Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen
|
|
- Gunnar Gustafsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Analys 360 En webbaserad analyskurs Analys på mångfalder Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen Anders Källén atematikcentrum LTH anderskallen@gmail.com
2 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 1 (13) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi diskutera differentialformer på undermångfalder till R n. Speciellt ska vi se hur vi integrerar k-former på undermångfalder av dimension k, alltså 1-former på kurvor, 2-former på ytor osv. en inte bara det, på en mångfald med rand finns det ett samband mellan integralen av en form på mångfalden och en integral av en relaterad form på randen som kallas Stokes sats. Relationen handlar om differentialoperatorn och denna enkla, kompakta, formel innehåller alla vektoranalysens klassiska integrationssatser: Gauss sats, Greens sats och Stokes sats. 2 Differentialformer på mångfalder En k-dimensionell undermångfald till R n är en delmängd sådan att varje punkt har en omgivning U sådan att vi kan skriva skärningen U som ett k-stycke {ψ(t); t ω R k } där ψ : ω U är en bijektiv, glatt, avbildning. Vi kallar ψ för en lokal parametrisering (en parametrisering av en del) av mångfalden. Om ω = I a Idx I är en m-form (m k) i R n så blir tillbakadragningen ψ ω(t) = I a I (ψ(t))dψ I (t) en m-form på. Den blir en m-form på uttryckt i koordinaterna t 1,..., t k. Exempel 1 Vi vet att ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), ω = {(θ, φ); 0 < θ < π, 0 < φ < 2π} parametriserar nästan hela enhetssfären. Låt, ω = x 3 dx 1 dx 2 + x 1 dx 2 dx 3 x 2 dx 1 dx 3 vara en 2-form i rummet. Då gäller att ψ ω = ψ 3 dψ 1 dψ 2 + ψ 2 dψ 2 dψ 3 ψ 2 dψ 1 dψ 3. Här har vi att dψ 1 = cos θ cos φdθ sin θ sin φdφ, dψ 2 = cos θ sin φdθ+sin θ cos φdφ, dψ 3 = sin θdθ, så dψ 1 dψ 2 = cos θ sin θdθ dφ, dψ 1 dψ 3 = sin 2 θ sin φdφ dθ, dψ 2 dψ 3 = sin 2 θ cos φdφ dθ Det följer att ψ ω = (cos 2 θ sin θ + sin 3 θ cos 2 φ + sin 3 θ sin 2 φ)dθ dφ = sin θdθ dφ är tillbakadragningen av ω till S 2.
3 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 2 (13) Som den är definierad är den definierad i en speciellt parametrisering, men är faktiskt ett väldefinierad objekt på k-stycket, oberoende av vilken parametrisering vi väljer. För att se det använder vi att vi kan skriva varje annan parametrisering som ψ 1 = ψ φ där φ är en avbildning på R k. Kalla den nya parametern s. Då gäller enligt att ψ 1ω(s) = (φ ψ ω)(s) = (ψ ω)(φ(s)) = ψ ω(t). Vi ser alltså att värdet på differentialformen i en punkt på inte beror av vilken parametrisering vi väljer att använda. Därmed kan vi också definiera differentialformer på godtyckliga undermångfalder i R n. Anmärkning Att vi kan definiera differentialformer på godtyckliga mångfalder (alltså även abstrakta) följer på väsentligen samma sätt. Vi arbetar då istället med inversen till parametriseringen, alltså kartorna. Vidare kan utvidga den yttre differentialen till att verka på differentialformer på mångfalder. Detta beror på differentialens invarians. På ett ytstycke Σ = ψ(u) kan vi definiera dω som (ψ 1 ) d(ψ ω) och med en annan parametrisering ψ 1 = ψ φ har vi att (ψ 1 1 ) d(ψ 1ω) = (ψ 1 ) (φ 1 ) d(φ ψ ω) = (ψ 1 ) (φ 1 ) φ d(ψ ω) = (ψ 1 ) d(ψ ω). Vi tittar nu på några viktiga exempel. Exempel 2 För ett allmänt k-stycke Σ = ψ(u) i R n har vi att k-formen σ Σ = ψ (dx 1... dx n ) = det ψ (t) t ψ(t) dt 1... dt k. Denna beror alltså inte av val av parametrisering, och det i sin tur betyder att vi på en k-dimensionell undermångfald har en motsvarande k-form σ som kommer att vara en bas för alla k-former på eftersom rummet av sådana är 1-dimensionellt. Denna form definierar en area/volymsform på och betecknas ofta ds. Om k = 1, dvs γ = c(i) är en kurva, så får vi ds = ċ(t) t ċ(t)dt = ċ(t) dt, Om ω(x) = k u k(x)dx k och γ är en orienterad kurva, så gäller att c ω = k u k (c(t))ċ k (t)dt = u(c(t)) ċ(t) = (u(x) T (x))ds där x = c(t) och T (x) = ċ(t)/ c(t) är enhetstangenten i rörelsens riktning och u = (u 1,..., u n ) är vektorfältet svarande mot ω. Exempel 3 För tvåformen ω = u 1 dx 2 dx 3 + u 2 dx 3 dx 1 + u 3 dx 1 dx 2 i rummet gäller att den tillbakadragen till Σ = {ψ(t); t U} ges av ψ ω = ψ u 1 dψ 2 dψ 3 + ψ u 2 dψ 3 dψ 1 + ψ u 3 dψ 1 dψ 2
4 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 3 (13) = u(ψ(t)) ( 1 ψ(t) 2 ψ(t))dt 1 dt 2. Inför vi här x = ψ(t), u(x) = (u 1 (x), u 2 (x), u 3 (x)) och N = 1ψ(t) 2 ψ(t) 1 ψ(t) 2 ψ(t), ds = 1ψ(t) 2 ψ(t) dt 1 dt 2, så kan detta skrivs u(x) N(x) ds. Här är N enhetsnormal till ytstycket och ds är inget annat än areaformen på Σ. Detta sista exempel generaliseras till godtyckliga hyperytor. Vi skriver en godtycklig n 1-form på formen ω = ( 1) k 1 u k dx k k=1 (notera hur tecknet stämmer med diskussionen för fallet n = 3). Då gäller att ψ u 1 1 ψ 1... n 1 ψ 1 ψ ω = ( 1) k 1 ψ u k dψ k = det dt 1... dt n 1, k=1 ψ u n 1 ψ n... n 1 ψ n vilket är precis u(x) N(x) ds, x = ψ(t), där N(x) är enhetsnormal till ytstycket. Det finns två enhetsnormaler, och den aktuella är sådan att basvektorerna N(ψ(t)), 1 ψ(t),..., n 1 ψ(t) blir positivt orienterade. Den sista likheten följer av att determinanten ger (hyper-)volym med tecken av den parallellepiped som spänns upp av kolonnvektorerna och denna kan också beräknas genom att vi tar basvolymen ds och multiplicerar med höjden som är u N. 3 Integration på mångfalder Den kanske viktigaste egenskapen hos differentialformer är att de är objekt som kan integreras på mångfalder. För att se varför, betrakta först den vanliga Riemannintegralen av en funktion definierad i R n. Om φ definierar ett koordinatbyte i R n så gäller för Riemann-integralen att f(x)dx = f(φ(y)) det dφ(y) dy. För att vi ska kunna utvidga detta till integration på undermångfalder till något R n måste integralen vara oförändrad om vi gör ett koordinatbyte, men det gäller inte i allmänhet, eftersom koordinatbyten förvränger volymer. en om vi istället integrerar ω = f(x)σ, där σ = dx 1... dx n och definierar ω = f(x)dx, där integralen i högerledet är den vanliga Riemannintegralen på R n, så vet vi att φ ω = φ f det(dφ)dy 1... dy n.
