Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill sseme om susiuioe s s s sisfierr ll ekvioer i ss). Defiiio. Mägde v ll lösigr ill e ekviosssem klls ssemes lösigsmägd. Vi säger vå ssem är ekvivle om de hr smm lösigsmägd. ANTAL LÖSNINGAR. För e lijär ekviosssem gäller precis e v följde leriv:. Sseme hr precis e lösig.. Sseme hr oädlig måg lösigr. Sseme skr lösig. Sseme är ikosise) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får gör följde elemeär operioer med ekvioer u ädr ssemes lösigsmägd:. B pls på vå ekvioer. Muliplicer e ekvio med e l. Adder e mulipel v e ekvio ill e ekvio TOTALMATRIS När vi löser e lijär ekviosssem ss) räkr vi eds med ssemes koefficieer. Vi k skriv ll koefficieer i e ell som vi kllr ssemes olmris och räk eds med mrises eleme. Tolmris ill ss) m Om vi iför mriser m m m.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio A och B m m m m då är olmrise A B) Amärkig: Mrise A klls ekviosssemes koefficiemris. Isälle skriv hel ekvioer räkr vi med rder i olmrise. Vi får gör följde elemeär rdoperioer u ädr ssemes lösigsmägd:. B pls på vå rder. Muliplicer e rd med e l. Adder e mulipel v e rd ill e rd GAUSSELIMINATION Successiv elimiio). Med hjälp v elemeär operioer överför vi sseme ill e ekvivle ssem på rppsegsform som är ekel lser och eveuell lös). Vi srr med de förs ekv. i sseme. De förs ekv väder vi för elimier i ll ekvioer föruom förs Om ie fis i de förs ekvioe d.v.s. om er vi pls med de ekvio där fis. ) Efer förs seg får vi följde ekviosssem ' ' ' ' m ' ' ' m ' ' ' m ss ) Därefer väder vi dr ekvioe och elimierr på smm sä frå ll dr föruom ekv dvs vi elimierr frå ekv ekv m). De k häd är elimierd efer förs seg frå ll ekvioer uom förs då går vi direk ill. All eveuell skriver vi lägs ed i sseme. A vi får eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k försumms. A) Får vi ågo gåg e ekvio v p där e ) hr sseme INGEN LÖSNING. Självklr ehöver vi i de fll ie gör fler räkeoperioer)
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio B) Om flle A ie förekommer är sseme lösr. Vi forsäer ills vi får sseme på rppsegsform: ' ' ' k k ' ' eveuell ' ' lägs ed i sseme Då löser vi u de ledde vriler. All dr om de fis ågr föruom ledde vrierr fri fri vriler). Vi hr följde vå fll för kosise) lösr ssem: B. PRECIS EN LÖSNING om sseme är kosise lösr) me hr ig fri vriler. B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om sseme är kosise lösr) och hr mis e fri vriel. Amärkig: Vi iför e prmeer för vriel som vrierr fri. Vi k uför Gusselimiio med hjälp v ssemes olmris geom överför olmris ill rppsegsform Eempel på rppsegsform: 8 E olmris hr rppsegsform om Eveuell ollrder är lägs ed E e ledde e) är de förs icke-oll eleme i vrje rd som ie esår er v ollor. De ledde eor sår lägre ill höger ju lägre ed vi läser - Ledde eor svrr mo ledde vriler om de sår i förs dele v olmrise. - Vi iför e prmeer för vrje vriel som ie hr ledde e för vrje vriel som vrierr fri). A) INGEN LÖSNING om e ledde e sår i dr dele v olmrise på rppsegsform.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio Eempel för ige lösig olmrise ) Mosvrde ssem: e ledde e i dr dele v B) Om flle A ie förekommer då är sseme lösr: B. PRECIS EN LÖSNING om sseme är kosise lösr) me ig fri vriler. 9 8 Eempel för precis e lösig re ledde eor och re vriler ig fri vriler). Lägg märke ill e ollrd ie eder uomisk oädlig måg lösigr u e ekvio är e lijär komiio v dr!!! Mosvrde ssem: 9 8 Amärkig Vi upprepr sis ekvioe eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k försumms.) B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om sseme är kosise lösr) och mis e fri vriel. 9 8 Eempel för oädlig måg lösigr vriler e fri vriel). Mosvrde ssem: vå ledde eor och re 9 8 EXEMPEL. ) Lös sseme
