p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa."

Helena Eliasson
för 7 år sedan
Visningar:

1 BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation: 1 p + ρv + ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): p + ρv = konst. Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa. Vätskeströmning, förträngning Volymflöde, Q = V A = konst. arean minskar hastigheten ökar Bernoullis ekvation trycket minskar Strömning kring vingprofil (NACA 441), anfallsvinkel 5 Tätare strömlinjer på ovan-/framsidan högre hastighet, lägre tryck (lyftkraft) 1 Daniel Bernoulli, , Holland/Schweiz. CH. 3 Strömningslära C. Norberg, LTH

2 HASTIGHETSMÄTNING Förutsättningar: friktionsfri, inkompressibel, stationär strömning. Horisontell strömlinje summan av statiskt och dynamiskt tryck konstant, p + ρv / = konst. kan utnyttjas till hastighetsmätning. Om strömningen bromsas upp till hastigheten noll längs strömlinjen blir det statiska trycket i denna s.k. stagnationspunkt, p 0 = p + ρv /. Känd densitet ρ, uppmätt tryckdifferens p 0 p ger V = (p 0 p)/ρ Pitotrör (eng. Pitot tube), Henri de Pitot (173) Ett 90 böjt rör med öppningen (O) riktad mot strömningen. I fall (a) och (b) strömmar vätska. I fall (b) och (c) antas strömningen rätlinjig, d.v.s. försumbar krökning av strömlinjer, statiskt tryckuttag vid (A); i fall (c) är (A) och (O) ihopkopplade som en U-rörsmanometer, manometervätskans densitet = ρ m ; godtycklig fluid med ρ < ρ m ; avläst höjdskillnad h. (a, b) : V = gh, (c) : V = (ρ m /ρ 1)gh Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) Tryckuttagen A och O kombineras till en enda mätsond (Ludwig Prandtl, ca. 1910); mycket tillförlitlig; används mycket vid noggranna mätningar samt vid kalibrering, se Fig. 3.6 i kursboken. CH. 3.5 Strömningslära C. Norberg, LTH

3 PRANDTLRÖRET Genom anpassade dimensioner, speciellt mellan främre tryckuttaget (för stagnationstrycket, p S = p 0 ) och slitsen eller hålkransen för statiska trycket p samt mellan denna position och hållaren, kan tryckdifferensen bli exakt lika det dynamiska trycket, p 0 p = ρv /. Anströmningsvinkel inom ±0 avvikelse mindre än 1%. CH. 3.5 Strömningslära C. Norberg, LTH

4 TORRICELLIS TEOREM Betrakta utströmning av vätska ur ett litet hål i botten på en stor öppen behållare. En strömlinje kan identifieras från ytan (1) och ut genom hålet () och vidare ned en sträcka H vid (3). Stor behållare, litet hål (area A h ) vätskehöjden h konstant och ytans hastighet försumbar, V 1 = 0. Förutsätt stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning längs strömlinjen. Om vätskans densitet är ρ och z uppåt gäller enligt Bernoullis ekvation: p 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz = p 3 + ρv 3 + ρgz 3 Låt z 1 = h, p 1 = p atm ; z = 0, p = p atm + ρ air gh; z 3 = H, p 3 = p atm +ρ air g(h+h). Första likheten ger V = (1 ρ air /ρ)gh vilket om ρ air ρ innebär V = gh (Evangelista Torricelli 1643) Andra likheten ger V 3 = g(h + H) > V. Observera att hastigheterna är lika med de vid fritt fall för en fri kropp i vakuum. Om inte hålet är speciellt utformat kommer strålen att kontraheras vid utloppet (vena contracta). Om strålens utloppsarea är A j gäller för skarpkantade hål: A j /A h = C c 0.61, där C c 1 är den s.k. kontraktionskoefficienten, se Fig Volymflöde: Q = A j V = C c A h V = C c A h gh Strålens area efter utloppet kommer att minska, A 3 = A j / 1 + H/h, när strålen blir tillräckligt smal bildas droppar. CH Strömningslära C. Norberg, LTH

5 BERNOULLIS EKVATION RÖRSTRÖMNING Stationär, inkompressibel rörströmning. Volymflödet konstant, d.v.s. Q = V 1 A 1 = V A = konst. V = medelhastighet; A = tvärsnittsarea. Hastighetsvariation över tvärsnitt oftast ganska liten (turbulent rörströmning, se CH. 8). Över rörtvärsnitt med liten eller måttlig krökning är tryckvariationen hydrostatisk, p + ρ gz = konst. Om effekter av hastighetsvariation över tvärsnitt, krökning och friktion kan försummas gäller: p 1 + ρv 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz p och z är tryck och lodrät höjd vid rörets mitt. Med friktion tillkommer en positiv term i högerledet, d.v.s. totala trycket sjunker i strömningsriktningen, se CH. 8. Om även tekniskt arbetsutbyte inkluderas fås Bernoullis utvidgade ekvation: p 1 + ρv 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz + p f + ρw other där p f > 0, pumpar/fläktar: w other < 0; turbiner: w other > 0. CH Strömningslära C. Norberg, LTH

6 VENTURIMETER Tryckuttag strax innan den konvergenta delen, vid sektion 1 (diameter D). Ett andra tryckuttag i den trängre passagen (sektion, diameter d). Uppmätt: tryckskillnaden p = p 1 p Sökt: volymflödet Q. Stationär, inkompressibel strömning; fluidens densitet = ρ. Hastighetsvariationer över tvärsnitt försummas, liksom effekter av friktion och gravitation (mellan 1 och ). Massbalans ṁ = ρq = konst. Konstant densitet, ρ = konst. Q = V 1 A 1 = V A. Bernoullis ekvation: Omskrivning ger A 1 = πd /4; A = πd /4 V 1 /V = (d/d) (p 1 p ) ρ p 1 + ρv 1 = p + ρv = p ρ = V V 1 = V [ 1 (d/d) 4 ] Volymflöde: Q = πd 4 p/ρ 1 (d/d) 4 CH Strömningslära C. Norberg, LTH

Relevanta dokument

p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):

p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation: