MMVN01 Aerodynamik och kompressibel strömning Repetitionsfrågor. (med förslag till svar, endast några figurer; C. Norberg, 25 februari 2014)

Transkript

1 MMVN01 Aerodynamik och kompressibel strömning Repetitionsfrågor (med förslag till svar, endast några figurer; C. Norberg, 25 februari 2014) Kapitel 1 Aerodynamik, inledning 1.1 BetraktaenomströmmadkroppsomanströmmasmedkonstantlufthastighetV vidinkompressibla förhållanden. Definiera (a) luftens dynamiska tryck q relativt kroppen q = ρ V 2 /2, där ρ är luftens densitet långt från kroppen på samma lodräta höjd. (b) tryckkoefficienten C p lokalt på kroppens yta C p = (p p )/q, där p är statiska trycket på yttan; p är statiska trycket långt från kroppen på samma lodräta höjd; q är motsvarande dynamiska tryck. (c) friktionskoefficienten c f lokalt på kroppens yta c f = τ/q, där τ är väggskjuvspänningen och q är dynamiska trycket i friströmmen. Ingående storheter ska klarläggas. 1.2 Beskriv skillnaden mellan en ändlig vinge och en vingprofil. En vingprofil är ett tvärsnitt genom en ändlig vinge, vinkelrätt mot vingens framkant. 1.3 Betrakta en ändlig vinge med planarea S och vingbredd b som anströmmas med konstant lufthastighet V vid inkompressibla förhållanden. Definiera eller förklara kortfattat (a) lokal kordalinje (vingprofil) = den räta linjen mellan profilens fram- och bakkant. (b) lokal anfallsvinkel α (vingprofil) = vinkel mellan lokal kordalinje och friströmmen (friströmshastighet V ); Fig (c) vingens medelkorda c c = S/b, där S är vingens planarea, b avståndet mellan vingspetsarna (vingbredden). (d) vingens lyftkraftskoefficient C L C L = L/(q S), där L är resulterande aerodynamisk lyftkraft, vinkelrät mot friströmmen; q är friströmmens dynamiska tryck och S vingens planarea. (e) vingens momentkoefficient C M C M = M/(q Sc), där M är resulterande vridande moment kring någon vingbaserad axel; q är friströmmens dynamiska tryck, S vingens planarea och c vingens medelkorda. (f) tryckcentrum (längs lokal kordalinje) Tryckcentrum är den punkt längs kordalinjen kring vilken det aerodynamiska vridande momentet är noll; verkansposition för resulterande aerodynamiska kraft vinkelrätt mot kordalinjen (Fig. 1.26). (g) vingens effektiva vingspann/korda-förhållande AR AR = b 2 /S. Vid definition via matematiskt uttryck skall ingående storheter klarläggas. 1.4 Lyftkraften L på en flygplansvinge kan vid stationära förhållanden antas bero endast av följande oberoende storheter: vingbredden (vingspannet) b, vingens medelkorda c, planets hastighet V gentemot omgivande luft, luftens densitet ρ, viskositet µ och ljudhastighet a vid planets konstanta höjd över havsnivån, samt vingens (medel-)anfallsvinkel α, L = f(b,c,v,ρ,µ,a,α). Visa att C L = φ(ar,re,m,α); AR = b/c (= b 2 /S, där S är vingarnas planarea). Antalet oberoende storheter, n = 8; enheter (dimensioner) i MLT-systemet: {L} = MLT 2 (1 N = 1 kgms 2 ); {b} = {c} = L; {V } = {a } = LT 1 ; {ρ } = ML 3 ; {µ } = ML 1 T 1 (1 Pas = 1

2 1 Nm 2 s 1 = 1 kgm 1 s 1 ); {α} = 1 (dimensionslös); tre primära dimensioner (M, L och T); reduktionen r är lika med antalet primära dimensioner, r = 3, ty (ρ,v,c) innehåller tillsammans de 3 primära dimensionerna men kan tillsammans inte bilda en Π-grupp, endast ρ innehåller M, endast V innehåller T; (ρ,v,c) kan därför användas för att göra resterande n r = 5 variabler dimensionslösa; Π 1 = g(π 2,Π 3,Π 4,Π 5 ). Π 1 = Lρ a V c b c a = 1, b = 2, c = 2, Π 1 = L/(ρ V c 2 2 ). Π 2 = b/c. Π 3 = µ 1 ρ a V c b c Π 3 = ρ V c/µ = Re; Π 4 = a /V = M 1 ; Π 5 = α. Lyftkraftskoefficient, C L = 2L/(ρ V 2 S). Eftersom S = bc = ARc 2 c 2, alt. Π 1 = C L b/(2c) = C L AR/2 = C L Π 2 /2 fås C L = φ(ar,re,m,α). 1.5 Betrakta ett flygplan i planflykt med konstant hastighet V. Planets tyngd (netto) är W och motorernas dragkraft T. Vingarnas totala planarea är S; luftens densitet vid aktuell flyghöjd ρ. (a) Ange hur W och T är relaterade till planets lyftkraft L och strömningsmotstånd D. Vid planflykt balanseras planets dragkraft T av planets strömningsmotstånd D och planets tyngd W av planets lyftkraft L; T = D och W = L (Fig. 1.31). (b) Ange hur planets hastighet beror av aktuell lyftkraftskoefficient C L samt definiera planets s.k. stallhastighet V stall. Med C L = L/(q S), där q = ρ V 2/2 och L = W fås V = 2W/(ρ SC L ). Planets lägsta hastighet, stallhastighet, motsvarar därför maximal C L, V stall = 2W/(ρ SC L,max ). (c) Beskriv schematiskt hur lyftkrafts- och motståndskoefficienten samt kvoten mellan lyftkraft och strömningsmotstånd varierar med anfallsvinkeln. Se Fig och Fig Definiera vad som avses med (a) subsonisk, (b) transsonisk, och (c) supersonisk strömning för en omströmmad kropp. Diskutera speciellt avgränsningar avseende Machtal för slanka kroppar (eng. slender bodies). (a) Vid subsonisk strömning är M < 1 överallt; för en slank kropp, ex. tunn vinge, gäller approximativt att M < 0.8 ger subsoniska förhållanden. (b) Vid transsonisk strömning finns områden i strömningsfälet med både M < 1 och M > 1; för en slank kropp fås transsoniska förhållanden approximativt i intervallet 0.8 < M < 1.2. (c) Vid supersonisk strömning är M > 1 överallt (utom allra närmast ytan); för en slank kropp gäller approximativt att M > 1.2 ger supersoniska förhållanden (strömning vid mycket höga Machtal, approximativt M > 5, brukar benämnas hypersonisk strömning). 1.7 Illustreraschematiskthurdensektionsvisamotståndskoefficientenp.g.a.ytfriktionC f varierarmed Reynolds tal för en plan och slät platta i tangentiell anströmning (inkompressibel strömning). Se Fig. 1.56; c = plattans längd, korda. För laminärt gränsskikt längs hela plattan, upp till ca. Re = ρ V c/µ = , gäller C f Re 0.5 (Ch. 18.2); vid högre Re sker omslag till turbulent gränsskikt, med start i bakkant, vilket ökar C f ; med successivt ökande Re flyttas positionen för omslag alltmer mot framkanten och vid mycket höga Re, approximativt för Re > 10 7, avtar C f approximativt som C f Re 0.2 (Ch. 19.2). 1.8 Beskriv aerodynamiskt skillnaden mellan en trubbig kropp (eng. blunt or bluff body) och en slank kropp (eng. slender or streamlined body). För en aerodynamiskt trubbig kropp och högt Reynolds tal dominerar tryckkrafternas bidrag till det totala strömningsmotståndet, ofta beroende på ett förhållandevis stort avlöst område bakom kroppen; sfären och den vinkelrätt anströmmade cylindern med cirkulärt tvärsnitt är exempel på trubbiga kroppar. För en aerodynamiskt slank kropp och högt Reynolds tal dominerar ytfriktion, d.v.s. de viskösa yttangentiella krafterna; oftast endast ett förhållandevis litet avlöst område bakom kroppen; (tunna) vingar är typiska slanka kroppar. (Vid extremt höga Re, även för slanka kroppar, kommer till slut tryckkrafterna att dominera strömningsmotståndet). 2

3 1.9 Beskriv vad som avses med en s.k. bakkantsklaff på en vinge (eng. trailing edge flap) samt illustrera schematiskt hur lyftkraftskoefficienten varierar med anfallsvinkeln vid olika inställningar på denna typ av klaff. Se Fig. 1.62, även Fig M.h.a. en bakkantsklaff, en rörlig klaff i bakkant på vingen, kan karakteristiken för C L (α) varieras genom att variera klaffvinkeln. Om klaffen vinklas nedåt fås ökad C L vid given anfallsvinkel α (om inte α är alltför hög); ofta fås även att C L,max ökar. (Att använda bakkantsklaff verkar enbart gynnsamt men med klaffen i vinklat läge ökar C D vilket är ogynnsamt vid t.ex. planflykt; bakkantsklaff utnyttjas mest vid start och landning.) Kapitel 2 Grundläggande samband 2.1 Vad beskriver divergensen av hastighetsvektorn fysikaliskt? Skriv ut denna skalära funktion i Cartesiska koordinater (rätvinkliga koordinater x, y, z). Divergensen av hastighetsvektorn, V, beskriver relativ volymsförändring per tidsenhet av ett fluidelement. Med = ( / x, / y, / z) och V = (u,v,w) fås V = u/ x+ v/ y+ w/ z. 2.2 Härled den differentiella formen av kontinuitetsekvationen. Specialisera sedan till inkompressibel strömning. Divergensteoremet: S A ds = V ( A)dV Betrakta en liten rätvinklig kontrollvolym (CV) runt en viss punkt, sidlängder dx, dy, och dz; volym dv = dxdydz. Massbalans kräver att nettomassflödet ut ur CV genom dess kontrollytor CS balanseras av minskningen av massa per tidsenhet inom CV, (ṁ net,out ) CS = t CV ρ ρdv = CV t dv Då CV är pytteliten behövs ingen volymsintegrering i högerledet, kan ersättas med ( ρ/ t) dv. Nettomassflöde ut ur CS i x-riktningen: ( ṁ x / x)dx. Variationer över tvärsnitt kan försummas, d.v.s. ṁ x = (ρu)dydz. P.s.s. i övriga riktningar ger (ṁ net,out ) CS = Omstuvning och division med dv ger [ x (ρu)+ y (ρv)+ z (ρw) ] dxdydz = [ (ρv)]dv ρ t + x (ρu)+ y (ρv)+ ρ (ρw) = z t + (ρv) = 0 OBS! Samma resultat kan fås via divergensteoremet eftersom (ṁ net,out ) CS = CS (ρv) ds = Inkompressibel strömning innebär konstant densitet ρ, d.v.s. CV u x + v y + w z = V = 0 (ρv)dv 2.3 Newtons andra lag uttryckt för en kontrollvolym V med kontrollytor S lyder: ρvdv + (ρv ds)v = pds+ ρf dv +F viscous t V S S V där f representerar volymskraft per massenhet. Skriv ut x-komposanten av impulsekvationen på differentiell form i Cartesiska koordinater. Divergensteoremet: S A ds = V ( A)dV; gradientteoremet: S pds = V pdv. 3

4 M.h.a. gradientteoremet kan S pds ersättas med V pdv. I x-riktningen och med V = (u,v,w) kan andra integralen via divergensteoremet skrivas (ρv ds)u = (ρuv ds) = S S V (ρuv)dv I första integralen kan ordning på tidsderivering och integration kastas om, (ρv) ρvdv = dv t V V t Eftersom F viscous = V ˆF viscous dv, där ˆF viscous är lokal viskös kraft per volymsenhet, är nu alla termer en volymsintegral över samma volym. Med f = (f x,f y,f z ) och p = ( p/ x, p/ y, p/ z) fås därför i x-riktningen, (ˆF viscous ) x = (F x ) viscous : (ρu) t + (ρuv) = p x +ρf x +(F x ) viscous 2.4 Betrakta strömningen kring en symmetrisk tvådimensionell kropp (ett symmetriskt tvärsnitt av en långsträckt cylindrisk kropp) vid stationära inkompressibla förhållanden, speciellt en kontrollvolym som omsluter kroppens tvärsnitt men exkluderar själva tvärsnittet. Den strömningskraft R som strömningen utverkar på kroppen kan via impulsekvationen skrivas: R = (ρv ds)v pds S outer S outer där S outer är kontrollvolymens yttre begränsningsytor. Kroppens anströmmas med en konstant hastighet U; kroppens tvärsnitt vinkelrätt anströmningen är d. (a) Visa att kroppens strömningsmotstånd per breddenhet kan skrivas: D = ρ u(u u)dy där u(y) är hastighetskomposanten i anströmningsriktningen i utloppstvärsnittet. Om kontrollvolymen (Fig. 2.20a) antas vara i ett horisontellt plan och att dess yttre begränsningsytor är tillräckligt långt från kroppen är dessa ytor vid ett konstant tryck (omgivningstryck). Den andra integralen är därför noll. Med U i x-riktningen är strömningskraftens komposant i denna riktning lika med kroppens strömningsmotstånd, R x = bd, där b är kroppens bredd. Med ds = bds och inkompressibla förhållanden fås D = ρ u(v ds ) outer Låt nu (som i Fig. 2.20a, se även Lab-PM-2) kontrollvolymens begränsningsytor i y-led vara längs strömlinjer (strömytor) på ömse sidor om kroppen; uppströms vid y = ±H 1, nedströms vid y = ±H 2. Längs strömytorna fås inget bidrag till integralen eftersom ytnormalen är vinkelrät mot hastigheten, V ds = 0. Vid inloppet är u = U och V ds = U dy, vid utloppet V ds = udy, d.v.s. D /ρ = H1 H 1 U 2 dy H2 H 2 u 2 dy = 2H 1 U 2 H2 H 2 u 2 dy Strömytor på ömse sidor; samma volymflöde vid in- och utlopp, 2UH 1 = H 2 H 2 udy D /ρ = H2 H 2 uu dy H2 H 2 u 2 dy = 4 H2 H 2 u(u u)dy

5 Med H 2 fås det sökta sambandet. (b) Visa ur (a) att kroppens motståndskoefficient kan beräknas från η C D = 4 û(1 û)dη, û = u/u, η = y/d, η > η û = 1. 0 Med û = u/u och η = y/d och utnyttjad symmetri fås η D = 2ρU 2 d û(1 û)dη 0 C D = 2D /(ρu 2 d) och inget bidrag för η > η ger det sökta sambandet. 2.5 Ett hastighetsfält är beskrivet i ett Cartesiskt koordinatsystem, V = (u, v, w). Använd kedjeregeln för att uttrycka den materiella accelerationen i x-led (a x ) i en lokal och en konvektiv del. Förklara fysikaliskt vad de båda delarna betyder. Accelerationen i x-led för ett fluidelement är lika med dess hastighetsförändring per tidsenhet, a x = du/dt. Eftersom elementet förutsätts i rörelse varierar dess koordinater med tiden; hastigheten kan dessutom ha ett rent tidsberoende, d.v.s. a x = du dt = d dt u[x(t),y(t),z(t),t] = u x Eftersom dx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w fås (dx/dt)+ u y a x = u t +u u x +v u y +w u z = u t +(V )u u u (dy/dt)+ (dz/dt)+ z t där = ( / x, / y, / z) är gradientoperatorn. Den första termen är acceleration p.g.a. lokal tidsvariation. Den andra termen (med bidrag i alla riktningar) uttrycker partikelns acceleration p.g.a. att den rör sig (konvekteras) i hastighetsfältet. 2.6 Definiera alt. beskriv kortfattat (a) partikelbana, (b) strömlinje, (c) stråklinje. (a) En partikelbana är ett fluidelements (en fluidpartikels) faktiska rörelsebana i rummet. (b) längs en strömlinje är hastighetsvektorn parallell med en förflyttningsvektor längs linjen (i varje punkt). (c) En stråklinje den tänkta linje som motsvarar sammanbundna positioner för en strid ström (i tät följd) av fluidpartiklar som tidigare passerat en viss punkt. 2.7 Visa att följande (tre) differentiella relationer gäller för en strömlinje: dx u = dy v = dz w För en strömlinje är hastighetsvektorn parallell med en förflyttningsvektor längs linjen, vilket innebär att kryssprodukten mellan dessa vektorer är noll, dx V = 0. Via uppställning med determinant fås (wdy vdz, wdx+udz,vdx udy) = (0,0,0) d.v.s. dy/v = dz/w, dz/w = dx/u och dx/u = dv/v, vilket kan uttryckas på den angivna formen. 5

