TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt uttrcks som funktioner v någon prmeter t som vrierr i ett intervll. Till eempel skulle (t) = cos t och (t) = sin t, där vi låter t π, beskriv cirkeln + =. På dett sätt kn vi även få med fllet då en kurv inte kn uttrcks som en funktion = f(). Eempelvis kn kurvn som bestäms v = 6 sin 3 t och = 3 cos t 5 cos t cos 3t cos 4t med t π rits enligt följnde. L.7 l.e. Att beskriv dett som ett funktionssmbnd = f() förefller gnsk omöjligt. Omvänt däremot, om vi utgår från en funktion kn vi lltid skp en prmeterfrmställning. Prmeterform för en funktionskurv Om kurvn vi är intresserd v ges v en funktion f på ett intervll [, b], i.e., = f() för b, så kn vi beskriv dett på prmeterform genom tt till eempel välj = t och = f(t), där t b. john.thim@liu.se En dödsklle visde sig vr för svår tt beskriv mtemtiskt...
Än så länge hr vi egentligen inte ställt någr krv på ingående funktioner, men för tt på något (enkelt) sätt kunn definier vd vi menr med kurvlängd kommer vi tt kräv tt funktionern är kontinuerligt deriverbr (dvs f är deriverbr och f är kontinuerlig). Vi brukr smmnftt dett villkor genom tt säg tt f C ([, b]). Vi ntr underförstått tt dett gäller om inget nnt nges. Sts. Om C ([, b]) och C ([, b]) så ges längden v kurvn ((t), (t)) för de t där t b, v L = ( (t)) + ( (t)) dt. Vi skissr beviset lite informellt br för tt se tt det verkr rimligt; det finns ett mer precist bevis i kursboken. Vi ritr en figur och funderr över hur vi kn pproimer längden v en liten del v kurvn. Låt t > vr ett litet tl och låt r(t) = ((t), (t)) R. Vi hr följnde principfigur: r(t) s l r(t + t) Då är det lill bågelementet s l om t är litet och kurvn gltt (ges v deriverbr funktion). Längden l i sin tur kn vi beräkn genom l = r(t + t) r(t) = ((t + t) (t)) + ((t + t) (t)) ((t ) ( ) + t) (t) (t + t) (t) = + t ( t t (t)) + ( (t)) dt då t. Vi väljer nu tt kll det sist uttrcket för bågelementet ds. Med ndr ord, vi definierr ds = ( (t)) + ( (t)) dt. Eempel Räkn ut omkretsen för en cirkel med rdie R.
Lösning. Vi vet redn svret, men vi nvänder stsen ovn för tt illustrer. Lämpligen representerr vi cirkeln som (t) = R cos t och (t) = R sin t för t π. Dett är ett sätt tt prmetriser cirkeln på. Eftersom ingående funktioner är snäll erhåller vi då kurvlängden L = ˆ π ˆ π ( (t)) + ( (t)) dt = ( R sin t) + (R cos t) dt = ˆ π = R ˆ π R sin t + cos t dt dt = πr, eftersom R = R då R >. Ovnstående är ett specilfll för kurvlängd då vi nvänder polär koordinter. Mer generellt låter vi rdien vr en given funktion r = h(t), så (t) = r(t) cos t och (t) = r(t) sin t. Stsen ovn implicerr tt ds = h(t) + h (t) dt (vis det). Låt oss smmnftt dett nvändbr resultt. Kurvlängd i polär koordinter Om en kurv Γ ges i polär koordinter, = r cos t och = r sin t, där r = h(t) för α t β och h är kontinuerlig, så kn längden v Γ beräkns enligt L = ˆ β α h(t) + (h (t)) dt. Kurvlängd v en funktionskurv Om vi är intresserde v längden v kurvn = f(), b, kn vi enkelt ställ upp uttrcket för dett genom tt prmetriser som i eemplet tidigre: (t) = t och (t) = f(t). Då är (t) = och (t) = f (t) och längden ges v L = + (f ()) d. ( ) Rent konkret blir klklern oft gnsk jobbig eftersom integrnden innehåller kvdrtrötter v ndrgrdsuttrck. Som tur är behndldes mång sådn situtioner i envribel-ettn! Eempel Räkn ut längden v kurvn = för. 3
Lösning. Vi ser tt kurvn ges v en C -funktion och tt = f() med f() =. Då ges lltså kurvlängden v + () d = = + 4 d [ + 4 ] = 5 = 5 = där vi utnttjt välkänd (nåj..) primitiv funktion till. Eftersom vi får tillbk inte- + grlen med rätt tecken hr vi nu 4 + 4 d + 4 d + d + 4 + 4 [ ( + 4 d + ln + ) ] + 4 + 4 d + 5 + ln( + 5), + () d = 5 + ln( + 5). 4 Definition v kurvlängd Om f C kn mn definier längden L v en kurv direkt med ( ) ovn, men observer tt vi inte direkt kn nvänd stsen som definition v kurvlängd för ll kurvor. Betrkt till eempel fllet då f() =. Som beknt är f inte deriverbr i origo och därmed fungerr inte stsen som formulerd. Men vi vet också tt mn kn del upp Riemnnintegrler i två delr och därmed kunn räkn ut längden v kurvn på vrje del och summer dess. Dett fungerr även om vi hr mång fler punkter där f inte finns (åtminstone så länge dett är ett ändligt ntl). Vd händer sen? Ett eempel på en kurv där det går åt skogen tt räkn ut längden är Kochs snöfling. Mn strtr med en liksidig tringel och delr sedn vrje sid i tre delr och ersätter den mitterst med en n liksidig tringel. Processen uppreps på ll n linjesegment om och om igen oändligt mång gånger. Den kurv som uppstår visr sig inte h någon prmetrisering som är deriverbr i en end punkt! Hur sk vi definier längden v en sådn kurv? Vi ritr de se först stegen. 4
Fktum är tt L = är den end rimlig definitionen. Vrför? Låt L n vr kurvlängden för itertion n och ntg tt kntlängden i den först tringeln är. Då är L = 3. När n = får vrje linjesegment längden /3 och vrje sid ger upphov till 4 n knter. Således blir kurvlängden när n = inget nnt än L = 3 4 3 = 4. När n = k finns det 3 4k knter, vr och en v dess hr längden 3 k. Alltså ges den totl kurvlängden L k för itertion k v ( ) k 4 precis L k = 3 4 k 3 k = 3. När n är det således tdligt tt L n. 3 Vd blir ren som innesluts v kurvn? Är frågn rimlig? Vid itertion k finns 3 4 k knter, så vid itertion k läggs det till 3 4 k tringlr, vr och en med ren 3 k 3 k 3. 4 Således blir totl ren A n vid itertion n (med n ) n 3 3 A n = A + 3 4 k 9 k 4 = 4 + 3 3 n ( ) k 4 3 3 = 4 9 9 4 + (4/9)n 4/9 k= k= 3 = 4 + 3 ( ( ) ) n 3 4 3, då n. 9 5 En rimlig tolkning på ren som omsluts v snöflingn är lltså 3/5. Pln re Om g() f() på ett intervll [, b] så ges ren A melln f och g v A = (g() f()) d under förutsättning tt funktionern är tillräckligt snäll. Området vrs re vi är intresserde v är D = {(, ) R : b, f() g()}. 5
g() D b f() Eempel Räkn ut ren melln = cos och = sin, π/4. Lösning. Aren ges v A = ˆ π/4 (cos sin ) d = [ sin + cos ] π/4 = vilket är positivt så svret är inte helt orimligt. Vi bör även kontroller tt cos sin för < < π/4. En figur visr tdligt hur situtionen ser ut, och här är lltså den skuggde ren lik med.4 reenheter. D π 4. Are i polär koordinter Polär koordinter är nvändbr i situtioner då vi hr lättre tt beskriv hur långt från origo något befinner sig än tt preciser hur vrition ser ut direkt i - och -koordinter. Vi hr som beknt = r cos ϕ och = r sin ϕ och kn då betrkt områden som ges på formen D = {(, ) R : r h(ϕ), α ϕ β} där h(ϕ) är någon kontinuerlig funktion och α β. Vi skissr hur situtionen ser ut. 6
