Något om Derivator och Mathematica

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Något om Derivator och Mathematica Bertil Nilsson 08-08-5

Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Förord På följande sidor presenteras en elementär streetwise guide till derivata med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska eempel ges. Begreppet gränsvärde Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga begrepp som kontinuitet, derivata och integral vilar tungt på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring 760 av den franske matematikern d Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 80-talet av hans landsman Cauchy. Abstrakt materia och det har sedan dess presenterats konkurrerande definitioner, minst lika svårsmälta. Frågeställningen som ligger på bordet är Hur uppför sig funktionen f när ligger nära ett visst tal a alternativt antar mycket stora positiva eller negativa värden?. Här handlar det inte om fall då f a kan beräknas helt odramatiskt, utan gränsvärdesbegreppet är ämnat att ta hand om de bekymmer som kan uppkomma då vi försöker beräkna f a, eempelvis 0, och. Med 0 oändlighetssymbolen menas ett tal som är stort bortom alla gränser. Att förtydliga med är aldrig fel. På motsvarande sätt lägger vi innebörd i. Notera att är en symbol för ett stoooort tal och denna kan man inte räkna med på samma sätt som med tal i. I Mathematica hämtas ur palette eller med inf på tangentbordet. Vi ska göra två definitioner men vädja till den intuitiva bilden som åskådliggörs. Först har vi fallet då antar ett stort positivt tal, följt av ett eempel, sedan fallet då går mot ett tal a. Definition. Antag att definitionsmängden till f inte är uppåt begränsad, det vill säga att det i varje öppet intervall Ω, finns minst en punkt i D f. Man säger att f har gränsvärdet A då går mot oändligheten om det till varje Ε0finns ett Ω så att f A Εdå Ωoch D f. Vi skriver då lim f A eller f A då och säger Limes f då går mot oändligheten är lika med A eller Att f går mot A då går mot oändligheten. Ordet limes är grekiska och betyder gräns. Innebörden är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Ω tillräckligt stort. Oftast blir Ω en funktion av Ε. Vi ser i figuren att innebörden är att Ω måste väljas så att för alla Ωär f innestängd i korridoren A Ε, A Ε. AΕ AΕ A f Ω Eempel : Visa att f då. Låt Ε0vara en godtycklig önskad noggrannhet. Vår uppgift blir nu att söka ett Ω så att för alla Ωgäller f f Ε Ε Ε 0 Ε varav tillräckligt stort. Så varje tal Ω är tillräckligt. Lägg speciellt märke Ε Ε till att Ω inte behöver väljas skarpt, alla Ω duger onödigt bra. Vi ritar väl Ε Ε en liten bild som vanligt. Ε Ε Ω Definition. Antag att det i varje omgivning till punkten a, det vill säga ett intervall a Δ, a Δ, finns minst ett D f. Man säger att f har gränsvärdet A då går mot a om det till varje Ε0finns ett Δ0så att f A Εdå a Δoch D f. Vi skriver då lim a f A eller f A då a och säger Limes f då går mot a är lika med A eller Att f går mot A då går mot a. Innebörden är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Δ tillräckligt litet. Oftast blir Δ en funktion av Ε. Vi åskådliggör med en figur, där innebörden är att Δ måste väljas så litet att för alla aδ, a Δär f innestängd i korridoren A Ε, A Ε. f AΕ A AΕ aδ a aδ Gränsvärde som eisterar ändligt i kallas för egentligt gränsvärde medan de som går mot kallas oegentligt gränsvärde. Synonymt används eistera respektive ej eistera. På motsvarande sätt kan man fylla på med en bunta definitioner med alla kombinationer mellan f går mot eller A då går mot, a, a eller a där de två sista kallas för vänstergränsvärde respektive högergränsvärde med tecknet visande från vilken sida man närmar sig a. Man kallar dem ensidiga gränsvärden. Ett krav för att lim a f ska eistera är att vänster- lim a f och högergränsvärdet lim a f eisterar och är lika. Vänstergränsvärdet skrivs ibland lim a f går upp mot och högergränsvärdet lim a f går ner mot.

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Till sist en liten invändning mot definitionerna ovan. Dessa kan bara användas då man redan känner gränsvärdet. I enkla fall kan man gissa och prova några kandidater och se om det går bra, men i det allmänna fallet är detta ingen framkomlig väg. I bland har man dessutom bara behov av att veta att man har ett egentligt gränsvärde utan att faktiskt behöva veta vad det är! Modern teori har metoder för att angripa dessa frågeställningar. När man beräknar ett gränsvärde undviker man att arbeta direkt med definitionerna. I stället har man från dessa härlett ett antal räkneregler och standardgränsvärden som man använder sig av. De presenteras här utan bevis, flera av dem är rätt självklara. Räkneregler Om f 0 och g begränsad, så gäller att f g0. Om f A och gb då a, a, a, eller så gäller f ga B, f gab, f A ifall B 0. g B Om ga och f ta då t a så gäller f g A. (sammansättning) Om f A och ga och f hg så gäller ha. (instängning) Om f g och f A, gb så gäller A B. (gränsövergång i olikhet) Standardgränsvärden 0då Α 0då om a ln n då0 n a a n 0dånom a ln 0dåom Α0 då 0 Α a n då n om a Α ln0då 0 om Α0 sin a n eisterar ej då n om a n då n n då0 a dån då n an 0dån n dån om a 0 Lägg speciellt märke till gränsvärdet då som är definition på den naturliga basen. Till slut återstår bara att höra vad Mathematica har att säga i ärendet. Funktionen heter naturligtvis Limit med optionen Direction för att indikera att ett ensidigt gränsvärde önskas. Naturligtvis är den bestyckad med utökade listor av regler och standardgränsvärden samt ytterligare mycket avancerad teori för att hantera verkligt komplicerade uttryck. Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Alldeles för komplicerat för hand!! Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Luktar! Skriv om med potenslagar Låt u så har vi att u då u u då u enligt sammansättningsregeln ovan. Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen 0. Konjugatregeln i täljaren då. 0 Vi ser att det gäller att bädda upp innan det är da att gå i gräns. Limit,