6 2.8 Skriv ut rotationen av ett hastighetsfält V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater. Vad kallas denna vektor och vad beskriver den fysikaliskt? Verifiera att vektorn endast har en komposant vid tvådimensionell plan strömning, V = (u, v, 0). ξ = V kallas vorticitetsvektorn och representerar dubbla momentana vridningshastigheten för ett (initialt kubiskt) fluidelement, moturs. ξ kan uttryckas m.h.a. en determinant, i j k x y z u v w = ( w y v ) ( u i+ z z w ) ( v j+ x x u ) k y Om V = (u,v,0), där u(x,y) och v(x,y), fås ξ x = ξ y = 0, ξ z = v/ x u/ y. 2.9 Betrakta ett från början kvadratiskt infinitesimalt fluidelement vid plan strömning, V = (u, v, 0). (a) Ange vorticitetvektorns enda komposant samt visa att denna motsvarar den dubbla momentana vridningshastigheten (moturs) för diagonalen av elementet. ξ z = v/ x u/ y. Se Fig. 2.33, fast låt elementet vara kubiskt. Betrakta deformationer under en försvinnande kort tidsrymd dt 0. Hastighetens förändring i y-riktningen från v vid A till v+ ( v/ x)dx vid C innebär en vridning moturs av linjen AC med vinkeln dθ 1 = ( v/ x)dxdt/dx = ( v/ x) dt (Observera att längdförändringen av dx kan försummas, liksom att vinkeln är liten, tanθ = θ); moturs vridningshastighet dθ 1 /dt = v/ x. På samma sätt, medurs vridningshastighet av linjen AB: dθ 2 /dt = u/ y. Då dx = dy (och endast då) representerar (dθ 1 /dt dθ 2 /dt)/2 = ( v/ x u/ y)/2 = ξ z /2 den momentana vridningshastigheten moturs av elementets diagonal kring z-axeln. 1 (b) Tidsförändringen av den vinkel som från början var vinkelrät i xy-planet är elementets skjuvtöjningshastighet ǫ xy. Visa att ǫ xy = v x + u y. Se Fig Beteckna vinkeln mellan linjerna AB och AC med κ. I utgångsläget är denna vinkel 90. Under en liten tidsrymd dt förändras denna vinkel; minskning per tidsenhet: dκ/dt = dθ 1 /dt+ dθ 2 /dt. Eftersom vinkelförändringarna är försvinnande små och dx och dy ytterst korta med försvinnande liten längdförändring fås att dθ 1 /dt = v/ x, dθ 2 /dt = u/ y (a) Definiera cirkulation Γ kring en sluten kurva C. Γ = C V ds, där ds är en moturs förflyttningsvektor längs den slutna linjen C, se Fig (b) Hur är Γ relaterad till vorticitetsvektorn ξ? Om kurvan C är extremt liten och kring en punkt representerar Γ vorticitetsvektorns projicerade värde per areaenhet utefter den normalvektor som ges av ytan som innefattas av C, uttryckt matematiskt: Γ = S ξ nds där ξ = V är vorticitetsvektorn, ds ett areaelement och n dess tillhörande ytnormalvektor Betrakta tvådimensionell inkompressibel strömning i ett plan, V = (u, v, 0), där u(x, y), v(x, y). (a) Definiera strömfunktionen ψ samt visa att ψ uppfyller Laplaces ekvation 2 ψ = 0 om strömningen är rotationsfri. ψ definieras så att kontinuitetsekvationen blir identiskt uppfylld. Vid inkompressibel 2-D strömning kan denna ekvationen skrivas: u/ x + v/ y = 0, vilken är identiskt uppfylld om u = ψ/ y, v = ψ/ x. Rotationsfri strömning innebär att ξ z = v/ x u/ y = 0, vilket med insatta definitioner ger 2 ψ/ x 2 2 ψ/ y 2 = 2 ψ = 0 2 ψ = 0. 1 Med dγ = vridningsvinkel och φ = halva den nya diagonalvinkeln gäller: dθ 1+2φ+dθ 2 = 90 och dθ 1+φ dγ = 45, vilket kombinerat ger dγ = (dθ 1 dθ 2)/2. 6

7 (b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer samt att skillnaden i strömfunktionens värden mellan två strömlinjer motsvarar volymflödet per breddenhet. Längs en linje ψ = konst. är dψ = 0. Eftersom ψ = ψ(x,y) gällerdψ = ( ψ/ x)dx+( ψ/ y)dy = v dx + u dy. En liten förflyttningsvektor (dx, dy, 0) längs strömlinjen är parallell med hastighetsvektorn (u,v,0), d.v.s. v/u = dy/dx eller udy vdx = 0 = dψ. Betrakta nu två närliggande strömlinjer, med differentiell skillnad dψ i strömfunktion (Fig. 2.41). Eftersom inget kan strömma tvärs en strömlinje så är volymflödet (per breddenhet) konstant mellan linjerna, och kan uttryckas som udy vdx = dψ. Detta visar att det volymflödet mellan två godtyckliga strömlinjer kan uttryckas som dψ = ψ (a) Definiera hastighetspotentialen φ via ett implicit uttryck innehållande V. V = φ, där är gradientoperatorn. (b) Ange villkoret för existens av φ. Villkoret är att strömningen är rotationsfri, V = 0. (c) Visa att strömlinjer och ekvipotentiallinjer är vinkelräta mot varandra (plan strömning). Längs strömlinjer vid plan strömning är k ψ = dy/dx = v/u. Längs en ekvipotentiallinje gäller φ = konst., d.v.s. dφ = 0. Vid plan strömning gäller dφ = ( φ/ x)dx+( φ/ y)dy = udx+vdy, vilket ger k φ = dy/dx = u/v. Eftersom k φ = 1/k ψ är dessa linjer vinkelräta. Kapitel 3 Inkompressibel potentialströmning i ett plan 3.1 Visa att tryckkoefficienten C p kan skrivas som C p = 1 (V/V ) 2 vid inkompressibel potentialströmning med försumbara masskrafter. Under dessa förutsättningar gäller Bernoullis ekvation mellan varje punkt, speciellt mellan en punkt i friströmmen och någon annan. Konstant densitet innebär att p +ρ V 2 /2 = p+ρ V 2 /2, d.v.s. p p = q (1 (V/V ) 2 ), där q = ρ V 2 /2. C p = (p p )/q ger det sökta uttrycket. 3.2 (a) Härled en differentialekvation för hastighetspotentialen φ vid rotationsfri inkompressibel strömning. Vad kallas ekvationen? Från matematik (vektoranalys) gäller att om ett vektorfält är rotationsfritt kan det uttryckas som gradienten av en skalär funktion. I detta fall V = φ, där φ är hastighetspotentialen. Vid inkompressibel strömning gäller V = 0 (kontinuitetsekvationen). Kombinerat med definitionen ger ( φ) = 2 φ = 0, vilket är Laplaces ekvation. (b) Ange randvillkor för φ vid strömning kring en fast kropp utan inverkan av fria vätskeytor. Ingen strömning tvärs fasta ytor innebär att normalhastigheten är noll, d.v.s. φ/ n = 0, där n är vinkelrät mot ytan. På stora avstånd från kroppen kan hastighetsfältet antas givet; känd hastighetsvektor, V = φ, innebär kända derivator av φ i de olika koordinatriktningarna. 3.3 Härled en ekvation för strömlinjerna tillhörande en dubblett med styrkan κ = 2aΛ placerad i (omkring) origo utefter x-axeln. Slutekvationen ska vara uttryckt i polära koordinater (r, θ). Rita schematiskt ett par strömlinjer. Ledning: Strömfunktionen för en linjekälla med styrkan Λ i x = a,y = 0: ψ k = Λ 2π tan 1 Dessutom gäller följande trigonometriska samband: y x+a tan(α β) = tanα tanβ 1+tanαtanβ Linjesänkan i x = a har strömfunktionen ψ s = mtan 1 y med linjekälla i x = a, ψ = ψ k +ψ s, ger ψ/m = tan 1 x a y y x+a tan 1 x a = α β 7, där m = Λ/(2π). Superposition

