Determinanten och dess geometriska betydelse

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Determinanten och dess geometriska betydelse"

Transkript

1 Version 0.9 :: 18 oktober 11:42 Determinanten och dess geometriska betydelse med en introduktion till kryssprodukten Mikael Forsberg 18 oktober 2015

2 ii

3 Innehåll 1 Determinanten Introduktion till Determinanten och hur den beräknas Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Determinantberäkning med Gausselimination Sarrus regel :: gäller inte för 4 4-matriser eller större Exempel på determinantberäkning med en kombination av metoder Ett exempel på Determinantens användning Övningsuppgifter om determinantberäkning Determinanten och dess Geometri Geometrisk tolkning :: determinanten till en två gånger två matris Geometrisk tolkning av determinanten av en 3 3 matris Geometrisk tolkning av regeln det A k = k det A Övningsuppgifter om determinantents geometri Kryssprodukten Kryssprodukten :: definieras mha determinanten Introduktion till kryssprodukten Definitionen av kryssprodukten Kryssproduktens geometriska egenskaper Kryssprodukten är vinkel rät mot vektorerna Högerhandsregeln Kryssprodukten och arean av ett parallellogram Kryssprodukten och den skalära trippelprodukten Kryssproduktens algebraiska egenskaper Varför är kryssprodukten viktig? Kryssprodukten inom fysik Kryssprodukten och momentvektorn Övningsuppgifter om kryssprodukt Lösningar till övningsuppgifterna 25 Sakregister 32 iii

4 iv INNEHÅLL

5 Kapitel 1 Determinanten 1

6 2 KAPITEL 1. DETERMINANTEN 1.1 Introduktion till Determinanten och hur den beräknas Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt tal. Determinanten definierar vi som talet själv, dvs det A = a (Eftersom sådan matriser helt enkelt är våra vanliga tal så är sådana matriser egentligen fåniga men fyller ett syfte i att beskriva hur determinanter beräknas med kofaktorutveckling.) Låt oss nu betrakta en 2 2-matris B = ( ) b11 b 12. b 21 b 22 Vi definierar nu determinanten av B m.h.a. s.k. kofaktorutveckling längs första raden. Med ord så får vi: determinanten är b 11 gånger determinanten för den matris som vi får om vi tar bort rad och kolonn som b 11 står i, vilket blir 1 1 matrisen (b 22 ) s determinant, dvs talet b 22. Sedan skall vi lägga till b 12 gånger determinanten för den matris vi får om vi stryker rad och kolonn som b 12 står i, dvs talet b 21. Detta är ganska omständigt men blir enklare om vi sammanfattar med följande det B = ( 1) 1+1 b 11 b 22 + ( 1) 1+2 b 12 b 21 = b 11 b 22 b 12 b 21 Notera hur tecknena följer som potenser av 1, där en jämn potens blir positiv och en udda potens blir negativ. Den omständiga beskrivningen i ovan kan vidgas till 3 3-matriser. Låt C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23. c 31 c 32 c 33 Om vi gör kofaktorutveckling så låter det som tidigare: första elementet gånger determinanten för den matris vi får genom att ta bort rad och kolonn som första elementent står i osv. Vi skriver det som följer: ( ) det C = c 11 ( 1) 1+1 c22 c det 23 c 32 c 33 }{{} =C 11 ( ) + c 12 ( 1) 1+2 c21 c det 23 c 31 c 33 } {{ } =C 12 ( ) + c 13 ( 1) 1+3 c21 c det 22 c 31 c 32 }{{} =C 13 Det är dessa deldeterminanter tillsammans med tecknet som kallas för kofaktorer, och som givit upphov till namnet kofaktorutveckling. Med följande beteckning blir uttrycket enklare att skriva ned: ( ) C 12 = ( 1) 1+2 c21 c det 23 c 31 c 33

7 1.1. INTRODUKTION TILL DETERMINANTEN OCH HUR DEN BERÄKNAS 3 På samma sätt får vi C ij som ( 1) i+j gånger determinanten för den matris som återstår om vi stryker rad i och kolonn j. Och det C kan nu skrivas det C = c 11 C 11 + c 12 C 12 + c 11 C 12 Exempel Låt C = Då får vi att determinanten blir ( ) 1 3 det C = 2 det 1 det 5 2 ( ) ( 1) det 2 2 = 2 ( 2 15) (2 + 6) (5 2) = = 45. ( ) 1 1 = 2 5 Notera att man får utveckla längs vilken rad eller kolonn som man själv vill. Detta kan vara gynnsamt i vissa fall. En tumregel är att kofaktorutveckla längs en rad som det finns nollor i, ju fler desto bättre. Följande exempel illustrerar detta! Exempel Betrakta följande 4 4 matris: D = I detta fall ser vi att kolonn 3 har många nollor, vilket gör det fördelaktigt att utveckla längs denna kolonn: det D = 0 C C C C 43 = = ( 1) = där vi i den sista likheten noterar att matrisen är samma som matrisen C i förra exemplet. Från föregående exempel kan vi alltså se att det är en stor fördel att vi har många nollor i en rad eller, som i exemplet, i en kolonn. Då reduceras antalet räkneoperationer ofta ganska betydligt. I nästa avsnitt lär vi oss hur vi kan använda Gausseliminationsmetoder vid determinantberäkningar. Genom att göra typiska radoperationer så kan vi som vi sett åstadkomma nollor i en kolonn under ett visst element. Vi kan alltså med radoperationer modifiera en matris så att vi får en kolonn med nollor och på så sätt göra situationen enklare vid determinantberäkning.

8 4 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Determinantberäkning med Gausselimination Determinanten kan även beräknas mha Gausselimination. Att detta är en framkomlig beräkningsväg beror på att enkla radoperationer inte förändrar determinantens värde och att determinanten för den triangulära matris som vi får från Gausseliminationen är lätt att beräkna. Vad man dock måste hålla rätt på är radbyten (som ger ett teckenbyte för determinanten) och multiplikation av en rad med en konstant (som förändrar determinantens värde med den konstanten). Faktum 1 :: determinanten till triangulär matris En triangulär matris är en matris på formen a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n T = a nn Nollor nedanför huvuddiagonalen alltså. Ovanför och på diagonalen kan vi ha vilka tal som helst. Determinanten för en triangulär matris är produkten av diagonalelementen: Exempel Determinanten för matrisen det T = a 11 a 22 a nn A = blir det A = 2 ( 5) 8 = 80 Faktum 2 :: determinanten och radoperationer Följande räkneregler måste man behärska när man ska beräkna determinanter med Gausselimination. 1. När man multiplicerar en rad med ett tal och adderar resultatet till en annan rad så får man en ny matris som har samma determinant som den ursprungliga matrisen. 2. Om man byter plats på två rader får man en ny matris vars determinant har samma absolutbelopp men har motsatt tecken. 3. Om man multiplicerar en rad i matrisen A med talet k så får man en ny matris B vars determinant uppfyller det B = k det A Låt oss se detta in action:

9 1.1. INTRODUKTION TILL DETERMINANTEN OCH HUR DEN BERÄKNAS 5 Exempel Vi beräknar determinanten till följande matris M = med hjälp av Gausselimination. Strategin är att Gausseliminera som vanligt och sedan använda de bokförda operationerna för att följa hur determinanten förändras med dem (1/2) ( 1/7) Gausseliminering ger oss alltså en kedja av matriser M, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, räknade från vänster till höger uppifrån och ned. I varje steg måste vi noga använda oss av våra tre ovanstående regler för att bokföra hur determinanten för matriserna i kedjan förhåller sig till varandra. Den sista matrisen M 5 s determinant är lätt att beräkna (produkten av diagonalelementen) och vi behöver använda alla bokförda förändringar till att få fram determinanten för M. Vi har att det M 1 = 1 2 det M, det M 2 = det M 1, det M 3 = det M 2, det M 4 = 1 7 det M 3 och det M 5 = det M 4. Determinanten för M kan vi lösa ut från ovanstående det M = 2 det M 1 = 2 det M 2 = 2 det M 3 = 2 7 det M 4 = 14 det M 5 = 14 ( 4) = Sarrus regel :: gäller inte för 4 4-matriser eller större 2 2 och 3 3-matrisers determinanter kan beräknas med den så kallade Sarrus regel, dvs den metod som beskrivs på sidan 191 (eller s. 207) (texten före uppgifterna i kapitel 3.1) i Lay och på sidorna kring figur i Anton och Rorres. I de flesta fall så är denna metod snabbare att använda än kofaktormetoden. Varning Sarrus regel gäller bara matriser vars format inte är större än 3 3. Det är alltså viktigt att komma ihåg att:: denna metod kan inte generaliseras till 4 4- matriser eller större. För sådana större matriser måste vi ta till kofaktorutvecklingen eller Gausselimination som gäller för matriser av godtyckligt kvadratiskt format p p. Hur man räknar ut determinanten med Sarrus regel :: Uppgift :: Beräkna determinanten till A =

10 6 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Figur 1.1 Uppställning vid determinantberäkning med Sarrus regel. Pilarna indikerar att elementen längs pilen skall multipliceras med varandra, ett + efter pilen beyder att denna produkt skall adderas medan ett minus betyder att produkten ska subtraheras. Sarrus metod går ut på att man skriver upp matrisen och lägger till första och andra kolonnen som stöd till höger och drar pilar enligt figur 1.1. Pilarna indikerar att element skall multipliceras och tecknen anger om produkten skall adderas eller subtraheras i determinanten. För matrisen A så blir determinanten det A = +(1 5 9) + (2 6 7) + (3 4 8) (3 5 7) (1 6 8) (2 4 9) = = = = 0 Exempel Vi tar ett till exempel (samma som vi använde för gausseliminationsmetoden). Denna matris innehåller negativa element vilket gör att man måste vara noggrann med att hålla rätt på tecknen M = I detta fall får vi uppställningen M = Sarrus regel ger oss nu det M = +(3 6 3) + (2 4 ( 5)) + (( 1) 2 2) (( 1) 6 ( 5)) (3 4 2) (2 2 3) = = = 56 Notera här alla paranteser för att hålla rätt på tecknen. Gör man inte det finns det risk att man gör ett teckenfel som då ger oss en felaktig determinant. Determinantberäkningar kommer ofta göras som ett viktigt steg mitt i en större uppgift. Ofta är det ett steg som sedan påverkar resten av beräkningen. Noggrannhet rekommenderas alltså starkt!!

11 1.1. INTRODUKTION TILL DETERMINANTEN OCH HUR DEN BERÄKNAS Exempel på determinantberäkning med en kombination av metoder I många fall är Gausseliminationen själv en besvärlig metod att använda för att beräkna determinanten eftersom man måste noggrant bokföra de operationer som påverkar determinantens värde. Men styrkan ligger i att man genom att göra några få enkla eliminationssteg kan förenkla matrisen så att determinanträkningen med de andra metoderna blir enklare. Vi ska i följande exempel se hur detta kan gå till. Exempel Vi ska beräkna determinanten till matrisen M Eftersom matrisen är en 4 4-matris så måste man använda antingen kofaktorutveckling eller Gausselimination för att beräkna matrisens determinant. I denna lösning kommer vi dock att göra en hybrid, en blandning av metoder: i.) Börja med att byta plats på två rader för att få en bättre utgångspunkt vid Gausseliminationen. (kom ihåg att vi då får ett teckenbyte i determinanten.) ii.) Utför vanlig Gausselimination för att få nollor nedanför första elementet i den första kolonnen. iii.) Determinanten för matrisen med nollkolonn reduceras till att beräkna determinanten för en 3x3-matris. Denna 3x3 determinant kan vi beräkna med Sarrus regel. Vi börjar med radbytet 1 och Gausseliminationen: M = = M 1 Notera att radbytet gör att vi har M = M 1 eftersom de vanliga radoperationerna som skapar nollorna inte påverkar determinanten. Kofaktorutveckling längs första kolonnen ger oss nu att M 1 = 1 ( 1) 1+1 det = det Där vi använt Sarrus regel för att beräkna 3 3-matrisen: det = = 19 = 7 ( 2) ( 1) + ( 1) ( 7) 2 + ( 3) 7 ( 1) [( 3) ( 2) ( 7) ( 1) + ( 1) 7) ( 1)] = = = 19 Om vi sammanställer allt detta så får vi M = M 1 = ( 19) = 19 1 om man vill vara riktigt snitsig så gör man två radbyten och eftersom varje radbyte ger ett minustecken så ger dessa två tillsammans en ny matris som har samma determinant som den vi startade med, detta gjorde vi på campusföreläsningen

12 8 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Ett exempel på Determinantens användning Vi ska titta på ett exempel där determinanten fyller en viktig funktion för att ge oss lösningen till ett ekvationssystem/matrisekvation. Exempel Lös ekvationssystemet för det minsta positiva heltasvärde på c som gör att systemet har en unik lösning. Bestäm även de värden som gör att systemet har oändligt många lösningar samt de värden som gör att lösning saknas c c Vi har alltså en matrisekvation som beror på parametern c, dvs för varje värde på denna parameter så har vi ett ekvationssystem som antingen har unik lösning, har många lösningar eller saknar lösning. Hur ska vi hitta de intressanta värdena på c? På vilket sätt påverkar vår parameter systemet? Låt oss börja med att tänka igenom hur matrisen påverkar lösningens kvalitet:: För att ett system ska ha unik lösning så måste matrisen vara inverterbar 2. För att systemet ska ha många lösningar så måste den utvidgade matrisen i ovan ge en nollrad. För att denna situation ska inträffa så måste matrisen till vänster få en nollrad (vilket innebär att matrisen saknar invers), men det krävs också att vi får noll i höger led, annars får vi situationen i nästa punkt För att systemet ska sakna lösningar så måste vi får nollrad när vi Gausseliminerar matrisen i vänster led medan höger led inte ger en nolla i sista raden, vi får då en motsägelse (0 0 i sista raden) Notera alltså att första punkten kräver en inverterbar matris medan de övriga kräver en matris som saknar invers. Vi behöver nu bara hitta uttryck för parametern c som visar när matrisen blir inverterbar eller inte. Genom att utnyttja det faktum att A inverterbar det A 0 så är idén att bestämma parametern c så att determinanten blir noll. Då vet vi precis när matrisen saknar invers, och när matrisen har invers. att matrisen inte är inverterbar. Beräknar vi determinanten (med t.ex. Sarrus regel) så får vi följande polynom i parametern c: p(c) = 2c c 12 = 2(c 2 5c + 6) = 2(c 2)(c 3) Nollställena till detta polynom beräknas på vanligt sätt (genom att lösa c 2 5c + 6 = 0 och då vi får att c = 2 och c = 3 är nollställen, vilket ger faktoriseringen i den sista likheten i ovan. Vi vet alltså att om c = 2 eller c = 3 så har systemet inte en unik lösning utan för dessa värdet så är systemet antingen inkonsistent och saknar lösning eller så har systemet oändligt många lösningar. Vi får också att c = 1 är det minsta positva heltalet som gör att systemet har en unik lösning. För detta värde så blir vårt system följande matris som vi Gauss-Jordan-eliminerar på en gång: / ( 1/4) 1 1/

13 1.1. INTRODUKTION TILL DETERMINANTEN OCH HUR DEN BERÄKNAS /4 1/4 0 Låt oss nu se hur det hela ser ut om vi beräknar determinanten med Gausselimination, som potentiellt ger oss mer information om systemet i fråga c c /(2c 6)( ok. om c 3) 2 2 c c c c /(2c 6) sätt HL på gem. bråk c c + 2 (1 c)/(c 3) Eftersom vi inte gjort radbyten eller multiplicerat någon rad med ett tal så kommer den sista matrisens vänster led ha samma determinant som matrisen vi startade med. Vår slutmatris är en triangulär matris så determinanten är lika med produkten av diagonalelementen: det c c = det c 6 0 = 1 (2c 6) ( c + 2) = 2(c 2)(c 3). 0 0 c + 2 Notera att denna determinantberäkning gav oss faktoriseringen av determinantpolynomet direkt, vilket är bra eftersom det då är enkelt att läsa av nollställena! Från Gausselimineringsstegen har vi att andra raden ger en motsägelse om c = 3, vilket alltså gör att vi saknar lösningar för detta parametervärde. Samma slutsats får vi även om c = 2 eftersom rad 3 för detta värde ger noll till vänster medan höger led blir 1. Denna Gausselimination kanske man kan uppfatta som besvärligare att jobba med men faktum är att vi faktiskt fick fram mer information och beräkningen av determinanten blev i detta fall trivial.

14 10 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Övningsuppgifter om determinantberäkning Övning 1:1.1 Beräkna determinanten till följande matriser A = [ ] och [ ] 7 11 C = 6 8 B = [ Övning 1:1.2 Beräkna determinanten för matriserna och A = C = , B = ] Övning 1:1.3 Beräkna determinanterna till matriserna A = och B = Övning 1:1.4 Beräkna determinanten till matriserna och A = B = Övning 1:1.5 Beräkna deteriminanten till matrisen A = både med hjälp av kofaktormetoden och mha Gausselimination. Övning 1:1.6 Beräkna de värden på parametern c som gör att systemet A 8 x = b, där A 8 = c c, b = 1. har en unik, entydig lösning. 2. har oändligt många lösningar 3. saknar lösning Övning 1:1.7 Bestäm de värden på parametern c som gör att systemet A(c)x = b, där A(c) = x = c c x y z 1. har en unik lösning, och b = 2. har oändligt många lösningar 3. saknar lösning Övning 1:1.8 Låt A[ t ] = t 1 t , 1. Bestäm de värden på parametern t som gör att matrisen saknar invers. 2. Beräkna inversen till matrisen för det minsta positiva heltalsvärde på t som gör att matrisen är inverterbar

15 1.2. DETERMINANTEN OCH DESS GEOMETRI Determinanten och dess Geometri Geometrisk tolkning :: determinanten till en två gånger två matris En del av geometrin för determinanten till en 2 2-matris kan sammanfattas i följande sats: ( ) a b Sats Låt A = och u = (a, b) och v = (c, d). Då är determinantens belopp lika med c d arean av det parallellogram som spänns upp av u och v. (se figur 1.2) Bevis som använder skalärprodukten och projektion Bevis. Låt oss betrakta figur 1.2 u= (a,b) h v= (c,d) x Figur 1.2 Determinanten och arean för parallellogramet Arean för parallellogrammet är längden av vektorn v multiplicerat med längden av h. x är lika med projektionen av vektorn u = (a, b) i vektorn v = (c, d) s riktning: h kan nu utryckas med hjälp av u och x: x = proj v u = u v v 2 v (ac + bd) h = u x = (a, b) c 2 (c, d) = + d2 (1.1) = (a(c2 + d 2 ) c(ac + bd), b(c 2 + d 2 ) d(ac + db)) c 2 + d 2 (1.2) = (d(ad bc), c(bc ad)) c 2 + d 2 (1.3)

16 12 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Längden av h blir därför h 2 = d2 (ad bc) 2 + c 2 (bc ad) 2 ad bc (c 2 + d 2 ) 2 d.v.s. h = c2 + d. 2 Eftersom längden av v är v = c 2 + d 2 vilket skulle bevisas! Elementärt bevis :: geometri så får vi att arean A för parallellogramet blir A = h v = ad bc = det A, Bevis. Alternativt och mer elementärt bevis som baserar sig på en rektangel enligt följande bild. a E D b F u P v C A B d c Figur 1.3 Bild till alternativt bevis Låt A, B, C, D, E, F och P beteckna areorna för de geometriska delarna av den stora rektangeln, vars area vi betecknar med R. Vi kan då uttrycka den sökta arean P med de övriga enligt R = A + B + C + D + E + F + P P = R (A + B + C + D + E + F ) Vi har att R = (a + c) (b + d) = ab + ad + cb + cd, A = cd/2 = D, B = ad = E, och C = ab/2 = F, vilket kan läsas ur figuren. Vi får därför P = R (A + B + C + D + E + F ) = = ab + ad + cb + cd cd/2 ad ab/2 cd/2 ad ab/2 = = cb ad I figuren är alla sträckor positiva och det är ur figuren tydligt i detta fall att bc > ac vilket gör P positiv. Notera att vi då får att ad bc = bc ad. Det följer alltså att Arean för parallellogrammet P blir [ ] a b P = det = ad bc c d vilket vi ville bevisa!

