Kapitel 4. Differentialrelationer. Repetition Energiekvationen Vorticitet Strömfunktionen Hastighetspotential Potentialströmning

Transkript

1 Differentialrelationer Reetition Energiekationen orticitet Strömfnktionen Hastighetsotential Potentialströmning

2 Reetition, Kaitel 3 Bernollis tidgade ekation förlster s f g g α α Korrektionsfaktor, se sid ( ) ( )da n g h d g dt d W W Q CS C ss s Ω 1 ˆ 1 ˆ Energiekationen Antag inkomressibel, stationär och endimensionell strömning

3 Reetition, Kaitel g1 g s ˆ 1 Antag n: 1. Stationär strömning, inget tidsberoende. Inkomressibel strömning, lågt Machtal (mindre än 0.3) 3. Friktionsfri strömning, inga förlster 4. Strömning längs en strömlinje 5. Inget aelarbete 6. Ingen ärmeöerföring 1 1 g g Bernollis ekation: ( q)

4 Reetition, Differentialrelationer Betraktelsesätt: Lagrange: Följer med flidartikel Eler: Fit läge i rmmet Materiella deriatan: accelerationen kan skrias som Lokal acceleration D Dt t (, t), 0, 0 0 (,, t), a a t konekti acceleration t D Dt t ( )

5 Reetition, Differentialrelationer Kontinitetsekationen: t ( ) 0 Imlsekationen: I -led: Lokal acceleration t D Dt konekti acceleration g g τ graitation trckkraft τ τ iskös kraft τ

6 Reetition, Deformation a ett flidelement Translation: Rotation: Skjning: olmändring:

7 Reetition, Differentialrelationer Ytkrafter Sänningstensorn: σ σ σ σ ij τ τ τ τ τ τ τ τ τ σ σ σ σ σ σ

8 Reetition, Deformation a ett flidelement t t dβ d dα d t d d t

9 Reetition, Deformation a ett flidelement t Deformationshastighet: Små inklar ger: 1 dα dβ ε dt dt d dα dt d1 dt dβ dt 1 dt t dβ dα d d d t d t

10 Deformation a ett flidelement Reetition, Låt dt d dt d dt β α 0 I en netonsk flid beror sänningen linjärt å deformationshastigheten ε µ τ ( ) om inkomressibel 0 3 ij ij ij δ µ µε τ ij µ τ namisk iskositet d t t d d t t d dα dβ

11 Reetition, Differentialrelationer Imlsekationen: τ g Dt D g t µ g t µ g t µ Kan för inkomressibel strömning a en netonsk flid skrias: g Dt D µ Naier-Stokes ekationer

12 Energiekationen: Differentialrelationer Från kaitel 3: ( ) ed e ( n)da Gör å samma sätt som för kontinitet, ilket ger: ( e) ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) t Q W s Notera att 0 W s W ss d dt C Ω CS dd Q t ingen aeleffekt om C är mcket liten W ζ e

13 Differentialrelationer Energiekationen: Anänd kedjeregeln: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dd t t e t e W Q ζ ζ ζ kontinitet Efter en del förenklingar fås: ( ) dd Dt De W Q

14 Differentialrelationer Energiekationen: ärmeflöde Försmma strålning och antag endast kondktion genom CS Foriers lag: q k T Gör å samma sätt i alla riktningar och titta å nettoflödet q T k q q d d Q q q q dd qdd Inför Foriers lag: Q ( k T )dd

15 Differentialrelationer Energiekationen: isköst arbete Från ka.3: ( τ τ τ ) Gör å samma sätt som för ärmeflödet W dd d ( τ )dd d

16 Differentialrelationer Energiekationen: ( ) ( ) ( ) τ T k Dt De Skri om iskös term: ( ) ( ) ( ) T τ τ τ iskös dissiation, alltid ositi ( ) Φ T µ τ För inkomressibel netonsk flid:

17 Differentialrelationer Hela ekationssstemet: Kontinitet t ( ) 0 Imls D Dt g τ Energi De τ Dt ( ) ( k T ) ( )

18 Differentialrelationer För inkomressibel strömning, netonsk flid med konstant densitet, iskositet och kondktiitet: Kontinitet Imls Energi Dt c DT Dt 0 D g µ k T ( T τ ) Eemel å randillkor ägg: ägg T T ägg (alternatit secificeras ärmeflödet) Utlo: t n eller 0

19 Differentialrelationer Rotation/orticitet Definition: ( ) ζ ω rot,, För D-strömning: (,,0) 0,0,

20 orticitet Rotation/orticitet t t dβ d dα d t d d t

21 Rotation a ett flidelement inkelhastighet: dt d dt d β α ω 1 Små inklar ger: dt d ddt d 1 α dt dt d 1 β d t t d d t t d dα dβ

22 t Rotation a ett flidelement Låt dα dt 0 dt dβ dt 1 inkelhastigheten ω 1 På samma sätt: ω 1 ω 1 1 ϖ rot ( ) ( ) orticitet: ζ ω ω ω Notera att i D-fallet är 0 t dβ d dα d d t Strömningen kallas rotationsfri om ζ 0 d t

23 Fråga: Kan en irel ara rotationsfri?

24 Strömlinje och strömfnktion:, Differentialrelationer Definition: Strömlinje är en linje till ilken strömningen alltid är arallell d d 0

25 Strömfnktionen Strömfnktionen: Kontinitet 0 Inför strömfnktionen ( ), ψ 0 ψ ψ För tådimensionell, stationär och inkomressibel strömning gäller: Imls 1 ν 1 ν 0 ψ ψ Idén är att redcera antalet obekanta och ekationer

26 Strömfnktionen 0 ψ ψ Jämför med 0 ψ ψ Hastighetskomoneterna kan n skrias som Tag n rotationen a imlsekationen Dt D µ ψ ψ ψ ζ

27 Strömfnktionen Rotationen a imlsekationen ger ψ ψ ( ) ( ) ψ ψ ν ( ψ ) i har alltså redcerat antalet ariabler men den ekation i fått är mera komle och med högre ordnings deriator

28 Strömfnktionen CS Relation till olmflödet: dq olmflödet: dq ( n )da da bds ψ ψ dq,, ds ψ d ψ b d ds bdψ bds olmflöde er breddenhet: ( ) 1 1 ds ψ Q n ds b ψ d 1 dψ ψ n ψ d,, 0 ds ds

29 Strömfnktionen ψ CS Relation till olmflödet: olmflödet: dq ( n )da da bds dq bdψ ψ 1 1 Q b olmflöde er breddenhet: ( ) 1 1 ψ n ds ψ 1 dψ ψ ψ

30 Friktionsfri strömning Dt D g µ µ 0 D Dt g Elers ekation Ger Bernollis ekation om den integreras längs strömlinje, se sid. 59 Friktionsfri och rotationsfri strömning: Om strömningen är rotationsfri φ,,, t ( ) 0 kan hastighetsotentialen definieras φ φ φ φ (,, ) φ,, φ φ φ

31 Friktionsfri strömning Friktionsfri och rotationsfri strömning: För D-strömning: ψ ψ φ φ Strömlinjer och otentiallinjer alltid inkelräta mot arandra Friktionsfri och rotationsfri strömning kallas otentialströmning

32 Potentialströmning Elementarfall ilka kan kombineras för att skaa andra strömningar: 1. Parallellströmning: ψ U φ U φ U ψ

33 Potentialströmning. Linjekälla/sänka: ψ mθ φ mln r Strrkan m Q πb

34 Potentialströmning 3. Linjeirel: ψ K ln r φ Kθ irelstrrkan

35 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Källasänka

36 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Parallellströmning källa Rankinehalkro

37 Potentialströmning Seronering a elementarfall, eemel: Parallellströmning källa sänka Rankineoal Bilderna är skaade i Ideal Flo Machine, finns å htt://.aoe.t.ed/~deenor/aoe5104/ifm/ifm.html