4 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen 0 0 4. Förläng med täljarens konjugatkvantitet då. 4 Konjugatregeln Hyfsa Att meka om med vanlig algebra innan det är da att gå i gräns är standard. Se här att 0 kan bli vad som helst! Beware!! 0 Limit, 4 Eempel: Bestäm gränsvärdet av då. Lösningsförslag: Vi får Av typen. Förläng med konjugatkvantiteten, Dividera med nämnarens dominerande term Här Standardgränsvärde 0 då. Frestas aldrig att ge värdet 0! Kan bli vad som helst! Beware!! Konjugatregeln Hyfsa Potenslag Limit, Eempel: Bestäm gränsvärdet av cossin då 0. Lösningsförslag: Vi får cossin cos sin Av typen 0. Dividera med nämnarens dominerande term Här 0 Standardgränsvärde då 0. 0 Eftersom sin är det enda vi kan i trigonometriska branschen är det bara att sikta på detta och skriva om! Dé måste gåfrestas aldrig att ge 0 värdet! Kan bli vad som helst! Beware!! 0 Limit CosSin, 0 Eempel: Bestäm vänster- och högergränsvärdet av Heavisides stegfunktion Θ 0 då 0. 0 0 Lösningsförslag: Vanlig strömbrytare när man räknar på elektriska kretsar, ej definierad för 0. Vi tar hjälp av Mathematica för vänster- följt av högergränsvärdet. Limit 0 0, 0, Direction, Limit, 0, Direction 0 0 0 0 0,

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 5 Eempel: Visa standardgränsvärdet sint dåt 0. t Lösningsförslag: En titt i tabellen över standardgränsvärden indikerar att detta är det enda som avhandlar trigonometriska funktioner, och är därmed en slags prototyp som man alltid ska ha som mål för sina omskrivningar i sådana situationer. Notera att t är en vinkel som naturligtvis mäts i radianer. Vi inser att det inte spelar någon roll från vilken sida vi närmar oss 0 i denna gränsövergång av typen 0 sint, ty sint sint. Så vi tar hjälp av enhetscirkelns första kvadrant där areamåtten för två rätvinkliga trianglar 0 t t t och en tårtbit är lätta att rangordna. y tant sint costsint t Π Π tant costsint t Π Π sint cost Arean för två trianglar bashöjd samt tårtbit där emellan. Men tant def sint. Dividera cost nu de tre leden med sint t cost cost t sint cost t lim t0 sint Nu är det ok att gå i gräns, t 0 cost Färdig lim t t0 sint med instängning Höger- och vänstergränsvärdena är alltså lika, och därmed är saken klar. Detta vet naturligtvis Mathematica Limit Sint,t 0 t Kontinuerliga funktioner En funktion f säges vara kontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen har ett gränsvärde då a. Då är lim a f f a. Om f är kontinuerlig i alla punkter i D f säges den vara en kontinuerlig funktion. En funktion kallas diskontinuerlig i punkten a om a D f och funktionen saknar gränsvärde då a. Kontinuerliga funktioner är trevliga att ha att göra med. Av räknereglerna för gränsvärden följer nämligen att f och g kontinuerliga f g f g f g f g f kontinuerliga. Lite populärt kan man säga att en kontinuerlig funktion, precis som namnet antyder, kan ritas utan att lyfta på pennan, det vill säga dess graf hänger ihop. Det finns gott om teori för kontinuerliga funktioner, speciellt kokar nästan all tillämpad matematik ned till två grundläggande problem, nämligen sökning av rötter eller nollställen till en kontinuerlig funktion Satsen om mellanliggande värden. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så antar funktionen i detta intervall varje värde mellan f a och f b. och maimering eller minimering av en kontinuerlig funktion Satsen om största och minsta värde. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Dessa satser är trots sin intuitivt nästan enkla innebörd svårare att besvisa än vad som kan förmodas. Vi nöjer oss med att konstatera att vi har makterna med oss!

