STRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR

Transkript

1 STRÖMNING MED FRIA VÄTSKEYTOR Vid den fria vätskeytan (vattenytan) kan trycket antas lika med det konstanta atmosfärstrycket (ytspänningseffekter försummas). Stationär, inkompressibel och oftast turbulent strömning. Strömningen drivs av gravitation och motverkas av väggfriktion. Djup, y = vertikalt avstånd från kanalens botten till ytan. Klassificering m.a.p. variationer i djup: 1. Strömning vid konstant djup och lutning (uniform flow); djupet lika med det s.k. normaldjupet, y n. Strömningen kan antas endimensionell; gravitation och friktion i balans.. Strömning med varierande djup. (a) Långsamt varierande djup (gradually varied flow, GVF). Strömningen kan antas endimensionell. (b) Snabba djupvariationer (rapidly varied flow, RVF). Strömningen multidimensionell. Förutom s.k. hydrauliska språng (hydraulic jumps) ingår inte RVF i denna kurs, GVF endast delvis. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

2 HASTIGHETSFÖRDELNINGAR Hastighetsmaximum sker typiskt kring mitten av tvärsnittet, ca. 0% under ytan baserat på lokalt djup. Förskjutningen beror av sekundärströmning samt viss inverkan av luftmotstånd. Medelhastigheten uppträder närmare botten, kring centrum ca % under ytan. α = korrektionsfaktor för kinetisk energi α = A 1 (u/v ) 3 da; endimensionell approximation: α = 1. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

3 ENDIMENSIONELL, STATIONÄR STRÖMNING Inkompressibel strömning, hydrostatisk tryckvariation Q = V (x)a(x) = konst. z 1 + V 1 g = z + V g + h f z 1 z = L tanθ + y 1 y, L = x x 1 h f f L Vav 4 R h g, V av = V 1 + V R h = D h 4 = A (hydraulisk radie) P L tanθ + y 1 + V 1 g = y + V g + h f Ex. Rektangulärt tvärsnitt Våtlagd omkrets, P = b + y Area, A = b y Hydraulisk radie, R h = A P = Mycket bred kanal, b y R h = y y 1 + y/b Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

4 YTVÅGORS UTBREDNINGSHASTIGHET Betrakta en bred, horisontell kanal med stillastående vatten vid visst konstant djup (kanalbredd b y). En vågfront med amplitud δy rör sig till vänster med hastighet c, vattnets hastighet efter fronten = δv. Fixera en kontrollvolym kring vågfronten. Massbalans ṁ = ρcy b = ρ (c δv )(y + δy) δv = c Bottenfriktion försummas. Impulsbalans y+δy 0 δy y + δy (p 1 p ) b dh = ṁ [ (c δv ) c ] = ρcy b δv y+δy 0 (p 1 p ) b dh = b [ ρg y y + 0 ρg (y + δy) (y + δy) ] δv = g δy c δy y Eliminera δv c = gy 1 + δy y δy y I gränsen δy/y 0 (försumbar amplitud): c 0 = gy (Lagrange 1788) Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

5 FROUDES TAL c 0 = utbredningshastighet för små ytvågor på grunt vatten (grunt i förhållande till våglängden). Froudes tal: Fr = V c 0, c 0 = gy h y h = A b 0 (hydrauliskt djup) Ex. rektangulärt tvärsnitt, A = b 0 y y h = y, c 0 = gy. Underkritisk strömning, Fr < 1. Låg hastighet, stort djup. Störningar t.ex. orsakade av ändringar i lutning, hinder o. dyl. kan förmedlas uppströms via små ytvågor, V < c 0. Strömningen kan gradvis anpassa sig till nya förhållanden nedströms. Överkritisk strömning, Fr > 1. Hög hastighet, litet djup. När strömningen uppströms är överkritisk och villkoren nedströms kräver ändring till underkritiska förhållanden så kan denna information inte förmedlas uppströms via ytvågor, V > c 0. Förmågan till gradvisa förändringar är borta. Den nödvändiga förändringen sker abrupt i ett s.k. hydrauliskt språng. William Froude, England, Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

