofältet A yeˆ + yeˆ y längs vägen L definiead av: y + L z + y - (change of cood. To have the cylinde ais along the z ais) Solution. The path is closed and the field is continuous. We can apply the Stokes theoem. ota (,, y + ) S Sz Sz Sρ Sρ ota ds (,, y + ) ds L A d ota ds (,, y + ) ds + (,, y + ) ds (,, y + ) eˆ ds ( y + ) ds ( y + ' + ) ds ( ρsinθ + ρcosθ + ) ds ds ± π z S z Sρ z z z Sz z Sρ S ρ z (+ o depending on the oientation of L)

(4) (a) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten (b) Beäkna ( A ) ( A B) ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) dä A ä en konstant Solution: (a) ( A B) ( A B) + ( A B) [ n ( a b) + n ( a b) ( n b) a ( n a) b + ( n b) a ( n a) b ( b n) a b( n a) + a( n b) ( a n) b ] ( B ) A B( A) ( A ) B+ A( B) (b) ( A ) ( ) A ( A) ( A ) A + ( A ) A ( A ) A A ( ) ( A) (5) Vattenhastigheten i en flod beskivs av vektofältet v y eˆ + ( ze ) ˆ Beäkna flödet av vatten genom ett fisknät med fomen definiead av: + > ne ˆ ˆ > z y y Solution:

y ρcosθ z ρsinθ z y ρ ( ρθ, ) ρ, ρcos θ, ρsinθ ( ρ,cos θ,sinθ) ρ ρ θ (, ρsin θ, ρcosθ) θ ( ρ cos θ, ρsin θ, ) v ( ρ,ρ cos θ,ρ sinθ) s v ds v ( ( ρθ, )) dρdθ ρ θ π ρ ρ cos θ + s ( cos sin cos ) ρ θ ρ θ θ dρdθ π 4 (6) Heliumatomena i solen esultea fån fusion mellan väteatome. I stationäa fallet fås densiteten av heliumatome appoimativt av Poissonekvationen: nhe Antag att inuti solen källan beskivs av: S S R (R ä solens adie) och i R ä heliumatomsdensiteten n He N. Beäkna densiteten av heliumatome inuti solen och utanfö solytan. Ledning: - På gund av symmeti ä densitetens deivata noll i. - Långt fån solen ä densiteten noll. S Solution:

nhe S n n n n sin + S θ + sinθ θ θ sin θ ϕ due to the symmety, deivative in θ and ϕ ae zeo: n S inside the sun: R n S integating: R 4 n S + c 4R + 4R Then integating: n c S 6 R n S + d but c because the deivative is zeo in the cente. R nr N N S R + d d N + S 6 R outside the sun: n b n a + since the density is zeo vey fa fom the sun, b R a n( R) N N a RN R

Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Loenzo Fassinetti - Jan Scheffel TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys SI4 Matematisk Fysik, del kl.. - 6. lödagen oktobe (+ egenättning 6. ca 7.) sal E Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen HT ge maimalt 9 p. Fö godkänt kävs minst 9 p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. (5) Bevisa att: om φ ha kontinueliga andadeivato i omådet V samt ä kontinuelig i V och S så gälle: φ φ φ () Bevisa Gauss sats: i V och på S i V ( p) a) Skiv ne de logiska stegen i beviset i od (.5 p) b) Bevisa satsen med matematiska fomle (.5 p) () Beäkna linjeintegalen av vektofältet A längs vägen L definiead av: fån punkten z y z + + eˆ + y + z z L y P,, till P (,, ) ( p) V. G. Vänd!