6 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Begreppet derivata Antag att en funktion f är definierad i en omgivning till punkten a. Om gränsvärdet f ah f a lim h0 h eisterar, säges f vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet kallas f:s derivata i punkten a och skriver f ' a och pratar om f prim. Analogt pratar man om höger- respektive vänsterderivata i punkten a beroende på från vilket håll man närmar sig a. För att f ska få kallas deriverbar måste dessa vara lika och alltså oberoende av om h är positiv eller negativ. Man kan illustrera gränsövergången som en bukett sekanter, det vill säga en rät linje som går genom två punkter på kurvan, som tvingas ned till att bli en tangent och därmed beröra kurvan i endast en punkt a, f a. y y y f y f Θ y y f ah f a f ' a lim lim 0 h0 h k T tanθ f ' a a ah a ah Derivatans geometriska betydelse är välkänd. Om f är deriverbar i punkten a så är k T f ' atanθ riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y f i punkten a, f a. Ibland är man också intresserad av normalen i samma punkt, vilket är en linje som är vinkelrät mot tangenten. Om k N är normalens riktningskoefficient kan man visa att k T k N. Vi sammanfattar situationen. k T f ' a, k T k N så med enpunktsformeln har vi y f ak T a tangentens ekvation i punkten a, f a. y f ak N a normalens ekvation i punkten a, f a. Om f är deriverbar överallt i sin definitionsmängd säges f vara en deriverbar funktion. Då är f:s derivata f ' en funktion av med samma definitionsmängd som f. Inte sällan skrivs f och ibland kortare f ' eller Df. Även beteckningen y' eller y förekommer, varvid y är att uppfatta som en förkortning av f. När man ska derivera hela uttryck skrivs ofta, vilket ska tolkas som att en deriveringsoperator verkar på uttrycket inom parentes. Om f är en deriverbar funktion så är den också kontinuerlig. Omvändningen gäller ej! Det typiska eemplet är absolutbeloppet som är kontinuerlig men inte deriverbar för 0. Så funktioner vars grafer innehåller skarpa hörn är inte deriverbara där. Eftersom derivatan är en ny funktion är det naturligt att definera andraderivatan till f som derivatan av f '. Denna skrivs f '' och vi säger f biss. Analogt definieras derivator av högre ordning. Den n-te derivatan till f skrivs f n, D n f, n f, D n y, y n eller n y där n n y f. Inom fysik är tidsderivator mycket vanliga, till eempel har vi hastighet som är tidsderivatan av läget med avseende på tiden och accelerationen som är andraderivatan av läget med avseende på tiden. Tidsderivator har därför givits ett förkortat skrivsätt med prickar, förstaderivatan utläses prick och andraderivatan t prick prick. t Strategin som man alltid ska följa vid derivering för hand är att systematiskt med hjälp av deriveringsregler bryta ned det givna uttrycket till en mängd derivator av elementära funktioner, ofta kallade standardderivator (SD). Vi sammanfattar. Deriveringsregler, k konstant, f och g deriverbara kf' kf' f g' f ' g ' fg' f 'g fg' Konstantregeln Summaregeln Produktregeln f f 'g fg' ', g 0 g Kvotregeln g f g f 'gg ' g ' kallas inre derivata Vanlig form y y u i u gruvan Kedjeregeln Standardderivator, SD f f ' k 0 Α Α Α ln sin cos tan cos sin cos tan

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 7 Naturligtvis är Mathematica bestyckad med en mycket villig arbetshäst, D[f,]. Vill man derivera n gånger skriver man D[f,{,n}]. I palette finns dessutom den något opålitliga. Ta alltid för vana att i rutan sätta parenteser runt det som skall deriveras! Eempelvis Sin. Sedan gäller det i stort sett bara att skriva av rätt! Nu är det bara att sätta igång! Eempel: Bestäm derivatan av f med hjälp av definition. Lösningsförslag: Vi mäter våra krafter mot något vi har facit till. f h f f ' lim h0 h D, h lim h0 h lim hh h0 h lim h0. Ok med SD ovan, '. h0 Eempel: Bestäm derivatan av f. Lösningsförslag: Vi har med potenslagar och SD. Vänj dig vid skrivsättet. f ' SD, derivera. D, Eempel: Bestäm derivatan av f 5cos. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 5cos 5cos 5 cos 5 u cosu 5 u cosu 5sinu 0sin Summaregeln. Konstantregeln. Kedjeregeln u g. Konstantregeln. Endast SD kvar, derivera ty ' 0. Byt tillbaka u. Hyfsa D 5 Cos, 0 sin Eempel: Bestäm derivatan av f 4. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 4 Kedjeregeln u g 4 u u 4 Summaregeln. u u 4 Kedjeregeln v h 4. u u v v 4 Potenslagar och konstantregeln. u u v v 4 u v 4 4 4 4 Endast SD kvar, derivera Byt tillbaka u och v. Hyfsa D 4, 4 4

8 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm tangenten och normalen till kurvan y ln i punkten a. Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata. Kontrollera för hand att Mathematica deriverar och räknar rätt! f : Log f' Enpunktsformeln y f ak T a där k T f ' a och a ger nu tangenten. Sedan normalen på samma sätt med k T k N. tangent Solvey f f', y y log54 normal Solvey f, y f' y log54 En bild piggar alltid upp PlotEvaluatef, y. tangent, y. normal,,, 4, AspectRatio Automatic, PlotStyle Red, Blue, Orange, AesLabel "", "y,y T,y N " y,y T,y N 5.0 4.5 4.0.5.0.5.0.5 4.0 Att derivera en funktion på parameterform innebär helt naturligt att derivera varje koordinatfunktion var för sig. puu, yu, p u, y, u u Parameterform. Derivera Eempel: En partikel rör sig i en cirkulär bana i y-planet, ptcos t, sin t. Sök dess hastighet som funktion av tiden. Lösningsförslag: Partikeln rör sig moturs på en cirkel med radien lika med. Hastigheten får vi genom att derivera läget med avseende på tiden. ptcos t, sin t Parameterform. p t t cos t, t sin t Derivera Glöm inte kedjeregeln p t p' t sin t, cos t Hastigheten Hastigheten är en så kallad vektor. En sådan har både riktning och storlek. När det gäller hastighet så kallas dess storlek för fart. Så i bilen har vi strängt taget en fartmätare och inte en hastighetsmätare eftersom vi inte får någon information åt vilket håll vi kör Återkommer till detta senare i kursen Här nöjer vi oss med att rita ut läget med en blå vektorpil och hastigheten med en röd. Som väntat pekar hastighetspilen i färdriktningen längs banan.0 0.5 p't pt t.0 0.5 0.5.0 0.5.0 y

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 9 Partiell derivata Vi har tidigare stiftat bekanskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt, det vill säga derivata. Antag att vi har en funktion z f, y : så definierar vi analogt med det endimensionella fallet de partiella derivatorna med avseende på respektive y i punkten, y f f f h,y f lim h0 h f y f f,yh f y y lim h0 h om gränsvärdena eisterar. Utvidgning till n oberoende variabler är odramatisk f f i lim i h0 f,, i h,, n f,, n. Inget h märkvärdigt, räknetekniskt gör man som vanligt, det vill säga deriverar med avseende på den variabel som önskas och låter de andra oberoende variablerna vara konstanter vilka som helst. För att markera att det handlar om partiell derivata skriver vi i stället för och vid '-beteckning måste vi ange i ett subinde vilken variabel vi avser att behandla. Eftersom vi vilar på samma gränsvärdesfundament som i envariabelfallet kommer hela arsenalen av eempelvis deriveringsregler och standardderivator att ärvas över. De partiella derivatorna i en given punkt 0, y 0 kan tolkas geometriskt, se den informationstäta figuren och låt färgpennan hänga med. Skär ytan z f, y med ett plan 0 parallellt med yz koordinatplanet och ett plan y y 0 parallellt med z koordinatplanet. Skärningspunkten mellan dessa tre geometriska objekt blir i rymdpunkten 0, y 0, f 0, y 0 markerad med en. Skärningen mellan ytan och planet 0 blir en funktion z f 0, y och den partiella derivatan f y0, y 0 är nu riktnings koefficienten för tangenten till kurvan z f 0, y i punkten 0, y 0.På motsvarande sätt inses att den partiella derivatan f 0, y 0 är riktnings koefficienten för tangenten till kurvan z f, y 0 i punkten 0, y 0. Dessa tangenter ligger naturligtvis i respektive skärningsplan. Eempel: Låt funktionen f, y 5y 4y sin y7 vara given. Bestäm de partiella derivatornna f f och. y Lösningsförslag: Vi får direkt f 4y sin y och f 5 8y cos y. I Mathematica är det samma gamla funktion y D som gör jobbet. Denna vektor kallas gradienten till f. f 5y 4y Sin y7; grad Df,, y 4 y sin y,8y cos y 5 Eempelvis i punkten, Π 4 har vi då f, Π 4 och f y, Π 4 grad., y Π 4 4 Π,5Π 4 Eftersom derivatan av en funktion är en ny funktion kan vi fortsätta derivera. Utvidgning av de partiella derivatorna av andra ordningen går till som i det endimensionella fallet och är fyra till antalet då vi har två oberoende variabler f, y. f f f f '' f y y f y y f y f '' yy f y y f y f f '' y f y f y f y f '' y Lägg märke till att för varje derivata så fyller man på subindelistan i slutet. Eempel: Bestäm de partiella derivatorna av andra ordningen till f, y i föregående eempel. Lösningsförslag: Eftersom vi redan bestämt de partiella derivatorna av första ordningen, f 4y sin y och f y 5 8y cos y får vi direkt f 6, f y 8 y cos y, f y 8 y cos y och f 8 4sin y. y

0 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Vi ser att f y f. Detta är ingen tillfällighet utan en regel. Det spelar alltså inte någon roll i vilken ordning vi deriverar, först y sedan y eller tvärtom. I D är det bara att lägga till ett argument. Df,,, Df,, y 6,8y cos y Alla derivator av andra ordning samlade i en matris f i j som kallas hessianen till f, som enligt ovan alltid är symmetrisk. Df,, y, 6 8 y cos y 8 y cos y 8 4 sin y Det bör nu inte förvåna någon att tredje, fjärde och högre ordningens partiella derivator definieras på liknande sätt, eempelvis f y '' f y och y f yy 4 f yyy. I Mathematica är det bara att fortsätta hänga på argument, så om vi fortsätter med eemplet ovan 4 har vi f y och f yyy. Df, y,,, Df, y, y,, y 0, 8 cos y 4 Så här ser eempelvis resan fram till f yyy ut. Det börjar med f själv, följt av f y, '' 4 fyy, f yy och slutligen f yyy. FoldListD, f, y, y,, y 4 y sin y 5 y 7, 8 y cos y 5, 8 4 sin y,8 4 sin y, 8 cos y Eempel: Antag att vi är ute och orienterar med höjdkartan h, ysincosy, 0, Π, y 0, Π och befinner oss i punkten, y, 4 och vill veta hur det lutar i olika riktningar. Alltså hur varierar gradienten. Lösningsförslag: Vi börjar med att rita en bild över terrängen med vår position markerad med en. Vi får de partiella derivatorna h cos, hy siny, som i vår position har värdena h cos0 och hy sin40. Så det är nerförsbacke i positiv -riktning (österut) och uppförsbacke i positiv y-riktning (norrut). Eftersom vi har en snäll funktion innebär det även att vi har uppförsbacke västerut och nerförsbacke söderut. Verkar stämma bra med det visuella intrycket man får av bilden. DSinCosy,, y.., y 4. cos, siny 0.98999, 0.75680

