I Åbo och Helsingfors den Petteri Harjulehto, Riku Klén och Mika Koskenoja

Förord Boken är vsedd för nvändning som kursmteril till kursern Anlys I och II vid Helsingfors och Åbo Universitet. Den lämpr sig även som mteril för ndr högskolors förstårskurser i mtemtisk nlys, och dess innehåll motsvrr en helhet på runt studiepoäng. Boken grundr sig på föreläsningr, som hölls v undertecknde i Åbo och Helsingfors under läsåren 3 och 3 4. Vi är tcksmm gentemot de mång kolleger och studernde som gett råd och förslg ngående innehållet och lyouten. Till slut tckr vi vår fmiljer för ders stöd. I Åbo och Helsingfors den.6.4 Petteri Hrjulehto, Riku Klén och Mik Koskenoj Förord till den ndr, tredje och fjärde korrigerde utgåvn I den ndr, tredje och fjärde utgåvn hr vi gjort fler små korrigeringr och förändringr. Mjoriteten v dem bserr sig på feedbck från vår läsre. Till den tredje utgåvn lde vi till ett kpitel om konvexitet och derivtor v högre grd. Tck till Ves Hlv och Hns-Olv Tylli för mång korrigeringr och viktig övervägnden. Tck till ll som skickt kommentrer. I Åbo och Helsingors den.6.5,.7.6 och.6.7 Petteri Hrjulehto, Riku Klén och Mik Koskenoj

Innehåll Förord Förord till den ndr, tredje och fjärde korrigerde utgåvn Vrför nlys? 7 Från gymnsiet till universitetet 9 Vd behövs exkt definitioner till? Bokens struktur Kpitel. De reell tlen och definitionen v en funktion 5.. Axiomen för de reell tlen 5.. Infimum, supremum och fullständighetsxiomet 8.3. Mtemtisk bevisföring och induktion 3.4. Potenser och summor 5.5. Funktionens definition, injektion, surjektion och bijektion 9.6. Trigonometrisk funktionerns geometrisk definitioner 34 Del. Gränsvärden 39 Kpitel. Gränsvärdet v en tlföljd 4.. Absolutbelopp 4.. Gränsvärden v tlföljder 43.3. Monoton tlföljder och gränslös tillväxt 49.4. Cuchys konvergenskriterium 54 Kpitel 3. En funktions gränsvärden 57 3.. Gränsvärdets definition och grundegenskper 57 3.. Ensidig gränsvärden och gränsvärden vid oändligt 63 3.3. Monoton funktioner 67 Del. Kontinuitet och deriverbrhet 7 Kpitel 4. Kontinuiterlig funktioner 73 4.. Kontinuitetens definition 73 4.. Bolznos sts och inversfunktionens kontinuitet 8 4.3. En funktions störst och minst värde 88 4.4. Likformig kontinuitet 9 Kpitel 5. Funktioners derivt 95 5.. Derivtns definition 96 5.. Funktioners deriverbrhet och kedjeregeln 5.3. Medelvärdesstsen 9 5.4. Lipschitzkontinuitet 5 5.5. Funktioners extremvärden 8 3

4 INNEHÅLL 5.6. Konvexitet och derivtn v högre grd 5.7. Newton Rphson metoden 3 Kpitel 6. Alkeisfunktiot 35 6.. Irrtionell exponenter 35 6.. Eksponentilfunktionen och nturlig logritmen 37 6.3. Allmänn exponentil- och potenssfunktioner 4 6.4. Arcusfunktionern 45 6.5. l Hôpitls regel 48 Del 3. Integrler 57 Kpitel 7. Riemnn integrlen 59 7.. Under och Över summor smt integrerbrhet 6 7.. Riemnns integrerbrhetskriterie 66 7.3. Trppfunktioner 69 7.4. Riemnn summor 7 7.5. Riemnnintegrlens grundegenskper 76 Kpitel 8. Integrlfunktioner 85 8.. Integrlifunktionens definition 85 8.. Smbndet melln Riemnnintegrlen och integrlfunktionen 89 8.3. Integrlklkylens medelvärdessts 98 8.4. Längden v en kurv 8.5. Logritmens definition med integrler 5 Kpitel 9. Integreringstekniker 9 9.. Integrering med hjälp v subtitution 9 9.. Prtilintegrering 9.3. Integrering v rtionell funktioner 4 Kpitel. Obestämd integrler.. Obestämd integrlens definition (typ I och II).. Obestämd integrlens egenskper 8.3. Obestämd integrlen v icke-negtiv funktioner 36.4. Obestämd integrler och bsolut konvergens 4 Del 4. Funktionsföljder och pproximering v funktioner 47 Kpitel. Likformig konvergens v funktionsföljder 49.. Gränsfunktionens kontinuitet 49.. Gränsfunktionens integrerbrhet och deriverbrhet 53 Kpitel. Tylor j Mclurin polynom 6.. Tylors formel 6.. Entydighet 7.3. Tillämpningr 73 Del 5. Serier 8 Kpitel 3. Konvergernde Serier 83 3.. Konvergens och geometrisk serier 83

INNEHÅLL 5 3.. Grundläggnde resultt 89 3.3. Mjornt- och minorntprincipen och p-serier 94 3.4. Andr konvergenstest för serier 98 Kpitel 4. Alternernde och mnipulerde serier 35 4.. Alternernde serier och bsolut konvergens 35 4.. Gruppering v termer och betingd konvergens 3 4.3. Omordning v termer 36 Kpitel 5. Potenssisrjt 3 5.. Potensserierns definition och Abels sts 3 5.. Konvergensrdien 36 5.3. Serier och Likformig konvergens 33 5.4. Tylors serie 336 5.5. Trigonometrisk funktionerns nlytisk definition 34 Bilg A. Beteckningr i mängdlär 346 Bilg B. Reell tlens följdkonstruktion 348 Bilg C. Tlenπoch e är irrtionell 354 Bilg D. En kontinuerlig ingenstns deriverbr funktion 356 Bilg E. Binomil serien 359 Litterturförteckning 363 Beteckningr 365

Vrför nlys? Denn bok behndlr grundern till mtemtisk nlys, närmre bestämt den reell nlysen. Men vrför är nlysen viktig och till vd behövs den? De flest tillämpningr v nlys nvänder differentilekvtioner eller den med dem när besläktde vritionsklkylen. Med differentilekvtioner och vritionsklkyl kn mn skp modeller v nturfenomen, såsom värmespridning, glciärers rörelser eller storleken v en djurpopultion, men de kn även nvänds i bl.. bildbehndling. Vi bekntr oss med nlysens tillämpningr vi en serie exempel. Vi tänker oss tt punktern A och B är på olik höjder, dock så tt den en inte är rkt ovnför den ndr. Vi vill bygg en rutschkn, längs med vilken en kul rullr möjligst snbbt från den övre punkten A till den lägre punkten B, se Bild. Segmentet AB utgör förstås den kortste möjlig rutschknn, men kuln rullr inte på kortst möjlig tid längs med det. Johnn Bernoulli ställde frågn om den snbbste bnn till sin kolleger år 696. Lösningr hittdes förutom v honom själv även v hns äldre bror Jcob Bernoulli, Isk Newton och Guillume de l Hôpitl. Lösningen är tt bnn bör forms som bågen v en cykloid, som hr mång intressnt egenskper. Jcob Bernoullis lösning utgjorde börjn v en ny gren v mtemtisk nlys, vritionsklkylen, som är mycket centrl för modern teknologi. A B Bild. Längs cykloiden rullr kuln från A till B på möjligst kort tid. Enligt meknikens ndr grundlg är summn v krftern som verkr på en kropp är lik med kroppens mss gånger kroppens ccelertion, F = m. Följktligen uppfyller kroppens position x(t) som funktion v tiden t ekvtionen mx (t)=f(t), där x är x funktionens ndr derivt. I enkl situtioner, som t.ex. en fllnde kropp, kn positionen uttrycks med ett reellt tl. Ekvtionen gäller dock mer llmänt, t.ex. när positionen är uttryckt med en tredimensionell vektor. Vi observerr en bkteriepopultion under enkl omständigheter, där det finns rikligt med näring och skns fiender. Då mn begränsr observtionen till en kort tid i förhållnde till en enskild bkteries livslängd, är ny bkteriers 7