5 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 4 (13) Det betyder att om φ bevarar orienteringen, alltså det dφ > 0, så gäller att φ ω = ω. Integration över ett öppet område U R n definieras genom att funktionen χ U f ska vara integrerbar, där χ U är den karakteristiska funktionen på U, alltså den funktion som är 1 på U och 0 utanför, och vi sätter då ω = χ U U fdx. Ur det och observationen ovan följer att om φ är ett koordinatbyte sådant att det dφ > 0 så gäller att ω = φ ω. φ(u) er precist: antag att φ : V U är ett orienteringsbevarande koordinatbyte mellan öppna delmängder i R n eller i det övre halvplanet H n1 och ω är en n-form i U. Då gäller att ω = φ ω. U Om φ istället kastar om orienteringen ska vi ha ett minustecken i högerledet. Anmärkning Notera att denna fundamentala egenskap härleds bak till att 1-former är antikommutativa: dx i dx j = dx j dx i. en från detta följer att om Σ = ψ(u) är ett orienterad k-stycke i R n och ω en k-form på, så kan vi definiera ω = ψ ω. Σ Denna definition blir oberoende av val av parametrisering enligt diskussionen ovan, så länge vi håller oss till samma orientering av ytstycket; två olika parametriseringar skiljer sig ju åt på ett koordinatbyte med positiv funktionaldeterminant. Om vi byter orientering kommer dock integralen att byta tecken. Slutligen, om är en orienterad k-dimensionell undermångfald till R n så kan vi med hjälp av en partition av enheten skriva ω = i ω i, där varje ω i har sitt stöd i ett k-stycke Σ i och summan i en omgivning av varje punkt består av ändligt många termer. Vi kan då definiera ω som summan i Σ i ω, och man ser lätt att denna definition blir oberoende av vilken partition av enheten vi väljer. Anmärkning Vi har definierat integralen med hjälp av en partition av enheten, därför att det är det matematiskt enklaste. I praktiken beräknar man emellertid en integral över en mångfald så att man delar upp mångfalden i ytstycken som hänger ihop i olika randbitar. Integralen över en randbit är noll, så vi kan beräkna den totala integralen genom att summera integralerna över de olika ytstyckena. Om vi t.ex. ska integrera över enhetssfären, kan vi beräkna en integral över den övre halvsfären och en över den undre halvsfären. Utan att bry oss om vart ekvatorn hör. V U U 4 Stokes sats Den vanliga insättningsformeln b a f (x)dx = f(b) f(a)
6 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 5 (13) i endim har en långtgående generalisering som kallas Stokes sats. Innan vi formulerar och bevisar den tar vi ett exempel. Exempel 4 Låt ω = i a i (x)dx i vara en godtycklig (n 1)-form på R n och K n enhetskuben i R n K n = {x R n ; 0 x i 1, i = 1,..., n}. Dess rand består då av alla de sidor där vi för ett i har antingen att x i = 0 eller x i = 1 och de övriga variablerna varierar fritt i [0, 1]. Vi orienterar den genom att välja normalen N som den utåtriktade normalen; då blir K positivt orienterad som rand till K. Vi mål är då att beräkna K n ω. Summan av integralerna över två motstående sidor blir nu en vi har att så vi ser att K n ω = K n 1 (a i (x 1,..., 1,..., x n ) a i (x 1,..., 0,..., x n ))dx i. a i (x 1,..., 1,..., x n ) a i (x 1,..., 0,..., x n ) = i=1 1 ( K n 1 0 i a i dx i )dx i = K n ( 1 0 i a i (x) dx i, ( 1) i 1 i a i (x))σ = i=1 K n dx i i ω. en här känner vi igen differentialen av en (n 1)-form i högerledet och vi ser att vi för allmänna (n 1)-former ω har att ω = dω. K n K n Detta är ett specialfall av Stokes sats, men samtidigt så allmänt att det implicierar den totala satsen genom att vi använder differentialens invarians och en partition av enheten. Vi börjar med att exemplifiera det förra. Exempel 5 Vi ska visa att det även gäller att dω = ω, B n S n 1 där B n är enhetsklotet i R n och S n 1 dess rand. För att se det definierar vi φ som den funktion som avbildar en punkt på K på den punkt på S n 1 som ligger på strålen från origo som går igenom punkten. Sedan utvidgar vi denna till en funktion φ : K n B n genom kravet att φ(tx) = tφ(x), x K n, 0 t 1. Då gäller alltså att φ(k n ) = B n och φ( K n ) = S n 1 och eftersom det alltid gäller att d(φ ω) = φ dω, så får vi dω = d(φ ω) = φ ω = ω. B n K n K n S n 1 i=1