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Implicita funktioner Med en implicit funktion menas samband på formen f, y0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på eplicit form y f. Att derivera en implicit funktion är inte värre än att derivera en eplicit. Man deriverar helt enkelt båda sidor med avseende på den variabel som önskas. Det är alltså som vanligt med ekvationer, ska något göras ska det göras på båda sidor! Om vi tänker efter så är ju derivatan av en eplicit funktion ett specialfall av den implicita, till eempel bestäm derivatan av y y y. I Mathematica används Dt[ekv,] och Dt[ekv,{,n}] för implcit derivering, (eng. total derivative). Vi tar några eempel. Tänk på att vara petnoga!! Eempel: Bestäm derivatan av y arccos. Lösningsförslag: Detta är det första av tre ureempel på implicit derivering. Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! y arccoscosy cosy y cosy y siny y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Trig. ettan siny Plugga sedan in cosy och lös ut y. cos y. Här gäller eftersom y V arccos 0, Π siny0. DArcCos, Eempel: Bestäm derivatan av y arcsin. Lösningsförslag: Detta är det andra... y arcsin siny siny y siny y cosy y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Trig. ettan cosy Plugga sedan in siny och lös ut y. sin y. Här gäller eftersom y V arcsin Π, Π cosy0. DArcSin, Eempel: Bestäm derivatan av y arctan. Lösningsförslag: Detta är det tredje... y arctantany tany y tany y tan y y y Definition Derivera implicit med avseende på Kedjeregeln. Endast SD kvar Plugga in tany och lös ut y. DArcTan,

Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Bestäm y i punkten, då 4y 6 6. Lösningsförslag: Vi söker alltså tangentens riktningskoefficient i punkten,. Typisk implicit derivering. Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Vänj dig vid skrivsättet och träna så här omständigt!!! 4y 6 6 Summaregeln och konstantregeln. 4 y 66 Produktregeln. 4 y y 66 Kedjeregeln. 4 y y y y 66 Endast SD kvar 4 y y y 0 6 Hyfsa 4 y y y Sätt in, y. 4 6 y y 4 5 6 ekv Dt4 y 6 6, 4 y y y dyd Solveekv, Dty, y y y Lös ut y. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att och y byts ut i y. Enklare för hand dyd. Rulea, b Rulea, b., y y 5 6 Samma resultat får man med den vanliga deriveringsfunktionen D[ekv,]om man talar om vad som är funktioner av, här y. Dt[ekv,]däremot deriverar allt som kommer i dess väg som om det vore en funktion av, det vill säga den lever upp till sitt namn (eng. total derivative). Vilken man använder är en smaksak och vad man tänkt göra med uttrycket efter derivering och naturligtvis hur den implicita funktionen är representerad i Mathematica. Utan tröttande kommentarer kör vi snabbt igenom eemplet igen med D istället. Jämför noga alla steg med Dt ovan! ekv D4 y 6 6, 4 y y y dyd Solveekv, y' y y y dyd., y y 5 6 Om vi jämför de två funktionerna D och Dt ser vi att de har sina för- och nackdelar. D deriverar bara det som är funktioner, typ y, och betraktar allt annat som konstanter. Dt däremot deriverar allt, och ger dessutom lite snyggare utskrifter på formen y. Priset man får betala vid Dt är att man måste ange vilka variabler som är konstanter och ett (mycket) komplicerat ReplaceAll (/.) i vissa situationer när man ska sätta in numeriska värden. Kolla noga i eemplet ovan igen. Även i kommande eempel kommer vi att använda båda metoderna så det blir gott om tillfällen att väga dem mot varann. Generellt kan man kanske säga att när man löser problem med Mathematica så är nog D den mest bekymmersfria varianten, dessutom är det ju ingen nackdel att hålla lite ordning på vad som varierar! Å andra sidan kommer det man gör för hand med naturlig användning av kedjeregeln mest likna det som Dt levererar.

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica Eempel: Givet kurvan y 5siny. Sök y. Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Var noggrann! y 5siny Summaregeln. y 5siny Produktregeln och konstantregeln. y y 5 siny Kedjeregeln, vid y och u gy. y y y y 5 u sinu y y y y y y 5 u sinu y y y y y y 5 u sinu y y y y y y y 5cosuy y y y 5 y cosy y 0ycosy Potenslagar och produktregeln. Kedjeregeln. Endast SD kvar Byt tillbaka u. Hyfsa Lös ut y ekv Dt y 5 Sin y, y y 5 cos y y y y y Solveekv, Dty, y y 5 cos y y y 0 cos y y Samma resultat får man naturligtvis med den vanliga deriveringsfunktionen D. ekv D y 5 Sin y, y y 5 cos y y y y y Solveekv, y' y 5 cos y y y y 0 cos y y Eempel: För en viss typ av gas gäller sambandet pv 8 mellan tryck och volym. Bestäm p då p, V och V 6. Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen. Plot 8, V,, 4, PlotStyle Orange, AesLabel "V", "p" V 4.5 4.0.5.0.5.0.5 p.5.0.5 4.0 V Sedan implicit derivering av uttrycket med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Typisk tillämpning, inget t i uttrycket så långt ögat når, men här inser vi att t ligger dolt i både Vt och pt. Så

