Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer är mn godkänd och får tillgodoräkn poäng på ordinrie tentmen. Problem. Förenkl uttrycket så långt som möjligt (p) ( 3b) +(6b ) Svr: 9b ( 3b) +(6b ) ( 6b+9b )+(6b ) 6b+9b +6b 9b Problem. Förenkl uttrycket så långt som möjligt. (p) 6 + 6 + 6 + ( ) 6 (+) ( )(+) 6 (+) ( ) Kommentrer: Ett dubbelbråk. Vi vet tt vi kn skriv om det som en produkt där nämnren är inverterd. Vi tillämpr konjugtregeln på först fktorn i täljren. Innn vi multiplicerr smmn fktorern i täljren och nämnren pssr vi på tt förkort så långt möjligt. Svr: ( ) Håkn Strömberg KTH STH
Problem 3. Lös ekvtionen (p) x 3 = 3x Direkt ser vi tt likhet råder då x = 0 eftersom det instt ger 0 = 0. Det betyder tt x = 0. Vi kn nu lugnt divider båd leden med x och får x = 3 x = 3 x = 6 x = ± 6 x = ± x = x 3 = Här en lterntiv lösning som går ut på tt vi fktoriserr polynomet och direkt ser när vänstr ledet blir = 0 x 3 3x = 0 x(x 6) = 0 x(x )(x+) = 0 x = 0 x = x 3 = Svr: x = 0, x =, x 3 =. Problem. Lös ekvtionen (p) x x + = x Vi ser här tt x för om x = får vi 0 i två v termern. Medveten om dett löser vi ekvtionen. x x + = ( ) x ( ) x (x ) x + = (x ) x x (x ) +(x ) = x x x x +x = x +x 3 = 0 x = ± +3 x = ± (x = ) x = 3 Svr: x = 3 Problem 5. Lös ekvtionen (p) x x 5 = 0 Normlt kn vi inte lös polynomekvtioner v :e grden. Ett undntg är då ekvtionen sknr både x 3 -term och x-term. Det är precis vd som är fllet här. Tillväggångsättet är då tt substituer t = x och vi får ekvtionen x x 5 = 0 t t 5 = 0 t = ± +5 t = ±7 t = 9 t = 5 Håkn Strömberg KTH STH
Återstår tt bestämm 9 = x som leder till x = 3 och x = 3. Men 5 = x leder till x = ± 5, som inte leder till reell rötter. En :e grdsekvtion hr lltid rötter om mn räknr både reell och imginär. I vår kurs redovisr vi inte imginär rötter, vilket betyder tt en :e grdre hr 0, eller rötter. I dett fll finns två rötter. Svr: x = 3 och x = 3. Problem 6. Förenkl uttrycket så långt som möjligt. (p) ( ) ( b ) ( ) ( b ) ( ) () ( ) () () ( b ( b() ) () ) b Svr: b Polynom i fktorform Målet med föreläsningen är tt kunn skriv ett polynom på fktorform. Polynomet består v tre termer. Det kn också skrivs som 3x 6x 3(x+)(x ) Nu som tre fktorer. Den som inte tror kn multiplicer smmn fktorern 3(x+)(x ) 3(x x+x 8) 3(x x 8) 3x 6x Det stämmer! Men utför mn fktoriseringen? Vi tr ett nytt exempel Exempel. x 8x Först bryter vi ut så mycket vi kn. Vi kn dock inte bryt ut mer än (x x ) Håkn Strömberg 3 KTH STH
Det som står inom prentes betrktr vi som en ndrgrdsekvtion som vi måste lös. x x = 0 x = ± + x = ±5 x = 7 x = 3 Andrgrdsekvtionen kn nu skrivs, som vi tidigre nämnt Det betyder tt vi kn skriv i tre steg (x 7)(x+3) = 0 x 8x (x x ) (x 7)(x+3) Istället för tre termer består nu polynomet v tre fktorer. Näst exempel Exempel. Fktoriser polynomet som är v tredje grden 3x 3 +3x 6x Först bryter vi ut llt vi kn Sedn löser vi ekvtionen Det betyder tt fktoriseringen ser ut så här Om vi hde tt lös tredjegrsekvtionen 3x 3 +3x 6x 3x(x +x ) x +x = 0 x = ± + x = ± + 8 x = ± 9 x = ± 3 x = x = 3x(x )(x+) 3x 3 +3x 6x = 0 så kn vi utifrån fktorern direkt säg tt röttern är x = 0, x = och x 3 =. Att vi klrr tt lös den här tredjegrdsekvtionen beror på tt den är speciell. Den sknr konstnt term och därför ser vi direkt tt x = 0 är en rot. Hde vi istället stött på denn ekvtion, också v tredje grden x 3 3x 0x+ = 0 så hde vi inte hft någon nnn chns än tt giss röttern. Därför kommer vi inte tt träff på någon ekvtion v 3:e grden i denn kurs om den inte är speciell som i vårt exempel. Med det dtorprogrm som jg hr och som finns på skolns dtorer kn mn skriv Solve[x^3-3x^-0x+==0] {{x-> -3}, {x-> }, {x-> }} Håkn Strömberg KTH STH
och få svret på direkten. Det finns till och med räknedosor som klrr dett. Men de är inte tillåtn på KS:r och tentor. Exempel 3. Fktoriser polynomet x 3 x Vi bryter ut och får x(x ). Vd kn mn såg om (x )? Jo tt vi kn tillämp konjugtregeln och direkt få (x ) (x + )(x ). Och vips hr vi fktorisert x 3 x x(x+)(x ) Exempel. Fktoriser polynomet Vi bryter ut och får Vi löser ekvtionen x +8x+0 (x +x+5) x +x+5 = 0 x = ± 5 Ekvtionen hr ing reell rötter, (negtivt under rottecknet), och se då kn inte polynomet fktorisers. Vi lär oss tt mn säger: Polynomet p(x) = (x+3)(x ) hr nollställen x = 3 och x = Ekvtionen (x+3)(x ) = 0 hr röttern x = 3 och x = Nollställen till ett polynom p(x) får mn red på genom tt lös ekvtionen p(x) = 0. Problem 7. Ekvtionen 8+7x 37x +x 3 +x = 0 är en fjärdegrdsekvtion med röttern x = 7, x =, x 3 = 3, x = Fktoriser med denn informtion uttrycket 8+7x 37x +x 3 +x Med den kunskp vi hr klrr vi det hel utn tt räkn (x+7)(x+)(x 3)(x ) Problem 8. Lös ekvtionen x +x +3 = 0 Vi vet tt vi kn klr den här ekvtionen, just därför tt den sknr x 3 -term och x-term. Vi strtr med tt substituer t = x och får t +t+3 = 0 t = ± 3 t = ± t = 3 t = Nu sk vi lös x = 3 och x =, men ing v dess ekvtioner hr reell rötter, vilket betyder tt den ursprunglig ekvtionen helt sknr (reell) rötter. Svr: Ekvtionen sknr rötter. Håkn Strömberg 5 KTH STH
Problem 9. Lös ekvtionen med vseende på x +bx = c dx Det är br tt betrkt, b, c och d, som om de vore tl. Svr: x = c b+d Problem 0. Lös ekvtionen med vseende på x. +bx = c dx bx+dx = c (b+d)x = c x = c b+d (x b) = b(x+) Smm här, vi betrktr och b som tl eller konstnter. Svr: x = b (x b) = b(x+) x b = bx+b x bx = b ()x = b x = b Problem. Lös ekvtionen x 3 +x x = 0 Dett är lltså en tredjegrdsekvtion som vi kn lös därför tt den sknr konstnt term. Vi vet då tt en rot x = 0. För de ndr två röttern bryter vi ut x och får x(x +x ) Vi går vidre med ekvtionen Svr: x = 0, x =, x 3 = 3 x +x = 0 x = ± + x = ± 9 x = ± 7 x = x 3 = 3 Problem. Ursprungligen finns en kvdrtisk tomt som utöks i nordsydlig riktningen med m och i östvästlig med 0 m. Tomten får nu en re på 58 m. Vilken vr tomtens ursprunglig mått? Antg tt den kvdrtisk tomten från börjn hr sidn x meter. Efter förlängning är tomtens sidor x+ meter respektive x+0 meter. Aren kn nu teckns på två sätt (x+0)(x+) = 58. Röttern till denn ekvtion ger oss svret (x+0)(x+) = 58 x +x+0x+0 = 58 x +x 5008 = 0 x = ± +5008 x = ±3 x = x = 3 Håkn Strömberg 6 KTH STH
Svr: Den ursprunglig sidn hos tomten vr meter. Läx. Lös ekvtionen x x 6 = 0 Läx. Fktoriser uttrycket z 7z+0 Läx 3. Är det snt tt den här ekvtionen hr rötter x =, x = 3 och x 3 =? x 3 6x +x 6 = 0 Läx. Ett bostdskvrter i en std upptr ett mrkstycke v storleken 30 350 m. Den jämnbred gtn runt om kvrteret beräkns uppt 800 m. Vilken bredd hr gtn? Läx 5. Bestäm konstnten så tt ekvtionen får en rot x = 3( x)+ = 9 Läx Lösning. En fjärdegrdsekvtion som sknr x 3 -term och x-term klrr vi genom tt substituer t = x. Vi får t t 6 = 0 t = ± + 6 t = ± 5 t = t = 3 Återstår så tt lös = x och 3 = x. Vi ser då direkt tt den först sknr reell rötter och tt den ndr hr rötter är x = 3 och x = 3 Svr: x = 3, x = 3 Läx Lösning. Vi vet tt vi kn få tg i fktorern genom tt lös ekvtionen z 7z+0 = 0 9 z = 7 ± 0 z = 7 ± 9 z = 7 ± 3 z = 5 z = När vi nu hr röttern kn vi direkt skriv ned fktorern Svr: (z 5)(z ) z 7z+0 (z 5)(z ) Håkn Strömberg 7 KTH STH
