KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT
|
|
- Emil Stig Nyström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT Stationär, endimensionell strömning, perfekt gas, konstant tvärsnitt. Inget tekniskt eller visköst arbete, försumbara variationer i potentiell energi. Väggskjuvspänning m.h.a. Darcys friktionsfaktor, τ w = fρv 2 /8, f = φ(re, ǫ/ ), = 4A/P, Re = 4ṁ/(Pµ), där µ endast beror av temperaturen. Massbalans: ṁ/a = ρv = G = konst. dρ ρ + dv V = 0 Impulsbalans: pa (p + dp)a τ w Pdx = ṁ(v + dv V ) dp + ρv dv + fρv 2 (dx/ )/2 = dp 0 + fρv 2 (dx/ )/2 = 0 Tillståndsekvation: p = ρrt dp p = dρ ρ + dt T Energibalans: δq = dh 0 = c p dt 0 = c p dt + V dv c p = kr/(k 1), k = c p /c v = konst. Ma = V/a, a = krt = kp/ρ ρv 2 = kpma 2 Betrakta först adiabatisk strömning, δq = 0 dt 0 = 0, konstant stagnationstemperatur. Entropin ökar, ds δq/t = ds > 0. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH
2 ADIABATISK KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION dp 1 + (k 1)Ma2 = kma2 p 2(1 Ma 2 f dx ) dρ ρ = dv V = kma2 2(1 Ma 2 ) f dx dp 0 = dρ 0 = 1 p 0 ρ 0 2 kma2 f dx < 0 dt 1)Ma4 = k(k T 2(1 Ma 2 ) f dx dma 2 Ma 2 = kma (k 1)Ma2 2 1 Ma 2 f dx Storhet Ma < 1 Ma > 1 p minskar ökar ρ minskar ökar V ökar minskar p 0, ρ 0 minskar minskar T minskar ökar Ma ökar minskar s ökar ökar Stagnationstrycket p 0 sjunker, entropin ökar. Hastigheten liksom Machtalet ökar vid underljudsströmning, omvänt vid överljud. Oavsett inloppstillstånd drivs strömningen mot soniska förhållanden, Ma = 1 (maximal entropi). Lämpligt referenstillstånd: Ma = 1 (betecknat med *) Inlopp vid x = 0 Tänkt utlopp vid x = L Ma = 1, p = p, T = T, o.s.v. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH
3 ADIABATISK KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION... Ekvationen för dma 2 kan integreras: L 0 f dx = fl = 1 Ma2 kma 2 + k + 1 2k ln f representerar medelvärde över [ 0, L ]. (k + 1)Ma (k 1)Ma 2 Övriga storheter: Varje tvärsnitt har en egen kritisk längd, d.v.s. f L = fl 1 fl 2 p/p = Ma 1 g 1 2 ; ρ/ρ = V /V = Ma 1 g 1 2 T/T = (a/a ) 2 = g ; p 0 /p 0 = ρ 0 /ρ 0 = Ma 1 g 2(k 1) k+1 k + 1 g = 2 + (k 1)Ma 2 Vid problemlösning, p 2 /p 1 = (p 2 /p )/(p 1 /p ), etc. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH
4 STRYPNING P.G.A. FRIKTION För varje givet Machtal Ma 1 vid tänkt inlopp (x = 0) kommer strömningen till slut att bli sonisk, Ma = 1, vid x = L (Ma 1 ). Exempel: f = 0.020, k = 1.40; Ma 1 = L / = 205; (a) Ma 1 = 3.00 L / = 26.1; Ma 1 L / = Vad händer om L > L, d.v.s. röret längre än kritisk längd? Strömningen i utloppet blir sonisk, strypt. (i) Ma 1 < 1. Machtalet vid inloppet kan inte upprätthållas. Strömningen anpassas (bromsas upp) så att Machtalet vid inloppet blir lägre, Ma 1,new < Ma 1, L = L (Ma 1,new ). Massflödet minskar. (ii) Ma 1 > 1. Stötbildning med övergång till Ma < 1 så att Ma blir exakt ett vid utloppet (b, c). Givet inlopps-machtal innebär att viss längd ger stöt precis vid inloppet. Exempel: f = 0.020, k = 1.40; Ma 1 = 3.00 = Ma n1 Ma n2 = 0.475, L / = Vid ännu längre rör (d) sker stöt uppströms inloppet, i det förmodade Lavalmunstycket. Först då stöten når munstyckets minsta sektion minskar massflödet. Ch. 9.7 Strömningslära C. Norberg, LTH