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio 9 ) Age ssemes lösigsmägd.. Lösig: ) ) 9 ekv ek ekv ek Vi hr få rppsegs form och löser u de ledde vriler. Vi örjr frå de sis ekvioe: och d.v.s. Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) Lösigsmägde esår v precis e puk ). Vi k äve skriv lösigsmägde {)}. Svr: ) Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) ) Lösigsmägde {)}. ------------------------------------------------------------------------------ Lösig med hjälp v ssemes olmris: 9 ~ ) ) rd rd rd rd rppsegsform När vi får rppsegsform skriver vi mosvrdeekvios ssem Härv Svr: ) Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) ) Lösigsmägde {)}.. ) Lös sseme ) Age ssemes lösigsmägd. Lösig:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Svr: Sseme hr ige lösig. v Lijär ekviosssem. Gusselimiio ------------------------------------------------------------------------ Lösig med hjälp v ssemes olmris: ~ rppsegsform) Ige lösig efersom e ledde e fis i dr dele v olmrise. Svr: ) Sseme hr ige lösig. ) Lösigsmägde " de omm mägde").. ) Lös sseme 8 ) Age ssemes lösigsmägd. Lösig: 8 Svr: Oädlig måg lösigr: där och är godcklig l. Vi k eeck och s och eskriv lösige med hjälp v vå prmerr: s s där s är godcklig l. ------------------------------------------------------------------------ Lösig med hjälp v ssemes olmris: ~ rppsegsform) 8 Lösr ssem ige ledde e i dr dele). E ledde e me re vriler och. Vi k lös u e vriel ledde ). Två dr och vrierr fri. Oädlig måg lösigr: Mosvrde ssem på rppsegsform där och är godcklig l. Vi k eeck och s och eskriv lösige med hjälp v vå prmerr: s s där s är godcklig l Svr: ) Oädlig måg lösigr: s s
v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio ) Lösigsmägde är mägde v ll puker ) s s där s är vilk som hels) reell l. Vi k formell skriv lösigsmägde { R s s s ) : }.. Lös följde ssem med vseede på och ) ) c) Lösig: ) Ige lösig Svr ) Ige lösig ) Svr ) Ek e lösig. c) där är e godcklig l oädlig måg lösigr.) Svr c) Oädlig måg lösigr.. Lös följde ssem med vseede på och ) ) Lösig: ) Svr )
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 v Lijär ekviosssem. Gusselimiio ) Svr ) Ige lösig Ige lösig. Lös följde ssem med vseede på och för ll värde på prmerr och Lösig: ) Vi hr följde fll: A) Sseme hr ek e lösig: B) och dvs Sseme hr följde form: där. Allså skr sseme lösig i de fll. B) och dvs Sseme hr följde form: Vi löser u frå de förs ekvioe och får: där är e godcklig l oädlig måg lösigr) eller Svr : A) Sseme hr ek e lösig:. B) och Sseme hr INGEN lösig. B) och Sseme hr oädlig måg lösigr: där ä e godcklig l. 8
9 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio. Lös följde ssem med vseede på och för ll värde på prmerr och Lösig: ) ) Vi hr följde fll: A) Sseme hr ek e lösig: B) och dvs Sseme hr följde form: där. Allså skr sseme lösig i de fll. B) och dvs Sseme hr följde form: Vi löser u ledde vriler och och får: och där är e godcklig l oädlig måg lösigr) eller där är e godcklig l. Svr : A) Sseme hr ek e lösig:. B) och Sseme hr INGEN lösig. B) och 9
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Sseme hr oädlig måg lösigr: där ä e godcklig l. v Lijär ekviosssem. Gusselimiio