D da r = h(ϕ) dϕ α β ϕ Aren v dett område kn beräkns enligt följnde: A(D) = ˆ β α h(ϕ) dϕ. Motiveringen till reformeln kommer från tt vi kn betrkt ett litet reelement vid vinkeln ϕ enligt da = πh(ϕ) dϕ π = h(ϕ) dϕ eftersom det är en del v en disk med rdien h(ϕ). Vi summerr dess reelement och erhåller formeln ovn. 3 Volm Både rottionsre- och rottionsvolmsberäkningr hör egentligen hemm i en flervribelnlskurs, men på grund v rottionssmmetrin kn vi oft reducer re- och volmberäkningr till ett fll med br en vribel. Mcket v kommnde formler är lite hndviftnde men visr ändå på hur krftfull verktg integrl- och differentilklkl är. 3. Rottionsvolm vi skivor Vi börjr med tt beskriv det som brukr klls skivformeln. Vi betrktr en icke-negtiv funktion f() och låter området D = {(, ) R : f(), b} roter ett vrv kring -eln. För vrje värde [, b] uppstår då en disk (skiv) med re A() = πf() eftersom rdien för disken ges v funktionsvärdet i punkten : r = f(). 7
Vi multiplicerr med d för tt få en infinitesiml clinder (höjden är lltså d) som hr volmen dv = A() d = πf() d. Vi summerr dess och erhåller då den så kllde skivformeln: V = dv = π f() d. Skivformeln Sts. Om f() är kontinuerlig så ges volmen V som uppstår då området D = {(, ) R : f(), b} roterr ett vrv kring -eln v V = π f() d. Vi bevisr inte stsen utn nöjer oss med rgumentet ovn. En principskiss visr också hur vi summerr små skivor för tt få hel volmen. Formeln är även känd som brödskiveformeln. Vrför tror du formeln fått det nmnet? f() A() b f() Eempel Beräkn volmen v den kropp som uppstår då området som begränss v kurvn = 3 och -eln roters ett vrv kring -eln. 8
Lösning. Kurvn = 3 skär -eln då 3 =, vilket sker precis då = och = 3. För 3 är 3, så volmen vi söker ges v ˆ 3 ˆ 3 ] 3 ) π (3 ) d = π (9 6 3 + 4 ) d = π [3 3 34 + 5 = π (8 36. 5 Mn bör se till tt dett uttrck åtminstone är positivt (vrför?). En figur är också på sin plts: 3 +d 3 Vi kn även t hänsn till ihåligheter i rottionskroppen som i följnde eempel. Eempel Bestäm volmen då området 3,, roterr ett vrv kring =. Lösning. Det vnligste felet är tt mn missr tt det är en viss specifik t som roterr runt en el, inte området melln en kurv och rottionseln. De clindrr som uppstår (med höjd d) är INTE homogen utn hr ett hålrum. Vi skissr hur situtionen ser ut i plnet: = Ett tvärsnitt vid : + +d Således kommer volmen tt ges v ˆ ( 3 [ π ( + ) d π 5 3 = π 5 + 43 3 + 4 ] 3 ) ( ) 43 = π + 36 + = 43π 5 5, där vi helt enkelt drgit bort volmen v den ihålig clindern med rdie och höjd 3. 9
Eempel Beräkn volmen v ett klot med rdie där vi skär ut en clinder med rdie som hr -eln som sin smmetriel. Lösning. Vi tänker oss tt klotet uppstår vid rottion v disken + kring -eln. Clindern uppstår när vi roterr området melln = och -eln kring -eln. Clindern får oändlig volm så hur reder vi ut hur mcket som ligger i klotet? Ett sätt är skiss situtionen. Kurvn + = skär linjen = precis då = ±. Vi ser då tt skivformeln med en undre gräns = istället för = (-eln) ger tt den eftersökt volmen blir V = π ( ) d = π ( ) d = 4π 3. Rottion kring lr prllell med -eln Vi kn roter kring en linje = c i stället för kring -eln om vi kräver tt f() c. Det end som ändrs är rdien eftersom det nu är reltivt = c och inte =, så skivformeln får utseendet π (f() c) d. Smm formel gäller om f() c. Det viktig är tt vi ligger på en sidn v rottionseln. 3. Rottionsvolm vi clindrr Om vi vill roter kring -eln i stället är det oft enklst tt gör med rörformeln. Vi betrktr smm område D = {(, ) R : f(), b} med tillägget tt (så hel området är på en sidn v rottionseln). Vid ett fit [, b] tänker vi oss en clinder med höjden f() och rdien. Dett ger mntelren M() = πf(). Vi multiplicerr med en liten tjocklek för tt få ett volmselement dv = M() d = πf() d. Vi summerr dess volmelement och erhåller då den så kllde clinderformeln: V = dv = M() d = π f() d.