8 Tangenten av bägge sidor och utnyttjande av ledningen ger tan(ψ/m) = tan(α β) = y/(x+a) y/(x a) 1+y 2 /(x 2 a 2 ) = 2ay x 2 a 2 +y 2 När nu arcustangent tas på bägge leden kan det i gränsövergången a 0 utnyttjas att tan 1 ǫ = ǫ när ǫ 0. Detta ger ψ = 2may x 2 +y 2 Med 2ma = κ/(2π) samt x = rcosθ, y = rsinθ, x 2 +y 2 = r 2 fås För skiss av strömlinjer, se Fig ψ = κ sinθ 2π r 3.4 Den tvådimensionella potentialströmningen kring en cirkulär cylinder ges av superposition av en dubblet i origo, ψ 1 = κ(2πr) 1 sinθ, samt en parallellströmning, ψ 2 = V rsinθ. Det statiska trycket på stort uppströms avstånd längs x-axeln är p. Bestäm (a) hastighetsfältet (v r = r 1 ψ θ, v θ = ψ r ), (b) cylinderns radie R, (c) tryckfördelningen längs cylinderytan uttryckt som en tryckkoefficient C p. (a) Med förkortning λ = κ/(2π) ger superposition: [ ] ψ = λr 1 sinθ+v rsinθ +C = V rsinθ 1 λ/(v r 2 ) +C v r = 1 r ( ψ θ = 1 λ ) V r 2 v θ = ψ r = ( 1+ λ V r 2 V cosθ ) V sinθ (b) På cylinders yta r = R måste v r = 0, d.v.s. R = λ/v = κ/(2πv ). (c) Bernoullis ekvation mellan en punkt i friströmmen (p = p ) och en punkt på ytan (p = p s ), där v θ = 2V sinθ ger p + ρv 2 2 = p +q = p s + ρv2 θ 2 = p s +q 4sin 2 θ C p = p s p q = 1 4sin 2 θ 3.5 För en linjevirvel placerad i origo är v θ = C/r, övriga komposanter noll. Bestäm cirkulationen kring en kurva som omsluter denna virvel. Γ = V ds. Låt kurvan vara en cirkel med radie R; V = v θˆθ = Cˆθ/R, ds = Rdθˆθ, där ˆθ är enhetsvektorn i θ-riktningen. Med ˆθ ˆθ = 1 fås V ds = Cdθ, d.v.s. Γ = 2π 0 Cdθ = 2πC. 3.6 (a) Vid plan, inkompressibel potentialströmning kring en cylinder med centrum i origo och med cirkulation Γ är hastigheten längs kroppsytan (r = R) lika med v θ = 2V sinθ Γ 2πR där V är den ostörda hastigheten på stora avstånd (polära koordinater r och θ). Visa via integrationer av lokala ytkrafter att strömningsmotståndet D är noll samt att lyftkraften per breddenhet L är lika med ρv Γ. OBS! 2π 0 (sinθ)2 dθ = π. Strömningsmotstånd per breddenhet, D = 2π 0 (p s p )cosθrdθ; lyftkraft per breddenhet, L = 2π 0 (p s p )sinθrdθ. Bernoullis ekvation, p +ρv /2 2 = p +q = p s +ρvθ 2 /2, ger 8

9 C p = p s p q = 1 4sin 2 θ 4β s sinθ β 2 s där β s = Γ/(2πV R). Integralen av (sinθ) n cosθ över intervallet 0 2π är noll för alla exponenter n. Alla termer i uttrycket för D är av denna typ, d.v.s. D = 0. Integralen av (sinθ) n över intervallet 0 2π är noll för alla udda exponenter n. Den enda term som blir kvar är den som innehåller sin 2 θ = (sinθ) 2. Med ledningen fås L = ρv 2 2 R(4β s)π = ρv Γ (b) Beskriv grafiskt m.h.a. strömlinjer hur hastighetsfältet förändras med β = Γ/(2πV R). Se Fig. 3.33; för 0 < β < 2 fås två symmetriskt placerade stagnationspunkter på undre ytan; för β = 2 har dessa kommit tillsammans längst ned på cylindern (x = 0, y = R) och för β > 2 vandrar stagnationspunkten vid ökande β nedåt längs y-axeln. 3.7 Formulera Joukowskys (Zhukovskiis) lyftkraftsteorem vid plan, tvådimensionell, inkompressibel potentialströmning. Definiera ingående storheter. Illustrera schematiskt i figur. Vid plan inkompressibel potentialströmning gäller att lyftkraften per breddenhet på en godtycklig sluten kroppskontur som anströmmas med en konstant hastighet V är lika med ρ V Γ, där Γ är nettocirkulationen runt konturen; ρ fluidens densitet. Lyftkraftens riktning är 90 från friströmmen, vriden motsatt cirkulationen. En enkel skiss kan t.ex. vara en vingprofil som anströmmas från vänster med positiv cirkulation (ex. Fig. 3.37). Lyftkraften är då uppåt. 3.8 Betrakta viskös inkompressibel strömning kring en slät cylinder med cirkulärt tvärsnitt i vinkelrät anströmning. Medelströmningen kan betraktas som tvådimensionell. (a) Beskriv i ett schematiskt log-log-diagram hur motståndskoefficienten för cylindern varierar med Reynolds tal inom intervallet Re = Se Fig (Fig. 3b i Lab-PM-1, Re = ). Från Re = 0.1 upp till ca. Re = 100 minskar C D kraftigt; upp till ca. Re = 10 3 minskar C D ytterligare men inte så kraftigt, till ett minimum strax under C D = 1. Vid ca. Re = 10 4 når C D upp till en platå vid C D 1.2. Vid ca. Re = minskar C D mycket kraftigt, når ett minimum på C D 0.25 vid ca. Re = ; vid ca. Re = nås en ny platå vid C D 0.6. (b) Beskriv kortfattat olika strömningsområden avseende intervall i Reynolds tal. Vid vilket ungefärligt Reynolds uppstår turbulent strömning i fältet? Vid vilket ungefärligt Reynolds fås omslag till turbulent gränsskikt? Se Fig. 3.45/6/7/8, text i Lab-PM-2. Upp till ca. Re = 6 sker ingen avlösning, strömningen är laminär och symmetrisk (Fig. 3.46). Strax över Re = 6 bildas via avlösning två motroterande virvlar i vakområdet (Fig. 3.47); med ökande Re växer virvlarnas storlek och vid ca. Re = 47 sker en vakinstabilitet som ger en periodisk virvelupprullning med karakteristiskt virvelmönster (von Kármáns virvelgata, Fig. 3.48); strömningen är dock fortfarande laminär. Vid ca. Re = 200 utvecklas tredimensionella vakinstabiliteter och efter ca. Re = 300 är strömningen i vakområdet turbulent, strömningen nära cylinderns yta dock laminär, speciellt vid avlösning. Upp till ca. Re = sker avlösning under laminära fast tidsberoende förhållanden (Fig. 3.45d). Strax över Re = når omslaget till turbulent strömning avlösningsområdet och ökat Re innebär att strömningen återanlägger mot ytan; då den slutliga avlösningen nu sker efter krönet på cylindern (på baksidan) och under turbulenta förhållanden sker detta vid en väsentligt högre tryckkoefficient C p vilket kraftigt minskar C D då nu formmotståndet är helt dominerande. Vid ännu högre Re försvinner återanläggningen mot ytan, och omslag till turbulent strömning sker nu i gränsskiktet, avlösning fortfarande på baksidan men inte lika långt nedströms (Fig. 3.45e). 9

10 Kapitel 4 Inkompressibel strömning över vingprofiler 4.1 Definiera eller förklara kortfattat (a) välvningslinje (eng. mean camber line) Se Fig Välvningslinjen definieras av att den lokalt ligger halvvägs mellan profilens övre och undre yta, vinkelrätt mot linjen självt. (b) välvning (eng. camber) = välvningslinjens maximala vinkelräta avstånd från kordalinjen, Fig (c) profiltjocklek (eng. thickness) = maximala avståndet mellan över- och undersida, vinkelrätt mot kordalinjen, Fig (d) NACA-profil En NACA-profil är en vingprofil med speciell logisk numrering för att kunna identifiera viss del av dess geometri och vissa aerodynamiska egenskaper; systemet skapades under 1930-talet i USA. De två sista siffrorna i numreringen är oftast profilens tjocklek i procent av kordan. Vid definition via matematiskt uttryck skall ingående storheter klarläggas. Illustrera i förekommande fall (a c) med enkel figur. 4.2 Betrakta strömning kring en typisk välvd men tunn vingprofil, ex. NACA 2412; Re > (a) Illustrera hur den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten c l varierar med anfallsvinkeln α. Skissera strömningsförhållanden för små resp. stora anfallsvinklar. Ange typiska värden på c l,max, α L=0 och α stall. Hur inverkar Reynolds tal? Se Fig. 4.9/10. Typiska värden: c l,max = 1.6, α L=0 = 2, α stall = 16 ; Reynolds tal inverkar endast vid anfallsvinklar kring α stall, ökat Re ökar α stall ; dock relativt liten inverkan. (b) Definiera eller förklara kortfattat vad som avses med profilens aerodynamiska centrum (eng. aerodynamic center). Den punkt inom profilen kring vilken det aerodynamiska momentet är oberoende av anfallsvinkeln (vid små anfallsvinklar) kallas profilens aerodynamiska centrum; är vid subsoniska förhållanden oftast i eller nära av en kvarts korda från framkanten (längs kordalinjen). (c) Illustrera hur den sektionsvisa motståndskoefficienten c d och den sektionsvisa momentkoefficienten c m kring profilens aerodynamiska centrum (c m,ac ) varierar med anfallsvinkeln α. Se Fig c d,min 0.006; för de flesta vingprofiler är c m,ac något negativ (med ett moturs vridande moment), c m,ac Definiera eller förklara kortfattat: (a) ytvirvelskikt, (b) ytvirvelstyrka γ. (a) Ett ytvirvelskikt är en kontinuerlig fördelning av linjevirvlar med lokalt varierande virvelstyrka, längs en linje i ett plan (en yta), se Fig (b) Ytvirvelstyrka γ är lika med cirkulation per längdenhet längs en linje, γ = dγ/ds; motsvarar det lokala tangentiella hastighetssprånget som induceras tvärs ett ytvirvelskikt (Fig. 4.14). 4.4 Hur är ytvirvelstyrkan γ(x) relaterad till cirkulationen Γ och vad gäller fysikaliskt tvärs ett ytvirvelskikt? Γ = b a γds, där a och b är vid ytvirvelskiktets fram- resp. bakkant. Tvärs skiktet sker ett språng i tangentiell hastighet (längs skiktet), γ är ett direkt mått på detta hastighetssprång; med γ > 0 är hastigheten ovanför högre. 4.5 (a) Ange det s.k. Kutta-villkoret, dels i ord, dels som ett matematiskt villkor för γ(x). Hur kan Kuttavillkoret motiveras fysikaliskt? Kutta-villkoret: strömningen vid den lyftande vingens bakkant är jämn och lämnar bakkanten utan nämnvärd upprullning, se Fig. 4.17b och Fig För en lätt trubbig bakkant eller med ändlig bakkantsvinkel, se Fig (vänster), utbildas en stagnationspunkt nära bakkanten. För en vinge med mycket skarp bakkant är de lokala hastigheterna på ömse sidor om kanten praktiskt taget lika, se Fig (höger). Villkoret motiveras fysikaliskt utifrån ren observation; vid höga Re sker 10

11 bakkantsströmningen på ovan beskrivna sätt. Inom vingteorin används villkoret för att beräkna det korrekta värdet på cirkulationen kring vingen, och kan matematiskt uttryckas som att ytvirvelstyrkans värde vid bakkanten (TE) är noll, γ(te) = 0. (b) Skissera strömningsfältet runt en vingprofil för Γ < Γ Kutta och Γ = Γ Kutta Se Fig En välvd vingprofil vid α = 0 bibringas plötsligt en translationsrörelse (hastighet). Beskriv hur strömningsfältet utvecklas med särskild betoning på strömningen kring vingens bakkant samt uppkomsten av cirkulation och därmed lyftkraft. Om viskösa effekter försummas, hur är då den slutliga cirkulationen kring profilen relaterad till motsvarande för startvirveln? Se föreläsningsunderlag, Ch. 4. Profilen i figuren nedan är symmetrisk men dras igång med viss anfallsvinkel; med en välvd vinge kan resonemanget genomföras om den dras igång horisontellt; det viktigaste är att profilen ger lyftkraft. Alldeles efter start är de viskösa effekterna extremt små och strömningen är nästintill rotationsfri; försumbar cirkulation; försumbar impulsändring; försumbar lyftkraft (a). Eftersom väggfriktionen inte hunnit att utvecklas kan strömningen komma runt bakkanten, hastigheten minskar mot en stagnationspunkt en bit uppströms på ovansidan. När friktionen utvecklas kommer hastigheten successivt att öka under passagen runt bakkanten liksom den positiva tryckgradienten vid strömningen mot stagnationspunkten; detta leder till avlösning som mycket snart förflyttas till bakkanten, en bakkantsvirvel utvecklas. (b). Då det fortfarande finns tendens till överströmning runt bakkanten har denna virvel en moturs rotation (cirkulation). Eftersom strömningsfältets totala cirkulation var noll i från början förutsäger Kelvins teorem 2 att den förblir så, och eftersom bakkantsvirveln har en moturs cirkulation byggs det successivt upp en lika stor fast motriktad (medurs) cirkulation runt vingen. Denna cirkulation innebär en nettoimpulsändring nedåt för strömningen kring profilen vilket resulterar i en uppåtriktad kraft på densamma (lyftkraft). Allt eftersom profilen rör sig framåt byggs det upp en vingbunden cirkulation som är proportionell mot denna lyftkraft. Bakkantsvirveln stannar successivt upp. (c) Efterhand byggs det inte på mer cirkulation och profilen lämnar bakkantsvirveln bakom sig. Bakkantsströmningen lämnar nu profilen på ett mjukt och jämnt sätt utan vare sig nämnvärd avlösning eller upprullning. (d) Den profilbundna cirkulationen är nu fullt utvecklad, liksom lyftkraften. Eftersom viskösa effekter förutsätts små (högt Reynolds tal) är den profilbundna cirkulationen lika stor fast motriktad den för bakkantsvirveln (startvirveln). 4.7 Betrakta ett virvelskikt längs en kordalinje i x-led, lagd för att representera den verkliga strömningen kring en mycket tunn men svagt välvd vingprofil vid liten anfallsvinkel α, korda c och anströmningshastighet V. Välvningslinjens lokala lutning gentemot kordalinjen är dz/dx och den lokalt inducerade hastigheten vinkelrätt mot kordalinjen vid avståndet x från framkanten från ett infinitesimalt virvelelement med styrkan γdξ vid x = ξ kan skrivas dw = γ(ξ)dξ 2π(x ξ). (a) Visa att nedanstående ekvation följer ur att välvningslinjen är en strömlinje (eng. the fundamental equation of thin airfoil theory). OBS! Små vinklar. 2 Kelvins teorem gäller strikt endast för potentialströmning; avvikelser mycket små vid tillräckligt höga Reynolds tal. 11

12 c 0 ( γ(ξ) dξ x ξ = 2πV α dz dx Se Fig Friströmshastighetens komposant vinkelrätt mot välvningslinjen ges geometriskt av (illustreras!) ). [ ] V,n = V sin α+tan 1 ( dz/dx) vilket för små anfallsvinklar α och liten välvning kan skrivas V,n = V (α dz/dx) Vid små vinklar är den totalt inducerade lokala hastigheten vinkelrätt mot välvningslinjen lika med motsvarande vinkelrätt mot kordalinjen, w (s) = w(x), där w(x) = c 0 c γ(ξ) dξ dw = 0 2π(x ξ) Eftersom villkoret är att inget strömmar genom välvningslinjen, V,n +w (s) = 0, fås det sökta sambandet. (b) Ange uttrycket på c l som följer ur ekvationen ovan med givet α L=0. Ange värdet på α L=0 om välvningslinjen är parabolisk och symmetrisk kring x = c/2 med maximal välvning h. Vid vilken position längs kordalinjen (teoretiskt sätt) ligger profilens aerodynamiska centrum? Vid givet α L=0 fås c l = 2π(α α L=0 ). Vid parabolisk, symmetrisk välvningslinje gäller α L=0 = 2h/c. Tryckcentrum ligger vid x/c = 1/4 (c m,c/4 = 0), oberoende av α, vilket därför också är positionen för aerodynamiskt centrum, x ac /c = 1/ Betrakta en verklig men tunn och välvd vingprofil. Förutsätt att momentkoefficienten (medurs) kring profilens kvartskordapunkt (vid x/c = 1/4) har en konstant lutning dc m,c/4 /dα = m 0 vid små anfallsvinklar, där samtidigt dc l /dα = a 0. Bestäm positionen för profilens aerodynamiska centrum, x ac = x ac /c. Villkoret för aerodynamiskt centrum är att (det vridande) momentet kring denna punkt är oberoende av α. Låt lyftkraft per breddenhet verkade i och d:o moment kring x/c = 1/4 vara L resp. M c/4, se Fig Momentet (medurs) kring aerodynamiskt centrum blir M ac = L (x ac c/4)+m c/4 vilket dimensionslöst kan skrivas, c m,ac = c l (x ac 1/4) +c m,c/4. Villkoret dc m,ac /dα = 0 innebär a 0 (x ac 1/4)+m 0 = 0, vilket ger x ac = x ac /c = 1/4 m 0 /a Beskriv fysikaliskt vad som avses med leading-edge stall och trailing-edge stall för en vingprofil. Illustrera schematiskt strömningen och beskriv skillnader avseende den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten c l (α). Se Fig (leading-edge stall), tunna profiler, och Fig (trailing-edge stall), tjockare profiler. Med ökad anfallsvinkel α och för tunna profiler initieras avlösning oftast nära framkanten (och givetvis på översidan); vid lite ökad anfallsvinkel söker sig då avlösningen snabbt till den relativt skarpa framkanten vilket gör att lyftkraften minskar dramatiskt (stall). För lite tjockare profiler initieras ofta avlösning lite längre nedströms på ovansidan, närmare bakkanten. Vid ökad anfallsvinkel flyttas avlösningen bakåt (uppströms) men söker sig inte så direkt till framkanten, lyftkraften minskar därför mer långsamt med ökande α. För profiler med samma välvning ger tunnare profiler lite högre c l,max (vid α stall ) fast brantare minskning av c l för α > α stall, se Fig

13 Kapitel 5 Inkompressibel strömning över ändliga vingar 5.1 Vid strömning kring en bärande, ändlig vinge, diskutera kortfattat och illustrera schematiskt uppkomsten av och hastighetseffekterna från s.k. vingspetsvirvlar, samt hur dessa virvlar kan associeras till ett lyftkraftsinducerat strömningsmotstånd. För en bärande vinge, en vinge med lyftkraft, finns tendens till överströmning från vingens undersida (trycksida) till vingens översida (sugsida). För en ändlig vinge finns möjlighet till överströmning vid vingspetsarna, se Fig Tendensen till överströmning i kombination med anströmningen genererar virvelsystem med utgångspunkt i respektive vingspets och som konvekteras nedströms (vingspetsvirvlar). Virvelsystemen (Fig. 5.4/5) har motsatt rotation och inducerar (bidrar till) en nedåtströmning i området mellan vingspetsarna, speciellt över själva vingen (eng. downwash). För strömningen relativt vingen innebär detta att anströmningen verkar komma lite uppifrån, d.v.s. att vingens effektiva anfallsvinkel är lägre än den rent geometriska, se Fig En lyftkraft vinkelrätt mot den effektiva anströmningsriktningen från vingteorin innebär då en kraftkomposant som ligger i den faktiska anströmningsriktningen, ett lyftkraftsinducerat strömningsmotstånd. 5.2 (a)angeteoretiskauttryckförlyftkraftskoefficientenc L ochdeninducerademotståndskoefficienten C D,i för en ändlig vinge vid små anfallsvinklar, elliptisk planform och givet vingspann/kordaförhållande AR (tunn vinge med liten välvning, högt Reynolds tal, AR > 4). Små anfallsvinklar α, tunn vinge med liten välvning: C L = a 0 (α eff α L=0 ), α eff = α α i ; elliptisk planform, tillräckligt högt AR: α i = C L /(πar); höga Reynolds tal: a 0 = 2π, vilket ger C L = 2π(α α L=0) 1+2/AR Vinkeln som ger C L = 0, α L=0 0, beror av vingens välvning. För elliptisk planform gäller C D,i = C2 L πar (b) Skissera hur AR inverkar på C D och C L som funktion av anfallsvinkeln α. För C L, se Fig För både C L och C D, se figur nedan (parabolisk, symmetrisk välvning: α L=0 = 2h/c; C D, = c d ). 5.3 Om dc L /dα = a 0 för en oändligt bred vinge (AR ), diskutera kortfattat hur planformens utseende påverkar dc L /dα = a och C D,i för en ändlig (men tunn) vinge vid små anfallsvinklar. För en ändlig vinge reduceras lutningen a med minskad AR. Vid givet AR (och otvistad vinge) fås högst a om planformen är elliptisk; a = a 0 /(1+ǫ), ǫ (1+τ)/AR, där τ = 0 för elliptisk planform. C D,i minskar med ökat AR, avvikelser från elliptisk planform ökar C D,i ; C D,i (1+δ)/AR; δ = 0 för elliptisk planform. 13

