a) Beräkna E (W ). (2 p)

Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig i Matematisk statistik utdelas vid tetame, Mathematics Hadbook Beta, miiräkare. Iförda beteckigar skall förklaras och defiieras. Resoemag och uträkigar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall ages med mist två siffrors oggrahet. Tetame består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösig ger 1 poäg. Gräse för godkät är prelimiärt 4 poäg. Möjlighet att komplettera ges för tetader med, prelimiärt, 3 poäg. Tid och plats för kompletterig kommer att ages på kurses hemsida. Det akommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tetame kommer att vara rättad iom tre arbetsveckor frå skrivigstillfället och kommer att fias tillgäglig på studetexpeditioe mist sju veckor efter skrivigstillfället. Uppgift 1 E symmetrisk tärig kastas e gåg. Låt X betecka resultatet av tärigskastet. Om X i, i 1,,..., 6, så kastas ett symmetriskt myt i gåger. Beräka de betigade saolikhete att X atar ett udda resultat, givet att åtmistoe e kroa uppträdde uder kaste med mytet. 1 p Uppgift Brühilde ka kotakta si bak med hjälp av si mobil. Ho har e idé om hur ho ka spara pegar. Varje dag set på kvälle går ho i på sitt koto och överför det belopp som tiotalssiffra och etalssiffra utgör till ett sparkoto. Ho sätter de två tale lägst till höger till oll, s k avhuggig. Om det t.ex. fis 1489:- på kotot e kväll så överförs 89:-, kvar blir 14:-. Atag att e måad består av trettio dagar. Atag äve att beloppet som förs i på sparkotot varje kväll är diskret likformigt fördelat över {, 1,,..., 99}. Det betyder att varje avhugget belopp mella oll kroor t.o.m. 99 kroor har lika stor saolikhet att bli överfört till sparkotot. Låt W betecka det belopp som e måads sparade ka ge upphov till. a Beräka E W. p b Beräka V W. Ledig k1 k 1 6 3 + 3 +. 3 p c E biljett till e välgörehetsbal kostar 1645:-. Vad är de approximativa saolikhete att de udasatta summa räcker till att betala biljette till välgörehetsbale? 5 p

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 Uppgift 3 Tio studeter deltog i ett försök för att avgöra om e högskolekurs fugerade på rätt sätt. Studetera gjorde ett test ia kurse startade och resultatet på det registrerades. Dessutom gjorde de ett test äve efter geomgåge kurs. Resultate var följade: 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Test ia kurse 77 56 64 6 57 53 7 6 65 66 Test efter kurse 88 74 83 68 58 5 67 64 74 6 Age e lämplig statistik modell baserad på ormalfördelige som beskriver data och udersök med hjälp av dea om det fis ågo systematisk förbättrig i studeteras resultat efter geomgåge kurs. Aväd 5% sigifikasivå. Age tydligt de uppställda hypotesera och motivera tydligt vilke slutsats du drar. 1 p Uppgift 4 Tre grupper av sjuksköterskor udersöktes agåede deras sätt att fördela si arbetstid över tre kategorier av arbetsuppgifter. Sjuksköterskora observerades vid slumpmässiga tillfälle vilket gav upphov till följade observatioer 1 3 Grupp 1 131 9 77 Grupp 79 61 6 Grupp 3 5 169 16 Udersök om de tre gruppera fördelar si arbetstid på samma sätt över arbetsdage mella de tre kategoriera av arbetsuppgifter. Aväd 5% sigifikasivå. Age tydligt de uppställda hypotesera och motivera tydligt vilke slutsats du drar. 1 p

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 3 Uppgift 5 Atag att atalet stormdagar uder e decembermåad beskrivs av e Poissofördelad stokastisk variabel med vätevärde µ och att atalet stormdagar olika år beskrivs av oberoede stokastiska variabler. a Atag att µ. Bestäm approximativt saolikhete att skillade i medelatalet stormdagar i december uder två olika ej överlappade 1-årsperioder överstiger dagar. 5 p b Atag att ma uder e tio-årsperiod oterar följade atal stormdagar i december: 1 4 3 1 Tag fram ett approximativt 95% kofidesitervall för µ och testa hypotese µ mot µ på ivå approximativt 5%. 5 p Uppgift 6 Atag att vi har ett stickprov x 1, x,..., x där varje X i är kotiuerligt likformigt fördelad över itervallet mella och de okäda parameter θ. Vi brukar betecka detta som att X i U, θ. a Tag fram Mista-kvadratskattige θ MK,obs av θ. p b Visa att Mista-kvadratskattige θ MK,obs är vätevärdesriktig. p c E aa skattig av θ är de korrigerade Maximum-likelihoodskattige θml korr,obs +1 max x i. Visa att θml korr,obs är vätevärdesriktig. 3 p d Vilke av de två skattigara θ MK,obs och θ ML korr,obs av θ är effektivast? 3 p Lycka till!

Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STA- TISTIK. TISDAGEN DEN 13 mars 18 KL 8. 13. Uppgift 1 Låt A {åtmistoe e kroa} och B {X atar ett udda värde}. Då ka fråga formuleras som P B A. Me P A B P B A. P A Nu är P A B i1,3,5 1 6 5 64 1 + 1 6 P X i och vi erhöll åtmistoe e kroa med mytet 7 8 + 1 31 6 3 Om X i så är saolikhete att erhålla åtmistoe e kroa uder i kast 1 1 i se följdsats.11.1 på sida 34 i Blom. På ugefär samma sätt P A 6 P X i och vi erhöll åtmistoe e kroa med mytet i1 6 i1 1 6 17 18 1 1 6 1 + 1 6 i 1 3 4 + 1 7 6 8 + 1 15 6 16 + 1 31 6 3 + 1 63 6 64 P B A P A B P A 5 64 17 18 5 17.47

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 Uppgift a Om vi defiierar de stokastiska variabel X i som beloppet som sparades dage i uder e måad, så ka vi skriva W som e summa av dessa X i, d v s W 3 i1 X i. Vi har att E W 3 i1 E X i Vi börjar med att beräka vätevärdet för X i, alltså det förvätade beloppet som sparas uder e dag. Eligt texte är X i likformigt fördelat över {, 1,,..., 99}. Det betyder att E X i 99 k 99 k 1 1 1 kp X i k k 99 k 99 k k k1 99 1 495 49.5 Vi aväde formel för e aritmetisk summa ova i lösige. Därmed har vi 3 E W E X i 3 49.5 1485 i1

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 3 b Vi beräkar variase för X i geom beräkigsformel: V X i E Xi E Xi E 99 Xi k P X i k k 99 k 1 1 1 k 99 k k 99 k k1 [ 1 6 1 3835 383.5 99 3 + 3 99 + 99 ] Vi aväde ledtråde, alltså formel för e kvadratsumma, ova i lösige. V X i E Xi E Xi 383.5 49.5 833.5 Det är rimligt att uppfatta de sparade beloppe som oberoede, så därför har vi 3 V W V X i 3 833.5 4997.5 i1 c Eftersom 3 så bör vi kua tillämpa cetrala gräsvärdessatse på W för att beräka de approximativa saolikhete att det sparade beloppet överstiger 1645:-. P W > 1645 1 P W 1645 W 1485 1 P 4997.5 1 P Z 1.1 1 Φ 1.1 1.8438.156 1645 1485 4997.5

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 4 Uppgift 3 Uppgifte hadlar om jämförelse av vätevärde med stickprov i par. Hypotesera bör formuleras som H : mot H 1 : >. De som geomför studie tror ju på att kurse fugerar som de ska, d v s i medeltal så lär sig studetera ågot. Vi bildar differeser z i y i x i. Vi betraktar z i, i 1,..., 1, som utfall av oberoede N, σ- fördelade stokastiska variabler. skattas med z 5.4 se eda som är ett utfall av e N, σ/ - fördelad stokastisk variabel Z. Testvariabel är u Z S/ som är t-fördelad med 1 frihetsgrader, om H är sa. Atalet frihetsgrader är f 1 9. Testet är esidigt. Då sigifikasivå är α.5, blir gräse för det kritiska området t α 1 t.5 9 1.83. Alltså, förkastar vi H om u > 1.83. Vi beräkar z och s frå data: 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Test ia kurse x i 77 56 64 6 57 53 7 6 65 66 Test efter kurse y i 88 74 83 68 58 5 67 64 74 6 z i y i x i 11 18 19 8 1-3 -5 9-6 zi 11 34 361 64 1 9 5 4 81 36 Summa av differesera blir i1 z i 54. Då blir z 1 i1 z i 1 54 5.4. Vidare blir 1 i1 z i 16 och därmed har vi att s 1 1 zi 1 i1 i1 z i 1 [16 11 ] 9 54 81.6 Alltså blir s 9.333. Därmed blir testvariabel u z s/ 5.4 9.333/ 1 1.89 > 1.83 Slutsatse är att H förkastas på 5% sigifikasivå. E alterativ lösig är att ma p.g.a.h : och H 1 : > bildar ett esidigt edåt begräsat kofidesitervall I z s z t α 1, Vilket ger I 5.4 9.333 1 1.83,.174, Slutsats: / I H förkastas på sigifikasivå 5%.