Läx Lösning 3. För tt test om ett visst x-värde stisfierr en ekvtion, sätter mn helt enkelt in värdet och kontrollerr om V.L. = H.L. Här kommer räknedosn till nvändning. Svr: x =, x = men x 3 V.L. 3 6 + 6 0 H.L. 0 V.L. 3 6 + 6 0 H.L. 0 V.L. 3 6 + 6 6 H.L. 0 Läx Lösning. Antg tt gtn är x meter bred. Vi kn teckn hel ren (inklusive gtn) på två sätt. Dett leder till ndrgrdsekvtionen: Svr: Gtn är 0 meter bred (x+30)(x +350) = 800+30 350 x +700x+60x+30 350 = 800+30 350 x +60x = 800 x +90x = 600 x = 5± 5 +600 x = 5±65 x = 0 (x = 30) Läx Lösning 5. Vi sätter in x = i ekvtionen och får 3( )+ = 9 3 + = 9 7 = 9+ = 7 = 3 Ekvtionen hr roten x = Svr: = 3 3(3 x)+ = 9 Håkn Strömberg 8 KTH STH
Som vnligt gäller det i denn vdelning tt förenkl uttrycket så långt möjligt. Problem 3. ()( c) + (b c)(b ) + (c )(c b) ()( c) + (b c)(b ) + (c )(c b) 3 5 ()( c) + ( ) ( )(b c)(b ) + ( )( )( c)(b c) b c ()( c)(b c) (b c) ( c)+() ()( c)(b c) b c +c+ ()( c)(b c) 0 ()( c)(b c) c ( c)(b c)() + ()( c)(b c) 6 0 Vi strtr med tt försök finn en gemensm nämnre. Det ser ut som vi kn få en bestående v tre fktorer om vi på tre ställen nvänder knepet (x y) = ( )(y x), (). I ndr termen förlänger vi med ( ). Observer tt i tredje termen bryter vi ut ( ) två gånger och får ( )( ) =. Dett är lltså ingen förlängning. I () förlänger vi de tre bråken med det uttryck som inte redn finns i nämnren. Vi kn skriv llt på smm bråkstreck (3). Efter förenkling får vi 0 i täljren (5). Svr: 0 Håkn Strömberg 9 KTH STH
Problem. (b+c) b+c + b b+c +b (b+c) b+c + b b+c +b (b+c) +b b+c +b ( ) +b (b+c) b+c +b ( ) 3 (b+c) b+c b+c b+c 5 Först identifierr vi huvudbråkstrecket som det längst v ll bråkstreck. Sedn ser vi tt i täljren hr de två bråken redn smm nämnre och kn därför enkelt skriv dem på smm bråkstreck. I nämnren gör vi för enkelhetens skull ett bråk v +b genom tt lägg till nämnren, se (). Vi håller oss fortfrnde innnför prentesern. Vi vet hur vi sk hnter division v två bråk (). Vi kn förkort (3) och multiplicerr till sist de två prentesern () och förkortr och får Svr: Figur : Håkn Strömberg 0 KTH STH
Problem 5. ( b )( ) +b 3 ( b )( ) +b ( b )( () + b() ) ( )( b ) ()+b() ( b )( +b+b b ) () b(b b) 5 b Vi sk multiplicer en prentes med termer med en nnn som innehåller 3 termer vilket kommer tt ge oss 6 termer med lite olik nämnre. Dett är en frmkomlig väg, men vi väljer istället tt reducer uttrycken i vrje prentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (). Vi skriver de båd prentesern på gemensmm bråkstreck (). Reducerr och bryter ut (3) och (). Till sist får vi Svr: b. Figur : Håkn Strömberg KTH STH
Problem 6. + 9 7 7 6 + 9 7 7 6 7(+) 9 7 9 9 7 6 6 7 7( ) 7 6 7+8 9 63 6 7( ) 3 7+8 9 63 6 7( ) 3 8 63 ( ) 63 8 63 = 3 Ett dubbelbråk igen. Vi strtr med tt skriv om huvudbråkets täljre och nämnre på gemensmt bråkstreck (). I täljren är den gemensmm nämnren 63 och i nämnren (). Vi skriver om bråken från en division till en multipliktion (3) och reducerr så långt vi kn (). Svr: 3 Håkn Strömberg KTH STH