6 STRÖMNING VID NORMALDJUP Betrakta en kanal med givet konstant tvärsnitt lagd med konstant men liten lutning, S = tanθ, där θ är bottenytans vinkel mot horisontalen. Efter någon viss längd uppnås konstant djup, normaldjupet y n. Arean konstant hastigheten konstant = V 0. Lutning vid normaldjup: S 0 = (z 1 z )/(x x 1 ); oftast extremt liten, θ < 1 (S 0 < 0.0). h f = f (x x 1 ) V0 4 R h g = z 1 z = S 0 (x x 1 ) V 0 = 8g f 1/ R 1/ h S 1/ 0 Reynolds tal kan antas mycket högt; bottenytan skrovlig friktionsfaktorn kan antas konstant. Konstant g/f ger V 0 = C (R h S 0 ) 1/, Q = CA (R h S 0 ) 1/. C = Chézys koefficient (Antoine Chézy, Frankrike, ). Med R h i m och SI gäller enligt Chézy: C (30, 90), undre gränsen för trånga, skrovliga kanaler ; övre breda, släta kanaler. Irländaren Robert Manning ( ) föreslog 1891 följande approximation: C = 8g f 1/ R1/6 h n [ m/s] där Mannings n-faktor beror av ytans beskaffenhet. Trots många nya förslag på korrelationer ger Mannings approximation tillräckligt bra resultat vid ingenjörsberäkningar. Ch. 10. Strömningslära C. Norberg, LTH

7 MANNINGS n-faktor Strömning vid normaldjup (Mannings formel): V 0 (m/s) = n 1 [R h (m)] /3 S 0, Q = V 0 A Tillverkade (rännor, dammavlopp, kanaler, akvedukter,... ) glas ± 0.00 koppar ± 0.00 stål, slätbehandlat 0.01 ± 0.00 cement, slätmurad 0.01 ± 0.00 trä, hyvlat 0.01 ± 0.00 trä, obehandlat ± 0.00 gjutjärn ± cement, obearbetad ± 0.00 stål, målat ± lertegel ± stål, nitat ± 0.00 tegelsten, cementerad ± asfalt ± plåt, korrugerad 0.0 ± murad klappersten 0.05 ± Grävda kanaler och diken släta 0.0 ± grusartade 0.05 ± gräsbevuxna ± steniga, kullersten ± Naturliga floder och vattendrag släta, raka ± stora floder ± djupa, trögflytande delar ± Översvämmade floder och vattendrag betes- och åkermark ± lätt snårskog ± 0.00 kraftig snårskog ± 0.05 skog ± Medelytråhet, ǫ[mm] (83n) 6, då n < 0.035; ex. n = 0.01 ǫ 1 mm. Ex. rektangulärt tvärsnitt, b = 5.0 m, y = y n =.5 m, θ = 0.0, slätmurad cement n = 0.01 ± 0.00; normalflöde? R h = A/P = 1.5 m; S 0 = tanθ = Q = (61 86) m 3 /s; n = m 3 /s. n Ch. 10. Strömningslära C. Norberg, LTH

8 EFFEKTIVA TVÄRSNITT Q = n 1 AR /3 h S0 Vid given area A, lutning S 0 och ytbeskaffenhet (n) fås maximalt normalflöde vid maximal hydraulisk radie, d.v.s. minimal våtlagd omkrets P (R h = A/P). Det absolut mest effektiva tvärsnittet vid given area är således det halvfyllda cirkeltvärsnittet. R h = A P = πr / πr = R = y För varje typ av tvärsnitt gäller att R h = y/ är mest effektivt. Det mest effektiva rektangulära tvärsnittet är således då djupet är halva kanalbredden (y = b/). Rektangulärt tvärsnitt, Q = 5.0 m 3 /s, n = 0.015, S 0 = (θ = 0.06 ). Dimensioner för mest effektivt tvärsnitt? Mannings formel y = y n = 1.7 m. Mest effektivt då b = y =.54 m, A = b y = 3.1 m. Samma area, samma (n, S 0 ) fast y n = 1.07 m ( 16%) ger Q = 4.95 m 3 /s, endast ca. 1% mindre flöde. Flödet omkring det mest effektiva tvärsnittet är oftast relativt okänsligt för variationer i djup (vid samma area). Halvcirkeltvärsnitt med samma area (A = 3.1 m ) och samma (n, S 0 ) ger Q = 5.4 m 3 /s (+8.4%); Q = 5.0 m 3 /s innebär y = R = 1.07 m, A = πr = 3.60 m (1% mer area, 34% mindre våtlagd omkrets). Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

9 SPECIFIK ENERGI Låt ẑ beteckna bottenytans vertikala höjd över någon referensnivå. Stationära förhållanden E 1 = E + h f + ẑ där ẑ = ẑ ẑ 1 och E = y + V g (specifik energi). Förutsätt rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd b. Flöde per breddenhet: q = Q/b = V y = konst., E = y + q gy de dy = 0 y = y c = (q /g) 1/3 (kritiskt djup) E(y c ) = E min = 3 y c (kritisk specifik energi) Vid kritiskt djup är strömningen kritisk, (V c y c ) = q = g y 3 c V c = gy c Fr c = 1 y < y c Fr > 1 ; y > y c Fr < 1 Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

10 STRÖMNING ÖVER BUMP Rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd. Friktion försummas (h f = 0). Givet: V 1, y 1, h; Sökt: y Flöde per breddenhet, q = V 1 y 1 = V y Specifik energi, E 1 = y 1 + q gy 1 E 1 = E + h = y + q gy + h y 3 (E 1 h)y + q g = 0 Ingen lösning för h > h max = E 1 E c = E 1 1.5(q /g) 1/3 h h max, Fr 1 < 1 y + h < y 1 (ytan buktar ned) h h max, Fr 1 > 1 y > y 1 (ytan buktar upp) Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

11 STRÖMNING UNDER SLUSSPORT Rektangulärt tvärsnitt, konstant bredd b, h f = 0, Fr 1 < 1. h = 0 E 1 = E, d.v.s. y 3 E 1 y + q /(g) = 0. En positiv reell rot motsvarande det alternativa djupet, Fr > 1. Vid försumbar kinetisk energi uppströms, E 1 = y 1, fås 1 maximalt flöde då y /y 1 = /3, q max 0.38y 1 gy1, q = Q/b. Potentialteori, fritt utlopp (free discharge) y /H 0.61 q = C d H gy 1 (C d = utströmningsfaktor) C d H/y1, H/y 1 < 0.5 Om förhållanden nedströms kräver återgång till Fr < 1 uppstår ett hydrauliskt språng. I språnget sker kraftig virvelbildning vilket ger förluster (dissipation). När språnget kommer tillräckligt nära slussporten påverkas flödet, slussporten drunknar, C d minskar, C d = f(y 1 /H, y /H), se problem P E 1 = y 1 innebär q y 1 gy1, max. flöde därför approximativt. Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

12 HYDRAULISKA SPRÅNG Hydrauliskt språng (hydraulic jump): relativt plötslig övergång från över- till underkritisk strömning samtidigt som djupet ökar. Fr 1 > 1, Fr < 1, y > y 1 Virvelbildning m.m. ger upphov till förluster, s.k. dissipation, uttrycks oftast i förlusthöjd relativt specifik energi uppströms, h f /E 1. Språngets utsträckning ca. 5 nedströmsdjup, L jump /y 5 ± 1. (1.7 < Fr 1 < 1). Klassificering: Fr 1 (1.0, 1.7]: ondulerande språng, stående vågor, h f /E 1 < 0.05 (undular jump). Fr 1 (1.7,.5]: mjukt språng, måttlig virvelbildning, 0.05 h f /E 1 < 0.15 (weak jump). Fr 1 (.5, 4.5]: instabilt, oscillerande språng, pulsationer med kraftiga vågor som skickas nedströms, undviks vid design, 0.15 h f /E 1 < 0.45 (oscillating jump). Fr 1 (4.5, 9.0]: stabil, välbalanserat språng, okänslig för nedströmsförhållanden, rekommenderas vid design, 0.45 h f /E 1 < 0.70, 6 < y /y 1 < 1 (steady jump). Fr 1 > 9.0: kraftigt språng, oregelbunden men oftast OK vid design, 0.70 h f /E 1 < 0.85 (strong jump). Ch Strömningslära C. Norberg, LTH

13 HYDRAULISKA SPRÅNG TEORI VS. EXPERIMENT Djupökning: η = y = 1 [ 1 + 8Fr ] 1 y 1 1 Dissipationshöjd (höjdförlust): h f = E 1 E =... = (y y 1 ) 3 h f E 1 = 1 8 Relativ dissipation: 4y 1 y > 0 y > y 1 ( 1 + 8Fr 1 3) 3 ( 1 + 8Fr 1 1)(Fr 1 + ) Teori vs. experiment: Ch Strömningslära C. Norberg, LTH