7 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 6 (13) Vi formulerar nu Stokes sats i sin helhet. De två exemplen indikerar varför den är sann. Sats 1 (Stokes sats) För en differentierbar k-form ω och en orienterad (k+1)-dimensionell mångfald gäller att dω = ω, där har den av orienteringen på ärvda orienteringen. Bevis. Antag först att = ψ(k) där K är en k-kub. Då gäller enligt definitionen och första exemplet att dω = ψ dω = d(ψ ω) = ψ ω = ω. K K Vi kan nu övertäcka med uppräkneligt många k-stycken av denna typ och sedan skriva ω = i ω i där varje ω i har sitt stöd i ett k-stycke U i = ψ i (K). Om är kompakt kan denna summa tas ändlig, annars så att den i en omgivning av varje punkt endast har ändligt många termer 0. Notera att om p U i är en randpunkt till, så gäller att ψ 1 i (p) ligger på en begränsningssida av K. Vi har nu dω = dω i = ω i = i i Denna sats är en kraftfull generalisering av många kända satser. Enklast är följande exempel. Exempel 6 ed = [a, b], som är 1-dimensionell, ska vi ta en 0-form ω, alltså en funktion f. Det gäller att = {a, b} och då är f = [f(x)] b a = f(b) f(a). Vidare är df(x) = b a K f (x)dx, så Stokes sats är inget annat än insättningsformeln. Tar vi som en kurva γ från en punkt p 0 till en punkt p 1 i R n får vi på samma sätt att df = f(p 1 ) f(p 0 ), som ju är flerdims motsvarighet till insättningsformeln. Andra exempel är formler som dyker upp inom vektoranalysen. γ Exempel 7 Låt u = (u 1,..., u n ) vara ett vektorfält och sätt α = u = u dx. Då gäller att α = u dx och alltså att d( α) = (div u)σ, där σ = dx 1... dx n. Stokes sats innebär då att om Ω är ett öppet område i R n med C 1 rand Ω så gäller att u N ds = div u dx, Ω där N är den utåtriktade enhetsnormalen till Ω och div u = k ku k är divergensen av vektorfältet u = (u 1,..., u n ). Denna formel kallas i vektoranalysen Gauss sats. Ω ω.
8 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 7 (13) En konsekvens av exemplet är att divergensen för ett vektorfält i R n kan beskrivas genom 1 div u(x) = lim u N ds, r 0 m(b) B(x,r) där B(x, r) är klotet med radien r och medelpunkt i x i R och m B dess volym. Eftersom N betecknar den utåtriktade enhetsnormalen betyder det att divergensen av u i en punkten representerar nettoflödet ut genom en infinitesimalt liten sfär runt punkten. Om vi tänker på u som att det beskriver ett flöde av en gas eller vätska, så säger man att en punkt x där div u(x) > 0 är en källa, medan en punkt där div u(x) < 0 sägs vara en brunn. Gauss sats säger då att nettoflödet ut ur ett område är lika med nettomängden källor och brunnar i området. Exempel 8 Ovanstående resonemang ger oss också en tolkning på vad en differentialekvation dω = η betyder. Antag att η är en k-form och att ekvationen gäller i Ω R n. Enligt Stokes sats gäller då för alla k-dimensionella undermångfalder i Ω att ω = η. Att denna integralformel gäller för alla sådana är ekvivalent med differentialekvationen. Denna omskrivning av en differentialekvation till en integralekvation är mycket användbar inom fysiken. Ett exempel är elektromagnetismens fundamentala ekvationer som uttrycks som differentialekvationer mellan elektriskt fält och magnetiskt fält, vilka härleds i form av integralekvationer. Exempel 9 Betrakta ett ämne som flyter i en vätska som befinner sig i stationär strömning och låt ämnets densitet beskrivas av funktionen ρ(x, t). Låt B vara ett godtyckligt klot i det område där vätska strömar. Den totala massan i B av ämnet vid tiden t ges då av (t) = ρ(x, t)σ. B Om vi nu antar att inget ämne nybildas eller ombildas till något annat och låt J(x, t) vara en en 2-form som beskriver vätskans flöde runt B. Då ger massbalans att (t) = ρ(x, t)j(x, t). B Flyttar vi in derivationen i vänsterledet under integraltecknet och använder Stokes sats får vi att ( t ρ(x, t)σ + d(ρ(x, t)j(x, t)) = 0. B Eftersom detta gäller för alla klot B följer kontinuitetsekvationen t ρ(x, t) + d(ρ(x, t)j(x, t)) = 0 Exempel 10 Antag nu att vi har en 1-form ω = i u kdx k och en 2-dimensionell yta Σ i R n. Då gäller att dω = k du k dx k = i<j ( i u j j u i )dx i dx j.