Clinderformeln Sts. Låt och f(). Volmen V som uppstår då området D = {(, ) R : f(), b} roters ett vrv kring -eln ges v V = π f() d Vi försöker skiss situtionen. f( ) f() b b Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området som begränss v kurvn = 3/, -eln och 4, roters ett vrv kring -eln. Lösning. För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till -eln) och höjden ges v 3/. Alltså är mntelren π(3/) = 6π och vårt volmselement blir helt enkelt 6πd. Alterntivt direkt vi rörformeln: = 3/ π ˆ 4 3 ˆ 4 d = π 3 d = 8π. +d Rottion kring lr prllell med -eln Det är inget mgiskt med -eln, utn rottion kn ske kring vilken linje = c som helst utn större modifiktion. Det end som ändrs är krvet tt bts ut mot tt c och tt rdien för vår clindrr nu ges v r = c, eller tt b c och r = c.
Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området som begränss v kurvn = 3/, -eln och 4, roters ett vrv kring () linjen = (b) linjen = 5. Lösning. Situtionen är väldigt snrlik föregående eempel. () För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till rottionseln) och höjden ges v 3/. Rörformeln ger nu tt volmen ges v ˆ 4 π ( ) 3 ˆ 4 ( d = π 3 3 ) d = 3/ = 6π [ ln ] 4 = 6π (3 ln ). Observer tt denn volm är strikt mindre än volmen i förr eemplet. Precis som sig bör. (b) Nu befinner vi oss på ndr sidn rottionseln, och rdien för rottionen ges då istället v r = 5. Sålund, +d V = π ˆ 4 (5 ) 3 d = π (5 ln 3 9). = 3/ Volmen är åtminstone större en noll (eftersom ln 3 > ) så inget direkt orimligt. +d 5 4 Smmnfttnde eempel för rottionsvolmer I föregående eempel hr vi nvänt skivformeln för rottion kring lr prllell med -eln och rörformeln för rottion prllell med -eln, men det är inget krv. Följnde eempel belser dett. Eempel Låt området D ges v det begränsde området melln kurvn =, -eln och linjen =. Bestäm volmen V då D roterr ett vrv kring -eln och volmen V då D roterr ett vrv kring -eln. Lösning. Vi börjr med tt rit en figur (lltid en br idé).
= +d +d Vi ser tt för kurvn gäller tt = om och endst om = (både och är ickenegtiv). Vi kn lltså uttrck kurvn både som en funktion v och som en funktion v. På dett sätt kn ll rottionsvolmer ställs upp på två olik sätt: med vseende på och med vseende på. Vi ställer upp volmen som uppstår vid rottion kring -eln först: lterntivt V = π V = π ˆ ˆ ( ) d = π ( ) d = π [ ] = π ] [ 4 = π. 4 Angående den ndr formeln kn vi säg tt vi egentligen roterr en clinder med bsrdie och höjd (längs -eln) och drr bort volmen som uppstår från kurvn =. Om vi roterr kring -eln i stället erhåller vi vi rörformeln tt V = π ˆ [ ] d = π 5 5/ = 6π. 5 Alterntivt kn vi nvänd skivformeln där vi återigen måste skär bort delr ur rottionen med hjälp v en clinder: V = π ˆ ( ( ) ) d = π (4 ) 5/ 5 = 6π. 5 3