Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln Vi efinierr F (x) som ren i figuren. Då är F (x + h) F (x) pproximtivt ren v en sml remsn me t gränser x och x + h. Denn sml rems hr en re pprocximtivt som en rektngel me bre h och höj f(x). Alltså F (x + h) F (x) h f(x) eller F (x + h) F (x) h Vi finner följne troligt. VL är en ifferenskvot och F (x), å h. HL i Approximtionen övergår i likhet å h. VL=HLger tt F (x) = f(x). Speciellt ser vi tt F () = och F (b) =: b f(t)t f(x). En funktion F (x), sån tt F (x) = f(x) klls primitiv funktion till f(x). Antg tt G(x) är eriverbr i ett intervll me erivt =. Då är G(x) = C,.v.s. konstnt. Speciellt om G = F F och G =, så är F F =,.v.s. F = F + C. Två funktioner F och F, som är primitiv funktioner till smm f(x) i ett givet intervll, skiljer sig åt me en itiv konstnt: F (x) F (x) = f(x) f(x) = F (x) F (x) = C F (x) = F (x)+c. Låt F (x) vr en (nnn) primitiv funktion till f(x). Då är F (x) = F (x) + C. F () = = F () + C C = F (), så tt F (x) = F (x) F (). F (b) = b f(x)x = [F (x)] b = F (b) F (), en s.k. insättningsformeln. y y f x F x x x h b x, t b f(x)x klls bestäm integrl och är ett tl.
f(x)x klls obestäm integrl och betyer ll primitiv funktioner till f(x). De är, enligt ovn, F (x) + C, är F (x) är någon primitiv funktion till f(x). x α+ x α α + + C, = ln x, om α om α = x x = rctn x + C, eftersom + x rctn x = x +. tn x x = C ln cos x, eftersom ( ln cos x ) = x cos x ( sin x) = tn x. 9 6 x x = [ln x]9 6 = ln(/), eftersom x ln x = x. x = ln tn(x/) + C, eftersom ln tn(x/) = sin x x sin x. e x x = ex + C. cos x sin xx = x = x sin x + C. 4 sin xx = ( cos x) sin x x = cos x + cos x + C. x x = ln x + C och p.s.s. e k x x = k ek x + C. Bestäm en primitiv funktion till x, bestäm ll primitiv funktioner till 8 x och bestäm x x. (En primitiv funktion) f(x) := (x) / = F (x) = (x)/ = x x. (ll primitiv funktioner) (En bestäm integrl) 8 f(x)x = x x + C [ ] 8 x x = 56. En liten regel Om f(x) hr primtiv funktion F (x), hr f(kx+m) primitiv funktion F (kx + m) för k ; När en inre funktionen är linjär,.v.s. k z = kx + m kn mn kompenser för en inre erivtn genom tt ivier me k, ex.vis x + x) = (x+) / x = (x+)/ +C = (x + ) x + +C. 9 Tre moment vi beräkning v integrl. Omskrivning v integrnen innn integrtion.. Integrtion,.v.s. bestämning v primitiv funktion och eventuellt insättning v övre och unre gräns.
Derivt och integrl. Omskrivning/förenkling v svret. I Ex.vis är x x = x +C och ärefter D(x +C) = x. Allmänt är [ ] f(x) x = f(x). x Integrl och erivt tr ut vrnr i en orningen. II Ex.vis är x x = x och ärefter x x = x + C. Allmänt är [ ] x f(x) x = f(x) + C. Derivt och integrl tr ut vrnr i en orningen, nästn. Eftersom erivering hr linjär egenskper, så hr även integrler et: ( f(x) + b g(x))x = f(x)x + b g(x)x. P.s.s. för bestäm integrl. Bevis genom tt eriver bå le. Integrtionsmetoer P.I., som är förkortning för prtiell integrtion. Me en fixr mn en integrn, som är en proukt. Den bygger på tt erivtn v proukt. (u v) = u v + uv. Vi integrerr bå le: (u v) x = u v = u v x + u v x. Vi flyttr om termern och får u v x = u v u v x. Här gör mn ett byte och sätter F (x) = u(x), så tt F (x) = f(x) = u (x) smt v(x) = g(x). Då erhålls f(x)g(x) x = F (x) g(x) F (x) g (x) x () Ex Beräkn π/ x sin x x. Vi väljer x = g(x)m en funktion som är eriver i () och ärme f(x) = sin x. Vi ser tt x sin x x = x( cos x) ( cos x)x = sin x x cos x + C så tt π/ x sin x x = [sin x x cos x] π/ =. V.S., som är förkortningen för vribelsubstitution. f(x) x = f(x(t)) x t. () t Mn sätter lltså x = x(t),.v.s. gör x till en funktion v en ny vribel t. När mn gör V.S. ser et ock inte ut, riktigt som tt mn gör x till en funktion v t. Vi kn enkelt bevis () genom tt eriver bå sior m..p. t. Ex Betäm en primitiv funktion till x + 4.
Vi gör omskrivningen x + 4 = 4 x + 4 x = 4 4 (x/) +. (x/) x = {x = t, x = t} = + t + t = Svr: En primitiv funktion är rctn(x/). Ex Bestäm en primitiv funktion till tn x. rctn t + C. sin x cos x x = { t cos x = t, x = cos x = sin x x t = sin x x,.v.s. täljren me fel tecken. t = ln t + C = ln cos x + C. t } = Svr: En primitiv funktion till tn x är ln cos x. Rtionell integrn En sån funktion r(x) = p(x) skll utveckls. Vi ntr tt p och q är q(x) polynom och tt r är förkortt så långt som möjligt. Om gr p gr q så polynomivision. Om gr p < gr q så uppelning i prtilbråk. x x x + Ex Beräkn integrlen x x. x gr p = gr q =, lltså pol. iv., som ger r(x) = x + + x x. Och nu PBU på en sist termen, ty är hr täljren gren och nämnren gren. Vi fktoriserr nämnren och nsätter x(x ) = A x + B x. Ansättningen i täljren me A och B beror på tt ess hr en gr lägre än respektive nämnre. Genom tt sätt HL på MGN och ientifier täljrn i VL och HL får mn A(x ) + Bx VL HL = x x(x ) x(x ) : = A A =, B =. x : = A + B Alltså kn integrlen skrivs ( x + x + ) x = x + x ln x + ln x + C. x Ex Beräkn () π sin x x, (b) sin x x. 4
() Dett är en bestäm integrl. Vi skriver om integrnen som sin x = cos x. Alltså är π/ [ ] π cos x x sin sin x x x = x = = π 4. (b) Dett är en obestäm integrl. Vi skriver om integrnen som sin x = sin x sin x = ( cos x) sin x och gör V.S. cos x = t sin x x = t, så tt sin x x = ( cos x) sin x x = ( t )( )t = t t + C = cos x cos x + C. 5