(4) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten ( p) dä p ä en konstant vekto. ( ) p p p 5 (5) Beäkna flödet av vektofältet (.5 p) genom ytan definiead av A eˆ + yeˆ + ln eˆ y y z 4 y > z < ne ˆ ˆy < + y Rita en bild av ytan och nomalvekton. (.5 p) (6) Kolven I en bilmoto ha fomen av en cikulä cylinde med adie ρ och höjd z. Nä moton ä igång, födela sig tempeatuen I cylinden enligt: T ( ϕ)( z ) + ρ + + cos a) Beäkna tempeatugadienten. Beäkna den stösta tempeatuvaiationen som funktion av ρ fö φπ/ och z. ( p) b) Betakta punkten P: (, π/, ) i cylindekoodinate. Beäkna iktningen v M (i cylindekoodinate) I vilken tempeatuen öka snabbast (.5 p) c) Beäkna I punkten P en iktning ˆv i planet z längs vilken tempeatuändingen ä. Beäkna vinkeln mellan ˆv och v M. (.5 p)

SOLUTIONS: () Beäkna linjeintegalen av vektofältet A längs vägen L definiead av: + y + z z L y P,, fån punkten z y z + + eˆ till P (,, ) (poäng) SOLUTION: Tanslation of coodinates: z z- Then: A z ' + + y + z' eˆ + y + z L y ' fån punkten P,, till P (,,) Paameteization of L: sin θ π y sin θ with θ : z ' cosθ ( θ) sin θ, sin θ,cosθ d A d A( θ) dθ dθ d cos θ, cos θ, sinθ dθ

d A( θ) dθ (cosθ,, ) cos θ, cos θ, sinθ dθ dθ + sin θ θ π + 8 ( cos θ cosθ) dθ sinθ + + + 4 8 π / (4) Använd indeäkning elle nablaäkning fö att bevisa identiteten: dä p ä en konstant vekto. SOLUTION p c c + ( ) p p p 5 n ( ca) + n ( ca) ( nc) a + cna ( p ) + ( p ) ( ) eˆ p p ( p + pz y + pz z ) ( p ) 4 5

(5) Beäkna flödet av vektofältet (.5 poäng) genom ytan definiead av: A eˆ + yeˆ + ln eˆ y y z 4 y > z < ne ˆ ˆy < + y Rita en bild av ytan och nomalvekto SOLUTION cosϕ y sinϕ < ϕ < π < u < z u ( ϕ, u) cos ϕ,sin ϕ, u ( sin ϕ,cos ϕ,) ϕ ϕ u (,,) u cosϕ A( ϕ, u) cos ϕ,sin ϕ,ln sin ϕ ( cos ϕ, sin ϕ,) π A ds A ϕu dϕdu ϕ ϕdϕdu ϕ u dϕ du 4π (, ) ( cos + sin ) But we must change sign, since ne ˆ ˆ sinϕ > y

(6) The piston of a ca engine has cylindical shape, with adius ρ and height z., When the engine is on, the tempeatue inside piston is descibe by the field: T ( ϕ)( z ) + + + ρ cos 6a- calculate the maimum incease of the tempeatue at φπ/ and z. At which adius the tempeatue incease is maimum at φπ/ and z? ( poäng) 6b- Conside the point P: (, π/, ) in cylindical coodinates. Calculate the diection v M (using cylindical coodinates) of the maimum tempeatue incease. (.5poäng) 6c- Calculate in P a diection ˆv on the plane z along which the tempeatue incease is. Calculate the angle between ˆv and v M (.5poäng) SOLUTION (a) T + ρ + cosϕ z+ T T T T,, + cos z+, sin z+, + cos ρ ρ ϕ z at ϕ π /, z : ( ρ( ϕ) ρ ϕ ρ ( ϕ) ) 4 T ρ, ρρ, maimum incease: T 5ρ + ρ the maimum is at ho ν M P (,,) T since we ae on the plane z: ˆ ν (a,b,) ( ab,,) ˆ,, a + b T ν P a b a + b a ab + b a + b a ab 4 4 4 a possible solution is a ˆ ν (,, ) ˆ e ϕ ˆ,, (,, ) νm ν α accos ν ˆ ν ν ˆ ν α α 6 M cos 6 cos

Fusionplasmafysik Skolan fö Elekto- och Systemteknik KTH, Teknikingen Richad Fidstöm - Loenzo Fassinetti TENTAMEN VEKTORANALYS ED Vektoanalys kl. 9. -. fedagen 4 mas 4 (+ egenättning. ca.) sal L Anteckna namn, utbildningspogam, åskus och poblemnumme på vaje blad. Skivtiden ä te timma. Vaje utföd uppgift ge maimalt p. Den teoetiska delen utgös av uppgiftena och och beäkningsdelen utgös av uppgiftena till 6. Vaje del kan tillsammans med motsvaande poäng fån undevisningen VT 4 ge maimalt 9 p. Fö godkänt kävs minst 9 p sammanlagt. Miniäknae ä ej tillåten. () Bevisa, i cylindekoodinate (ρ,φ,z), att: L k e ˆϕ d π kn ρ dä L ä en sluten kuva, N antalet vav som L gå unt z-aeln. ( p) () Bevisa att: a) Vädet av gad(φ) i punkten P peka i den iktning i vilken φ väe snabbast då man utgå fån P. ( p) b) Den maimala ökningen av φ pe längdenhet gad(φ) P. ( p) () Bevisa, i sfäiska koodinate (,θ,φ), att φ ( φ() ) φ+ ( p) V. G. Vänd!

(4) Ett vektofält och en kuva definieas av: z y y A ye eˆ + eˆ + ze eˆ y z y z + + 4 9 6 L z y > a) Rita en bild av kuvan. (. p) b) Beäkna linjeintegalen av vektofältet längs kuvan. (.6 p) c) Ä linjeintegalen positiv elle negativ? Motivea. (. p) (5) The electic field of a dipole is: ( p) ( ) p p E + 5 dä p pe ˆz ä en konstant vekto. Calculate the flu of the electic field ove a semi-sphee centeed in the oigin with adius R and z>. ρ ρc R. (6) The chage density in an infinitely long cylinde with adius R is Solve the Poisson equation to calculate the potential and the electic field inside and outside the cylinde; thus use ρ c E φ φ ε Assume that the potential on the cylinde suface is V and that the electic field is zeo on the cylinde ais. (p)

SOLUTIONS () φ() φ() + φ() φ φ,, (,,) + φ φ + (4) ϕ d A d A( ( ϕ) ) dϕ dϕ L ϕ Paameteization of L : cosϕ d ( ϕ) y 4sin ϕ L: ( ϕ) cos ϕ,4sin ϕ, sin ϕ,4cos ϕ, dϕ z ϕ: π z y y sin ϕ A ye eˆ ˆ ˆ + ey + ze ez 4sin ϕ,8, cosϕ L ϕ π d sin ϕ A d A( ( ϕ) ) dϕ 4sin ϕ,8, ( sin ϕ,4cos ϕ,) dϕ dϕ cosϕ ϕ π π π 8sin sin d 4 sin d 4 sin ϕ+ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π 4

(5) ( p ) p p p p p cosθ cosθ sinθ E + eˆ ˆ ˆ ˆ 5 z + e e + e note that eˆ cosθeˆ sinθeˆ z θ θ pcosθ pcosθ E ds E eˆ sinθdθdϕ sinθdθdϕ sinθdθdϕ p p p π / cosθ sinθdθdϕ π cosθ sinθdθ π c os p θ π (6) inside the cylinde: d dφ ρ ρ ρ ρ ρ dρ dρ R multiplying by ρ d dφ ρ ρ ρ ρ ρ d dρ R integating in ρ and then dividing by ρ: φ ρ ρ ρ ρ d R ρ R d c c ρ + E gadφ ρ + on the cylinde ais the field must be zeo c so: ρ ρ φin ρ + a 4 9R E in ρ ρ ρ ˆ e R,, ρ

outside the cylinde thee is no chage, so we need to solve the Laplace equation assuming cylindical simmety. We know that the solution is (see week 6): φ E out out cln ρ+ d c eˆ ρ to calculate the a,c and d we need to use the bounday conditions: φ ( R) φ ( R) V in out E ( R) E ( R) in out 5 a V ρr c ρr d V ρr ln R 6 6 6