v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

Transkript

1 STRÖMLINJER, STRÅKLINJER,... En strömlinje (eng. streamline) är en kurva (linje) i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn V. I vanliga rätvinkliga koordinater, V = (u, v, w), gäller dx u = dy v = dz w En partikelbana(eng. pathline) är en linje i rummet som genereras av en utvald tänkt fluidpartikel när den följer strömningen. En stråklinje (eng. streakline) är, vid en viss tid, lokus (förbindelselinje mellan positioner) för en strid ström av tänkta fluidpartiklar som tidigare befunnit sig i en viss punkt i rummet. Strömningsvisualisering, synliggörande av strömning, brukar oftast ske genom kontinuerligt utsläpp av ut något synligt i vissa punkter, t.ex. rök i luft eller bläck alt. mjölk i vatten. Det som då registreras är alltså stråklinjer. Givetvis måste det som släpps ut följa strömningen och själv inte påverka densamma. Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. Symmetrisk plan strömning kring en vingprofil. Visualisering m.h.a. färgat vatten (Werlé 1974). Cirkulär cylinder i vinkelrät anströmning. Visualisering m.h.a. rökslingor i luft (Norberg 1992). CH Strömningslära C. Norberg, LTH

2 MATERIELL DERIVATA Betraktaen litenfluidpartikel A som vidtiden t befinner sig i en viss punkt med lägesvektorn r A i ett Cartesiskt koordinatsystem. Hastighetsvektorn för partikeln beror av lägesvektorn och tiden: V A = V A (r A,t) = V A [x A (t),y A (t),z A (t),t] Partikelns acceleration är tidsderivatan av partikelns hastighet: a A = dv A dt = V A t + V A x dx A dt + V Ady A y dt + V Adz A z dt Men u A = dx A /dt, v A = dy A /dt och w A = dz A /dt vilket ger a A = dv A dt = V A t +u A V A x +v A V A y +w A V A z Ovanstående är giltigt för alla fluidpartiklar, inte bara partikel A. Accelerationsvektorn för en fluidpartikel som vid en viss tidpunkt befinner sig i en viss punkt i rummet kan därför skrivas: a = DV Dt = V t +u V x +v V y +w V z (4.3) Operatorn D Dt kallas materiella derivatan och verkande på en godtycklig storhet i fältet uttrycker den storhetens instantana tidsförändring gällande ett materiellt element. På symbolisk vektorform: D( ) Dt = ( ) +(V )( ) (4.6) t där är gradientoperatorn, även kallad nabla. CH Strömningslära C. Norberg, LTH

3 REYNOLDS TRANSPORTTEOREM Anger sambandet mellan instantana tidsförändringen av en massberoende storhets integrerade värde över en materiell region(ett slutet system) och motsvarande förändring gällande en kontrollvolym (ett öppet system). Formel med vilken samband gällande (slutna) system kan överföras till att gälla kontrollvolymer, exempelvis konserveringslagar för massa (m), energi (E) och linjär impuls (mv). Kontrollvolym (CV) = ett område i rummet, innanför kontrollytor (CS), massa tillåts passera CS. Låt B vara en massberoende storhet och b samma storhet fast uttryckt per massenhet. Ex. B = m b = 1; B = E b = e; B = mv b = V. Låt CV sammanfalla med ett system vid en godtycklig tid t. Undersök vad som händer under en extremt kort tid δt. B sys (t) = B CV (t) men B sys (t±δt) B CV (t±δt) CH. 4.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

4 REYNOLDS TRANSPORTTEOREM... Betrakta specialfallet med fixerad, stel CV samt endimensionell rörströmning. CV är fixerad till röret. B sys (t+δt) = B CV (t+δt) B I (t+δt)+b II (t+δt), B sys (t) = B CV (t) δb sys δt = 1 δt [B CV(t+δt) B CV (t)+b II (t+δt) B I (t+δt)] B I (t+δt) = b 1 δm 1 = (bρav) 1 δt, B II (t+δt) = (bρav) 2 δt Låtnuδt 0. δb sys δt övergårdåidenmateriellatidsderivatan D Dt B sys, [B CV (t+δt) B CV (t)]/δt blir den partiella tidsderivatan t B CV. D Dt B sys = t B CV +(ρbav) 2 (ρbav) 1 = t B CV +Ḃnet,out där Ḃnet,out är nettoflödet ut av storheten B, Ḃ net,out = CS ρbv ˆndA Ytnormalvektorn ˆn pekar ut från CV. Det är normalkomposanten av hastighetsvektorn, V n = V ˆn, som transporterar massa (och därmed B) över CS, ρv n da = dṁ net,out. CH Strömningslära C. Norberg, LTH

5 Newton: IMPULSSATSEN D Dt (mv) sys = D Dt ρvdv = F sys sys V är relaterad till ett icke-accelererande koordinatsystem, ett s.k. tröghetssystem (mv = linjär impuls, rörelsemängd). Låt CV sammanfalla med ett slutet system vid tiden t F sys = F CV Betrakta en stel CV som rör sig med konstant hastighet relativt ett tröghetssystem. Ett koordinatsystem fixerat till CV (xyz) är då också ett tröghetssystem. Reynolds transportteorem med B sys = (mv) sys, b = V ger CV t (ρv)dv + CS Vρ(V ˆn)dA = F CV där V är fluidens hastighet relativt xyz (impulssatsen). Stationär strömning samt homogena förhållanden över in- och utlopp: där (ṁv) out (ṁv) in = F CV ṁ out = ṁ in D:o, fast bara ett inlopp, ett utlopp (ṁ out = ṁ in = ṁ): ṁ(v out V in ) = F CV Impulssatsen kan användas till att beräkna t.ex. infästningskrafter på rörkomponenter, krafter på omströmmade kroppar, m.m. Observera att impulssatsen är en vektorekvation! CH. 5.2 Strömningslära C. Norberg, LTH

6 ENERGIEKVATIONEN Första huvudsatsen, slutet system: Q W = E. D:o fast per tidsenhet: Q Ẇ = Q net,in +Ẇnet,in = D Dt E sys = D Dt eρdv sys Med system = CV vid tiden t, b = e samt stationära förhållanden: ( Q net,in +Ẇnet,in) CV = Q net,in +Ẇnet,in = CS eρ(v ˆn)dA där e = ǔ+v 2 /2+gz (ǔ = inre energi per massenhet). Arbete per tidsenhet (effekt) in i CV: Ẇ net,in = Ẇb,in + ẆS,in, där Ẇ S = Ẇother = Ẇsh+Ẇe är teknisk effekt och Ẇb är den effekt som förmedlas över CS via fluidkrafter (fluid boundary work rate). Om de enda ytnormalkrafterna av betydelse är de p.g.a. trycket p samt om kontrollytor är lagda så att dessa är vinkelräta mot hastighetsvektorn gäller: Ẇ b,in = Ẇp,in = CS p(v ˆn)dA = CS (p/ρ)ρ(v ˆn)dA Insättning ger där Q net,in +ẆS,in = CS (ȟ+v2 /2+gz)ρ(V ˆn)dA ȟ = ǔ+p/ρ är entalpi per massenhet. θ = ȟ+v 2 /2+gz samt homogena förhållanden över in- och utlopp: där dessutom Q net,in +ẆS,in = (ṁθ) out (ṁθ) in ṁ out = ṁ in Speciellt ett inlopp, ett utlopp (ṁ out = ṁ in = ṁ): Q net,in +ẆS,in = ṁ(θ out θ in ) CH. 5.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

7 BERNOULLIS UTVIDGADE EKVATION Betrakta ett sammanhängande röravsnitt, ett inlopp, ett utlopp; stationär, inkompressibel strömning. Förutsätt homogena förhållanden över in- och utlopp; z-koordinat uppåt. Energibalans: Q+ẆS,in = ṁ(θ out θ in ), θ = ǔ+p/ρ+v 2 /2+gz Division med ṁ, multiplikation med ρ, samt omstuvning p+ ρv 2 2 +ρgz in = p+ ρv 2 2 +ρgz out +ρw S,in +ρ(ǔ 2 ǔ 1 q) där q = Q/ṁ, w S,in = ẆS,in/ṁ = w P w T + w e,in ; w P är pumpeller fläktarbete, w T turbinarbete, w e,in elektriskt arbete (netto in). Enligt termodynamikens 2:a huvudsats, liten del av röret: T ds δq; T ds-samband: T ds = dǔ + pd(1/ρ) = dǔ, ty ρ = konst. Detta visar att p f = ρ(ǔ 2 ǔ 1 q) 0. Likhetstecknet gäller förlustfri strömning; verklig strömning: p f > 0 Bernoullis utvidgade ekvation: p+ ρv 2 2 +ρgz in = p+ ρv 2 2 +ρgz Om alla termer divideras med γ = ρg fås p γ + V 2 2g +z in = p γ + V 2 2g +z där h L = p f /γ (förlusthöjd), h S = w S,in /g. out out +ρw S,in + p f +h S +h L Om hastighetsvariationer över in- och utlopp beaktas gäller V 2 αv 2, där V betecknar medelhastighet, V = Q/A. Vid turbulent rörströmning är α 1(liten hastighetsvariation över tvärsnitt); fullt utvecklad laminär rörströmning: α = 2. Vid ingenjörsmässiga beräkningar och turbulent strömning används ofta α = 1. CH Strömningslära C. Norberg, LTH

8 VRIDNING ROTATION Betrakta ett kubiskt fluidelement projicerat på xy-planet (δx = δy). P.g.a. hastighetsförändringar i olika riktningar sker vridningar, vinkeldeformationer och normaltöjningar på elementet. Sökt: elementets vridningshastighet kring z-axeln, ω z. Under kort tid δt, och om hastighetskomposanten v i ökar i x-riktningen (till höger), vrids den materiella linjen OA moturs med vinkeln δα; förskjutning a uppåt. Den materiella linjen OB vrids medursmedvinkelnδβ omhastighetskomposanten u ökar i y-riktningen (uppåt); förskjutning b till höger. Vridning moturs av elementets diagonal: δγ = (δα δβ)/2. Igränsenδt 0ärvinklarnaextremtsmåvilketinnebärδα = a/δx, δβ = b/δy. Eftersom elementet är så litet gäller a = ( v/ x)δxδt, b = ( u/ y)δy δt. Vridningshastighet moturs kring z-axeln: δγ ω z = lim δt 0 δt = 1 v 2 x u y På motsvarande sätt kan vridningshastigheterna kring x- och y-axeln bestämmas, ω x och ω y. Det visar sig att rotationsvektorn ω är lika med halva rotationen av hastighetsvektorn, ω = ( V)/2, d.v.s. 2ω = î ĵ ˆk x y z u v w = w y v î+ z u z w ĵ+ x v x u ˆk y CH Strömningslära C. Norberg, LTH

9 KONTINUITETSEKVATIONEN Massbalans CV ρ t dv }{{} ρ t δv + ρ(v ˆn)dA = 0 } CS {{} ṁ net,out Kontrollvolymen är så liten att V = (u,v,w) och andra storheter kan betraktas som konstanta över kontrollytor (CS). Däremot måste differentiella förändringar vid förflyttning i olika riktningar beaktas. ṁ x + ṁ x x ( δx 2 ) ṁ x+ ṁ x x (+δx 2 ) Massflöde i x-riktningen: ṁ x = (ρu)δyδz Netto massflöde ut ur CV i x-riktningen: ṁ x x δx = x (ρu)δxδyδz = x (ρu)δv P.s.s. i övriga riktningar ρ t + x (ρu)+ y (ρv)+ z (ρw) = 0 }{{} (ρv) ρ = konst. u x + v y + w z = V = 0 CH Strömningslära C. Norberg, LTH

10 STRÖMFUNKTIONEN Betrakta tvådimensionell och stationär strömning i xy-planet: V = (u,v,0),där u(x,y), v(x,y) u Kontinuitetsekvationen (KE): x + v y = 0 Definiera en funktion ψ(x, y) enligt: u = ψ y, v = ψ x ψ förutsätts kontinuerlig. Insättning i KE ger ψ + ψ = 2 ψ x y y x x y 2 ψ y x 0 ψ kallas strömfunktionen; uppfyller KE identiskt i alla punkter. Påstående: ψ = konst. motsvarar strömlinjer. v/u = dy/dx udy vdx = 0 ψ = konst. dψ = 0, dψ = ( ψ/ x)dx+( ψ/ y)dy = vdx+ udy = 0 v/u = dy/dx, vilket är ekv. för en strömlinje. V.S.B. Påstående: ψ = ψ 2 ψ 1 motsvarar volymflödet per breddenhet q = Q/b mellan strömlinjer. Betrakta två närliggande strömlinjer enligt ovan, ψ och ψ + dψ; volymflöde(perbreddenhet)mellanlinjerna:dq = udy vdx = dψ, d.v.s. q = ψ. V.S.B. CH Strömningslära C. Norberg, LTH