5 ISOTERM KOMPRESSIBEL RÖRSTRÖMNING MED FRIKTION Adiabatisk approximation är oftast OK för relativt korta rör och kanaler, upp till 100 vid normal isolering (naturlig konvektion). För riktigt långa rör, t.ex. gasströmning i långa pipelines, är isoterm approximation mer lämplig. En strikt isoterm kompressibel strömning kräver dock anpassat värmeutbyte, δq = V dv. Supersonisk isoterm strömning är mycket ovanligt. p/ρ = RT = konst. dρ/ρ = dp/p ρv = ṁ/a = konst. dρ/ρ = dv/v vilket insatt ger Machtalsrelationer... dp/p = dv/v Strömningen drivs mot Machtal lägre än ett, Ma crit = 1/ k; k = 1.40 Ma crit = Strypt strömning sker vid L max, fl max = 1 kma2 kma 2 + ln ( kma 2 ) (9.71) Mycket snarligt adiabatiska fallet, speciellt subsonisk strömning. Beteckna det tänkta strypta tillståndet vid x = L max med prim, p, ρ, V, etc. Då gäller V/V = ρ /ρ = p /p = k Ma (9.72) I motsats till adiabatisk strömning finns en explicit formel för massflödet: G 2 = ṁ A 2 = p 2 1 p2 2 RT[ fl/ + 2 ln(p 1 /p 2 ) ] (9.73) Subsoniskt inlopp (Ma 1 < 1) kräver Ma 2 Ma crit = 1/ k; om inte måste Ma 1 minskas så att Ma 2 = Ma crit uppfylls. Vid adiabatisk strömning kan ekv. (9.73) med fördel användas som utgångspunkt vid iterativ beräkning av ṁ. Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH
6 FRIKTIONSFRI KOMPRESSIBEL STRÖMNING MED VÄRMEUTBYTE Vid kraftig kylning/värmning eller internt värmeutbyte, t.ex. i brännkammare, kan oftast väggfriktionen försummas, 4τ w d(x/ ) ρ δq. [KE] ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2 = G = ṁ/a = konst. [IE] p 1 p 2 = G(V 2 V 1 ) = ρ 2 V2 2 ρ 1 V1 2 [EE] Q/ṁ = q = c p (T 02 T 01 ) = kr k 1 (T 02 T 01 ) p 2 [TE] = p 1 ρ 2 T 2 ρ 1 T 1 [Machtal] Ma = V a = V krt ρv 2 = kpma 2 p 2 = 1 + kma2 1 p kma 2 2 V 2 V 1 = Ma 2 Ma 1 a 2 a 1 = Ma 2 Ma 1 T 2 T 1 = ρ 2 ρ 1 p 2 p 1 = V 2 V 1 p 2 p 1 T 2 T 1 = T 1/2 2 T kma kma 2 2 Ma 2 Ma 1 T 0 T = 1 + k 1 Ma 2 samt p 0 2 p = T k 1 0 T 02 och p 02 T T 01 p 01 T 02 = T 01 + k 1 kr q, o.s.v. k 2 Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH
7 STRÖMNING MED VÄRMEUTBYTE... q = c p (T 02 T 01 ), d.v.s. värmning (q > 0) ökar T 0, omvänt vid kylning. Max. T 0 sker vid Ma = 1, d.v.s. vid givna inloppsförhållanden kan bara en viss värmemängd q max tillföras. Låt tänkt utloppstillstånd vara vid Ma = 1 och beteckna alla övriga storheter med {.}, ex. p, T,.... Arbetssamband (k = 1.40, se Table B.4): T 0 T0 p 0 p 0 = (k + 1)Ma2 [ 2 + (k 1)Ma 2 ] (1 + k Ma 2 ) 2 = k k Ma 2 T T = k + 1 Ma2 1 + k Ma 2 p p = k k Ma 2 V V = ρ ρ 2 + (k 1)Ma 2 2 = (k + 1)Ma2 1 + kma 2 k + 1 k k 1 Ex. värmning; q > q max? Utloppet blir soniskt, strypt, Ma 2 = 1. Strömningen måste anpassa sig så att tillförd värmemängd klaras av, T 02 = T 01 + q/c p = T 0. Vid subsoniskt inlopp minskar Ma 1, Ma 1,new < Ma 1. Om Ma 1 > 1 utbildas stöt uppströms, inloppet blir subsoniskt, Ma 1,new < 1. Ch. 9.8 Strömningslära C. Norberg, LTH
8 TVÅDIMENSIONELL SUPERSONISK STRÖMNING Betrakta en liten partikel som färdas med hastigheten U genom stillastående gas. Partikeln sänder ut ljudpulser som utbreder sig med ljudhastigheten a. Machtal, Ma = U/a. (a) Ma < 1. Partikeln kommer inte ifatt sina ljudpulser, a δt > U δt, subsonisk hastighet. Ljudet hörs i alla riktningar. (b) Ma = 1. Precis ifatt! Hastigheten är sonisk. Ljudet hörs endast bakom partikeln. (c) Ma > 1. Partikeln åker ifatt och förbi sina egna ljudpulser, U δt > a δt, supersonisk hastighet. Vågfronter formar sig till en kon. Inget ljud hörs utanför denna s.k. Machkon. Machvinkel, µ = arcsin 1 Ma Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
9 SNEDA STÖTAR Sneda stötar uppträder då supersonisk strömning tvingas till omlänkning i samband med kompression (tryckökning). Supersonisk 2-D strömning kring kilformade kroppar: Anliggande stöt, liten omlänkning, θ < θ max Friliggande stöt, stor omlänkning, θ > θ max Under vissa förhållanden kan supersonisk strömning upprätthållas även efter en sned stöt. Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
10 SNEDA STÖTAR... Stötvinkel β; Omlänkningsvinkel θ; Tunn stöt A 2 = A 1 ; Adiabatiskt T 02 = T 01 ; Irreversibelt s 2 > s 1 [KE] ρ 1 V n1 = ρ 2 V n2 [IE] n p 1 p 2 = ρ 2 Vn2 2 ρ 1 Vn1 2 [IE] t 0 = ρ 1 V n1 (V t2 V t1 ) V t2 = V t1 [EE] ĥ 1 + Vn1/2 2 = ĥ2 + Vn2/2 2 Ekvationssystemet identiskt med det som gäller raka stötar om V 1 och V 2 ersätts med V n1 resp. V n2. Samma form på Machtalsrelationer! Ma 1 Ma n1 = V n1 /a 1 = Ma 1 sinβ > 1 Ma 2 Ma n2 = V n2 /a 2 = Ma 2 sin(β θ) < 1 p 2 = p 1 ρ 2 = ρ [ 2k Ma 2 k sin 2 β (k 1) ] tanβ tan(β θ) = (k + 1)Ma2 1 sin2 β (k 1)Ma 2 1 sin 2 β + 2 = V n1 V n2 Ma 2 n2 = (k 1)Ma2 n k Ma 2 n1 (k 1) Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
11 HODOGRAF, MAXIMAL OMLÄNKNINGSVINKEL En stråle från origo som tangerar eller skär genom den droppformade hodografen motsvarar möjlig omlänkning θ vid sned stöt, vid givet Machtal Ma 1 innan stöten. Två möjligheter (lösningar) om θ < θ max ; stötvinklar β w och β s, svag resp. stark stöt. Ingen lösning om θ > θ max. Den maximala omlänkningsvinkeln θ max ökar med Ma 1 men är begränsad även då Ma 1. Omlänkningsvinkel, θ = arctan V t V n2 arctan V t V n1. Derivering m.a.p. V t och derivatan noll ger θ max = arctanr 1/2 arctanr 1/2, r = V n1 /V n2 Ma n1 r = (k + 1)/(k 1); med k = 1.4 fås r = V n1 /V n2 = 6.0 θ max = 46 (β = 68 ); Ma n1 = 3.0 r = 3.86 θ max = 36 (β = 63, Ma 1 = Ma n1 / sinβ = 3.4). Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
