TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar: Marna Aralyan, Frdr Brgholm och Armn Hallovc Examnator: Armn Hallovc Btygsgränsr: Maxpoäng För btyg A, B, C, D, E, Fx rävs, 9,,, rsptv 9 poäng Hjälpmdl på tntamn TEN: Utdlad formlblad Mnränar j tllåtn Komplttrng: 9 poäng på tntamn gr rätt tll omplttrng (btyg Fx ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Srv ndast på n sda av papprt Srv namn och prsonnummr på varj blad Inlämnad uppgftr sall marras md ryss på omslagt ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dnna tntamnslapp får j bhållas utan lämnas n tllsammans md lösnngar Fullständga lösnngar sall prsntras tll alla uppgftr ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgft (p a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x b (p Lös olhtn < x Uppgft (p En trangl ABC är gvn, där A(,,, B(,,, och C(,, a (p Bräna tranglns ara b (p Bräna tranglns höjd från puntn A x y Uppgft (p För vlt värd på a har systmt x y x y a xat n lösnng oändlgt många lösnngar ngn lösnng Var god vänd!
Uppgft (p Bstäm vatonn för dt plan som går gnom puntn A(,, och som är parallll md lnjrna L: ( x, y, ( t, t, t och L ( x, y, ( t, t, t Uppgft 5 (p Bstäm (dt ortast avståndt från puntn P(,, tll lnjn L: ( x, y, ( t, t, t Uppgft (p a (p Lös vatonn 7, där är tt omplxt tal b (p Ang alla lösnngar på formn ab Uppgft 7 (p Lös följand matrsvatonr md avsnd på X: a (p X 5 b (p X 8 Uppgft 8 (p Bstäm c om c a b och a, b och vnln mllan vtorrna a och b är Lyca tll
FACIT Uppgft (p a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x b (p Lös olhtn < x Lösnng: a (p Låt u (,,, v (,, och (,7, att w Bstäm värdt på taln x,y och så x u yv w (Tps: Lös dt omponntvs, så att dt blr tt vatonssystm x (,, y(,, (,7, (,, x y x y 7 y x y y y x y y En fr varabl t Från andra och första v har v y t och x t Svar a x t, y t t x b (p Olhtn < x an srvas som ( x ( x < x Tcntabll: x-värdn x x x f (x Ej df
Svar b x (, (, Altrnatvt srvsätt: { x R : Rättnngsmall: x < llr < x < } a Korrt tll och md systmt x y x y 7 y gr p Allt orrt p b Korrt tabll p Allt orrt p Uppgft (p En trangl ABC är gvn, där A(,,, B(,,, och C(,, a (p Bräna tranglns ara b (p Bräna tranglns höjd från puntn A Lösnng: AC ( ;; AB ( ;; BC (;; C C j A ABC AC AB (,, a b (p A A ABC BC h h BC l (Man an lösa uppgftn på flra ola sätt Svar a a b l Rättnngsmall: a Korrt vtor produt gr p Allt orrt p b Korrt mtod md mndr ränfl p Allt orrt p
x y Uppgft (p För vlt värd på a har systmt x y x y a xat n lösnng oändlgt många lösnngar ngn lösnng Lösnng: D a a D a Om a är D som mdför att systmt har xat n lösnng För att undrsöa fallt a substturar v dtta värd för a systmt oc lösr md Gaussmtodn: x y x y x y x y y 5 y 5 x y y 5 Motsäglsn trdj vatonn vsar att systmt sanar lösnng om a Svar Exat n lösnng om a Fallt md oändlgt många lösnngar an nt föromma ngn lösnng om a Rättnngsmall: Korrt dtrmnantn D a a gr p Korrt rsonmang och svar tll gr p Korrt p Korrt p Uppgft (p Bstäm vatonn för dt plan som går gnom puntn A(,, och som är parallll md lnjrna L: ( x, y, ( t, t, t och L ( x, y, ( t, t, t Lösnng:
Lnjrnas rtnngsvtorr är v (,, och v (,, Därför är plants normalvtor n v v (,, Plants vaton : ( x ( y ( llr x y Svar: x y Rättnngsmall: Korrt n v v (,, gr p Allt orrtp Uppgft 5 (p Bstäm (dt ortast avståndt från puntn P(,, tll lnjn L: ( x, y, ( t, t, t Lösnng: Mtod: Låt Π vara plant som går gnom puntn P(,, vnlrät mot lnjn L Plant Π har n normalvtor n (,, (dvs samma som lnjns rtnngsvtor Därmd är ( x ( y ( llr x y plants vaton Särnngspuntn mllan lnjn L och plant for v gnom att lösa systmt: x t, y t, t, x y Substtutonn av x,y och plants v gr t t t t t / Särnngspuntn är Q ( /, /,/ Avståndt är d PQ ( /, /, 8/ (,, Mtod : V an använda formln AP v d där A är n punt på lnjn L v V väljr A(,,, som v får för t Då är AP (,, och j AP v j (,, Slutlgn AP v d v
Svar: Rättnngsmall: Mtod Korrt plants vaton y x gr p Allt orrtp Mtod Korrt mtod och v AP gr p Allt orrtp Uppgft (p a (p Lös vatonn 7, där är tt omplxt tal b (p Ang alla lösnngar på formn ab Lösnng: a 7 7 Eftrsom 7 7 har v vatonn ( 7 Här av sn( ( där,, b För har v sn( För har v ( 7 sn( 7 sn( För har v ( sn( sn( Svar: a ( där,,
llr sn( där,, b, Rättnngsmall : ap, bp Uppgft 7 (p Lös följand matrsvatonr md avsnd på X: a (p 5 X b (p 8 X Lösnng: a Btcna A, B och 5 C Båd A och B är nvrtrbara ftrsom dt( A och dt( B Från C AXB har v 5 CB A X 5 8 b Från rglr för matrsmultplatnn har v att typ(x x Låt y x X Då gällr 8 8 y x X Härav får v vatonssystm
x y x y 8 x y som har n lösnng x, y Alltså X Svar a 8 X b X 5 Rättnngsmall : a Korrt n nvrsmatrsp Allt orrtp x y b Korrt tll och md vatonssystmt x y 8 gr p Allt orrtp x y Uppgft 8 (p Bstäm c om c a b och a, b och vnln mllan vtorrna a och b är Lösnng: c c c (a b(a b 9a a a b b b 9 a a b b 9 9 8 Därför c 8 l Svar: l Rättnngsmall: Korrt tll c 9a a a b b b gr poäng