Bevarandelagar för fluidtransport, dimensionsanalys och skalning. Approximativa metoder för analys av komplexa fysiologiska flöden

Transkript

1 Bearandelagar för fliransport, dimensionsanals och skalning Approimatia metoder för anals a komplea fsiologiska flöden

2 Innehåll Blodets reologi Balansekationerna på differentiell form Dimensionsanals Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Krpströmning Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Balansekationerna på integralform Gränsskikt Smörjfilmsteori

3 Blodets reologi Plasma (~93% atten) Netonsk flid C: < m < Pa s Jämför med Pa s för atten@37 C Skillnaden beror framförallt på förekomsten a proteiner μ = μ sol 1 +.5φ Einstein, 1906 Gäller för små olmkoncentrationer f Blodet som helhet är icke-netonskt id låga deformationshastigheter (< 100 s -1 )

4 Blodets reologi Blodet som helhet är icke-netonskt id låga deformationshastigheter (< 100 s -1 ) Blodet kan modelleras som en Casson-flid: τ 1/ = τ 0 1/ + ηn 1/ γr 1/ Deformationshastighet Fltspänning Viskositet id höga deformationshastigheter

5 Blodets reologi Viskositeten arierar med deformationshastighet och koncentration a RBC Fedoso D A et al. PNAS 011;108:

6 Blodets reologi I små blodkärl Fåhræs-Lindqist-effekten: Viskositeten minskar med minskad kärldiameter Phsiolog/lect6/fig6.04.htm ViekNarsimhan/HomePage Fåhræs-effekten: Medelkoncentrationen a RBC är lägre i kärlet än i dess tflöde. OBS! Notera orsaken till detta!

7 Blodets reologi I kapilärer: Ökat friktionsmotstånd pga. endotelet. Deformation a RBC.

8 Strande ekationer db dm Renolds transportteorem: Gäller för gocklig, deformerbar kontrollolm db ss d d CV Ändring a B i CV CS Nettoflöde V ds a B öer CS Om kontrollolmens olm är konstant (fi kontrollolm) : d CV d CV d d

9 Strande ekationer Differentialrelationer Kontinitetsekationen: Betrakta infinitesimal kontrollolm Anänd Renolds transportteorem för fi kontrollolm med endimensionell strömning CV Antag d t CV m t d t m in 0 dd ddd d d t ddd d d d

10 Strande ekationer Differentialrelationer Kontinitetsekationen: 0 dd dd dd dd d dd d dd d ddd t Smmera öer alla riktningar: Diision med ddd ger 0 0 V t t

11 Strande ekationer Differentialrelationer Kontinitetsekationen: Stationär strömning: V 0 t 0 Inkompressibel strömning: V 0 konstant

12 Strande ekationer Differentialrelationer Rörelsemängdsekationen: Gör på samma sätt som för kontinitet, ilket ger: F V V V V ddd t Anänd kedjeregeln: F V V V V V ddd t t Kontinitetsekationen Materiella deriatan F V ddd Dt D

13 Strande ekationer Differentialrelationer Krafter: Graitation (olmkraft) F g g, g, g d g gddd Ytkrafter Spänningstensorn: ij p p p

14 Strande ekationer Differentialrelationer Krafter: p d d s F p Dt D g V p g t p g t p g t g d d g F konekti acceleration Lokal acceleration graitation trckkraft iskös kraft Rörelsemängdsekationen:

15 Strande ekationer Deformation a ett flidelement Translation: Rotation: Skjning: Volmändring:

16 Strande ekationer Differentialrelationer Ytkrafter Spänningstensorn: ij p p p

17 Skjning Deformation a ett flidelement d d d d d d

18 Deformation a ett flidelement Skjning Deformationshastighet: d d 1 Små inklar ger: d d d 1 d d d 1 d d t d d t d d t d t d d d

19 Deformation a ett flidelement Skjning Låt d d 0 I en netonsk flid beror spänningen linjärt på deformationshastigheten m om inkompressibel 0 3 ij ij ij V m m ij m dnamisk iskositet d d t d d t d d t d t d d d

20 Strande ekationer Differentialrelationer p Dt D g V p g t m p g t m p g t m Kan för inkompressibel strömning a en netonsk flid skrias: V g V m p Dt D Naier-Stokes ekationer Rörelsemängdsekationen:

21 Dimensionsanals Metod för minska kompleiteten i beskriningen a ett fsikaliskt fenomen samt att minska antalet ariabler som påerkar detta. Eempel, rörströmning: p = f ρ, μ, L, D, V Bckinghams Pi-teorem. 1. Identifiera antal ariabler och dimensioner: 6 ariabler, 3 dimensioner (massa, längd, tid). Detta medför att 6-3=3 dimensionslösa grpper kan skapas.. Finn det största antal ariabler som inte kan bilda en dimensionslös grpp. Antalet får dock inte öerstiga antalet dimensioner. Börja med att gissa att antalet är det samma som antalet dimensioner. Här t.e. densitet, hastighet och diameter 3. Skapa dimensionslösa grpper (Pi-grpper) genom att kombinera dessa med de öriga ariablerna. p ρv = g ρvd μ, L D

22 Dimensionsanals p = g 1 ρ, μ, V, D, L p ρv = g ρvd μ, L D = L D g Re Fannings friktionsfaktor p = f L ρv D

23 Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form ρ t + + = p + μ + + ρg Dimensionslösa ariabler: = L = L t = t T = U = U g = g g p = p ρu St t + + = p + 1 Re Alternati form: 4α Re + + t = p + 1 Re Fr g Fr g Strohaltalet Renoldstalet Frodetalet Womersletalet St = fl U = L UT Re = ρul μ Fr = α = D U gl πρf μ