4 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN ekv Dtp V 8, t V p t pv V t 0 Lös ut derivatan av trycket med avseende på tiden, det vill säga p p t. dpdt Solveekv, Dtp, t p t p V t V Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att p och V byts ut i p t och V. Enklare för hand t dpdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t 6. p, V p t 8 Å en gång till med D. Lös ut p t ekv Dpt Vt 8, t Vt p t pt Vt V t 0 och sätt in numeriska värden. dpdt Solveekv, p't p t pt V t Vt dpdt. V't 6, pt, Vt p t8 Om man vill så kan man naturligtvis sätta in numeriska data först och sedan lösa ut p' t. Vi provar i senaste varianten med D. Gör själv detta i fallet med Dt! numekv ekv. V't 6, pt, Vt 9 p t 7 0 Solvenumekv, p't p t8 Eempel: En surströmmingsburk sväller med mm dygn under det att den behåller sin cylindriska form. Vid en tidpunkt var radien r 50, höjden h 40 och r h. Sök vid t t denna tidpunkt. Lösningsförslag: Implicit derivering av cylinderns volym med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Detta är en typisk tillämpning på hastighetsproblem att derivera ett rent geometriskt uttryck med avseende på tiden. Lös sedan ut h t. ekv DtV Πr h, t V t Πr h r Π hr t t dhdt Solveekv, Dth, t Simplify h V t Π hr r t t Π r Slutligen är det da för numeriska data. Lite teknisk ReplaceAll(/.) för att undvika att r och h byts ut i r t hand att sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan och h. Enklare för t dhdt. Rulea, b Rulea, b. DtV, t, Dtr, t. r 50, h 40

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 5 h 000 Π t 500 Π Kör på med D också. ekv DVt Πrt ht, t V tπrt h t Π ht rt r t dhdt Solveekv, h't Simplify h t V t Π ht rt r t Π rt dhdt. V't, r't,rt 50, ht 40 h t 000 Π 500 Π Eempel: Målarens mardröm. En målare befinner sig på en L m lång stege då dess kontaktpunkt med marken plötsligt släpper och glider ut med konstant fart längs marken. För vår vän på stegen väntar en obehaglig nedfärd. Sök hastigheten för stegens kontaktpunkt mot huset. Lösningsförslag: Lägg in stegen i ett koordinatsystem. Geometrin bestäms av Pytagoras sats. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. der Dt y L,t y L y L t t t Stegens längd L ändras inte under den vådliga resan, detta måste vi ange eftersom Dt deriverar allt som om det vore funktioner av t. ekv der. DtL, t 0 y y t t 0 Lös ut den sökta hastigheten y y längs väggen. t dydt Solveekv, Dty, t y t t y Stämmer ju bra att resan går i negativ riktning då ökar. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att och y byts ut i och y. Av samma skäl måste bytas innan. Som numeriskt eempel väljer vi en stege med längden 5 m och söker y då m och t t m/s. Mata in med rätt tecken så kommer svaret ut med rätt tecken i förhållande till de koordinatriktingar vi valt. Så blir det alltid! Smidigt i matematiken! t dydt. Rulea, b Rulea, b. Dt, t., y 5 y t Vi provar naturligtvis även med D. Notera speciellt behandlingen av L jämfört med ovan! der Dt yt L,t t t yt y t 0 dydt Solveder, y't

6 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN y t t t yt dydt. 't, t, yt 5 y t Eempel: Lille Kalle under lampans sken. Sök hur längden av Kalles skugga ändras då han promenerar mot lampan med konstant fart. Lösningsförslag: Figuren ovan åskådliggör modellen med intressanta geometriska storheter. Det räcker med likformiga trianglar för att koppla det som ändras med tiden, nämligen skuggans längd s och Kalles läge a i förhållande till lampan. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. der Dt a s s H L,t a s t t H a s H t H s t L s L t L Varken Kalle eller lyktstolpen väer under studien antar vi... ekv der. DtL, t 0, DtH, t 0 a s t t H s t L Lös ut skuggans ändringshastighet dsdt Solveekv, Dts, t s t a t L H L Här duger en vanlig ReplaceAll (/.). Eempelvis H 0 m, L m och a m/s, negativ eftersom han rör sig mot lampan, ger slutligen s. ALLA indata med rätt tecken ger utdata med rätt tecken! dsdt. H 0, L, Dta, t s t Visst, skuggans längd minskar som sig bör! Slutligen en repris med D. Notera speciellt behandlingen av H och L jämfört med ovan! der D atst H a t s t H s t L st L,t dsdt Solveder, s't s t La t H L dsdt. H 0, L, a't s t

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 7 Eempel: I en ladugård finns en traktordriven höbalslyft enligt figur. Sök höbalens fart upp mot taket då traktorn kör iväg med konstant fart. Lösningsförslag: Med beteckningar enligt figur har vi dels Pytagoras sats och ett samband för repets längd L. Sådant samband brukar kallas kopplingsvillkor, eller bivillkor, eftersom det kopplar samman variabler till varann, här l och y som inte är oberoende av varann. Låt S vara den okända del av linans längd som är upplindad i taljans skivor. ekv h l,l h yl S h l, L h y l S Lös ut y och l. yål Solveekv, y, l y h h L S, l h, y h h L S, l h Här duger bara den sista lösningen eftersom l 0. Den andra lösningen är modellens spegelbild under markplanet! Även denna gruvvariant ryms i formuleringen. Derivera nu med avseende på tiden och anta att taket, repet och taljan håller under resan! DtyÅl, t. Dth, t 0, DtL, t 0, DtS, t 0 y t h h t t h L S h t t t, l t h h t t h y t t, l h t t h Detta är balens hastighet, i koordinatriktningen, som funktion av traktorns läge och hastighet. Var noga med tecken på t.e. om du vill eemplifiera med numeriska data. Gör det! Men först en koll på vad D har att säga, men håll själv först koll på vad som varierar med t!! ekv t h lt,l h yt lts h t lt, L h yt lt S yål Solveekv, yt, lt yt h t h L S, lt h t, yt h t h L S, lt h t DyÅl, t y t t t, l t h t t t h t Om man har att derivera ett omfattande uttryck som bara innehåller produkter och kvoter eller när den oberoende variabeln ingår i eponenter kan det vara lämpligt att tillgripa logaritmisk derivering. Egentligen inget nytt. Slå först sönder uttrycket med hjälp av logaritmlagarna och derivera sedan implicit. Vi sammanfattar f f f f m g g g n Logaritmlagar ln f ln f ln f ln f m lng lng lng n Derivera implicit... ln f i ln f f i f i osv... i f f f f f m f m g g g n g n f f f f f m f m g g g n g n... med kedjeregeln Lös ut f Färdig

