BERNOULLIS EKVATION. Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform:

Transkript

1 BERNOULLIS EKVATION Friktionsfri strömning, Eulers ekvation på vektorform: dv dt = V t +(V )V = g ρ 1 p (1) Cartesiska koordinater: V = (u,v,w), = ( / x, / y, / z). Vektoridentitet: (V )V = (V 2 /2)+ξ V där V = V = V V och ξ = V (vorticitetsvektorn). Insatt i (1) samt efter skalärmultiplikation med dr, en differentiell förflyttningsvektor: V t + (V 2 /2)+ξ V+ρ 1 p g Termen (ξ V) dr är noll om: dr = 0 (1) V = 0; trivialt, hydrostatik (2) ξ = 0; rotationsfri strömning, se vidare Ch (3) dr vinkelrät mot ξ V specialfall, ovanligt (4) dr parallell med V; förflyttning längs en strömlinje Med g = gk (k uppåt), (ξ V) dr = 0 och stationära förhållanden ( V/ t = 0) fås Bernoullis ekvation på differentiell form: ρ 1 dp+d(v 2 /2)+gdz = 0 Inkompressibel strömning, ρ = konst. p+ρv 2 /2+ρgz = konst. I fall (2) gäller Bernoullis ekvation i alla punkter med samma konstant; i fall (4) beror konstanten av strömlinjen. Vid aerodynamiska tillämpningar kan oftast höjdtryckstermen försummas, p+ρv 2 /2 = konst. Ch. 3.2 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

2 TRYCKKOEFFICIENT Tryckkoefficienten C p med referenstillstånd i en ankommande friström (index ) definieras enligt C p = p p q, q = ρ V 2 /2 Längs en strömlinje vid stationär inkompressibel och friktionsfri strömning, med utgångspunkt i referenstillståndet, gäller således om höjdtrycksförändringarkan försummas: p +ρv 2 /2 = p+ρv 2 /2, d.v.s. C p = 1 (V/V ) 2 Om strömningen dessutom är rotationsfri, s.k. potentialströmning, gäller sambandet för alla punkter i strömningsfältet. Observera att C p = 1 i en stagnationspunkt, V = 0. Nedanstående illustrerar C p utefter ytan på en anströmmad cirkulär cylinder, (främre) stagnationspunkt vid θ = 0 och θ = 360. Potentialströmning ( theoretical ): C p = 1 4sin 2 θ Ch. 3.5 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

3 HASTIGHETSPOTENTIAL Vid rotationsfri strömning, V = 0, kan hastighetsvektorn uttryckas som gradienten av en skalär funktion, φ kallas hastighetspotential. V = 0 V = φ Vid inkompressibel strömning visar kontinuitetsekvationen, V = 0, att hastighetspotentialen uppfyller Laplaces ekvation, 2 φ = 0. Om den inkompressibla rotationsfria strömningen dessutom är tvådimensionell i ett plan så är strömlinjer ψ = konst. lokalt vinkelräta mot ekvipotentiallinjer i varje punkt, 1 d.v.s. dy dx ψ=konst. = v u = 1 (dy/dx) φ=konst. Laplaces ekvation är linjär, vilket innebär att olika lösningar kan superponeras, läggas samman. Om φ 1, φ 2,..., φ n representerar n stycken separata lösningar till Laplaces ekvation gäller detta även godtyckliga linjära summor av dessa, ex. φ = a 1 φ 1 +a 2 φ a n φ n = a i φ i där a i (i = 1,2,..., n) är konstanter. På fasta ytor måste hastighetens normalkomposant vara noll, d.v.s. V n = V n = ( φ) n = 0 φ/ n = 0. 1 Under dessa förhållanden uppfyller även strömfunktionen ψ Laplaces ekvation, 2 ψ = 0. Ch. 3.7 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

4 PLAN POTENTIALSTRÖMNING, SUPERPOSITION AV ELEMENTARFALL Parallellströmning längs x-axeln: u = φ/ x = ψ/ y = V, v = φ/ y = ψ/ x = 0. Integrationer ger φ = V x+konst., ψ = V y +konst. Konstanterna är ointressanta, d.v.s. φ = V x = V rcosθ ψ = V y = V rsinθ Radiell strömning från/mot origo, käll- resp. sänkströmning: V r = f(r), V θ = 0. Volymflöde per breddenhet genom yta vid radien r: Q/b = Λ = 2π 0 V r rdθ = 2πrV r,d.v.s.v r = Λ/(2πr).V r = φ/ r = r 1 ψ/ θ = Λ/(2πr), V θ = r 1 φ/ θ = ψ/ r = 0 ger φ = Λ 2π lnr ψ = Λ 2π θ Superposition av parallellström och källströmning, strömfunktion: ψ = V rsinθ+ Λ 2π θ I stagnationspunktenbär V r = V θ = 0 r B = Λ/(2πV ), θ B = π. Ch Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

5 SUPERPOSITIONER... Superposition av linjekälla +Λ i ( a,0), linjesänka Λ i (a,0) samt parallellströmning längs x-axeln: ψ = V rsinθ+ Λ 2π (θ 1 θ 2 ) Den slutna strömlinjen kan motsvara en kroppskontur; kallas Rankines oval. Om a 0 samtidigt som Λ på ett sätt att κ = 2Λa = konst. fås en s.k. dubblett. Om denna superponeras med en parallellströmning blir den slutna kroppskonturen en cirkel, som då kan motsvara friktionsfri strömning kring en cylinder med cirkulärt tvärsnitt: ψ = (V rsinθ)(1 R 2 /r 2 ) V r = (1 R 2 /r 2 )V cosθ V θ = (1+R 2 /r 2 )V sinθ R = κ/(2πv ) På cylinderytan, r = R: V r = 0, V θ = 2V sinθ; tryckkoefficient: C p = 1 (V θ /V ) 2 = 1 4sin 2 θ Ch Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

6 φ = Γ 2π θ, ψ 4 = Γ 2π lnr V r = 0, V θ = Γ/(2πr) SUPERPOSITIONER. Fältet är rotationsfritt utom i origo, cirkulation Γ = C V ds Linjevirvel (potentialvirvel): Superposition av friström längs x-axelen samt dubblett och linjevirvel i origo: ψ = (V rsinθ)(1 R 2 /r 2 ) + (Γ/2π)ln(r/R), V r = (1 R 2 /r 2 )V cosθ, V θ = (1+R 2 /r 2 )V sinθ Γ/(2πr). Med β = Γ/(2πRV ) fås tryckkoefficienten på cylinderytan: C p = 1 (4sin 2 θ+4βsinθ+β 2 ) Integrationer c d = 0, c l = 2πβ Lyftkraft per breddenhet: L = c l 2Rρ V 2 /2, d.v.s. L = ρ V Γ. β < 2: två stagnationspunkter på ytan, sinθ s = β/2; β 2: stagnationspunkt utefter negativa y-axeln, 2y s /R = β+ β 2 4; kan tänkas motsvara en anströmmad roterande cylinder, β = ωr/v, ω = medurs vinkelhastighet; se Fig i kursboken (β = 3,6). Ch. 3.14/15 Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

7 KUTTA-JOUKOWSKYS SATS Cirkulation kring en sluten kurva A, moturs integrationsriktning: Γ = A V ds Kutta-Joukowskys sats 2 Vid plan inkompressibel potentialströmning är lyftkraften per breddenhet på en godtycklig sluten kroppskontur som anströmmasmedenkonstanthastighetv likamedρ V Γ, där Γ är nettocirkulationen runt konturen; ρ är fluidens densitet. Lyftkraftens riktning är 90 från friströmmen, vriden motsatt cirkulationen. L = ρ V Γ Strömningsmotståndet vid denna typ av strömning är noll, D = 0 (D Alemberts paradox). Lyftkraft (uppåt) på konturen kan endast uppstå om det finns en fördelning av linjevirvlar innanför den resulterande konturen så att den totala cirkulationen är större än noll. Inom teorin för lyftkraft på vingprofiler används kontinuerliga fördelningar av linjevirvlar, s.k. virvelskikt; behandlas i kapitel 4. 2 Satsen kan t.ex. bevisas via residuteoremet i komplex analys. Ch Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH

8 SLÄT CIRKULÄR CYLINDER I VINKELRÄT ANSTRÖMNING Strömningsmotstånd per breddenhet, D = C D q d, q = ρ V 2 /2 Re Flödesregim (eng.) Beskrivning < 6.1 Stokes Flow nästan full symmetry, ingen avlösning Twin Vortex avlösning på baksidan, två motroterande vakvirvlar Laminar Shedding laminär, periodisk virvelbildning, 2-D eller kvasi 2-D Wake Transition LS, initiering av 3-D vakinstabiliteter, A A B Lower Subcritical LS, TRT i vaken Upper Subcritical LS, TRT i vakskjuvskikt, stor vak Precritical TRT nära avlösning, minskad vakbredd Critical TRT vid avlösning, återanläggning, liten vak Supercritical TRT i gränsskikt, TS, ökad vakbredd > Postcritical TRT flyttas allt mer uppströms, TS, θ sep 110 LS = laminär avlösning, TRT = omslag till turbulens, TS = turbulent avlösning Stokes Flow Twin Vortex Laminar Shedding Re = 1.5 Re = 26 Re = 140 Fotografier av Sadatoshi Taneda (Milton van Dyke, Parabolic Press, 1982) Ch Aerodynamik och kompressibel strömning C. Norberg, LTH