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 5 Uppgift 4 Nollhypotese som vi ska testa med ett s k homogeitetstest är H : Saolikhetera P A 1, P A, P A 3 är lika för varje grupp. Mothypotese är helt ekelt att de ite är lika. Vi kompletterar tabelle 1 3 Atal försök Grupp 1 131 9 77 3 Grupp 79 61 6 Grupp 3 5 169 16 5 Summa 415 3 63 p j.415.3.63 Ut tabelle ka vi läsa att x 1 415, x 3 och x 3 63. Vi skattar de gemesamma saolikhete för kategori j med p j x j /. Vidare har vi att 1 3, och 3 5. Då ka vi beräka de förvätade frekvesera på plats ij med i p j. Tabelle eda iehåller de förvätade frekvesera för alla kombiatioer av i och j: 1 3 1 p 1 3.415 14.5 3.3 96.6 3.63 78.9 1 3 p 1.415 83.3 64.4.63 5.6 3 p 1 5.415 7.5 5.3 161 5.63 131.5 3 5 p 1.415 p.3 p 3.63 Testvariabel ka skrivas om som e differes mella två eklare summor. Vi aväder detta eda me ma måste ite aväda dea beräkigsformel. s r xij i p j s r x s ij Q obs i p j i p i j i1 s i1 i1 j1 r j1 j1 x ij i p j i1 j1 131 14.5 + 9 96.6 + 77 78.9 + 79 83 + 61 64.4 + 6 5.6 + 5 7.5 + 169 161 + 16 131.5.675 Eftersom 1 + + 3 har vi att s r xij i p j Q obs.675.675 i p j Atalet frihetsgrader då s 3 och r 3 är fyra, eftersom s 1 r 1 4. Femprocetkvatile i e χ -fördelig med fyra frihetsgrader är 9.49, så vi ka ite förkasta H. Som e allmä upplysig ka vi äma att p-värdet är.6136 detta är iget som i förvätas räka ut. Det är möjligt att sjuksköterskora fördelar si arbetstid på samma sätt för de tre gruppera. i1

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 6 Uppgift 5 Låt X 1,..., X beskriva atalet stormar uder 1 år. Då är X 1,..., X oberoede Po- fördelade och 1 i1 X i är Po N, -fördelad ty 15. Alltså är X approximativt N,.. På motsvarade sätt är medelatalet stormar uder e aa tidsperiod Y approximativt N,. oberoede av X. a Alltså är Y X approximativt N,.4 och P Y X > P Y X > + P Y X < 1 Φ + Φ 1 Φ 3.16 + Φ 3.16.4.4 1 Φ 3.16.15. b Här är skattas µ med x 1 i x i 1.7. Eftersom i1 x i är ett utfall av de Poµ-fördelade stokastiska variabel i1 X i där µ skattas med 17 15 så approximeras fördelige för X av Nµ, µ/. Ett kofidesitervall för µ med kofidesgrad approximativt 1 α 95% ges av I µ x ± λ α/ x 1.7 ± 1.96 1.7 1 Eftersom I µ ka hypotese µ ej förkastas. 1.7 ±.8.9,.5. Uppgift 6 a Då X i U, θ har vi att µ i θ E X i θ. Därmed blir [ Q θ [x i µ i θ] x i θ ] Tag derivata m a p θ och sätt de lika med oll Q θ 1 [ x i θ ] dθ Om vi löser ut θ har vi i1 i1 x i θ i1 i1 θ MK,obs x. b E θ MK,obs E X E X E Xi θ θ c E θml korr,obs E +1 max X i +1 E max X i Låt Y max X 1, X,..., X, så vi ska fia E Y. För att beräka detta vätevärde börjar vi med att fia fördeligsfuktioe för Y F Y y P Y y P max X 1, X,..., X y P X 1 y P X y P X y y θ

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 7 Om vi tar derivata erhåller vi täthetsfuktioe df Y y d y y 1 1 dy dy θ θ θ 1 θ y 1. E Y θ y 1 θ y 1 dy θ y dy θ θ [ y +1 + 1 θ +1 θ + 1 + 1 θ ] θ Då ka vi återväda till vätevärdet E θml + 1 korr,obs E max X i + 1 + 1 θ θ d Vi måste beräka variasera för de bägge skattigara och jämföra dem. Då θmk,obs X har vi variase som V θmk,obs θ V X 4 V X 4 1 θ Vi vet att vätevärdet av θml korr,obs är θ. Variase V [ θ ] θml korr,obs E ML korr,obs [ E ] θml korr,obs [ ] + 1 E max X i θ + 1 E [ ] max Xi θ 3. Vi måste beräka E [max X i ] eller E [Y ]. E [ Y ] θ y 1 θ y 1 dy θ y +1 dy θ θ [ y + + θ + θ + + θ ] θ

forts tetame i i SF19 och SF191 18-3-13 8 + 1 E [ ] max Xi θ + 1 + θ θ + 1 + 1 θ + 1 + 1 θ + 1 + θ + + + 1 θ + 1 θ + Vi har alltså att V θ ML korr,obs θ +, samt att V θmk,obs θ 3. För 1 är variasera lika. För har vi sträg olikhet. Multiplicera med på bägge sidor, vilket ger. Slutlige lägger vi till på bägge sidor + 4 > 3 1 + < 1 3 V θml korr,obs < V θ MK,obs Alltså är puktskattige θ ML korr,obs effektivare ä puktskattige θ MK,obs.