8 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Eempel: Låt y. Sök y. Lösningsförslag: Vi använder oss av logaritmisk derivering (vad annars?) Var noggrann! y lnyln lnyln ln Logaritmera båda sidor Utnyttja att ln a lnalnb, b lnylnln ln lnylnlnln lnablnalnb, lna b blna. lny ln ln ln y lny y ln ln ln y lny y ln ln ln ln Derivera implicit map Kedjeregeln och summaregeln. Produktregeln och konstantregeln. Endast SD kvar y y ln y ln y lnln Lös ut och sätt in y. D,Simplify log log Optimering Mycken sysselsättning i tillämpad matematik går ut på att optimera saker och ting, Så lätt som möjligt...!, Så billigt som möjligt...!, Så snabbt som möjligt...!, Så högt som möjligt...!. Detta innebär att vi vill söka maimum eller minimum till en given funktion i ett givet intervall. Sådana punkter brukar kallas etrempunkter och klassas som lokala eller globala beroende på deras innebördes rangordning. Motsvarande funktionsvärde brukar kallas etremvärden. Men det finns även begreppen terasspunkt och infletionspunkt. En bild förtydligar. y y f f'0 f' 5 0, f '' 5 0 f'0 f'0 f' 4 0, f '' 4 0 a 4 5 6 b I intervallet a, b har vi 6 etrempunkter,, och 5 är lokala maimum medan, 4 och 6 är lokala minimum. Funktionen har globalt minimum i och globalt maimum i b. Om vi däremot mekar om till halvöppet intervall a, b så saknar funktionen ett globalt maimum. Om vi å andra sidan inskränker intervallet till a, 6 så har funktionen globalt maimum i. Vid sunda modelleringar brukar man ha globala min/ma inne i det intervall som man studerar. Vi sammanfattar Lite diagnostisering med hjälp av derivator. Om f ' 0 så är f strängt väande i. Brukar anges med. Eempelvis är f väande i intervallet, i figuren ovan. Om f ' 0 så är f strängt avtagande i. Brukar anges med. Eempelvis är f avtagande i intervallet, i figuren ovan. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 i 0 så har f ett lokalt minimum i 0. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 i 0 så har f ett lokalt maimum i 0. f '' 0 0vidlokalt maimum. Om f har etremvärde i punkten 0 så är f ' 0 0 och f '' 0 0vid lokalt minimum. Om f ' 0 0 och f ' har teckenvälingen 0 eller 0 i 0 så har f en terasspunkt i 0. Om f '' välar tecken i 0 så har f en infleionspunkt i 0. Detta innebär att f '' 0 0. Att optimera någonting, det vill säga att söka maimum eller minimum av en funktion, vilar tungt på derivering och ekvationslösning eftersom vi ställs inför problemet att lösa f ' 0. Mathematica har förutom de ovan nämnda funktionerna för att derivera en samling funktioner som är ämnade för direkt optimering; Maimize, NMaimize, FindMaimum, Minimize, NMinimize och FindMinimum. Se vidare i Help.

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica 9 Eempel: Sök minsta avståndet från punkten, 0 till linjen y. Lösningsförslag: Drag en rät linje från, 0 till en godtycklig punkt, y på linjen. Vi ska bestämma så att linjestyckets längd L blir så kort som möjligt, och har situationen Plot,, 0,, AspectRatio Automatic, AesLabel "", "y", Epilog Red, Line, 0, 0.6, 0., Tet"L", 0.8, 0.5, Background White, Tet",y?", 0.6, 0., Background White 0.5 0.4 0. 0. 0. y,y? 0. 0.4 0.6 0.8.0 L Vi låter Mathematica göra hela jobbet att lösa ut L ur Pythagoras sats och samtidigt eliminera y ur det så kallade kopplingsvillkoret mellan och y, det vill säga funktionssambandet y, så att vi får L. Typisk modellering att formulera samband på ekvationsform och låta Mathematica göra grovjobbet. Frestas inte att göra det för hand, eftersom det är ett utmärkt sätt att introducera fel! LÅy SolveL 0y,y, L, y L 5 8 4,y, L 5 8 4,y Här duger bara sista lösningen eftersom vi har kravet L 0. En liten plot ska man göra så ofta man hinner. Ger en direkt indikation på om vi har modellerat sunt och att titta tillbaka på när man väl har bestämt en etrempunkt! PlotL. LÅy,,,, PlotStyle Red, AesLabel "", "L".5.0.5.0 L Ett tydligt minimum som sig bör, eftersom vi inser att L både då och Bestäm nu etrempunkt, det vill säga optimalt, ur L 0. dld DL. LÅy, 0 8 4 5 8 4 SolvedLd 0 4 5 Stämmer bra med figuren ovan. Slutligen kortaste avståndet med y-värdet på köpet. LÅy. L 5, y 5 En snabb och direkt (ingenjörs ;-)version levereras i Mathematica av de lättanvända inbyggda optimerarna. Dessa kommer speciellt till användning då vi efter deriveringen hamnar i en icke-linjär ekvation som är för svår för Solve så FindRoot måste tillgripas. Sådana funktioner har ofta flera etrempunkter och man måste liksom vid FindRoot hjälpa till med ett startvärde i närheten av den etrempunkt man söker. Detta hämtas naturligtvis från grafen L och är enkelt i detta speciella fall. Notera att vi får både etrempunkten, på regelform naturligtvis, och etremvärdet.