14 Kapitel 6 Tredimensionell potentialströmning 6.1 Motståndskoefficienten för ett flygplan kan vid inkompressibla förhållanden skrivas på följande form: C D = C D,0 + C2 L πear där C D,0 är planets totala C D då L = 0 (typiskt, C D, ); e är Oswalds effektivitetsfaktor (typiskt, e 0.8). (a) Visa att förhållandet C L /C D är maximalt då C L = πearc D,0. Sätt x = C L, c 1 = C D,0, c 2 = πear, d.v.s. D/L = C D /C L = φ(x) = c 1 /x+x/c 2 ; sök minimum för φ. Derivation m.a.p. x ger dφ/dx = c 1 x 2 +1/c 2, som är noll då x = c 2 c 1 = πearc D,0 ; ett minimum då d 2 φ/dx 2 = 2c 1 x 3 > 0 för alla x. (b) Förklara varför planflykt vid (C L /C D ) max ger maximal flygsträcka vid given tyngd W. Planet förutsätts motordrivet. Vid planflykt gäller D = T och L = W, där T är planets dragkraft, d.v.s. C L /C D = L/D = W/T. Planets motor förbrukar bränsle. Det arbete som planet utför vid planflykt är dragkraften multiplicerat med flygsträckan. Omvandlingen av bränslets bundna energi till detta arbete antas ske med en konstant (hög) verkningsgrad. Vid given bränslemängd (vilket också får förutsättas) och given tyngd blir således flygsträckan maximal vid minimal dragkraft, d.v.s. vid (L/D) max = (C L /C D ) max. (c) Antag att planets motorer stannar alt. att planet är ett segelflygplan. Visa att den anfallsvinkel α som ger (C L /C D ) max innebär minsta möjliga glidvinkel för planet. Planet kommer efter mycket kort tid att glida nedåt med konstant hastighet och konstant glidvinkel. Vid rätlinjig rörelse är alla krafter i balans d.v.s. planets tyngd (lodrätt nedåt!) måste balanseras av de resulterande aerodynamiska krafterna. Eftersom strömningsmotståndet är motsatt rörelseriktningen och lyftkraften vinkelrätt däremot inses av ren geometri att glidvinkeln gentemot horisontalen är θ glide = tan 1 (D/L) = tan 1 (C D /C L ). Denna vinkel blir således minimal vid (C L /C D ) max. Kapitel 7 Kompressibel strömning, grunder 7.1 Definiera stagnationsentalpi, stagnationstemperatur och stagnationstryck. Stagnationsentalpi är den entalpi per massenhet som en fluid uppnår då den bromsas ned till stillastående under adiabatiska förhållanden. Stagnationstemperatur är motsvarande temperatur. Stagnationstryck är det tryck som en fluid uppnår då den bromsas ned till stillastående under isentropa förhållanden, adiabatiskt och förlustfritt. 7.2 Förklara kortfattat vad som avses med de stötfronter (stötar) som kan uppträda vid supersonisk strömning. Beskriv schematiskt hur strömningsfältet förändras över en sned stöt. Vid supersonisk strömning saknas möjligheter till gradvis anpassning mot de förhållanden som kan krävas nedströms, de tryckstörningar (tryckvågor) som vid subsoniska förhållanden kan propagera uppströms och påverka anpassningen kan inte göra det vid supersoniska hastigheter. Speciellt om strömningen kräver anpassning till en tryckökning (kompression) kan vågbildningen som sker samverka till att en extremt tunn vågfront (stötfront, stöt) utbildas över vilken nödvändig tryckökning och ev. riktningsförändring sker. Stötfronter är extremt tunna, av samma storleksordning som gasens fria medelväglängd, normalt ca. 0.1 µm. Om stöten sker utan riktningsförändring kallas stöten rak, om stöten innebär (plötslig) riktningsförändring kallas stöten sned, se Fig. 7.5a. Kapitel 8 Raka stötar 8.1 Härled, via mass- och impulsbalans, ett uttryck för hastigheten C för en tryckpuls med ändlig styrka som rör sig i ett stillastående kompressibelt medium. Vågfrontens utsträckning i strömningsriktningen är så liten att strömningen kan betraktas som endimensionell. Specialisera till infinitesimalt liten amplitud och adiabatiska förhållanden (C = a = ljudhastighet). 14

15 Antag att fronten rör sig till vänster med konstant hastighet C. Låt tryckpulsens amplitud vara p, till höger om fronten är då trycket p + p, där p är det ostörda trycket framför, p.s.s. avseende fluidens densitet, till höger ρ + ρ, till vänster ρ. Låt fluidens absoluta hastighet till höger om fronten vara V, stillstående d.v.s. V = 0 till vänster. Med en kontrollvolym fixerad till fronten kommer hastigheten in i kontrollvolymen (till vänster) vara C, utgående hastighet (till höger) C V (jämför Fig. 8.3). Stationära förhållanden kräver att massflödet in är lika med massflödet ut, ṁ = ρac = (ρ+ ρ)a(c V), där A är arean på ömse sidor. Detta ger V = C ρ/ρ 1+ ρ/ρ Nettoimpulsflödet ut måste vid stationära förhållanden balansera krafterna på kontrollvolymen. De enda krafter som verkar i stötens normalriktning är tryckkrafter, viskösa normalspänningar kan försummas. Impulsbalans (till höger): ṁ(v out V in ) = ρac( V) = pa (p + p)a, d.v.s. p = ρc V. Tillsammans med uttrycket för V fås ( p C = 1+ ρ ) ρ ρ I gränsen då ρ/ρ 0 och p/p 0 är detta utbredningshastigheten för infinitesimala tryckstörningar, ljudhastigheten a. Försumbara temperatur- och hastighetsgradienter innebär att processen i denna gränsövergång kan betraktas som adiabatisk och friktionsfri, isentrop, vilket ger ( p ) a = ρ 8.2 Härled sambandet mellan stagnationstryck p 0, statiskt tryck p, γ = c p /c v och Machtal M vid kompressibel strömning av en perfekt gas. Isentropsamband: p/t γ/(γ 1) = konst. Betrakta en kontrollvolym kring ett strömrör i vilken fluidens hastighet minskar. Förutsätt adiabatiska endimensionella förhållanden med försumbara ändringar i potentiell energi (och givetvis inget tekniskt arbete). Energibalans innebär att summan av fluidens entalpiändring och ändring i kinetisk energi är noll, h + (V 2 /2) = 0. Perfekt gas innebär att h = c p T. Utan index vid inlopp och index e vid utlopp fås c p (T e T) + (Ve 2 V 2 )/2 = 0. V e 0 T e T 0, enligt definition, d.v.s. T 0 /T = 1 + V 2 /(2c p T). Eftersom c p = R + c v och a 2 = γrt för en ideal gas gäller c p T = γrt/(γ 1) = a 2 /(γ 1). Med M = V/a fås ( ) p γ/(γ 1) ( 0 p = T0 = 1+ γ 1 ) γ/(γ 1) M 2 T Visa att M 2 1 är ett nödvändigt villkor för approximationen inkompressibel strömning. Betrakta specialfallet med endimensionell stationär strömning längs en horisontell strömlinje, V = (V(x), 0, 0). Kontinuitetsekvationen på differentiell form, ρ/ t + (ρv) = 0, ger d (ρv) = ρdv dx dx s +V dρ dx = 0 Konstant densitet ρ, inkompressibel strömning, innebär att V(dρ/dx) ρ dv/dx, d.v.s. δρ/ρ δv/v. Om viskösa effekter försummas gäller enligt impulsbalans (Bernoullis ekvation på differentiell form) att dp + ρv dv = 0. Försumma även ev. värmeutbyte, d.v.s. isentrop strömning (adiabatisk och friktionsfri strömning). Då gäller dp = a 2 dρ, där a är ljudhastigheten. Kombinerat med Bernoullis ekvation, dp = ρvdv, och efter division med ρa 2, ger dρ ρ +(V/a)2dV V = dρ ρ +M2dV V = 0 δρ/ρ = M2 δv/v som kombinerat med δρ/ρ δv/v ger M 2 1, som alltså är ett nödvändigt (men inte tillräckligt) villkor för inkompressibel strömning. [Ingenjörsmässigt gäller att strömningen måste betraktas som kompressibel om M > 0.3.] 15

16 8.4 (a) Ställ upp ett komplett ekvationssystem som beskriver det termodynamiska tillståndet alldeles nedströms en stillastående stöt i ett munstycke vid endimensionell adiabatisk strömning av en perfekt gas. Se Fig. 8.3, med index 1 alldeles innan stöten, index 2 alldeles efter; eftersom stöten (stötfronten) är så tunn gäller A 1 = A 2. Massbalans vid stationära förhållanden ger ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2 ; impulsbalans: p 1 p 2 = ρ 1 V 1 (V 2 V 1 ); energibalans (perfekt gas): T 1 + V1 2/(2c p) = T 2 + V2 2/(2c p); ideal gas: p 1 /(ρ 1 T 1 ) = p 2 /(ρ 2 T 2 ). Kända förhållanden uppströms (index 1) och givet c p = γr/(γ 1) innebär fyra (oberoende) ekationer och fyra obekanta (p 2, T 2, V 2, ρ 2 ), lösbart. P.g.a. kvadratiska hastighetstermer fås två lösningsuppsättningar; en där s 2 < s 1, en där s 2 > s 1, vilken är den enda tänkbara eftersom entropin måste öka vid adiabatiska förhållanden. (b) Hur förändras Machtal, tryck, temperatur, densitet, entropi, stagnationstemperatur och stagnationstryck över en rak stöt enligt (a)? Eftersom strömningen är adiabatisk är stagnationstemperaturen konstant; övriga storheter ökar, utom stagnationstrycket och machtalet; se Fig. 7.5b och Fig Illustrera strömningsfältet kring ett Pitotrör vid kompressibla förhållanden, speciellt uppströms mynningen och avseende ev. vågbildning. Klargör utan ekvationer hur anströmningens Machtal (M ) kan beräknas vid uppmätt stagnationstryck från Pitotröret och känt eller uppmätt statiskt tryck i friströmmen. Hur kan det enkelt från dessa båda tryck avgöras huruvida anströmningshastigheten är högre eller lägre än lokal ljudhastighet? Se Fig Förutsätt perfekt gas med känt γ. Vid subsonisk strömning är uppmätt stagnationstryck samma som i friströmmen. Isentropsamband som relaterar kvoten mellan stagnationstryck och statiskt tryck till Machtalet kan därför användas direkt (explicit formel). Vid supersonisk strömning bildas en stötfront framför Pitotröret. Längs stagnationslinjen är stöten rak. Kvoten mellan uppmätt stagnationstryck och statiskt tryck i friströmmen kan då via isentrop- och stötsamband skrivas som en implicit formel för Machtalet, Rayleigh-Pitots formel. Kvoten mellan uppmätt stagnationstryck från Pitotröret och statiskt tryck i friströmmen ökar med ökat M och passerar ett kritiskt värde vid M = 1 (ca. 1.9 vid γ = 1.4). Kapitel 9 Sneda stötar och expansionsfanor 9.1 En tänkt liten partikel som regelbundet sänder ut ljudpulser färdas med konstant hastighet i ett stillastående kompressibelt medium (t.ex. luft). Illustrera utbredningen av dessa ljudpulser vid underljuds- och överljudshastighet. Visa för överljudsfallet att den s.k. Machkonens (halva) vinkel är µ = sin 1 (1/M). Se Fig Om partikelns hastighet är lägre än ljudets kommer partikeln aldrig ifatt sina egna ljudpulser (vänster i figuren). Om partikeln rör sig med överljudshastighet kommer den att åka ifatt och förbi sina ljudpulser. Betrakta partikeln under viss tidsrymd δt. Sträckan som partikeln färdats är V δt; samtidigt har ljudpulsen utbrett sig radiellt utåt med ljudhastigheten, radie a δt. Med hypotenusa V δt och motstående katet aδt fås (halva) konvinkeln µ = sin 1 (aδt/v δt) = sin 1 (1/M). 9.2 (a) Beskriv geometriskt omlänkningen som sker vid en sned stöt. Markera speciellt stötvinkel β och omlänkningsvinkel θ. Se Fig (b) Skissera sambandet mellan omlänkningsvinkel och stötvinkel i ett diagram med Machtalet M 1 som parameter (perfekt gas). Markera områden för rak stöt, svaga och starka stötar samt Machvågor. Hur påverkar Machtalet M 1 maximal omlänkningsvinkel? Markera även linjen där M 2 = 1. Se Fig Machvågor representeras av skärningspunkterna med θ = 0 (ingen omlänkning, β = µ = Machvinkel). Linjen som motsvarar maximal omlänkningsvinkel θ för olika M 1 är skiljelinje mellan starka och svaga stöta, svaga med lägre stötvinkel β jämfört med vid maximalt θ. Linjen där M 2 = 1 ligger i nära anslutning till skiljelinjen mellan starka och svaga stötar, förskjuten mot lägre stötvinklar. Maximal omlänkningsvinkel θ max ökar med ökande M 1, dock innebär M 1 16

17 ett begränsat värde på θ max (för γ = 1.4 är θ max < 46 ). Den raka stöten motsvarar punkten med θ = 0, β = 90 ; alla linjer strålar samman i denna punkt. 9.3 Illustrera två olika fall av stötformation kring nosen på en kilformad (bred) kropp vid supersonisk anströmning. Se Fig (övre delen), anliggande sned stöt till vänster (θ < θ max ), frilagd krökt (böjd) stöt till höger (θ > θ max ); θ max ökar med ökande Machtal, fast begränsad då M. 9.4 Betrakta en vingformad bred kropp med trubbig framkant. Illustrera strömningsbilden i området kring framkanten vid supersonisk anströmning. Markera speciellt områden med M < 1 och M > 1, samt vilka delar av stötfronten där stötformeringen är av den starka typen. Se Fig Gränsen mellan stark och svag stöt ligger strax innanför linjen som markerar M = 1 (punkt c); rak (och stark) stöt i punkt a. 9.5 Under vilka omständigheter uppträder s.k. expansionsfanor kring en anströmmad kropp? Givet hur stor omlänkning som sker över fanan och Machtalet uppströms, hur kan då Machtalet efter en expansionsfana enkelt bestämmas via Prandtl-Meyers funktion? Hur förändras det statiska trycket över omlänkningen? Se Fig Expansionsfanor uppträder vid supersonisk strömning, vid omlänkningar som innebär expansion från utgångsriktningen. Omlänkningen sker gradvis och eftersom varje liten expansion (med tillhörande utsänd Machvåg) kan sägas ske isentropt kan hela omlänkningen (expansionsfanan) också betraktas som isentrop. Skillnaden i Prandtl-Meyers funktion gällande Machtal efter och före fanan är då lika med omlänkningsvinkeln, θ = ν(m 2 ) ν(m 1 ). Under givna förutsättningar kan därför M 2 beräknas. Statiska trycket minskar över fanan (expansion). Kapitel 10 Kompressibel strömning i munstycken och diffusorer 10.1 Betrakta isentrop stationär strömning av en perfekt gas genom ett munstycke. Variationer över tvärsnitt kan försummas, liksom effekter av gravitation. (a) Använd massbalans, definition av ljudhastighet, samt Bernoullis ekvation på differentiell form, dp+ρudu = 0, för att visa följande samband: da A = (M2 1) du u där A(x) är lokal tvärsnittsarea och u(x) lokal hastighet. Massbalans vid stationära förhållanden, ṁ = ρua = konst., vilket differentierat innebär dρ/ρ + du/u+da/a = 0. Med 1/ρ = u(du/dp) från Bernoullis ekvation fås [ ] 1 u 2 /(dp/dρ) (du/u)+da/a = 0 Vid isentropa förhållanden är dp/dρ = a 2, där a = ljudhastighet. Med M = u/a fås det sökta sambandet. (b) Förklara m.h.a. ekv. ovan hur överljudshastighet kan åstadkommas i ett Lavalmunstycke. Eftersom den relativa hastighetsförändringen du/u måste vara ändlig visar ekvationen att ljudhastighet M = 1 enbart kan ske där da/a = 0, d.v.s. i en minsta eller en största sektion. Om överljudshastighet M > 1 ska åstadkommas från stillastående måste först strömningen accelereras subsoniskt (M < 1) genom en konvergerande del (da/a < 0), nå M = 1 i en minsta sektion, för att sedan accelereras ytterligare supersoniskt (M > 1) i en efterföljande divergent del (da/a > 0), d.v.s. genom ett Lavalmunstycke, se Fig Ett Lavalmunstycke är ansluten till en stor behållare med konstant tryck p r. Trycket utanför behållaren (mottrycket) är p B (< p r ), det strömmande mediet är en perfekt gas. Strömningen kan betraktas som endimensionell, adiabatisk och friktionsfri. 17