17 1.2. DETERMINANTEN OCH DESS GEOMETRI Geometrisk tolkning av determinanten av en 3 3 matris Följande sats sammanfattar den geometriska tolkningen av en 3 3-matris. Notera att denna tolkning kommer till nytta i tolkningen av kryssprodukten i nästa avsnitt. Sats Beloppet av determinanten till en matris är volymen av den parallellepiped som spänns upp av matrisens rad vektorer (eller kolonnvektorer) Figur 1.4 Volymen av den parallellepiped som spänns av vektorerna v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) och v3 = (0, 1, 1) Geometrisk tolkning av regeln det Ak = k det A Om vi har en matris A och multiplicerar en av dess rader med talet k för att få matrisen Ak så har vi sett räkneregeln det Ak = k det A (1.4) Vi kan nu ge en geometrisk tolkning av denna räkneregel. Låt oss därför ha en 3 3 matris där en av raderna är vektorn v, (kalla de övriga två radvektorerna för u och v). Anta också att vi ordnat raderna så att determinanten blir positiv (så att vi slipper ta beloppet för att få volymen). Då är determinanten av matrisen lika med volymen av den parallellepiped som raderna spänner upp. Om vi nu tredubblar vektorn v och låter A3 vara motsvarande matris som alltså har raderna u, 3v och w. Figur 1.5 När vektorn v multipliceras med 3 så ökar volymen med 3. Detta är alltså den geometriska tolkningen av att det A3 = 3 det A, där volymen det A i figuren är röd och det A3 är volymen som i figuren är den röda plus de två blå delarna v 3v Determinanten blir nu volymen spänns upp av vektorerna u, 3v och w. Denna situation är beskriven i figur 1.5 i fallet k = 3

18 14 KAPITEL 1. DETERMINANTEN Övningsuppgifter om determinantents geometri Övning 1:2.9 Beräkna arean av det parallellogram som spänns av (1, 3) och ( 1, 7). Övning 1:2.10 Beräkna arean av det parallellogram som spänns av (1, 3, 0) och 1, 7, 0). Övning 1:2.11 De tre vektorerna v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 2) och v 3 = (1, 2, 2) spänner upp en tredimensionell parallellepiped. Beräkna volymen av denna parallellepiped samt den sammanlagda arean av dess begränsningsyta. Övning 1:2.12 Låt V vara volymen av en parallellepiped uppspänd av vektorerna v 1, v 2, och v 3. Om V t är volymen av parallellepiped som spänns upp av vektorerna t v 1, t v 2, och t v 3. Beräkna förhållandet V t /V. Övning 1:2.13 En volym spänns upp av tre vektorer v 1, v 2, och v 3. Hur stor volym får vi om två av vektorerna halveras? Spelar det någon roll vilka två vektorer som halveras?

19 Kapitel 2 Kryssprodukten 2.1 Kryssprodukten :: definieras mha determinanten Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer u v x kryssprodukt output = vektor u x v Figur 2.1 Kryssprodukten tar två vektorer och bildar en ny tredje vektor. Om vi beskriver kryssprodukten med en input-output modell så gäller situationen i ovanstående figur. Med denna bild så poängteras att u v är en vektor. Ibland kallar man kryssprodukten för en vektorprodukt för att poängtera just att man får en vektor 1 1 till skillnad från skalärprodukten (Eng: dot product) som är en produkt av två vektorer men där resultatet är en skalär, dvs ett tal. 15

20 16 KAPITEL 2. KRYSSPRODUKTEN Definitionen av kryssprodukten Låt u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ). Kryssprodukten definieras med en determinant: u v = det u 1 u 2 u 3 i j k v 1 v 2 v 3 Här är det nu bara att räkna med determinanten på vanligt sätt så att u v = i[u 2 v 3 u 3 v 2 ] j[u 1 v 3 u 3 v 1 ] + k[u 1 v 2 u 2 v 1 ] (2.1) För det sista och avgörande steget så ersätter vi symbolerna i, j och k med deras vektordefinitioner: 2 och får då i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) u v = ([u 2 v 3 u 3 v 2 ], [u 1 v 3 u 3 v 1 ], [u 1 v 2 u 2 v 1 ]) = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) (2.2) Denna formel är inget man behöver lägga på minnet utan man ska utifrån (2.1) kunna beräkna den genom att använda sina kunskaper om determinantberäkning och standarbasvektorerna. Följande exempel vissar hur man typiskt går till väga. Exempel Beräkna kryssprodukten u v av vektorerna u = (1, 2, 3) och v = (2, 1, 1). Vi har från (2.1) att u v = det i j k = = i[( 2) ( 1) 3 1] j[1 ( 1) 2 3] + k[1 1 2 ( 2)] = = i + 7j + 5k = (1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) = ( 1, 7, 5) Notera hur vi använder symbolerna i, j och k hela vägen och först i sista steget byter vi ut dem mot dess vektormotsvarigheter. 2.2 Kryssproduktens geometriska egenskaper Observera att kryssprodukten endast definieras för vektorer i vårt tredimensionella rum. I detta tredimensionella rum så har kryssprodukten flera geometriska tolkningar som gör produkten användbar. 2 Vektorerna i, j och k är alltså standardbasvektorerna i R 3

21 2.2. KRYSSPRODUKTENS GEOMETRISKA EGENSKAPER Kryssprodukten är vinkel rät mot vektorerna Den första geometriska egenskapen är att krysspruktvektorn u v är vinkelrät mot både u och v. Detta visar vi enkelt genom att använda uttrycket (2.2): u (v u) = u1 (u2 v3 u3 v2 ) + u2 (u3 v1 u1 v3 ) + u3 (u1 v2 u2 v1 ) = = 0 v (v u) = v1 (u2 v3 u3 v2 ) + v2 (u3 v1 u1 v3 ) + v3 (u1 v2 u2 v1 ) = = (2.3) Högerhandsregeln Vi såg att kryssprodukten var vinkelrät mot vektorerna. Givet två vektorer u och v så finns det exakt två vektorriktningar som är vinkelrät mot båda dessa vektorerna. Dessa två vektorriktningar är parallella och pekar i motsatta riktningar. Figur 2.2 Högerhandsregeln hjälper oss att hitta orienteringen för kryssprodukten: pekfingret i den första vektorns riktning, långfingret längs den andra vektorn. Då pekar kryssprodukten i tummens riktning. Observera att det är viktigt att rätt högerhand används! För att ta reda på vilken av de båda riktningarna som är den rätta så kan man använda sig av den så kallade högerhandsregeln. Denna innebär att man placerar höger hands pekfinger i den första vektorns riktning (u), högerhands långfinger i den andra vektorns riktning (v). Då pekar kryssproduktvektorn i höger hands tummes riktning, se figur Kryssprodukten och arean av ett parallellogram Vektorerna u och v spänner upp ett parallellogram. Kryssproduktsvektorns längd anger detta parallellograms area: u v = u v sin ϕ = arean för parallellogrammet (2.4)