9 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 8 (13) I rummet (n = 3) inför vi och får då att rot u = ( 2 u 3 3 u 2, 3 u 1 1 u 3, 1 u 2 2 u 1 ), Σ dω = Σ rot u(x) N(x) ds, där N är en enhetsnormal N på Σ. Samtidigt kan vi skriva u 1 dx 1 + u 2 dx 2 + u 3 dx 3 = (u T )ds, Σ där T är en enhetstangent till kurvan Σ. Relationen mellan N och T är att randen Σ ska vara positivt orienterad sett från spetsen av N (d.v.s sett från spetsen av N ska Σ ligga till vänster då man genomlöper Σ i den riktning som definieras av T ). Den formel vi får är alltså rot u(x) N(x) ds = u T ds, vilken kallas Stokes formel i vektoranalysen. Σ Anmärkning Ur denna formel får vi följande tolkning av rotationen. Betrakta ett liten sfär runt en punkt x och lägg ett litet ytstycke Σ genom x ortogonalt mot klotet. Om vi uppfattar u som strömningshastighet för en vätska, så mäter u(x) T (x) hur mycket vätska som strömmar igenom Σ per area- och tidsenhet. Att integralen i högerledet är skild från noll betyder att det finns ett inslag av virvelrörelse i vätskeströmningen. Om rot u(x 0 ) 0 så är vänsterledet som störst då N har samma riktning som rot u(x 0 ). an kan alltså uppfatta riktningen av rot u(x 0 ) som rotationsaxel för virvelrörelsen. Längden av rot u(x 0 ) är ett mått på virvelns styrka. Exempel 11 Ur formeln Σ Σ d(α β) = dα β + ( 1) k α dβ och Stokes sats får vi partialintegrationsformeln dα β = α β ( 1) k α dβ. Som exempel på detta har vi för en godtycklig funktion f och k-form α att fdα = fα df α. När α = g är en funktion (0-form) står här den vanliga formeln för partialintegration b a fdg = [fg] b a b a gdf. Ett annat exempel på Stokes sats är följande fundamentala observation.
10 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 9 (13) Exempel 12 Vinkelformen i R n \{0} definieras genom Den har egenskapen att τ = k=1 ( 1) k 1 x k dx k x n = dr r n 1. r n 1 dr τ = dr dr = σ där σ = dx 1... dx n är volymsformen i R n. Dessutom gäller att den är homogen av grad noll, dvs om vi multiplicerar x med ett tal a, så ändras inte τ. Dess differential ges av dτ = d(r 1 n dr) = (1 n)r n dr dr + r 1 n d( dr) = 0, eftersom d( dr) = k=1 ( 1) k 1 d( x k r ) dx k = k=1 ( 1) k 1 ( dx k r x kdr r ) dx 2 k = n 1 σ. r Stokes sats medför då att om Ω R n inte innehåller origo, så gäller att Ω τ = 0. Om emellertid 0 Ω, så kan vi inte använda Stokes sats direkt. Istället får vi först ta bort ett litet klot B ɛ med medelpunkt i origo och så liten radie att B ɛ Ω. ed Ω ɛ = Ω\B ɛ har vi då att origo inte ligger i området och det vi visat är just att Ω ɛ τ = 0. en Ω ɛ = Ω B ɛ, där minustecknet refererar till att klotranden har omvänd orientering, så vi har att τ = τ = τ = τ. B ɛ x =ɛ x =1 Ω en enligt ovan har vi att τ = S n 1 dτ = n B 1 dx = n volymen av enhetsklotet. B 1 Vi har alltså att integralen över enhetssfären av vinkelformen är arean av enhetssfären. Om vi betecknar arean av enhetssfären i R n med m(s n 1 ) så har vi alltså att { 0 om 0 / τ = Ω m(s n 1 ) om 0 Ω. Ω Det sista exemplet har intressanta konsekvenser. Betrakta 1-formen τ = för n > 2. Då vet vi från exemplet att dr m(s n 1 r n 1 Ω τ = 1 för varje öppen delmängd Ω som innehåller origo. Låt nu därför ρ vara en funktion på R n som är noll utanför en begränsad delmängd och definiera 1-formen G(x) = ρ(y)τ(x y)dy,
11 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 10 (13) Då ser vi att dg(x) = ρ(y)dτ(x y)dy = 0 och dessutom visar omkastning av integrationsordning att G = ρ(y)dy. Om vi använder Stokes sats på vänsterledet får vi att d( G) = ρdy, och eftersom detta är sant för alla öppna delmängder Ω följer att ed andra ord, 1-formen G löser problemet Ω Ω Ω Ω d( G) = ρ dg = 0, d( G) = ρ. I sig innehåller denna observation mycket av Newtons gravitationsteori och elektrostatiken baserad på Colombs lag, men den diskussionen tar vi i en annan artikel. Anmärkning Den duala formen τ, som alltså är en normerad vinkelform, kallas Kroneckerformen. För n = 1 är den dθ/2π. 5 Om integration och avbildningsgrad I detta avsnitt låter vi och N vara två kompakta, orienterade och glatta undermångfalder till R n av samma dimension k där N dessutom är sammanhängande. Vidare låter vi f : N vara en glatt avbildning mellan dem. Vi ska då diskutera integralen f ω för k-former ω på N. Det vi vet från ovan är att om f är en diffeomorfism så gäller att f ω = ɛ ω, där ɛ = 1 om f är orienteringsbevarande men ɛ = 1 om den kastar om orienteringen. Tag nu ett reguljärt värde y N, d.v.s. ett sådant att df(x) är icke-singulär för alla x sådana att f(x) = y. Eftersom är kompakt finns det då ändligt många värden x 1,..., x µ som avbildas på y och vi kan hitta omgivningar V i till x i och en omgivning U till y sådana att f i : V i U är diffeomorfismer. Låt nu ɛ i = 1 om f i är orienteringsbevarande och = 1 om den kastar om orienteringen och låt ω vara en k-form på N som har sitt stöd i U. Då gäller att µ f ω = ( ɛ i ) ω. N 1 N
12 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 11 (13) Koefficienten framför integralen i högerledet beror endast på f och y och kallas avbildningsgraden för f. Den kan också skrivas deg(f, y) = sign det df(x). x;f(x)=y ed den beteckningen har vi alltså att f ω = deg(f, y) en ur den formeln ser vi att deg(f, y) inte kan bero av y så länge som y ligger i U och är ett reguljärt värde till f. Och inte bara det. Om z N är ett annat reguljärt värde till f med en tillhörande omgivning U sådan att U U så ser vi genom att ta en differentialform som har sitt stöd i denna skärning att deg(f, z) = deg(f, y). ed andra ord, om N är sammanhängande så beror avbildningsgraden inte på y och betecknas därför deg(f). Genom att sönderdela ω med en partition av enheten följer nu följande sats. Sats 2 ed f, och N som ovan gäller för varje k-form ω på N att f ω = deg(f) ω. Detta resultat är t.ex. en generalisering av argumentprincipen i den komplexa analysen. Exempel 13 Om p är ett komplext polynom så är den holomorf och alltså orienteringsbevarande överallt. Låt nu Ω C vara ett begränsat, öppet, område med C 1 -rand Ω och definiera avbildningen f : Ω S 1 genom f(z) = p(z)/ p(z). Vi antar att p inte har några nollställen på randen Ω. Då gäller att deg(f) är lika med antalet nollställen till p i Ω. Vidare är dθ en 1-form på S 1 och vi har då enligt satsen att f dθ = deg(f) dθ = 2π deg(f). Ω S 1 en f dθ = df θ = darg p, argumentet av p, så vi har argumentprincipen att 1 darg p(z) 2π är lika med antalet nollställen (räknade med multiplicitet) till p i Ω. Ω N N ω. 6 Brower s fixpunktssats Låt vara en mångfald, möjligen med rand. En retraktion av på en delmängd A är en avbildning φ : A sådan att φ(x) = x då x A. Exempel 14 Avbildningen φ(x) = x/ x är en retraktion av det punkterade enhetsklotet på dess rand, enhetssfären.
13 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 12 (13) Ett punkterat enhetsklot är inte en kompakt mångfald, vilket också visar sig av att det finns en sats som säger att om är en kompakt, orienterad, mångfald med en icke-tom rand, så finns det ingen retraktion av på. För att se att så är fallet, antag att det finns en sådan retraktion φ : och förse med den ärvda orienteringen från. Låt σ vara volymsformen på randen och sätt α = φ σ. Av dimensionsskäl gäller då att dσ = 0, varför dα = φ dσ = 0. Stokes sats ger därför att α = 0. en å andra sida, om φ är en retraktion av på så gäller att α = σ på randen, och σ = Vol( ) 0. Denna observation leder till det äldsta resultatet i toplogin, nämligen att varje kontinuerlig avbildning från det slutna enhetsklotet på sig själv måste ha en fixpunkt. För att se att detta är sant för glatta avbildningar, låt B vara det slutna enhetsklotet och antag att avbildningen f : B B saknar fixpunkter. Vi kan då definiera en avbildning φ : B B genom att låta φ(x) vara den punkt på randen som fås som skärning med kordan genom x och f(x). Den är uppenbarligen en retraktion av B på B, men sådana finns ju inte, så vi har en motsägelse. Alltså måste f ha minst en fixpunkt. Anmärkning an kan tänka på denna sats som att om man rör om i en kaffekopp, så måste minst en molekyl återvända till sin ursprungsplats. Att få satsen för en kontinuerlig funktion kan göras genom att först observera att varje kontinuerlig funktion är homotop med en glatt funktion. Naturligtvis gäller satsen även för allmännare mängder än klot, så länge de topologiskt är klot. Noteringar 1. H n definieras av att x n 0 A Appendix: Partition av enheten Funktionen χ(t) = { 0 då t 0 e 1/t då t > 0 är en C (R)-funktion. Detta följer av att en godtycklig derivata har formen q(1/t)χ(t), t > 0 och då t 0 + gäller att detta går mot noll. Det följer att funktionen är deriverbar i origo hur många gånger som helst. Vidare är det klart att 0 χ 1. Om vi sätter φ(x) = χ(r 2 x a 2 ) så blir då φ en glatt funktion som är positiv då x a < r och lika med noll då x a r. ed hjälp av den ska vi nu konstruera s.k. partitioner av enheten på undermångfalder till R n. Låt nu K vara en kompakt delmängd av R n och antag att vi kring varje punkt x K finns en öppen omgivning ω(x). Till varje punkt x K finns då också ett öppet klot B ɛ(x) (x) ω(x) och enligt Heine-Borels lemma kan vi övertäcka K med ändligt många sådana klot. Kalla dem B 1,..., B m. Till var och en av dem kan vi ta en funktion g i sådan
14 Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen 13 (13) att g i > 0 i B i men g i = 0 utanför B i. Summan G(x) = i g i(x) är då positiv i K och = 0 i komplementet till en omgivning av K. Dividerar vi därför med summan, alltså definierar φ i (x) = g i (x)/g(x) får vi funktioner sådana att 0 φ i (x) 1 och uppfyller n 1 φ i(x) = 1 då x K. Att överföra detta till ett påstående på en mångfald är direkt om är kompakt. Varje punkt ligger då i en koordinatomgivning, och vi kan välja ut ett ändligt antal sådana och därifrån konstruera en partition av enheten sådan att varje funktion är skild från noll endast i en koordinatomgivning. Om inte är kompakt är situationen lite mer komplicerad. Det räcker då inte med ändligt många funktioner, utan vi behöver bilda en oändlig summa, och med det har vi ett konvergensproblem. en för en undermångfald i R n gäller att vi kan konstruera våra klot så att varje punkt ligger i endast ändligt många av kloten. Det betyder att summan är sådan att i varje punkt är endast ändligt många termer skilda från noll, varför vi inte har några konvergensproblem. otsvarande kan göras på en allmän mångfald det topologiska rum som bildar basen för en glatt mångfald har just denna egenskap. Vi går inte in på detaljerna men formulerar följande sats. Sats 3 Givet en atlas på en mångfald finns en partition av enheten {ψ i } sådan att a) Stödet för varje ψ i ligger helt i en koordinatomgivning b) 0 ψ i 1 överallt c) i ψ i = 1 på hela, där summan i varje punkt endast består av ändligt många termer. Anmärkning Vi har använt begreppet stödet av en funktion. ed stödet av en funktion menas den minsta slutna mängd som innehåller alla punkter där funktionen inte är noll.
Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analys på mångfalder Stokes sats och dess motsvarigheter i vektoranalysen Anders Källén atematikcentrum LTH anderskallen@gmail.com Stokes sats och dess motsvarigheter
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merVektoranalys i rummet
Vektoranalys i rummet Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Vektoranalys görs bäst med hjälp av differentialformer, men i detta kapitel tar vi och går igenom de viktigaste
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merDifferentialformer och lite vektoranalys
Analys 360 En webbaserad analyskurs Analys på mångfalder Differentialformer och lite vektoranalys Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialformer och lite vektoranalys 1 (15)
Läs merLäsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1
Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen
Läs merTavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén
Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merOm Gauss skosnöreformel och planimetrar
Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett
Läs merOm mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om mångfalder, abstrakta och som
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merOm lösningar till glatta ekvationer
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om lösningar till glatta ekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om lösningar till glatta ekvationer 1 (15) 1 Introduktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merAnalys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs mer2.5 Partiella derivator av högre ordning.
2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merLAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
Läs merVi har. x (xy2 ) + y ( yz2 ) + z (zx2 ) = y 2 z 2 + x 2 = x 2 + y 2 z 2, xy 2 yz 2 zx 2
Lektion 6, Flervariabelanals den februari 6.. Beräkna div F och rot F av F e + e. Divergensen och rotationen ges av div F F,,,, + + + +, rot F F,,,, e e e z, +,,,. rot F F,, e e e z z, z, z z z, + z, z
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs mer5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df
5 Gauss sats Betrakta ett vektorfält A. i låter en sluten ta, med utåtriktad normal ˆN, begränsa ett område. Antag nu att A är kontinuerligt deriverbart i hela. Under dessa premisser gäller Gauss sats
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merdx x2 y 2 x 2 y Q = 2 x 2 y dy, P dx + Qdy. Innan vi kan använda t.ex. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna.
Uppgift Beräkna kurvintegralen + d där är kurvan = från (, ) till (4, ). Lösning Här har vi ett fält F =(P, Q), där d, () så integralen är på formen P = +, Q = d, P d + Qd. Innan vi kan använda t.e. Greens
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merOm immersioner och Whitneys inbäddningssats
Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om immersioner och Whitneys inbäddningssats Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om immersioner och Whitneys inbäddningssats
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., 6.3-6.5 Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs mer