8 födsel den end fktorn som påverkr popultionens storlek. I ett sådnt fll är det vettigt tt nt tt hstigheten på bkteriepopultionens tillväxt är rkt proportionell mot popultionens storlek P vid tidpunkten t, så P (t)=kp(t), t>, där k är en reell konstnt som uttrycker ntiviteten. Ekvtioner v den här formen klls för ordinär differentilekvtioner, eftersom de uttrycker förhållndet melln en okänd funktion P v en vribel och dess derivt. Om popultionens ursprungsstorlek P är känd kn mn lägg till initiltillståndet P()=P till ekvtionen. Lösningen till initilvärdesproblemet visr sig vr P(t)=P e kt, t. Popultionen växer lltså exponentiellt (när k > ), vilket också är orsken till tt modellen klls för en modell för exponentiell tillväxt. Vi tänker oss tt vi ritt upp en ny sorts kondenstor och vill utred dess kpcitns. För enkelhetens skull låter vi kondenstorn vr endimensionell och bestå v punktern,, och, se Bild. Vi får red på kpcitnsen med tt undersök funktionern u, för vilk u()=, u( )==u(), och som är deriverbr på intervllen (, ) och (, ). Kpcitnsen är minst värdet på u (x) dx+ u (x) dx, vr u är den ovnnämnd deriverbr funktionen. Fstän endimensionell kondenstorer inte finns, så är det illustrerde minimeringsproblemet i tre dimensioner en modell v ett riktigt fenomen vrs lösning är kpcitnsen på en riktig kondenstor. Bild. Undersökning v kondenstorns kpcitns: punktern, och tillsmmns med ett pr kndidtfunktioner. Anlys tillämps också inom medicinsk bildfrmställning såsom röntgen, dtortomogrfi eller PET. Under frmställningen görs fler mätningr, på vilk mn bserr bilden. Bildfrmställningen, eller rekonstruktionen, görs i teorin genom tt räkn integrlerns värden utgående från mätningsvärden. Integrlern räkns i projektionslinjerns riktning. I prktiken görs också fler korrektioner, då integrlern räkns, som hr tt gör med fysiklisk fenomen. Elektroreologisk vätskorn är en vätskegrupp vrs viskositet beror på om vätskn är i ett elektriskt fält eller inte. Dess vätskor är exempel på smrt mteril, som i nuläget undersöks ktivt inom mtemtiken och ingenjörsvetenskpern. Med prtiell differentilekvtioner kn mn bygg modeller för dess vätskors lddning. För tt förstå prtiell differentilekvtioner och ders

FRÅN GYMNASIET TILL UNIVERSITETET 9 lösningr måste mn känn till begrepp som kontinuitet, derivt och integrl. All prtiell differentilekvtioner kn vi inte lös, i dess fll måste lösningen pproximers numeriskt. Tylors polynom, som presenters i denn bok, är en centrl utgångspunkt för numerisk pproximtioner. Från gymnsiet till universitetet I gymnsiemtemtiken lär mn sig differentilklkyl. Resultten ges som färdig räkneregler utn noggrnn förklringr. I denn bok går vi grundligt igenom teorin bkom dess resultt. I de följnde exemplen grnsks studentexmensprovets mtemtikuppgifter och teorin till ders lösningr. Exempel (Yo pitkä mtemtiikk, syksy, tehtävä 5): Bestäm polynomets f (x)=x 3 6x 5x+ minst och störst värde på intervllet [, 6]. Lösning. Derivtn v polynomet f (x)=x 3 6x 5x+ är f (x)=3x x 5. Derivtns nollställen fås v formeln för röttern till ndrgrdsekvtioner. De är x= ± + 4 3 5 6 = ±8 6 = { 5,. Av dess är br 5 innnför intervllet [, 6]. Eftersom f ()= 44, f (5)= 98 och f (6)= 88 är f () störst och f (5) minst. Polynomets störst värde i intervllet är således 44 och minst är 98. Lösningen som presenterdes ovn grundr sig på en regel som lärts i gymnsiet, enligt vilken en kontinuerlig och deriverbr funktion på ett slutet intervll ntr sitt störst och minst värde i intervllets slutpunkter eller derivtns nollpunkter. I denn bok är denn regel Sts 5.5.5. Hur beviss Sts 5.5.5? Vi måste åtminstone kunn deriver och förstå kontinuitet, men det här räcker inte. Utöver dett måste vi kunn hnter gränsvärden för tlföljder och funktioner, smt Bolzno-Weierstrss sts. Bild 3 illustrerr hur de olik definitionern och stsern förhåller sig till stsen för regeln. gränsvärdet v en tlföljd.. Sts.3. supremum.. Sts..9 Bolzno Weierstrss.3.4 Sts 4.3. kontinuitet 4.. gränsvärdet v en funktion 3.. Sts. 5..3 Sts 4.3.3 Sts 5.5.5 derivtn 5.. Bild 3. Minimum och mximum v en funktion på ett slutet intervl (Luse 5.5.5). Exempel (Student exmen: lång mtemtik, våren, uppg. 3): Grfern på funktionern f (x)= x och g(x)=3 cos x hr tre skärningspunkter. Räkn ut koordinterns värden till två decimlers noggrnnhet med hjälp v en numerisk metod du vlt.

3 3 3 4 5 6 7 3 Bild 4. Funktionern f (x)= xoch g(x)=3 cos x. Lösning. Grfern till funktionern f och g är ritde i Bild 4. Vi definierr funktionen h:r R så här: h(x)= f (x) g(x)= x 3 cos x. Följktligen är h kontinuerlig ir. Eftersom h(,885) <,4, h(,89) >,7 och h är kontinuerlig, så hr funktionen h ett nollställe i intervllet (,885;,89). Nollställets värde är med två decimlers noggrnnhet,89. Eftersom h(,86) <,44, h(,865) >,49 och h är kontinuerlig, så hr funktionen h ett nollställe i intervllet (,86;,865). Nollställets värde är med två decimlers noggrnnhet,86. Eftersom h(3,635) >,7, h(3,64) <,49 och h är kontinuerlig, så hr funktionen h ett nollställe i intervllet (3,635; 3,64). Nollställets värde är med två decimlers noggrnnhet 3,64. Skärningspunkterns y-koordinter är f (,89) =,89, f (,86) =,86 och f (3,64) =,64. Skärningspunketrn är lltså (,89;,89), (,86;,86) och (3,64;,64). I dett exempel nvändes intervllhlverings-metoden, vilket är en tillämpning v Bolznos sts. Hur vet vi tt intervllhlvering fungerr för ll kontinuerlig funktioner? Hur vet vi tt funktionern i uppgiften är kontinuerlig? Mer specifikt, hur vet vi tt cosinus är kontinuerlig. För tt kunn bevis tt intervllhlvering fungerr behöver vi gränsvärdet v en följd, gränsvärdet v en funktion och Bolznos sts. För tt bevis tt cosinus är kontinuerlig behövs smm begrepp och resultt. Se Bild 5. tlföljders gränsvärden.. funktioners gränsvärden 3.. kontinuitet 4.. juurifunktio 4..6 Bolzno 4.. intervllhlvering 4.. cosinus är kontinuerlig 4..9 lösning Bild 5. Bolznos sts och intervllhlvering.

VAD BEHÖVS EXAKTA DEFINITIONER TILL? Exempel 3 (Student Exmen: lång mtemtik, våren, uppg. ): Evluer integrlen e x + dx. Lösning. e x + dx=e + (e + )=e. Trots sin skenbr enkelhet finns det verkligt djup resultt bkom denn uppgift. Hur definiers Nepers tl e? Hur definiers Nepers tl upphöjt till ett irrtionellt tl? Vilk funktioner är integrerbr? Hur kn vi t red på värdet v en integrl? För tt evluer integrler behövs en vsevärd del v den teori som behndls i den här boken. Begreppen hitts i Bild 6. följders gränsv... Bolzno Weier..3.4 funktioners gränsvärden 3.. kontinuitet 4.. Sts 4.3. Def. v e.3.6 derivtn 5.. Sts 4.3.3 Def. v e x 6..4 Bolzno 4.. Rolle 5.3.3 Medelvärdessts. 5.3.5 D x e x = e x 6..6 Lösning Anl. grundsts. 8.. Bild 6. Hur vet vi tt ex dx=e e? Vd behövs exkt definitioner till? Vd behövs exkt definitioner till? Vrför definiers gränsvärdet med hjälp vεochδdefinition? Vd är fel med definitionen som givits på gymnsiet? I gymnsiet definiers oft gränsvärden och funktioners kontinuitet grfiskt. I mång enkl fll räcker dett. All fenomen kn dock inte fångs utn exkt definitioner. Betrkt till exempel funktionen { x, för x>, f (x)= c, för x. När c= är funktionen kontinuerlig. Om däremot tlet c är mycket när noll, till exempel c=, så är det svårt tt vgör om funktionen är kontinuerlig enbrt med tt titt på dess grf. Problemet löser sig inte nödvändigtvis med tt mn tittr på grfen i nnn skl. Till exempel är det svårt tt se från grfen om funktionen f :R R, f () = där f (x) = sin(/x), för x, hr ett gränsvärde i origo (lltså i punkten x=), eller tt v grfen märk tt funktionen f : (, ) R, f (x) = ln(ln(ln(x))), är (strängt) växnde och lim x f (x)=.

En definition v kontinuitet som bserr sig på en grfisk tolkning kn vr vilselednde, särskilt om funktionen inte är definierd för ll reell tl. Till exempel är funktionen f (x)= definierd för ll reell tl, utom för x=. x Funktionen är kontinuerlig i sin definitionsmängd trots tt mn på bsen v gymnsiedefinitionen v kontinuitet kunde tänk sig tt den är diskontinuerlig. Av de begrepp som behndls i den här boken förutsätter åtminstone likformig kontinuitet (Definition 4.4.) och likformig konvergens (Definition..) exkt definitionen med ε och δ. Från likformig konvergens följer till exempel, tt gränsvärdet till en följd kontinuerlig funktioner är kontinuerlig (Sts 7..3) och tt en potensserie kn integrers och derivers termvis (Följdsts 5.3. och 5.3.4). Bokens struktur Vi hr plnert denn bok för universitetskurser i mtemtik som hålls under det först året för huvudämnesstudernde, och som vid Helsingfors och Åbo Universitet heter Anlys I och Anlys II. Höstens kurser behndls under delrn och och vårens kurser täcks v delrn 3,4 och 5. De stser som enligt förfttrn är viktigst hr stts i svärtde rmr. De kpitel som mrkerts med en stjärn fördjupr kunnndet inom temt och kn lämns bort utn tt helheten lider. Utöver det hr både förberednde mteril och mer omfttnde teori smlts i bilgorn. De historisk uppgiftern som finns i boken hr smlts ifrån en mängd källor, främst [6, 6], och de hr inte kontrollerts. Boken får inte nvänds som käll för dess historisk uppgifter. Boken börjr med kpitel, där xiomen för de reell tlen smt definitionen v en funktion presenters. Del behndlr gränsvärden. I kpitel behndls tlföljders gränsvärden och i kpitlet 3 funktioners gränsvärden. Vi nser tt det lönr sig tt behndl tlföljders gränsvärden före funktioners gränsvärden, eftersom de studernde då först får öv sig på den krävnde (ε,δ)-definitionen i fllet v tlföljder, vilket är något enklre. Del börjr med kontinuitet (Kpitel 4) och övergår sedn till derivering (Kpitel 5). Dess kpitel utgör en och viktig helhet. I kpitel 6 beskrivs hur mn utöver rtionell tl även kn nvänd irrtionell tl som koncis exponent i en potens. Del 3 behndlr Riemnnintegrlen och integrerbrhet. I kpitel 7 definiers Riemnnintegrlen för begränsde funktioner med hjälp v underoch översummor. I kpitlet 8 undersöks smbndet melln Riemnnintegrlen och derivtn. I kpitlet 9 bekntr vi oss med olik tekniker för tt räkn ut integrler. I kpitlet *utvidgs Riemnnintegrlens definition till obegränsde intervll och obegränsde funktioner. I del 4 behndls funktionsföljder och hur mn hnterr besvärlig funktioner med hjälp v enklre funktioner. I kpitel presenters begreppet likformig konvergens. Det viktig med likformig konvergens är tt om en följd v kontinuerlig funktioner konvergerr likformigt så är också gränsfunktionen kontinuerlig och följden som erhålls med tt integrer funktionern i följden konvergerr mot integrlen v gränsfunktionern. I kpitel bekntr vi oss med pproximering v funktioner med Tylors och Mclurins polynom. I den sist delen, del 5, behndls serier. I kpitlet 3 utreds seriers konvergens. I kpitel 4 bekntr vi oss med lternernde serier och med gruppering

BOKENS STRUKTUR 3 och omordnndet v termer i serier. I sist kpitlet, kpitel 5, behndls potensserier och Tylor polynomen utvidgs till en serie.. Följders gränsv. 3. Funktioners gränsv. 9. Integreringstek. 3. Seriers konv. 4. Kontinuitet 5. Derivtn 8. Integrlfunktioner 4. Mnipul. serie 6. Elementär funktionern 7. Riemnnintegr.. Obestämd integr. 5. Potensserier. Tylor polynom. Likformig konv. De mest vsevärd beroenden i boken. En enkel pil betecknr beroende och en dubbel pil indikerr ett strkt beroende.

KAPITEL De reell tlen och definitionen v en funktion I dett kpitel behndls de reell tlens och funktioners grundläggnde egenskper. Kpitlets mteril utgör inte en fullständig helhet. Meningen är endst tt förse läsren med den nödvändig teoretisk grund som resten v boken, Delrn 4, förutsätter. I kpitlet. definiers de reell tlen xiomtiskt. I och med fullständighetsxiomets centrl roll behndls det seprt i kpitel.. I kpitel.3 går vi igenom induktion, som i Kpitel.4 tillämps på potensolikheter. I Kpitel.5 definiers funktioner och ders egenskper undersöks. I det sist kpitlet, Kpitel.6, ges en geometrisk definition v de trigonometrisk funktionern... Axiomen för de reell tlen Anlysen grundr sig på teorin för de reell tlen. Före den egentlig behndlingen v nlysen presenterr vi xiomen för de reell tlen, med vilk ll egenskper hos de reell tlen kn härleds. Mterilet som presenters i dett kpitel borde vr beknt från gymnsiet. Ifll mn vill kn mn hopp över kpitlet och återvänd till det i smbnd med studier i lgebr. Vi betecknr den reell tlmängden R; denn mängd innehåller lltså ll reell tl. I denn bok behndlr vi inte det llmänn mängd begreppet, utn nöjer oss med tt tänk på mängder som smlingr v element. Beteckningr relterde till llmänn mängder presenters i bilg A. I vseende på sin lgebrisk egenskper är de reell tlen en kropp med räkneopertionern ddition + och multipliktion. Summn v två reell tl x, y R är x+ y R och ders produkt är x y R. Vnligtvis låter mn bli tt skriv multipliktionstecknet och skriver xy. Kroppsxiomen: (K) x+ y= y+x för ll x, y R (ddition är kommuttiv). (K) (x+ y)+z=x+(y+z) för ll x, y, z R(ddition är ssocitiv). (K3) Det finns ett sådnt reellt tl tt x+=x för ll x R (nollelementet). (K4) Mot vrje reellt tl x R svrr ett sådnt tl y R så, tt x+ y=. Tlet beteckns y = x (dditiv invers). (K5) xy = yx för ll x, y R (multipliktion är kommuttiv). (K6) (xy)z = x(yz) för ll x, y, z R (multipliktion är ssocitiv). (K7) x(y+z)=xy+xz för ll x, y, z R (lgen om distributivitet). (K8) Det finns ett sådnt reellt tl, tt x=x gäller för ll x R (enhetselementet). (K9) Mot vrje reellt tl x R, x, svrr ett tl y R för vilket xy=. Tlet beteckns y= x eller y=x (multpliktivinvers). I den här boken nts de nturlig tlenn ={,, 3,...}, heltlenzoch de rtionell tlen Q utgör delmängder v den reell tlmängden. De nturlig 5

6. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION tlen definiers med hjälp v enhetselementet: N och om n N, följer n+ N. HeltlenZfår vi vi nturlig tlen med tt lägg tilln nollementet och multipliktiv inversen för vrt ett nturligt tl, lltså mängden{ x: x N }. Rtionell tlenqdefiniers { } n Q= m : n, m Z, m. Mängden{} N betecknr vin och elementen i mängdenr\q klls för irrtionell tl. Kroppsxiomen hr mång viktig konsekvenser med tnke på rell tlens egenskper. De först är noll- och enhetselementets entydighet smt dditiv och multipliktiv inverserns entydighet. Sts..: Reell tlmängden hr ett entydigt nollelement och ett entydigt enhetselement. Bevis. Låt Rvr ett tl med egenskpen x+ = x för ll x R. Med tt välj x= uppnås + =. Om vi i xiom (K3) väljer x=, får vi +=. Eftersom ddition v reell tl är kommuttiv, xiom K, gäller + = +, lltså =. Följktligen hr de reell tlen endst ett nollelement. Noter tt xiom (K3) grnterr tt det finns åtminstone ett sådnt element. Påståendet för enhetselementet beviss på motsvrnde sätt (Uppg..5). Enligt följnde resultt är summn och produkten (när ingender v fktorern är ) v två reell tl entydig. Sts..: Låt x, y, z R. Av x+ y=x+z, följer tt y=z. På motsvrnde sätt, följer v tt x och xy=xz, tt y=z. Bevis. Låt x+ y=x+z. Då följer tt y= y+= y+(x+( x))=(y+x)+( x)=(x+ y)+( x) = (x+z)+( x)=(z+x)+( x)=z+(x+( x))=z+=z, v xiomen (K), (K), (K3) och (K4). Produktens entydighet beviss på liknnde sätt. (Uppgift..6). Sts..3: Låt, b R. Då hr ekvtionen +x=b en entydig lösning x R, som beteckns b och som klls för skillnden v b och. På motsvrnde sätt gäller tt, om, så hr ekvtionen x=b en entydig lösning x R, som beteckns b eller b/ och som klls för kvoten v b och. Bevis. Märk, tt x = ( )+b R är ekvtionens lösning, eftersom tillämpning v xiom (K), (K), (K3) j (K4) ger tt +x=+(( )+b)=(+( ))+b=+b=b+=b. Om y R är en nnn lösning till ekvtionen +x=b, så följer tt +x=b=+y, vilket enligt Sts.. implicerr tt x= y. På motsvrnde sätt kn mn vis tt lösningen till ekvtionen x=b existerr och är entydig. (Uppgift..7).

.. AXIOMEN FÖR DE REELLA TALEN 7 Andr beknt lgebrisk egenskper hos de reell tlen behndls i uppgiftern..8... Utöver kroppsxiomen kräver vi v reell tlen, tt de kn sätts i ordning på ett sådnt sätt tt de bildr en ordnd kropp. De nturlig tlen, heltlen, de rtionell tlen och de irrtionell tlen kn också ordns på ett meningsfullt sätt. (Vilket inte är så överrsknde givet tt de är delmängder v den reell tlmängden.) Däremot kn till exempel inte de komplex tlen ordns i någon llmänt meningsfull bemärkelse. Ordningsxiomen: De reell tlens ordningsreltion < hr följnde egenskper: (J) Om x, y R, kn endst ett v följnde påståenden vr snt x< y, x= y, x> y (Beteckningen x> y är ekvivlent med y<x.) (J) Om x, y, z R, x< y och y<z, följer tt x<z (trnsitivitet). (J3) Om x, y R, x>och y>, följer tt xy>. (J4) Om x, y, z R och x< y, följer tt x+z< y+z. I smbnd med de reell tlens ordning och ordningsreltionen nvänder vi följnde beteckningr: (m) x y, om x< y eller x= y. (m) x y, om x< y eller x> y. (m3) x y, om x> y eller x= y. Vi säger också tt (i) x är positivt, om x>, (i) x är negtivt, om x<, (i3) x är icke-negtivt, om x, (i4) x är icke-positivt, om x, Vi betecknr intervll v reell tl så här; om, b R, <bså är (, b) är det öppn intervllet{x R: <x<b}, [, b] det slutn intervllet{x R: x b}, (, b] det hlvöppn intervllet{x R: <x b} och [, b) det hlvöppn intervllet{x R: x<b}. Sts..4: Låt x, y R. Då följer tt x= y, om och endst om, x y och x y. Bevis. Vi börjr med tt nt tt x= y. På bsen v beteckningrn (m) och (m3) kn vi konstter tt x y och tt x y. Å ndr sidn nt nu tt x y och x y. Vi gör motntgndet tt x y. Eftersom x y och x y, gäller enligt beteckningrn (m) och (m3) tt både x< y och x> y är i krft. Vilket strider med xiom (J), lltså får vi en motsägelse. Därmed följer tt x= y. Någr ndr intressnt egenskper ngående reell tlens egenskper behndls i uppgiftern...3..6. Kropps- och ordningsxiomen räcker dock inte för tt entydigt krkteriser de reell tlen. Till exempel uppfyller de rtionell tlen ll dess krv. På grund v dett måste reell tlens xiomtisk system kompletters med fullständighetsxiomet som behndls i följnde kpitel. Uppgifter till kpitel..

8. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION..5: Bevis tt det endst finns ett enhetselement i den reell tlmängden...6: Låt x, y, z R och x. Bevis tt om xy=xz, så är y=z...7: Låt, b R och. Bevis tt ekvtionen x=b hr en entydig lösning x R...8: Bevis tt x=för ll x R...9: Låt x, y R. Bevis tt om xy=, så är åtminstone ett v tlen x, y lik med...: Låt x, y, z R. Bevis tt () (x+ y)=( x)+( y), (b) x(y z)=xy xz, (c) ( x)( y)=xy...: Låt, b, c, d Rj b, d. Bevis tt () b = c, om och endst om d=bc, d (b) b c d = c bd, (c) b + c d = d+bc. bd..: Bevis tt om R och, så är ( ) = och =...3: Låt, b, c, d R och <b, c<d. Bevis tt +c<b+d. Vis tt om, b, c, d dessutom är positiv, så är c<bd och d < b c...4: Låt x, y, z R. Bevis tt om x< y och z>, så är zx<zy...5: Bevis tt om x R och x>, så är x<och x = x >...6: Bevis tt <...7: Låt x R\Qoch y Q. Bevis tt x+ y R\Q... Infimum, supremum och fullständighetsxiomet I dett kpitel behndlr vi reell tlmängders övre och undre gränser. Vi är särskilt intresserde v den minst övre gränsen, supremum, och störst undre gränsen, infimum. Begreppen spelr en centrl roll i det mteril vi kommer tt behndl i senre kpitel. Definition..: Låt E vr en icke tom delmängd vr. Om det finns ett tl s R, så tt x s för ll x E, så klls s för en övre gräns v mängden E och vi säger tt mängden E är uppåt begränsd mängd. På motsvrnde sätt, om det finns ett p R, så tt x p för ll x E, så kllr vi p för en undre gräns v E och vi säger tt mängden E är nerifrån begränsd. Noter tt övre och undre gränsern inte är entydig. Till exempel, om s är en övre gräns till mängden E så är också tlen s+, s+, s+3...övre gränser till

.. INFIMUM, SUPREMUM OCH FULLSTÄNDIGHETSAXIOMET 9 mängden E. Både och är undre gränser till mängden (, ] och övre gränser till mängden [, ). Definition..: Om E är en icke-tom uppåt begränsd delmängd v R och om s, är en övre gräns till E, som stisfierr olikheten s x för ll övre gränser x till mängden E, så klls s för supremum v mängden E, lltså minst övre gränsen v E. Vi betecknr dett s=sup E. Om mängden E inte är uppåt begränsd skriver vi sup E=. Vi definierr infimum, lltså störst undre gränsen, på motsvrnde sätt. Definition..3: Om E är en icke-tom nerifrån begränsd delmängd v R och om p är en undre gräns till E, som stisfierr olikheten p x för ll undre gränser x till mängden E, så klls p för infimum v mängden E, lltså den störst undre gränsen v E. Vi betecknr dett p = inf E. Om mängden E inte är nerifrån begränsd skriver vi inf E=. Tlet s Eär det störst tlet i E, om x s för ll x E, vilket vi betecknr s=mx E. På motsvrnde sätt är p E det minst tlet i E om x p för ll p E, vilket vi betecknr p=min E. Till följnde bevisr vi tt om det finns ett störst tl i en mängd så är dett tl även mängdens supremum, och om det finns tt minst tl i mängden så är dett tl även mängdens infimum. Märk ändå tt det inte nödvändigtvis finns ett störst eller minst värde i en mängd, vilket till exempel är fllet för mängden (, ). Sts..4: () Låt E vr en icke-tom uppifrån begränsd delmängd vr. Om det finns ett störst tl s i E så följer tt s=sup E. (b) Låt E vr en icke-tom nerifrån begränsd delmängd vr. Om det finns ett minst tl s i E så följer det tt p=inf E. Bevis. () Störst tlet s i E är en övre gräns, eftersom det för ll x E gäller tt x s. I och med tt s är en övre gräns följer sup E s. Eftersom s E, följer det v defnitionen på supremum tt s sup E. Alltså s=sup E. (b) Beviset liknr () delens bevis. Till följnde presenterr vi det sist xiomet för de reell tlen, fullständighetsxiomet, som särskiljer de reell tlen vsevärt från de rtionell tlen. Fullständighetsxiomet: Vrje icke-tom uppifrån begränsd delmängd v de reell tlen hr ett supremum som är reellt. Av fullständighetsxiomet följer tt ll icke-tomm nerifrån begränsde delmängder v reell tlmängden hr ett reellt infimum. Sts..5: Låt E vr en nerifrån begränsd icke-tom delmängd v reell tlmängden. Av dett följer tt infimum v mängden E är reellt. Bevis. Låt c vr en undre gräns till mängden E. Vi betecknr F={ x: x E}.

. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION Mängden F är uppifrån begränsd eftersom x c för ll x E ger x c för ll x E. Av fullständighetsxiomet följer tt F hr ett supremum s R. Då gäller för ll x E tt x s c, v vilket det följer tt x s c för ll x E. Tlet s är således den störst undre gränsen, infimum, för mängden E. Märk tt de rtionell tlen inte hr fullständighetsegenskpen. Till exempel är den rtionell delmängden{, 9, 64, 65,...}={(+ 4 7 56 ), (+ ), (+ 3 )3, (+ 4 )4,...} uppifrån begränsd (till exempel är 3 en övre gräns) men mängdens supremum är inte ett rtionellt tl. Tlföljdens llmänn term är x n = (+ n )n och dess gränsvärde är Nepers tl e,78 (.3.6), som är ett irrtionellt tl(c.). I exempel..9 beviss det tt kvdrtroten v två är irrtionell. Ett geometriskt sätt tt tolk fullständighetsxiomet är ett reell tllinjen inte hr någr luckor. Exempel..6: Låt E= {,, 3, 4,...}. Bestäm supremum och infimum v mängden E. Lösning. Tlet är det störst i E lltså måste det även vr mängdens supremum (Sts..4). Eftersom det för ll x Egäller tt x>, så är tlet en undre gräns för E. Å ndr sidn, om z> så finns det ett tl x E, med egenskpen <x<z. Alltså kn inte z vr en undre gräns till mängden E. Tlet är lltså mängdens störst undre gräns, dvs. infimum. Figur.. Mängden i exempel..6. {,, 3, 4,...}. Sts..7: () Om E är en icke-tom uppifrån begränsd delmängd v reell tlmängden R så hr E ett entydigt supremum. (b) Om E är en icke-tom nerifrån begränsd delmängd v reell tlmängden R så hr E ett entydigt infimum. Bevis. () Låt s och s vr supremum v mängden E. Eftersom s är mängdens övre gräns, följer det tt s=sup E s. På motsvrnde sätt konstterr vi tt s = sup E s. Tillsmmns visr olikhetern tt s=s. (b) Beviset är likt beviset för (). I följnde sts bevisr vi tt vrje mängd med ett reellt supremum innehåller ett element som är godtyckligt när supremum v mängden. Sts..8: () Låt E vr en icke-tom uppifrån begränsd delmängd vr. Mot vrje ε>svrr ett x E, med egenskpen tt sup E ε<x sup E.

.. INFIMUM, SUPREMUM OCH FULLSTÄNDIGHETSAXIOMET (b) Låt E vr en icke-tom nerifrån begränsd delmängd vr. Mot vrjeε> svrr x E, med egenskpen tt inf E x<inf E+ε. Märk tt i Uppgiftern..6 beviss det omvänd påståendet. Bevis. Vi bevisr del (). Den högr olikheten följer v definitionen på supremum. För tt vis den vänstr olikheten gör vi motntgndet: Det finns ett ve>, så tt x sup E ε för ll x E. Då följer tt tlet sup E ε är en övre gräns v E som är mindre än mängdens supremum. Dett är en motsägelse lltså kn inte motntgndet stämm, lltså är sup E ε<xför något x E. Beviset för del (b) är liknnde och lämns som uppgift åt läsren, Uppgift..5. Till slut bevisr vi tt är ett irrtionellt tl. Med tlet vser vi det positiv reell tlet x som löser ekvtionen xx=. Exempel..9: Det finns ett positivt reellt tl x, som löser ekvtionen xx= och x Q. Vi presenterr två lösningr till problemet. Lösning. Vi undersöker mängden A={x R:x och xx }. Mängden A är icke-tom och uppifrån begränsd, eftersom A och är en v mängdens övre gränser. Av fullständighetsxiomet följer det då tt supremum v A är ett reellt tl, som vi betecknr =sup A. Till följnde visr vi tt =. Vi gör dett med tt vis tt olikhetern < och > båd leder till motsägelser. Vi ntr först tt <. Vi betecknr b=/. Om vi delr olikheten < med får vi <b. Låt c= (+b). Vilket ger tt <c<b. Från olikheten (x y)(x y) får vi direkt tt (x+ y)(x+ y) 4xy. Med tt tillämp denn olikhet på tlen x=och y=bfår vi tt cc b=. Av dett följer tt c c = 4 cc 4 =. Vi får tt A men då gäller även tt c c > b =. Dett är i motsägelse med defnitionen för, lltså kn inte olikheten < gäll. Vi ntr nu istället tt >. Vi betecknr b=/ och c= f rc(+b). En motsägelse erhålls nu på smm sätt som ovn. Vi hr vist tt det finns ett positivt reellt tl med egenskpen =. Det kvrstår lltså endst tt bevis tt tlet i fråg är irrtionellt. Vi gör motntgndet tt är ett rtionellt tl. Då finns det m, n N, så tt = m. Vi kn nt tt tlen m och n inte hr någr gemensmm fktorer utöver n lltså bråket m är i reducerd form. Det följer tt = m n n m= mm, vilket ger n nn mm=nn. Alltså måste tlet mm vr jämnt v vilket det följer tt m är jämnt (Uppgift..7). Vi kn då skriv om m i formen r vr r är något nturligt tl.

. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION Med tt substituer m=r in i ekvtionen mm=nn får vi uttrycket rr=nn. Nu följer det tt nn är jämnt och därmed är även n det. Vi vlde m och n så tt de inte hde gemensmm fktorer utom, men nu hr vi vist tt båd tlen är jämn och därmed hr som gemensm fktor. Vi hr lltså en motsägelse, följktligen kn inte skrivs som tt bråk och kn således inte vr rtionellt. Lösning. Låt A = {x R: x ti x x < }. Mängden A är tydligt icke-tom och uppifrån begränsd, till exempel är x < för ll x A. Av fullständighetsxiomet följer då tt mängden hr ett reellt supremum som vi betecknr =sup A och R. Vi visr nu tt =. Vi gör motntgndet tt. Enligt ordningsxiomet (J) gäller nu ntingen tt <eller >. Om <, låt då =ε. Dt är klrt ttε>, och = ε. Vi vet tt ε< (tänk på hur?), lltså finns det ett tlδ>, med egenskpen δ+δ <ε, t.exδ= ε pssr eftersom, 8 δ+δ < ε 8 + ε 64 < ε + ε 64 = 33ε 64 <ε, vr vi nvänder det tt vi vet tt < och eftersomε<, så ärε <ε. Nu följer tt (+δ)(+δ)= +δ+δ < +ε=, lltså är (+δ) A och eftersom <+δ kn inte vr sup A, vilket är en motsägelse. Å ndr sidn om vi ntr tt >, låt b=. Utifrån ntgndet v tt > ger division med, tt > = b. Låtε= b, lltså ärε> och b+ε=. Observer tt (b+ ε )<. Nu följer tt (b+ ε )(b+ε )=b + bε+ ε= 4 b + b( b)+ ε 4 = b + b b + ε 4 = b+ε 4 = +ε 4 >, det vill säg tt (b+ ε ) är en övregräns v A och (b+ε )<, vilket är en motsägelse. Motntgndet leder lltså till en motsägelse, vilket bevisr påståendet:. Uppgifter till kpitel....: Låt x, y >. Vis tt mx{x,y} = min{ x, y }...: Låt delmängdern A, B R vr icke-tomm. Antg tt är en övregräns v A och b är en övregräns v B. Är () +b en övre gräns till A B? (b) b en övre gräns till A B? (c) b en övre gräns till A\B?..: Bestäm följnde mängders infimum och supremum. () [, 3], (b) (5, 7], (c) [ 4, 3) [, 4), (d) { + n : n N }...3: Låt A, B R, A B. Vis tt sup A sup B och inf B inf A...4: Låt m N och E n R för vrje n=,,..., m. Om s n = sup E n och p n = inf E n, hitt uttryck för sup(e E E m ) och inf(e E E m )?

..5: Bevis Sts..8(b)..3. MATEMATISK BEVISFÖRING OCH INDUKTION 3..6: Låt A R vr uppifrån begränsd och M R. Vis tt om x M för ll x A och för vrjeε> finns det ett x A, för vilket x>m ε, lltså M=sup A....7: Låt m N. Vis tt om m är ett jämnt tl så är m ett jämnt tl. (m = mm).3. Mtemtisk bevisföring och induktion I mtemtik beviss påståenden utifrån givn ntgnden. Antgnden kn vr specifik till det påstående som beviss, i vilket fll de inkluders i någon form i resulttets slutlig formulering. Antgnden kn även vr xiomtisk (lltså grundlgr), som är i krft för ll påståenden och bsen ny påståenden beviss på. Tnken är tt försök minimer mängden xiom smtidigt som mn håller dem möjligst simpl (och trovärdig). Till exempel hr xiomen som ngår de reell tlen presenterts i kpitlen. och. I mtemtik klls resultten (bevisde påståenden) för stser, lemmn (hjälpstser) eller följdstser. Ett bevis är en logisk motivering vrs uppgift är tt övertyg läsren om tt påståendet stämmer. Ett mtemtiskt resultt kn formulers på mång olik sätt. Oft är de v formen: om något krv uppfylls så följer något. Om också det omvänd påståendet stämmer brukr mn istället för tt skriv två stser, formuler resulttet med om och endst om. Till exempel A om och endst om B betyder både om A så B och om B så A. Vnligtvis börjr ett mtemtiskt bevis med ntgnden och slutr med resulttet som utgör stsen som skll beviss. Bevis v den formen klls för direkt bevis. Exempel.3.: Summn v två udd heltl är ett jämnt tl. Bevis. Låt tlen, b Z vr udd. Då finns det heltl p, q Z med egenskpern =p+och b=q+. Addition ger lltså är +b ett jämnt tl. +b=(p+)+(q+)=(p+q+) Det finns ndr former v mtemtisk bevis än direkt bevis. Två ndr former som förekommer förhållndevis oft är indirekt bevis och induktionsbevis. Med termen indirekt bevis vses ett bevis vr påståendet beviss med tt uteslut dess motsts. Dett kn görs när motstsen strider med ntgnden. Påståendets motsts klls för motntgndet och mn säger tt resulttet som strider med ntgnden åstdkommer en motsägelse. Exempel.3.: Summn v två udd heltl är ett jämnt tl. Bevis. Låt tlen, b Z vr udd. Vi gör motntgndet tt även +b är udd. Då finns det heltl p, q Zså tt =p+ och b=q+. Så b=b+( )=(+b) =(q+) (p+)=(q p) lltså är b ett jämnt tl. Men dett strider med ntgndet v tt b är jämnt, påståendet följer. Till följnde bekntr vi oss med induktionsbevis. Induktionsxiomet: Låt A N. Om mängden A är sådn tt

4. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION () Aoch (b) för vrje n Agäller tt n+ A följer tt A=N. Sts.3.3: Låt P vr en sådn egenskp hos de nturlig tlen tt de följnde krven uppfylls: () tlet hr egenskpen P; (b) för vrje n N gäller tt om tlet n hr egenskpen P så hr även tlet n+ egenskpen P. Då följer det tt ll n N hr egenskpen P. Bevis. Låt A={n N : tlet n hr egenskpen P}. Av induktionsxiomet följer nu tt A=N lltså hr ll n N egenskpen P. Sts.3.4: Låt P vr en egenskp hos de nturlig tlen som uppfyller följnde krv: () tlet hr egenskpen P; (b) för vrje n Ny gäller det tt om ll nturlig tl k n hr egenskpen P så hr också tlet n+ egenskpen P. Då hr ll n N egenskpen P. Bevis. Beviss på exkt smm sätt som Sts.3.3. I Stsern.3.3 och.3.4 klls del () för induktionsbsen och del (b) induktionsteget. Exempel.3.5: Bevis med induktion tt för vrje n N + +n= n(n+). Lösning. Vi bevisr påståendet med hjälp v Sts.3.3, lltså med induktion. Induktionsbsen () är i krft eftersom = (+). Ant nu tt påståendet gäller för tlet n + +n= n(n+). Nu skns br tt vis induktionsteget (b), lltså tt påståendet för n +, följer v vårt ntgnde. + +n+(n+)= n(n+) + (n+)= n(n+)+(n+) = (n+)(n+) = (n+)((n+)+) Nu följer påståendet v Sts.3.3. I Stsern.3.3 och.3.4 kn mn byt ut mängden heltl med tt vid steg () nvänd ett tl istället för tlet och med tt ersätt mängdenn med mängden{, +,...}.

.4. POTENSER OCH SUMMOR 5 Uppgifter till kpitel.3..3.6: Bevis med induktion tt för vrje n N gäller tt +4+ +n=n(n+)..3.7: Bevis för vrje n N tt +3+ +n =n..3.8: Bevis för vrje n N tt är ett heltl. n 3 + 5n 6.4. Potenser och summor I dett kpitel bekntr vi oss med konceptet v potenser v reell tl då när exponenten är ett heltl. Dessutom tr vi i bruk summeringssymbolen. Potenser är ett centrlt tem i denn bok. I kpitlet 4. Bolznos sts och invers funktionens kontinuitet behndls fllet x n, n Q. Fllet då x µ,µ R, behndls i Kpitlen 6. Irrtionell exponenter, och 6.3 Allmänn exponentil- och potensfunktioner. Definition.4.: För ll reell tl x definierr vi tt x = x. För vrje n N och x R definierr vi x n+ = x n x. Funktionen x x n klls för potensfunktionen och den är definierd för ll rell tl x. Sts.4.: För ll x, y R och m, n N gäller x n+m = x n x m, (x n ) m = x n m och (xy m = x m y m. Bevis. Vi börjr med tt bevis först påståendet. Resten beviss i Uppgiftern.4. och.4.. Påståendet beviss med induktion med vseende på n. Om n =, stämmer påståendet utgående från definitionen. Vi gör induktionsntgndet, tt påståendet gäller för något värde n, lltså ntg tt x m+n = x m x n. Enligt definitionen är x m+n+ = x m+n x. Med tt tillämp induktionsntgndet får vi tt x m+n+ = x m+n x=x m x n x=x m x n+. Påståendet följer nu v induktionsprincipen. Ant nu tt x och m, n N, m>n. Då följer v föregående sts tt x n x n m n=x n+(m n) = x m. Division v ekvtionen med termen x n ger oss tt x m x n = x m n. Till följnde utvidgr vi potensens definition så tt den innefttr exponentiering v negtiv heltl och noll. Definition.4.3: För reell tlet x definiers x = och x n = x n när n N.

6. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION Märk tt vi inte definierde räkneopertionen. Om vi skulle välj tt = skulle de räkneregler vi kommit frm till inte längre funger. Till exempel skulle det led till tt = = = =. Med tt slå ihop definitionen med de räknereglern får vi följnde resultt. Först påståendet beviss i Uppgift.4.3. Sts.4.4: För ll reell tl x och ll heltlen m, n Zär x n+m = x n x m, (x n ) m = x n m och (xy) m = x m y m. Till följnde bekntr vi oss med Bernoullis olikhet som frmfördes 689 v schweiziske mtemtikern Jcob Bernoulli (654 75). Exempel.4.5: Bevis Bernoullis olikhet. När reell tlet x > och n är ett positivt heltl n=,, 3, gäller (+x) n +nx. Dessutom om n så är sidorn lik endst när x=. Lösning. Vi bevisr påståendet med induktion. Induktionsbsen stämmer eftersom om n=, så är (+x) = +x=+ x. Vi gör induktionsntgndet. Ant tt påståendet gäller för n, lltså tt (+x) n +nx. För n+ gäller då tt (+x) n+ = (+x)(+x) n (+x)(+nx) = +nx+x++nx = +(n+)x+nx +(n+)x. Påståendet följer nu v Sts.3.3. Antg nu tt n, x>. Då är (+x) = +x+x > + x när x. Påståendet följer nu med induktion på smm sätt som i föregående fllet br tt mn nvänder fllet n=som induktionsbs. Exempel.4.6: Bevis för ll heltl n 3tt n 3n. Lösning. Vi bevisr stsen med induktion. Induktionsbsen gäller eftersom vi när n=3får tt 3 = 9 9=3 3. Vi gör induktionsntgndet. Ant tt för något n 3är För n+ gäller då tt n 3n. (n+) = n + n+ 3n+n+=3n+3=3(n+). Påstående följer nu v Sts.3.3.

.4. POTENSER OCH SUMMOR 7 Vi introducerr till näst summeringssymbolen. Låt och l vr heltl och x, x +,..., x l vr en följd reell tl. Då betecknr vi l x k = x + x + + +x l. k= Exempel.4.7: Bevis med induktion tt för vrje n N. n k= k 3 = n (n+), 4 Lösning. Påståendet beviss med induktion. Induktionsbsen gäller eftersom =. 4 Vi gör induktionsntgndet för n. Ant lltså tt n k= k 3 = n (n+). 4 Vi bevisr tt induktionssteget gäller, lltså tt v tt påståendet gäller för n följer tt påståendet även gäller för n+. Vi får tt n+ n k 3 = k 3 + (n+) 3 = n (n+) 4 k= k= = n (n+) + (4n+4)(n+) 4 = (n+) (n+) 4 nu följer påståendet v Sts.3.3. = (n+) ((n+)+) 4 + (n+) 3 = n (n+) + 4(n+) 3 4 = (n + 4n+4)(n+) 4 Lemmt.4.9 klls för binomilstsen, och är en grundläggnde räkneregel för binomil koefficienter. Låt n, k N, och k n, då är binomilkoefficienten tlet ( ) n = k n! k!(n k)! = n ( k)( (n k)). Beteckningen ( n k) läses n under k eller n över k:n. Binomilkoefficienten kn räkns ut när n=eller k=eftersom!=. Lemm.4.8: Låt n, k N j k<n. Då är ( ) ( ) n n + = k k+ ( ) n+. k+

8. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION Bevis. Beviset uppnås direkt. ( ) ( ) n n n! + = k k+ k!(n k)! + n! (k+)!(n k )! (k+)n! = (k+)!(n k)! + (n k)n! (k+)!(n k)! = k++n k (k+)!(n k)! = n+ (k+)!(n k)! = Lemm.4.9: (Binomilstsen) Låt x, y R j n N. Då är n ( ) n (x+ y) n = x n k y k. k Bevis. Påståendet beviss med induktion. När n=är k= (x+ y) n = x+ y=x y + x y, ( ) n+. k+ vilket ger oss induktionsbsen. Vi gör induktionsntgndet för n. I fllet n+ får vi v induktionsntgndet och Lemm.4.8 tt n ( ) n (x+ y) n+ = (x+ y)(x+ y) n = (x+ y) x n k y k k k= n ( ) n n ( ) n = x n k+ y k + x n k y k+ k k k= n ( ) n = x n k+ y k + k k= n ( ) n = x n+ + k k= n (( ) n = x n+ + + k k= n ( ) n+ = x n+ + k k= k= n+ k= x n k+ y k + ( n k n k= ) x n+ k y k Lemm.4.: Låt, q R j n N. Då är n q k = qn+, kun q, q och s n = n, när q=. k= ( ) n x n+ k y k + y n+ k ( )) n x n+ k y k + y n+ k n+ ( ) n+ x n+ k y k + y n+ = x n+ k y k. k Bevis. Det senre påståendet är uppenbrt. Vi bevisr det först påståendet med induktion. Induktionsbsen. När n=, så är s = x + x = +q=(+q)=(+q) q q = q q, q. k=

.5. FUNKTIONENS DEFINITION, INJEKTION, SURJEKTION OCH BIJEKTION 9 Alltså stämmer påståendet när n=. Induktionsntgndet. Ant tt påståendet gäller när n=k, lltså s k = qk q, q. Induktionsteget. Vi visr tt påståendet stämmer för n=k. Eftersom ( ) ( ) i.o. s k+ = s k + x n+ = qk q k q k q + qk = q + qk = q + qk ( q) q = qk + q k q k q q = qk+ q, nu följer det v induktionsprincipen tt påståendet gäller för ll n N, när q. Uppgifter till Kpitel.4..4.: Bevis med induktion med vseende på m tt när n, m N och x R, så är (x n ) m = x n m..4.: Bevis med induktion tt om m N och x, y R följer tt (xy) m = x m y m..4.3: Bevis tt x m x n = x m+n om x och m, n Z. Behndl fllen vr m och n hr smm tecken och vr m och n hr olik tecken vr för sig..4.4: Bevis tt n k= k = n(n+)(n+). 6.4.5: Bevis följnde olikhet för heltlen n N : (n+)! n..5. Funktionens definition, injektion, surjektion och bijektion I dett kpitel introducerr vi konceptet v en funktion och det llmännre begreppet v en reltion. Vi tr även en närmre titt på omständighetern under vilk en reltion är en funktion. Fstän funktionsbegreppet nog behövs i definitionen på en tlföljd kommer dett kpitels mteril i princip först tt vr relevnt från och med Kpitel 3 Funktioners gränsvärden. Låt A och B vr icke-tomm mängder. Mängderns krtesisk produkt är då definierd som A B={(, b): A j b B}. Om R A B klls R för en reltion melln A och B. Till exempel om A={,, 3} och B={3, 4}, så är A B={(, 3), (, 4), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4)}. Till exempel är{(, 3), (, 4)} en reltion melln A och B. Definition.5.: Låt A och B vr icke-tomm mängder. Reltionen R A B är en funktion (lltså en vbildning), om vrje A svrr till exkt ett

3. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION element b B så tt (, b) R. Dett beteckns R: A B. Mängden A klls för definitionsmängden och B för målmängden v funktionen. Funktionen f : A B är en funktion v en reell vribel om dess definitionsmängd A är en delmängd v de reell tlen. I llmänhet kommer vi tt behndl funktioner v en reell vribel. Funktioner kn även beteckns x f (x). Om funktionen hr en formel kn den nges i sluten form, till exempel f (x)=+x. A A A B B B Figur.. Tre reltioner melln mängdern A och B. Av de tre är endst reltionen längst till vänster en funktion. Bild. föreställer tre reltioner v vilk endst den som är längst till vänster är en funktion. I den mellerst reltionen finns ett element i definitionsmängden som är reltert till två värden i målmängden, och är därför inte en funktion. I definitionsmängden v reltionen längst till höger finns ett element som inte är reltert till något som helst element i målmängden. Eftersom mot vrje element i definitionsmängden svrr ett och endst ett element i målmängden betyder dett tt reltionen längst till höger inte är en funktion. Oft är mängdern som nvänds för tt definier en funktion intervll. Definition.5.: Mängden R är ett intervll, om den ser ut som någon v de följnde: [, ]={}, (, b), [, b], (, b], [, b), (, b), (, b], (, ), [, ) ellerr, vr, b R, <b. Vrje reltion hr en invers reltion. Om R A B är dess invers reltion R ={(b, ): (, b) R}. Alltså är R B A. Till exempel om vi melln A={,, 3} och B={3, 4} definierr reltionen{(, 3)(, 4)} är invers reltionen melln B och A mängden {(3, ), (4, )}. Märk tt en funktions invers reltion inte nödvändigtvis är en funktion, dett är till exempel fllet för funktionen i Bild.. Definition.5.3: Låt f : A B vr en funktion. Om A A så f (A )={ f () B: A }. Mängden f (A ) klls för funktionens värdemängd eller bilden v A. Om B B så f (B )={ A: f () B }. Mängden f (B ) klls för urbilden v B.

.5. FUNKTIONENS DEFINITION, INJEKTION, SURJEKTION OCH BIJEKTION 3 Noter tt urbilden v bilden f (A) v mängden A inte nödvändigtvis är A. Det kn lltså händ tt f ( f (A)) A. Vilket är fllet i följnde exempel. Exempel.5.4: Låt f :R R, f (x)=x. Bestäm bilden v A=[, ) och urbilden v mängden f (A). Lösning. På bsen v Bild.3 kn vi konstter tt f (A)=[, 4) j f ( f (A))=(, ] [, ). 4 4 3 3 f (A) 3 A 3 3 3 Figur.3. Bilden v A=[, ) till vänster och urbilden v f (A)= [, 4) till höger. Till följnde besvrr vi frågn: När är en funktions invers reltion en funktion? Definition.5.5: Funktionen f : A B är en injektion, om f ( ) f ( ) lltid när. Alterntivt kn en injektion krkterisers som en funktion med egenskpen tt f ( )= f ( ) om och endst om =. Ett tredje sätt är tt kräv tt för vrje b Bfinns högst ett A så tt f ()=b. Definition.5.6: Funktionen f : A B är en surjektion, om f (A) = B. Alterntivt kn surjektioner definiers som funktioner med egenskpen tt för vrje b B finns årminstone ett Aför vilket f ()=b. Definition.5.7: Funktionen f : A B är en bijektion, om den är en injektion och en surjektion. Alterntivt kn bijektioner definiers som funktioner med egenskpen tt det för vrje b B finns exkt ett Aför vilket f ()=b. Exempel.5.8: Vis tt () f : [, ) R, f (x)=x är en injektion men inte en surjektion; (b) g:r [, ), g(x)=x är en surjektion men inte en injektion; (c) h: [, ) [, ), h(x)=xär en bijektion. Lösning. () Det är tydligt tt f (x )= f (x ), om och endst om x = x. Funktionen är lltså per definition en injektion. Funktionen är inte en surjektion, eftersom inget tl hr, till exempel, som värde.

3. DE REELLA TALEN OCH DEFINITIONEN AV EN FUNKTION (b) Funktionen g är en surjektion, eftersom g( x)=x. Funktionen är inte en injektion eftersom t.ex. g( ) = = g(). (c) Smm bevis som i () fllet för tt funktionen h är en injektion. Funktionen är en surjektion eftersom vrje x [, ] motsvrs v ett tl i intervllet [, ] som vbilds till det, nämligen h(x)=x. Sts.5.9: Låt f : A B. Funktionens invers reltion f är en funktion om och endst om funktionen f är en bijektion. Bevis. Uppgift.5.. Till följnde behndlr vi funktionerns punktvis opertioner. Låt f : A R, g: A R och m R. Md hjälp v dess funktioner kn vi definier funktionern f+ g, m f och f med uppläggningen v definitioner g f+ g: A R, ( f+ g)(x)= f (x)+ g(x); m f : A R, (m f )(x)=m f (x); ( ) f f : A\{x: g(x) } R, g g (x)= f (x) g(x). Till slut bekntr vi oss med smmnstt funktioner. Definition.5.: Låt A, B, C R, f : A B och g: B C. Vi definierr funktionen A C som x g( f (x)). Denn funktion klls för smmnsättningen v f och g och beteckns g f. Till exempel kn vi tolk funktionen h:r R, h(x)=4x som smmnsättningen v funktionern f :R R, f (x)=x, och g:r R, g(x)=x, dvs. g f :R R. Sts.5.: Låt A, B, C, D R, f : A B, g: B C j h: C D. Smmnsättning v funktioner är ssocitivt, lltså är Bevis. För vrje punkt x A är ( ( f g) h ) (x)=( f g) (h(x)) ( f g) h= f (g h). = f ( g(h(x)) ) = f ( (g h)(x) ) = ( f (g h) ) (x). Vi behndlr polynom endst kort. Vi ntr tt läsren är redn är beknt med polynom. Med tt dder ihop potensfunktioner och en konstnt får vi en polynomfunktion. Definition.5.: Funktionen P:R R är ett polynom, om den är v formen P(x)= n x n + n x n + + x +,