0 Derivator och Mathematica HH/ITE/BN MinimizeL. LÅy, 5, 4 5 Eempel: Ett eempel på då Solve går bet på att lösa f ' 0. f : Cos Denna funktion har oändligt med etrempunkter och nollställen. Viktigt att rita grafen! Plotf,, 0, 5, PlotStyle Orange, AesLabel "", "f" f 0 0 0 0 5 0 5 0 5 Vi får olika etrempunkter beroende på var vi börjar nosa. Vi måste alltså veta vilken vi söker, vilket i sin tur beror på frågeställningen! Eempelvis FindMaimumf,, 5 6.6, 6.47 FindMinimumf,, 5.887,.456 FindMaimumf,, 0 8.876, 8.904 FindRootf,, 0 0.404 NMaimizef, 5 7, 6.6, 6.47 Eempel: Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. Lösningsförslag: Antag att konservburken har höjden h och radien r. Dessa kan nu inte variera fritt oberoende av varandra, de binds samman av att volymen på burken är given V Πr h. Sådana här kopplingar brukar kallas för just kopplingsvillkor. Totala arean av burken byggs upp av två lock, A l Πr, samt mantelarean A m omkretshöjd Πrh. Gör nu inte för mycket för hand, varje sådan insats är en potentiell risk för att introducera fel. Låt Mathematica göra jobbet! Skriv bara ned alla grundsamband. ekv V Πr h, A tot A l A m,a l Πr,A m Π rh V Πhr, A tot A l A m, A l Πr, A m Π hr Utnyttja att V är given för att lösa ut A tot som funktion av r. Ta för vana att lösa ut lika många variabler som vi har ekvationer. Även de variabler som inte primärt används vid optimeringen är oftast intressanta att veta värdena på till slut. Så alla som funktioner av r! Amm Solveekv, A tot,h,a l,a m A tot Π r V, h V r Π r, A l Πr, A m V r

HH/ITE/BN Derivator och Mathematica PlotA tot V. Amm. r V,, 0.,, PlotStyle Red, PlotRange 5, 0, AesLabel "rv ", "A tot V " A tot V 0 9 8 7 6 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 rv Ser sunt ut, eftersom A tot både då r 0 och r Bestäm nu det r som minimerar A tot genom att söka nollställe till derivatan, A tot r 0. dadr DA tot. Amm, r 6 Π r Π r V r r SolvedAdr 0, r r V Π r N, r V, r V Π Π r 0.7096 0.469 V, r 0.5496 V, r 0.7096 0.469 V Här är det bara den mittersta lösningen som är reell, de andra två komplea har inte med saken att göra. Slutligen alla variabler vid detta välsignade tillstånd. Amm. r N A tot Π V, h V, A l Π, A Π m Π V V A tot 5.558 V, h.0885 V, A l 0.965 V, A m.69054 V Alla symboliska resultat måste underkastas dimensionsanalys!! Här har vi arean A tot höjden h V V Π Π V A l A m V m m, Ok! m m, Ok! Med symboliska svar kan man lätt få en kvalitativ bild av hur modellen påverkas av olika storheter. Vi ser att burken får en kvadratisk profil, eftersom r h. Amm. r Om volymen varit specificerad till ett numeriskt värde, säg V, kunde vi eempelvis direkt använt oss av FindMinimum. FindMinimumA tot. Amm. V, r, 5.558, r 0.5496

Derivator och Mathematica HH/ITE/BN Några viktiga satser Vi sammanfattar några viktiga satser, utan bevis, som väsentligen motiverar det som angetts ovan. Det kan nämnas att bevisen av vissa av dem är svårare än vad som kan förmodas, med tanke på deras enkla innebörd. Vi börjar med Bolzano-Weierstrass sats (Bernard Bolzano (78-848) och Karl Weierstrass (85-897)) Satsen om mellanliggande värden. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så antar f i detta intervall varje värde mellan f a och f b. Sedan har vi Satsen om största och minsta värde. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall. Satsen om lokalt maimum och minimum. Antag att funktionen f har ett lokalt maimum eller minimum i en punkt Ξ, som är inre punkt i ett intervall där f är definierad. Om då f ' Ξ eisterar, så är f ' Ξ0. Uppkallad efter den franske matematikern Michel Rolle (65-79) har vi den viktiga Rolles sats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b, deriverbar i a, b och f a f b0. Då finns det minst en punkt Ξ a, b sådan att f ' Ξ0. Uppkallad efter en av 700-talets främste matematiker, (italienskfödde) fransmannen Joseph Louis Lagrange (65-79) har vi den viktiga generaliseringen av Rolles sats Lagrange medelvärdessats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b och deriverbar i a, b. Då finns det minst en punkt Ξ a, b sådan att f b f a f ' Ξb a. Lagrange medelvärdessats har en rad viktiga konsekvenser. Här redovisas några. Antag att funktionen f är deriverbar i intervallet I, som kan vara begränsat, obegränsat, öppet, slutet eller halvöppet. Då gäller Om f ' 0 för alla I, så är f en strängt väande funktion i I. Om f ' 0 för alla I, så är f en strängt avtagande funktion i I. Om f ' 0 för alla I, så är f konstant i I.