24 Naier-Stokes ekationer på dimensionslös form Renoldstal Strohaltal Re St konekti tröghets kraft iskös kraft transient tröghetskraft konekti tröghetskraft Womersletal transient tröghetskraft iskös kraft Frodetalet Fr konekti tröghets kraft graitationskraft

25 Instationär strömning Ungefärliga ärden på Womersletalet: Aorta: 1 Karotis: 4,4 Arteriol: 0,04

26 Krpströmning (Stokes-strömning) St + + t = 1 Re p + 1 Re + p = p ρg L μu Re St + + t = p + + Re 0 p = +

27 Krpströmning kring en sfär Stokes lösning: r = U θ = U R r + 1 R 3 r 3 R r 1 R 3 4 r 3 cos θ sin θ p = p ρg 3μU 0 R R r cos θ

28 Krpströmning kring en sfär Strömningsmotstånd (motståndskraft, eng. drag force) Integration a trck och skjspänning projicerat på strömningsriktningen öer tan ger motståndskraften Motståndskraft: F D = 6πμU 0 R Motståndskoefficient: C D = F D = 1 ρu 0 πr 6πμU 0 R = 1 ρu 0 πr 4μ ρu 0 R = 4 Re

29 Krpströmning kring en sfär Fallande sfär (sedimentering) ρ p 4 3 πr3 du 0 = ρ p ρ g 4 3 πr3 F g F b 6πμU 0 R F d Gränshastighet (eng. terminal elocit) du 0 = 0 U 0 = gr 9μ ρ p ρ

30 Renolds transportteorem Sstem: En samling materia inom föreskrina gränser. Ingen materia passerar sstemgränsen Massa: dm ss dmv 0 Energi: Impls: ss F de ss dq dw Kontrollolm: Fi eller rörlig och eentellt defomerbar olm genom ilken materia strömmar

31 Renolds transportteorem Flöde öer en ta da V n Flöde a B: d B = ρβ V n da B = CS ρβ V n da β = db dm

32 Renolds transportteorem Sstem id tiden t: Sstem id tiden t+t: Kontrollolm: Ändring i kontrollolmen nder t: B CV t + t B CV t = B ss t + t B ss t t CS ρβ V n da B CV t + t B CV t t t 0 db ss = B ss t + t B ss t t = db CV + CS ρβ V n da CS ρβ V n da db ss = d CV ρβdω + CS ρβ V n da

33 Renolds transportteorem db dm Gäller för gocklig, deformerbar kontrollolm db ss d d CV Ändring a B i CV CS Nettoflöde V ds a B öer CS Om kontrollolmens olm är konstant (fi kontrollolm) : d CV d CV d d

34 Renolds transportteorem Massans bearande B = m β = db dm = 1 Inkompressibelt CS V n da = 0 dm ss = d CV ρdω + CS ρ V n da = 0 Eempel Q 1 = 1 V n da = 1 πr 1 Q 4 = 4 V n da = 4 πr 4 V n da = Q 1 + Q 4 + Q 5 = 0 Q 5 = V n da = 5 πr 5 CS 5

35 Renolds transportteorem Implsens bearande B = m V β = db dm = V d m V ss = d CV ρ V dω + CS ρ V V n da = F Krafter Graitation: F g = ρ gdω = m g CV Trck: F p = CS Viskösa spänningar: p n da F = n τ da d CV ρ V dω + CS ρ V V n da = CS p n da + CS n τ da + m g CS

36 Renolds transportteorem Rörlesemängdens bearande Kraften på plattan: Eempel ρ V V n da = F = F D = δ CS Strömlinje U 0 = h 1: V n = U 0 1 CV : V n = Kontinitetsekationen ger F D = ρu 0 1 da + ρ da = ρu 0 hb + ρb 0 δ d ρ V n da = 0 CS ρb h 0 U 0 d + ρb 0 δ d = 0 U 0 h = 0 δ d F D = ρb 0 δ U 0 d

37 Bernollis ekation Utgå ifrån implsekationen ρ t + ρ = p + τ + ρ g Antag stationär, förlstfri och isoterm strömning ρ = p + ρ g Längs strömlinje dp + ρd + ρgd = 0 Integrera längs strömlinjen p + ρ + ρg = konstant

38 Bernollis ekation Strömning genom förträngt rör Trckfördelning längs centrmlinjen Vena contracta Vena contracta

39 Bernollis tidgade ekation Från energiekationen kan följande ttrck härledas nder antagande att strömningen är: Inkompressibel Endimensionell och att ändringar i potentiell energi kan försmmas Viskösa förlster p 1 p = ρ 1 + ρ l=1 d dl + S E nds

40 Gränsskiktsekationerna kontinitet Impls i -led Impls i -led + = 0 ρ ρ + + = p + μ + = p + μ + Eftersom gränsskikt är tnna gäller följande: Re = ρu μ 1

41 Gränsskiktsekationerna Impls i -led ρ liten + liten = p + μ + p 0 mcket liten liten Impls i -led ρ + = p + μ + ρ + = dp d + μ Från Bernolli precis tanför gränsskiktet: dp d = ρu du d ρ + du = ρu d + μ

42 Gränsskikt Återänd till tidigare eempel, strömning öer plan platta: F D = ρb 0 δ U 0 d Jämför med on Karmans ekation om U=U 0 =konstant (ek ) δ U d + ρ du τ = ρ 0 d 0 δ U d = ρ 0 δ U 0 d F D = τ dd

43 Alösning Separationspnkt

44 Alösning

45 Alösning

46 Smörjfilmsteori 1 d μ d dp h3 d = 6 h du d U dh d + V (Renolds, 1886)