12 SAMBAND MELLAN VINKLAR tanθ = 2 tanβ Ma 2 1 sin2 β 1 Ma 2 1 (k + cos 2β) + 2 (9.86) θ = 0, β = 90 (rak stöt, Ma 2 < 1 ) θ = 0, Ma 2 > 1 β = µ (Machvågor) θ > 0 β > µ (stötvågor) Given omlänkningsvinkel θ < θ max två möjliga stötvinklar β: Liten stötvinkel Svag stöt (oftast är Ma 2 > 1) Stor stötvinkel Stark stöt (Ma 2 < 1). Typ av stöt beror av förhållanden nedströms. Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
13 EXTREMT SVAGA STÖTAR Vid ändlig omlänkningsvinkel θ är stötvinkeln β alltid större än Machvinkeln µ (sinµ = 1/Ma 1 ). Linjärisering kring θ = 0 ger sinβ = sinµ + k cosµ tanθ + O(tan2 θ) (9.88) p 2 p 1 p 1 = kma 2 1 Ma tanθ + O(tan2 θ) (9.89) s 2 s 1 c p = (k2 1)Ma (Ma 2 1 1) 3/2 tan3 θ + O(tan 4 θ) (9.90) Svaga stötar med små θ approximativt isentropa (förlustfria). Ma = 2: p 2 /p 1 inom 10% då θ < 5 ; Ma = 6: θ < 2 ; motsvarande β inom 0.2 ; ekv. (9.88) ger bra β-startvärde vid iteration med ekv. (9.86). Linjärisering ligger till grund för teorin om supersoniska expansionsfanor (Prandtl-Meyers expansionsvågor). Ch. 9.9 Strömningslära C. Norberg, LTH
14 GRADVIS OMLÄNKNING, EXPANSIONSFANOR Linjäriserad teori kan användas vid gradvisa omlänkningar av supersonisk strömning. Processen kan approximeras som isentrop. (a) Gradvis kompression minskar Machtalet, Machvågor sammanstrålar/samverkar stötvåg med ändlig amplitud. (b) Gradvis expansion ökar Machtalet, Machvågorna divergerar. (c) Plötslig kompression kan endast approximeras med linjär teori vid små θ och låga Ma 1 > 1, alldeles invid hörnet dock som fall (a). (d) Vid plötslig expansion sprids Machvågorna ut från hörnet likt en solfjäder ( expansionsfana ), hela omlänkningen kan behandlas med linjäriserad teori, genom integration (Prandtl & Meyer, 1908). Vid givet Machtal uppströms och given expansionsvinkel kan t.ex utgående Machtal enkelt beräknas. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH
15 PRANDTL-MEYERS FUNKTION Differentiell omlänkning dθ; Ma > 1 Isentrop omlänkning dp p = dθ = dω = kma2 Ma 2 1 dθ Ma (k 1)Ma 2 /2 d(ma) Ma Expansion (dω > 0) ökar således Machtalet. Integration med ω(ma = 1) = 0 ger Prandtl-Meyers funktion: ω(ma) = K arctan Ma2 1 K arctan ( Ma 2 ) 1 K = k + 1 k 1 Ma ω = ω max = π( K 1)/2. Med k = 1.40 fås K = 6.0, ω max = Expansion med vinkeln ω: ω = ω 1 2 = ω(ma 2 ) ω(ma 1 ) Ex. Ma 1 = 4.0, k = 1.40 ω 1 = (Table B.5). ω = 20 ω 2 = ω 1 + ω = Ma 2 = 6.2. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH
16 TUNNA VINGPROFILER, SUPERSONISK STRÖMNING ACKERETS TEORI Tvådimensionell strömning, teori efter Jacob Ackeret (1925). α 1 bredd b C C = korda L = F cosα F D = F sinα F α : F = (p 2 p 3 )Cb = (p 2 p 3 )A p p 2 p 3 = (p 2 p ) (p 3 p ) = p p 2 p p p 3 p p 2 : svag stöt, θ = α p 2 p p = kma2 α Ma : expansionsfana, ω = α = θ p 3 p p L F = p kma 2 A p 2α Ma 2 1 C L = 2L/(ρ U 2 A p ), ρ U 2 = kp Ma 2 = kma2 ( α) Ma 2 1 C L 4α Ma 2 1, C D 4α 2 Ma 2 1 Ch Strömningslära C. Norberg, LTH
Arbete är ingen tillståndsstorhet!
VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:
Läs mer5C1201 Strömningslära och termodynamik
5C1201 Strömningslära och termodynamik Föreläsning 12: Kompressibel strömning Introduktion samt isentropisk strömning Målsättning: att formulera de grundekvationer som gäller då strömningen är kompressibel,
Läs merArbetet beror på vägen
VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:
Läs merp + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa.
BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation:
Läs mer3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion
Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 26 augusti 2010, kl. 14:00-18:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ
Läs merBetygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00
Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling typ Beta),
Läs merP1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3.
P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3. Luften värms nu långsamt via en elektrisk resistansvärmare
Läs merKap 7 entropi. Ett medium som värms får ökande entropi Ett medium som kyls förlorar entropi
Entropi Är inte så enkelt Vi kan se på det på olika sätt (mikroskopiskt, makroskopiskt, utifrån teknisk design). Det intressanta är förändringen i entropi ΔS. Men det finns en nollpunkt för entropi termodynamikens
Läs merp + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):
BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation:
Läs merv = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.
STRÖMLINJER, STRÅKLINJER,... En strömlinje (eng. streamline) är en kurva (linje) i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn V. I vanliga rätvinkliga koordinater gäller:
Läs merGivet: ṁ w = 4.50 kg/s; T 1 = 20.0 C; T 2 = 70.0 C; Voil = 10.0 dm 3 /s; T 3 = 170 C; Q out = 11.0 kw.
TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA 21 oktober 2008; inkl. teorisvar/lösningar. T1. Definiera eller förklara kortfattat (a) kinematisk viskositet ν = µ/ρ, där µ är fluidens dynamiska viskositet
Läs merRe baseras på medelhastighet V samt hydraulisk diameter D h, Re = Re Dh = ρv D h. , D h = 4 A P. = V D h ν
RÖRSTRÖMNING Trots dess stora tekniska betydelse är den samlade kunskapen inom strömning i rörsystem väsentligen baserad på experiment och empiriska metoder, även när det gäller inkompressibel, stationär
Läs merTENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl
TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA, tisdag 23 oktober 2012, kl. 14.00 18.00. P1. En sluten cylinder med lättrörlig kolv innehåller 0.30 kg vattenånga, initiellt vid 1.0 MPa (1000 kpa) och
Läs merTENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2014-01-14 kl. 08.30-12.30
CHALMERS (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM09/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM09 och KVM090) 204-0-4 kl. 08.30-2.30
Läs mer1. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens inlopp ges av. p = d
MEKANIK KTH Förslag till lösningar vid tentamen i 5C9 Teknisk strömningslära för M den 6 maj 004. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens
Läs merFUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω)
FUKTIG LUFT Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft Normalt är ω 1 (ω 0.02) ω = m v /m a m = m a (1 + ω) Luftkonditionering, luftbehandling:
Läs merÖverhettad ånga, Table A-6 (2.5 MPa): T [ C] v [m 3 /kg] ? Linjär interpolation:
Exempel 1, Ch.3 Givet: H 2 O, P = 2.5 MPa = 2500 kpa, T = 265 C = 538.15 K. Sökt: v (volymitet). Table A-4: T = 265 C > T sat@2.5mpa = 223.95 C Table A-5: P = 2500 kpa < P sat@265 C = 5085.3 kpa Överhettad
Läs merCHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16
CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker
Läs merTENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V
CHLMERS 1 (3) TENTMEN I TERMODYNMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Kursböckerna Elliott-Lira: Introductory Chemical Engineering Thermodynamics och P. tkins, L. Jones:
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merTENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2013-01-15 kl. 08.30-12.30
CHALMERS 1 (5) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2013-01-15 kl. 08.30-12.30
Läs merA. Egenskaper hos plana figurer (MTM458)
uleå tekniska universitet Hans Åkerstedt Aerodynamik f37t 8/9 FORMESAMING I AEROYNAMIK INNEHÅ:. Hydrostatik och standard atmosfären. Kinematik 3. Konserveringslagar 4. Modellförsök och likformighet 5.
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM119/052 Hydromekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM9/05 Hydromekanik Datum: 005-08-4 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merB1 Lösning Givet: T = 20 C 0 T = 72 C T = 100 C D x1 = = 0.15 m 2 Det konvektiva motståndet kan försummas Beräkna X i punkten som är 6 cm från mitten T T 100 72 Y = = = 0.35 T T 100 20 1 0 m 0 (det konvektiva
Läs merU = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)
Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merLinköpings tekniska högskola Exempeltentamen 5 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 5. strömningslära, miniräknare.
Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 5 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 5 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,
Läs merKap 4 energianalys av slutna system
Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merARBETSGIVANDE GASCYKLER
ARBETSGIVANDE GASCYKLER Verkliga processer är oftast mycket komplicerade till sina detaljer; exakt analys omöjlig. Om processen idealiseras som internt reversibel fås en ideal process vars termiska verkningsgrad
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merSG1216. Termodynamik för T2
SG1216 Termodynamik för T2 Klassisk termodynamik med kompressibel strömning. rörelseenergi och arbete inom mekanik rörströmning inom strömningslära integralkalkyl inom envariabelsanalys differentialkalkyl
Läs merTENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00
CHALMERS 1 (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi Termodynamik (KVM091/KVM090) TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merEntropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett "kallare" till ett "varmare" system utan att samtidigt utföra arbete.
Entropi Vi har tidigare sett hur man kunde definiera entropi som en funktion (en konstant gånger naturliga logaritmen) av antalet sätt att tilldela ett system en viss mängd energi. Att ifrån detta förstå
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs mermg F B cos θ + A y = 0 (1) A x F B sin θ = 0 (2) F B = mg(l 2 + l 3 ) l 2 cos θ
Institutionen för teknikvetenskap och matematik Kurskod/kursnamn: F0004T, Fysik 1 Tentamen datum: 019-01-19 Examinator: Magnus Gustafsson 1. Friläggning av balken och staget: Staget är en tvåkraftsdel
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merTERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH
TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,
Läs merTeknisk termodynamik repetition
Först något om enheter! Teknisk termodynamik repetition Kom ihåg att använda Kelvingrader för temperaturer! Enheter motsvarar vad som efterfrågas! Med konventionen specifika enheter liten bokstav: E Enhet
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN 6 mars 06 Tid 8:-: Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Lösningsförslag
160530: TFEI0 1 Uppgift 1 TFEI0: Vågfysik Tentamen 016-05-30: Lösningsförslag a) Ljudintensiteten, I, är ett mått på hur stor effekt, P eff, som transporteras per area. Om vi vet amplituden på vågen kan
Läs merLektion 5: Innehåll. Bernoullis ekvation. c 5MT007: Lektion 5 p. 1
Lektion 5: Innehåll Bernoullis ekvation c 5MT007: Lektion 5 p. 1 Lektion 5: Innehåll Bernoullis ekvation Reynoldstal (Re) c 5MT007: Lektion 5 p. 1 Lektion 5: Innehåll Bernoullis ekvation Reynoldstal (Re)
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3]
TFEI0: Vågfysik Tentamen 14100: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vågen kan skrivas på formen: vilket i vårt fall blir: s(x,t) =s 0 sin t π T x + α λ s(x,t) = cos [π (0,4x/π t/π)+π/3] Vi ser att periodtiden
Läs merDavid Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Entropi 1.1 Inledning Entropi införs med relationen: S = k ln(ω (1 Entropi har enheten J/K, samma som k som är Boltzmanns konstant. Ω är antalet
Läs merTvå system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan
Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merBERNOULLIS EKVATION. Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform:
BERNOULLIS EKVATION Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform: dv dt = V t +(V )V = g ρ 1 p (1) Cartesiska koordinater: V = (u,v,w), = ( / x, / y, / z). Vektoridentitet: (V )V = (V 2 /2)+ξ
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merRelativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi
Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merbh 2 π 4 D2 ] 4Q1 πd 2 =
MEKANIK KTH Förslag till lösningar vid tentamen i 5C1921 Teknisk strömningslära för M den 27 maj 2005 1. Medelhastigheten i rören är ū 1 4Q 1 πd 2 ochikanalenär den ū 2 och ges av Q 2 [bh 2 π ] 4 D2 Kravet
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merDELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen)
Joakim Malm Teknisk Vattenresurslära LTH DELPROV /TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR0 4 OKTOBER 003, 08:00-:00 (Delprov), 08:00-3:00 (Tentamen) Tillåtna hjälpmedel: Kom ihåg: För samtliga uppgifter: Rättning:
Läs merMEKANIK KTH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C1201 Stromningslara och termodynamik for T2 den 30 augusti Stromfunktionen for den ho
MEKNK KH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C0 Stromningslara och termodynamik for den 30 augusti 00. Stromfunktionen for den homogena fristrommen och kallan ar ;Vy; m dar den forsta termen (fristrommen)
Läs merTermodynamik Föreläsning 7 Entropi
ermodynamik Föreläsning 7 Entropi Jens Fjelstad 200 09 5 / 2 Innehåll FS 2:a upplagan (Çengel & urner) 7. 7.9 FS 3:e upplagan (Çengel, urner & Cimbala) 8. 8.9 8.3 D 6:e upplagan (Çengel & Boles) 7. 7.9
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSTRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR
STRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR Vid den fria vätskeytan (vattenytan) kan trycket antas lika med det konstanta atmosfärstrycket (ytspänningseffekter försummas). Stationär, inkompressibel och oftast turbulent
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKulstötning. Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu
Kulstötning Israt Jahan Martin Celander Andreas Svensson Jonathan Koitsalu Abstract I detta projekt undersöktes en kulstötning med starthöjden meter och en längd på,5 meter med hjälp av matematiska modeller.
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM119 Hydromekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM9 Hydromekanik Datum: 005-05-0 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan saknas
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merApplicera 1:a H.S. på det kombinerade systemet:
(Çengel, 998) Applicera :a H.S. på det kombinerade systemet: E in E out E c på differentialform: δw δw + δw δ Q R δwc dec där C rev sys Kretsprocessen är (totalt) reversibel och då ger ekv. (5-8): R R
Läs merVad tror du ökning av entropi innebär från ett tekniskt perspektiv?
Entropi Entropi är ett mått på oordning En process går alltid mot samma eller ökande entropi. För energi gäller energins bevarande. För entropi gäller entropins ökande. Irreversibla processer innebär att
Läs merLEONARDO DA VINCI ( )
LEONARDO DA VINCI (1452 1519) En kropp som rör sig med en viss hastighet i stillastående luft erfar samma strömningsmotstånd som om kroppen vore stillastående och utsatt för en luftström med samma hastighet.
Läs merTermodynamik Föreläsning 2 Värme, Arbete, och 1:a Huvudsatsen
Termodynamik Föreläsning 2 Värme, Arbete, och 1:a Huvudsatsen Jens Fjelstad 2010 09 01 1 / 23 Energiöverföring/Energitransport Värme Arbete Masstransport (massflöde, endast öppna system) 2 / 23 Värme Värme
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner
Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merv = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.
STRÖMLINJER, STRÅKLINJER,... En strömlinje (eng. streamline) är en kurva (linje) i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn V. I vanliga rätvinkliga koordinater, V = (u,
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:
HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget
Läs merLaboration i Tunneltransport. Fredrik Olsen
Laboration i Tunneltransport Fredrik Olsen 9 maj 28 Syfte och Teori I den här laborationen fick vi möjlighet att studera elektrontunnling över enkla och dubbla barriärer. Teorin bakom är den som vi har
Läs merKOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,
KOMIHÅG 18: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = # n x j, 1 med konstanterna! n = k m och!" n = c m. ------------------------------------------------------
Läs mer1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop
Läs merLösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum:
Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: 004-08- Observera Om tentamensuppgiften är densamma som på den nya kursen MTM3 är uppgiften löst med den metod som är vanligast i denna kurs.
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merLite kinetisk gasteori
Tryck och energi i en ideal gas Lite kinetisk gasteori Statistisk metod att beskriva en ideal gas. En enkel teoretisk modell som bygger på följande antaganden: Varje molekyl är en fri partikel. Varje molekyl
Läs merTentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)
Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Måndag den 4 januari 008, kl. 8.30-.30 i M-huset. Examinator:
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs mer