22 18 KAPITEL 2. KRYSSPRODUKTEN där ϕ är vinkeln mellan vektorerna u och v. Följande bild ger idén till beviset för detta resultat: Arean för ett parallellogram är basen gånger höjden och för parallellogrammet i figur 2.3 så har vi att basen är b = v och höjden blir h = u sin ϕ. Arean får vi om multiplicerar basen med höjden. Resultatet blir precis som vi påstod i andra likheten i ekvation (2.4)! u h u ϕ h v b= v Figur 2.3 Arean för ett parallellogram är basen b gånger höjden h. För att bevisa första likheten i ekvation (2.4) så behöver vi använda oss av räkneregel (15) nedan. 3 u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = använd egenskap för skalärprodukten = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 ϕ = u 2 v 2 (1 cos 2 ϕ) = = u 2 v 2 sin 2 ϕ Eftersom vinkeln ϕ ligger mellan 0 och π så är sin ϕ 0 vilket gör att vi kan utan problem ta roten ur i båda led och komma fram till vilket var precis vad vi ville visa! u v = u v sin ϕ Kryssprodukten och den skalära trippelprodukten Den skalära trippelprodukten av tre vektorer u, v och w definieras som u (v w) (2.5) Som vi ska se i övning?? så är trippelprodukten lika med en determinant och då följer det att trippelproduktens belopp är volymen av den parallellepiped som spänns av trippelproduktens tre vektorer: u (v w) = volymen av den parallellepiped som spänns av u, v och w 3 Skalärprodukten brukar ofta definieras som a b = a b cos φ, där φ är vinkeln mellan a och b för skalärprodukten och är hur som helst en viktig egenskap för skalärprodukten. Det är denna egenskap som introducerar vinkelbegreppet till den linjära algebran...

23 2.3. KRYSSPRODUKTENS ALGEBRAISKA EGENSKAPER Kryssproduktens algebraiska egenskaper Efersom determinanten har den egenskaper att om två rader i en matris byter plats så växlar kryssprodukten tecken om vektorerna byter plats. Detta ger oss den antikommutativa egenskapen: u v = v u (2.6) Determinantens egenskaper leder även fram till andra användbara räkneregler :: u (v + w) = u v + u w (2.7) (u + v) w = u w + v w (2.8) k(u v) = (ku) v = u (kv) (2.9) u 0 = 0 u = 0 (2.10) u u = 0 (2.11) u (v w) = (u w)v (u v)w (2.12) (u v) w = (u w)v (v w)u (2.13) u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 (2.14) 2.4 Varför är kryssprodukten viktig? I tredimensionell geometri så kan man ofta ha nytta av kryssprodukten för att lösa olika problem. Låt oss titta på ett litet exempel på hur det kan se ut. Exempel Bestäm avståndet mellan de två linjerna l 1 (s) = (1, 1, 2) s + ( 1, 1, 2) }{{} och l 2 (t) = (0, 1, 1) t + (2, 1, 1) }{{} u v Om man förbinder de båda linjerna med linjesegment så är det kortaste linjesegmentet sådant att det är vinkelrät mot båda linjerna. Detta innebär att vi kan hitta det avståndsminimerande linjesegmentets riktningsvektor genom att beräkna kryssprodukten av de båda linjernas riktningsvektorer: n = u v = ( 1, 1, 1) Bilda nu en skillnadsvektor mellan linjerna: a = (2, 1, 1) ( 1, 1, 2) = (3, 0, 1). Denna skillnadsvektor representerar ett linjesegment mellan de båda linjerna. För att få en vektor som realiserar det kortaste avståndet så behöver vi nu bara projicera denna skillnadsvektor på ovanstående kryssproduktvektor: b = proj n a = a n n 2 n = 4 (1, 1, 1) 3 Längden av denna projektion blir b = 4 3 så detta blir avståndet mellan de två linjerna. En naturlig föjldfråga är vilka punkter på linjerna som ligger närmast varandra. Att bestämma dessa kräver mer räkning som vi dock utlämnar eftersom det inte är nödvändigt för vårt problem.

24 20 KAPITEL 2. KRYSSPRODUKTEN Kryssprodukten inom fysik Inom fysiken, speciellt inom mekanik och elektricitetslära så formuleras många fysikaliska samband med hjälp av tredimensionella vektorer och involverar ofta kryssprodukten. Exempel från mekaniken är moment och rörelsemängdsmoment M = r F, L = r p, där M är momentet,f en kraft och r hävarm. Rörelsemängdsmomentet L ges av lägesvektor r och rörelsemängd p. Rörelsmängd är i princip massa gånger hastighet. Från elektricitetsläran har vi den så kallade Lorentz kraften som verkar på en partikel med laddningen q som rör sig med hastigheten v i ett elektromagnetiskt fält E, B F = q(e + v B) För Electricitetslärans så har vi dessutom att dess teoretiska grund ligger i de så kallade Maxwells ekvationer: 4 D = ρ f B = 0 E = B t H = J f + D t I dessa ekvationer så är E = Elektriska fältet, D = Elektriska flödestätheten, H = Magnetfältet, B = Magnetiska flödestätheten och J f betecknar fria strömmen av laddningstäthet. = ( x, y, z ) är den så kallade nablaoperatorn och den är med i alla Maxwells ekvationer. Som ni ser så är varje komponent av nablaoperatorn en derivering vilket gör att Maxwells ekvationer är en sorts differentialekvationer. Det finns också en integralvariant av ekvationerna Kryssprodukten och momentvektorn I detta avsnitt ska vi se hur kryssprodukten i princip kan härledas utifrån begreppet moment som man känner till från gymnasiefysiken eller mekaniken. Momentet M o definieras som en vridande kraft F gånger ett avstånd d från kraftens angreppspunkt r till den punkt o kring vilken vridningen sker: M o = d F Denna definition förutsätter att kraften är vinkelrät mot förbindelslinjen från r till o. Vi illustrerar detta i figur 2.4. Om kraften inte är vinkelrät på detta sätt så behöver man titta på kraftens verkningslinje och då får vi den vinkelräta kraften genom att beräkna avståndet från kraftens verkningslinje till vridningspunkten (se figur 2.5 ). Definition Givet en kraft och en punkt kring vilken rotation ska se så ges momentet som kraften gånger det vinkelräta avståndet d från kraftens verkningslinje till rotationspunkten. Med beteckningar som i figur 2.5 så har vi M = d F = r cos α F 4 Dessa ekvationer är naturligtvis rätt avancerade och man behöver kunskaper från åtminstone flervariabelanalys och vektoranalys för att kunna jobba med ekvationerna. Genom förenklingar och approximationer kan man från maxwells ekvationer t.ex. härleda den klassiska Ohms lag från elkretstekniken. (U = I R).

25 2.4. VARFÖR ÄR KRYSSPRODUKTEN VIKTIG? 21 F Figur 2.4 Om kraften är vinkelrät mot förbindningslinjen (skiftnyckeln) från kraftens angreppspunkt till origo så blir momentet m.a.p origo d F. Eftersom ett positivt moment definieras i riktningen moturs så ger kraften i bilden ett positivt bidrag till momentet. d F F s verkningslinje Figur 2.5 Defintion av momentet. Vridningen sker kring en axel som är vinkelrät ut från figurens plan. Positiv riktning för momentet räknas i moturs riktning. Eller om vi säger att höger hands tumme ska placeras uppåt och utåt från figuren så kommer fingrarna röra sig runt vridningsaxeln i moturs riktning. Kraften i figuren kommer då att ge ett negativt moment. d=r cos α α r Man kan också, som vi visar i figur 2.6 så kan man dela upp den vridande krafen i sina komponenter längs med våra standardkoordinataxlar. För dessa komponentkrafter så är deras verkningslinjer parallellt med axlarna och då kan man använda angreppspunktens koordinater för att få fram det vinkelräta avståndet. Mha figuren har vi att momentet blir M o = xf y yf x Detta moment sker kring en axel som är vinkelrät mot bildens xy-plan, vilket vanligen kallar z-axeln. Om kraften är orienterat i ett tredimensionellt rum så delar vi upp kraften i de tre koordinataxlarnas riktningarna. Kraftkomponenterna i x och y-riktningarna ger upphov till ett moment kring den vinkelräta z-axeln. På samma sätt är det när vi parar ihop kraftkomponenterna två och två. Varje par ger en vridning kring den axel som är vinkelräta axeln. Situationen kan studeras i figur 2.7. Om vi kallar momenten kring de olika axlarna för M ox,m oy och M oz, så har vi M ox = yf z zf y M oy = zf x xf z M oz = xf y yf x Dessa tre moment sker m.a.p. olika axlar och vi kan därför tolka momentet som en vektor som då kan skrivas M o = (M ox, M oy, M oz ) = (yf z zf y, zf x xf z, xf y yf x)

26 22 KAPITEL 2. KRYSSPRODUKTEN F y F F x y x Figur 2.6 Är kraften inte vinkelrät så kan man dela upp den m.a.p. våra koordinataxlar. x är vinkelräta avståndet från verkningslinjen för kraften F y och y är vinkelräta avståndet från verkningslinjen för kraften F x. Delmomenten ges nu av y F x och x F y. Om vi utgår från bilden så ger det första momentet ett negativt bidrag och det andra momentet ett positivt bidrag. Momentet kring origo blir alltså M o = x F y y F x. Om vi sätter r = (x, y, z) och F = (F x, F y, F z ) så kan vi skriva momentuttrycket som M o = r F Från detta kan man nästan säga att idén om momentet naturligt utvecklar en idé om kryssprodukten. Nyttan av detta är att man kan få ett sätt att se på vad kryssprodukten kan betyda. z (X,Y,Z) F F Z x y y z F Y F x x Figur 2.7 Genom en uppdelning av kraften F i våra koordinatriktningar så kan ser vi t.ex. att för att beräkna momentet kring x axeln så kommer inte kraftkomponenten F x parallellt med x-axeln påverka momentet kring x-axeln. Vi ser då att momentet får ett positivt bidrag från F z och negativ från F y. Momentet map x blir M x = y F z z F y.

27 2.5. ÖVNINGSUPPGIFTER OM KRYSSPRODUKT Övningsuppgifter om kryssprodukt Övning 2:5.14 Använd vektorerna i exempel 2.1.1, u = (1, 2, 3) och v = (2, 1, 1) och beräkna nu v u. Jämför med kryssprodukten u v. Vad är skillnaden? Övning 2:5.15 Beräkna kryssprudukterna a b och b a, där a = ( 2, 1, 1) och b = (1, 3, 2). Övning 2:5.16 Utifrån föregående uppgifter, vilka slutsatser skulle du vilja dra om kommutativiteten 5 för kryssprodukten? Vad beror egenskapen på? Övning 2:5.17 Visa att kryssproduktsvektorn är ortogonal mot de ingående vektorerna då u = ( 1, 2, 1) och v = ( 2, 1, 1). Övning 2:5.18 Visa att om u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) och w = (w 1, w 2, w 3 ) så gäller att u (v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (2.15) w 1 w 2 w 3 Övning 2:5.19 Förklara med hjälp av formeln (2.15) varför kryssprodukten u v är ortogonal mot både u och v. (Hint: Det följer direkt från en av determinantens egenskaper.) Övning 2:5.20 De tre vektorerna v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 2) och v 3 = (1, 2, 2) spänner upp en tredimensionell parallellepiped. Beräkna volymen av denna parallellepiped samt den sammanlagda arean av dess begränsningsyta. Övning 2:5.21 Beräkna arean för begränsningsytan för parallellepipeden som spänns upp av raderna till följande matris M = Multiplikation av vanliga tal är kommutativ (ab=ba), matrismultiplikation är icke kommutativ AB BA Vad blir volymen? Övning 2:5.22 Bestäm arean för begränsningsytan till den parallellepiped som radvektorerna till matrisen M spänner upp, där M är matrisen M = Övning 2:5.23 Beräkna avståndet mellan linjerna L(t) = (1, 2, 1)t+ (1, 1, 1) och L(s) = ( 1, 1, 0)s + (2, 1, 1). Övning 2:5.24 Beräkna projektionen av vektorerna u = (3, 5, 1) och v = (3, 1, 2) i planet Π: y + z = 0. Hur stor är arean som dessa projektionsvektorer spänner upp? Övning 2:5.25 De två vektorern a = (2, 1, 1) och b = (2, 1, 1) spänner upp ett tvådimensionellt delrum av R 3. Beräkna projektionen av vektorn u = (4, 0, 3) till detta plan. n Q u a P Figur 2.8 Situationen i uppgift 25. Vi söker projektionen av u till planet. Denna projektionsvektor betecknas med P. b

28 24 KAPITEL 2. KRYSSPRODUKTEN

29 Lösningar till övningsuppgifterna Lösning 1: det A = det B = det C = 10 Lösning 1: det A = 8 2. det B = 3. det C = Lösning 1:1.3 Beräkna determinanten för A på valfritt sätt, tex med Sarrus regel. Detta ger 7. För determinanten för B så noterar vi att rad 2 i B är -2 gånger rad 2 i A och i övrigt är de båda matriserna lika. Enligt räkneregel för determinanten har vi då det B = 2 det A = 2 7 = 14. Lösning 1:1.4 Matrisen A beräknas enklast genom att kofaktorutveckla längs tredje kolonnen, vilket ger oss det A = 3 det = I matrisen B kan man t.ex. börja med att göra två radbyten, byt rad 1 mot rad 2 och rad 3 mot rad 4. Sedan kan man göra några enkla Gausseliminationsoperationer Då gäller det B = = Hade vi varit riktigt observanta hade vi kunnat se att raderna 1 och 4 i matrisen B är lika varandra så när som ett tecken. Det är detta som gör att vi får en nollrad. Men genom radoperationerna så kommer man ändå fram till denna nollrad utan att ha en sådan röntgensyn". 25

30 26 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA Lösning 1:1.5 Kofaktorutveckling längs första raden ger: det A = det }{{} + det = det } {{ } =3 2 det }{{} = } {{ } =6 = = = 21 Man kan också beräkna determinanten genom att först utföra Gausselimination: / / = A g En triangulär matris har en lätträknad determinant som helt enkelt är produkten av diagonalelementen. Vi får därför att den sista matrisens A g determinant blir det A g = 1 ( 5) 1 ( 21) = 21 5 Gausseliminationerna innehåller ett radbyte och detta orsakar ett teckenbyte. De övriga radoperationerna påverkar inte determinanten och vi får det A = det A g = 21 Lösning 1:1.6 Matrisens determinant blir det A 8 = c 2 + 5c 6 = (c 1)(c + 6) som har nollställena c = 1 och c = 6. Dessa två värden gör att systemet antingen är olösbart och saknar lösning eller så har systemet många lösningar. Löser vi systemet för c = 1 så ser vi att systemet är konsistent, får en nollrad och har därför många lösningar. För c = 6 så blir systemet inkonsistent. För alla andra värden på c så har vi ett system där man får en unik lösning.

31 27 Lösning 1:1.7 Beräkna först matrisens determinant: det A(t) = 2t t 14 = 2(t 2 + 6t 7) som blir noll om c = 1 eller om c = 7. Dessa två värden gör att matrisen saknar invers vilket innebär att för dessa värden så får vi ett system som antingen saknar lösningar eller har många lösningar. 1. Om 1 c 7 så får vi system som är unikt lösbara. 2. För c = 1 så får vi följande utvidgade system som gausselimineras så att den får en nollrad: Detta betyder att systemet har en fri variabel och därför oändligt många lösningar. 3. Om c = 7 får vi följande utvidgade matris som gausselimineras så att vi ser att det är inkonsistent: Lösning 1:1.8 Vi använder determinanten för att avgöra de värden på t som gör att matrisen är inverterbar. Determinanten blir 2t 2 + t 10 som har nollställena t = 5/2 och t = 2. Dessa värden gör att matrisen saknar invers. Det minsta positiva heltalsvärdet på t som ger oss en inverterbar matris är därför t = 1 och för detta värde så blir matrisens invers A(1) 1 = Lösning 1:2.9 Arean är beloppet av determinanten [ 1 3 det 1 7 ] = 10 Lösning 1:2.10 Ett alternativ är att notera att de båda vektorerna ligger i planet z = 0 som kan identifieras med det tvådimensionella planet. Identifikationen innebär att vi glömmer bort den tredje koordinatet och i så fall är situationen precis som i föregående uppgift. Det andra alternativet är att använda kunskaper från nästa avsnitt och använda kryssprodukten av de två tredimensionella vektorerna och då har vi att arean av parallellogrammet: A = (1, 3, 0) ( 1, 7, 0) = (0, 0, 10) = 10

32 28 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA Lösning 1:2.11 Volymen ges av det = 1 = 1 Begränsningsytan ges av areorna som spänns av varje par av vektorerna och dessa areor ges av kryssprodukternas längd. A 1 = v 1 v 2 = (1, 1, 0) = 2 A 2 = v 1 v 3 = (0, 1, 1) = 2 A 3 = v 2 v 3 = ( 2, 0, 1) = 5 Kom ihåg att volymen begränsas av par av motstående sidor och då får vi den totala arean blir Arean blir och volymen blir 1. Lösning 1:2.12 Volymen V t blir V t = det = t det = t 3 V t v 1 t v 2 t v 3 A = 2A 1 + 2A 2 + 2A 3 = = = t2 det v 1 t v 2 t v 3 Förhållandet blir alltså V t /V = t 3 v 1 v 2 t v 3 = t3 det v 1 v 2 v 3 } {{ } V = Lösning 1:2.13 Två av vektorerna halveras och detta innebär att två av sidorna i parallellepipeden halveras. Varje sidhalvering ger att volymen halveras och totalt ger de två sidhalveringarna att volymen blir en fjärdedel så stor. Tekniskt sett använder man regel (1.4) och en halva hoppar fram för varje radhalvering. Lösning 2:5.14 Vi har u = (1, 2, 3) och v = (2, 1, 1) och vi får att v u = (1, 7, 5). Man bör notera att u v = ( 1, 7, 5) och att vi därför har u v = v u. Lösning 2:5.15 Här får vi a b = ( 1, 5, 7) och b a = (1, 5, 7). Även i denna uppgift har vi alltså att a b = b a

33 29 Lösning 2:5.16 Slutsatsen om kommutativiteten som vi kan dra från föregående två uppgifter är att vi i allmänhet borde ha u v = v u. Anledningen till denna antikommutativitet är att determinanten har den egenskapen att den byter tecken när två rader byter plats. Och ett radbyte är precis vad som skiljer u v från v u. Lösning 2:5.17 Man får att u v = (1, 1, 3). Tar man nu skalärprodukten av denna vektor med u och v så får man u [u v] = ( 1, 2, 1) (1, 1, 3) = = 0 v [u v] = ( 2, 1, 1) (1, 1, 3) = = 0 och, vilket betyder att u och v är ortogonala/vinkelräta mot dess kryssprodukt u v. Lösning 2:5.18 Vi ska visa att för u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) och w = (w 1, w 2, w 3 ) så gäller u [v w] = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 } {{ } =M Vi börjar med att notera att definitionen av kryssprodukten ger oss att [ ] [ ] [ ] v2 v v w = (det 3 v1 v, 3 v1 v, 2 ) w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Om vi nu beräknar skalärprodukten u [v w] så får vi [ v2 v u [v w] = u 1 det 3 w 2 w 3 ] u 2 [ v1 v 3 w 1 w 3 ] + u 3 [ v1 v 2 w 1 w 2 vilket exakt är determinanten till matrisen med M om vi använder kofaktorutveckling längs rad 1. Därmed är beviset klart. Lösning 2:5.19 Här kan vi använda formeln för den skalära trippelprodukten som härleddes i föregående uppgift. Vi får då att v [v w] = det w [v w] = det v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = 0 = 0 där båda determinanterna blir noll eftersom matriserna har två rader som är lika (och kan därför gausselimineras så vi får en nollrad, t.ex.). ],

34 30 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA Lösning 2:5.20 Volymen ges av det = 1 = 1 Begränsningsytan ges av areorna som spänns av varje par av vektorerna och dessa areor ges av kryssprodukternas längd. A 1 = v 1 v 2 = (1, 1, 0) = 2 A 2 = v 1 v 3 = (0, 1, 1) = 2 A 3 = v 2 v 3 = ( 2, 0, 1) = 5 Kom ihåg att volymen begränsas av par av motstående sidor och då får vi den totala arean blir Arean blir och volymen blir 1. A = 2A 1 + 2A 2 + 2A 3 = Lösning 2:5.21 Parallellepipeden har 3 stycken par av begränsningssidor där varje par består av två likadana parallellogram. Arean för ett sådant parallellogram ges av kryssprodukten av två av matrisens rader. Om vi kallar raderna för r 1, r 2 och r 3 så har vi att sidornas area ges av A 1 = r 1 r 2 = ( 1, 1, 3) = 11 A 2 = r 2 r 3 = (3, 1, 1) = 11 A 3 = r 1 r 3 = (1, 3, 1) = 11 Eftersom alla sidorna har samma area och vi har totalt 6 stycken sidor så blir parallellepipedens begränsningsarea lika med 6 11 areaenheter. Volymen är beloppet av determinanten för vår matris och denna blir V = det M = 4 = 4 volymsenheter Lösning 2:5.22 Om vi kallar våra radvektorer för r 1, r 2 och r 3 så består begränsningsarean av tre par av areor som vardera kan beräknas mha längderna av kryssprodukterna r 1 r 2 = (2, 4, 8), r 1 r 3 = ( 8, 7, 5) samt r 2 r 3 = ( 4, 1, 7) Vi får alltså att vår area A ges av A = 2 A A A 3 = = 2 r 1 r 2 }{{} = = 84 = r 1 r 3 }{{} = = r 2 r 3 }{{} = = 66 =

35 31 Lösning 2:5.23 Idé: Beräkna en skillnadsvektor mellan linjerna och projicera denna på en riktning som är vinkelrät mot båda linjerna. Längden av denna projektion ger oss det avstånd vi söker. Skillnadsvektor:: v = (1, 1, 1) (2, 1, 1) = ( 1, 0, 0) Vinkelrät vektor: n = (1, 2, 1) ( 1, 1, 0) = ( 1, 1, 3) Projektionen: Längden av denna vektor blir proj n v = v n n 2 n = 1 ( 1, 1, 3) 11 Lösning 2:5.24 Vi beräknar först en ortogonal bas för planet. Vi ser att a = (0, 1, 1) och b = (1, 0, 0) bildar en ortogonal-bas för planet. Projektionerna blir proj a u = u a a = 2 (0, 1, 1) = (0, 2, 2) a 2 proj b u = u b a = 3 (1, 0, 0)) = (3, 0, 0) b 2 Eftersom vi har en ortogonal bas så ger projektionssatsen att projektionen av u ned i planet ges som summan av ovanstående projektioner: w u = proj π u = proj a u + proj b u = (0, 2, 2) + (3, 0, 0) = (3, 2, 2) Vi gör på samma sätt för den andra vektorns projektion proj a v = v a a = 1 (0, 1, 1) = (0, 1, 1) a 2 proj b v = v b a = 2 (1, 0, 0)) = (2, 0, 0) b 2 w b = proj π v = proj a v + proj b v = (0, 1, 1) + (2, 0, 0) = (2, 1, 1) Arean som spänns av de två projektionerna är längden av deras kryssproduktsvektor i j k w u w v = det = (0, 7, 7) = 49 2 = 7 2 Lösning 2:5.25 Vektorn n i figur 2.8 är vinkelrät mot både a och b och beräknas enklast som kryssprodukten av dessa vektorer: n = a b = det i 2 j 1 k 1 = ( 2, 0, 4) Från figuren har vi sambandet P + Q = u P = u Q

36 32 LÖSNINGAR TILL ÖVNINGSUPPGIFTERNA Vektorn Q är projektionen av u på vektorn n som blir Vi får alltså att den sökta projektionen P blir Q = proj n u = u n n = (2, 0, 4) n 2 P = u Q = (2, 0, 1) Alternativ lösningsidé:: Man kan från vektorerna a och b beräkna en Ortonormal bas (mha den s.k. Gram-Schmidts metod) för planet som vektorerna spänner upp. När vi har en sådan bas så kan vi beräkna projektionen av u längs de båda nya basvektorerna. Eftersom vektorerna är en Ortonormal bas så blir den projektion vi söker summan av dessa två vektorprojektioner. Arbetsinstatsen blir dock inte mindre pga de steg som Gram-Schmidt kräver.

37 Sakregister antikommutativ, 23, 34 area parallellogram, 22 deldeterminant, 2 determinant, 2 geometrisk tolkning av 2 2-matris, matris, 15 och arean av parallellogram, 12 och radoperationer, 4 och volymen av parallellepiped, 15 determinantberäkning med Gausselimination, 4 med kofaktorutveckling, 2 med Sarrus regel, 5 Elektrisk flödestäthet, 25 Elektriska fältet, 25 elkretsteknik, 24 format, 5 fria strömmen av laddningstäthet, 25 hz, 21 kofaktor, 2 kofaktorutveckling, 2 kraft, 26 verkningslinje, 26 kryssprodkt ortogonalitetsegenskapen, 21 kryssprodukt, 20 algebraiska egenskaper, 23 antikommutativ (u v = v u), 23, 34 högerhandsregeln, 21 och arean av parallellogram, 22 och determinanten, 20 och trippelprodukten, 23 som input-output modell, 20 triangulär, 4 Maxwells ekvationer, 25 moment, 26 arm, 26 definition, 26 vridande kraft, 26 nablaoperator, 25 Ohms lag, 24 parallellepiped, 15 volymen av, 15 parallellogram, 12 area, 12 och kryssprodukten, 22 projektion, 12 rörelsemängd, 24 rörelsemängdsmoment, 24 radoperation och determinanten, 4 rotationspunkt, 26 Sarrus regel, 5 gäller inte för 4 4-matriser eller större, 5 skalära trippelprodukten, se trippelprodukt skalärprodukten, 12 triangulär matris, 4 trippelprodukt, 23 Magnetfält, 25 Magnetiska flödestätheten, 25 matris 33

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3 ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen? Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3) TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6 TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

Slappdefinition. Räkning med vektorer. Bas och koordinater. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6 Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit

Läs mer

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1 Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift

Läs mer

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Dagens program. Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper

Dagens program. Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper Dagens program Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper Radoperationers påverkan på erminanten Beräkning av erminanten för en trappstegsmatris Utveckling efter rad eller kolonn

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = = Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer