3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion

Transkript

1 Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 26 augusti 2010, kl. 14:00-18:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild (ad@mech.kth.se) Bedömning: Lösningen av dessa uppgifter bedöms antingen som godkänd (G) eller underkänd (U). För att få G måste du kunna redovisa en lösning som dels är i stort sett korrekt, dels inte strider mot någon grundprincip du ska kunna från denna eller tidigare kurser och dels redovisar ett djup i förståelsen för ämnet. 1. Använd termodynamikens 2:a huvudsats för att visa att: Ingen kylprocess som drivs mellan två givna temperaturer, eller värmemagasin, kan vara effektivare, d.v.s. ha ett högre värde på η kyl, än en reversibel värmemotor som drivs reverserat mellan samma temperaturer eller värmemagasin. 2. En kompressor vid stationär drift tar in luft vid 100 kpa och 27 C med volymsflödet 517 dm 3 /min. Axeleffekten för kompressorn är 2 kw, och kompressionen kan anses ske adiabatiskt och reversibelt. Luften från kompressorn kyls sedan vid konstant tryck via en inbyggd värmeväxlare innan luften lämnar aggregatet. Kylvatten med temperaturen 27 C leds kontinuerligt in i värmeväxlaren med ett volymflöde på 6 dm 3 /min. När kylvattnet passerat värmeväxlaren har dess temperatur ökat med 2 C medan tryckfallet är försumbart. Bestäm den komprimerade och kylda luftens temperatur och tryck när den lämnar aggregatet samt beräkna entropiproduktionen för hela processen (med luft och kylvatten) i W/K. Värmeutbytet med omgivningen kan försummas. Även kinetisk och potentiell energi kan försummas. 3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion på 15 cm 2. I en stagnationskammare som förser dysan med luft är trycket 700 kpa och temperaturen 300 K. Bestäm massflödet samt temperatur, tryck, hastighet och machtal vid utloppet för stationär strömning i vart och ett av följande fall. a): Isentropisk strömning med M 0,5 i minsta sektion. b): Isentropisk strömning med M 1 i minsta sektion och subsoniskt utlopp. c): Isentropisk strömning med M 1 i minsta sektion och supersoniskt utlopp. d): Isentropisk strömning genom dysan med en stötvåg precis innan utloppet. (Med efterfrågade storheter avses de direkt efter stötvågen i detta fall.) e): En stationär stötvåg står någonstans inne i dysan med inloppsmachtalet 1,5. I alla övriga delar av dysan är strömningen isentropisk. 4. De flesta kylprocesser och värmepumpar utnyttjar ångbildning och kondensation i särskilda köldmedium. Några enstaka kylprocesser använder dock enbart gas som köldmedium, t.ex. för luftkonditionering i flygplan. En lämplig modell för en sådan kylprocess är en omvänd Brayton-kretsprocess med luft som arbetsmedium. Hela kretsprocessen är reversibel och delprocesserna för köldmediet är: (1 2) adiabatisk kompression (2 3) isobar nedkylning (3 4) adiabatisk expansion (4 1) isobar uppvärmning

2 2 SCI, Mekanik, KTH Antag att trycket p kpa och att p kpa. Temperaturerna T K och T K är också givna. a) Skissa ett pv -diagram och relatera delprocesserna i kretsprocessen till de generella komponenterna i en kylprocess. b) Beräkna det specifika värme som förs bort från luften (köldmediet) under en cykel. c) Beräkna det specifika värme som förs till luften (köldmediet) under en cykel. d) Beräkna det specifika nettoarbete som utförs på luften (köldmediet) under en cykel. e) Beräkna det specifika axelarbete som kompressorn uträttar på luften (köldmediet) under den adiabatiska kompressionen. f) Beräkna köldfaktorn för kretsprocessen. Kontrollera att det erhållna värdet inte strider mot termodynamikens 2:a huvudsats. Motivera grundligt hur du gör denna kontroll.

3 SCI, Mekanik, KTH 3 Lösningar till betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 26 augusti 2010, kl. 14:00-18:00 1. Se kursboken av Tony Burden, kapitel För kylvattnet gäller enligt 1:a huvudsatsen för öppna system i ett inkompressibelt medium med en kontrollvolym omslutande värmeväxlaren med in- och utlopp att c T + p ρ q vatten + 0. där tryckskillnden i vattnet kan försummas. Man får då att värme överfört till vattnet mer massenhet är q vatten c T J/kg. Då inget värme, enligt antagande, läcker ut till omgivningen gäller att ṁ luft q luft ṁ vatten q vatten. Massflödena ges av ṁ vatten /60 0,1 kg/s och ṁ luft /60 0,01 kg/s. Avgiven värme från den komprimerade luften per massenhet är då q luft ṁvatten q vatten 0, J/kg 83,6 kj/kg. ṁ luft 0,01 För luften gäller enligt 1:a huvudsatsen för öppna system i en ideal gas med en kontrollvolym omslutande kompressorn och värmeväxlaren att där w axel Ẇaxel ṁ luft och c p T luft q luft + w axel, 2/0.01 kj/kg 200 kj/kg. Då blir luftens temperaturökning T luft q luft + w axel 83, c p 1004,5 T luft,ut T luft,in + T luft K 416 K. K 116 K, Trycket i luften är oförändrat genom kylprocessen så att p luft,ut ges av trycket direkt efter kompressorn p luft,2. Tillståndsförändringen där är reversibel och adiabatisk, d.v.s. isentropisk så att enligt (3.21) ( ) γ p luft,2 Tluft,2 γ 1. p luft,in T luft,in Temperaturen efter kompressorn,t luft,2, ges av 1:a huvudsatsen applicerad på kompressordelen enbart enligt Då blir c p T luft,kompr w axel, T luft,kompr w axel c p ( ) γ p luft,2 Tluft,2 p luft,in T luft,in Produktionen av entropi ges av γ 1 ( ,5 K 199 K. ) 1,4 0,4 5,94 put 594 kpa. σ ṁ luft s luft + ṁ vatten s vattten,

4 4 SCI, Mekanik, KTH där för luften (ideal gas) ( ) Tluft,ut s luft c p log R log T luft,in ( ) ,4 log 287 log 300 ( pluft,ut p luft,in ) ( ) J/(kg K) 183 J/(kg K), och för vattnet (inkompressibelt medium) ( ) Tvatten,ut s vatten c log T vatten,in ( ) log 27,8 J/(kg K). 300 Detta ger σ ṁ luft s luft + ṁ vatten s vattten 0, ,1 27,8 W/K 0,95 W/K. 3. a) Tabell för isentropisk strömning med M hals 0,5 ger A /A hals 0,7464. A 0,7464 6,25 cm 2 4,67 cm 2. Vid utloppet får man då A /A ut 4,67/15 0,31. Tabellen M ut 0,18, T ut /T 0 0,993, /p 0 0,977. Då blir T ut 300 0, K, 700 0, kpa. Hastigheten fås via machtalet och ljudhastigheten Massflödet blir v ut M ut γrtut 0,18 1, m/s 62,3 m/s. ṁ ρ ut v ut A ut RT ut v ut A ut , kg/s 0,75 kg/s. b) Då strömningen är sonisk i minsta sektion gäller att A A hals. Då blir A /A ut 6,25/15 0,417. Tabellen ger då för subsonisk strömning M ut 0,25, och massflödet T ut T 0 0,988, p 0 0,958, T ut 296 K, 671 kpa. v ut M ut γrtut 0,25 1, m/s 86,2 m/s. ṁ ρ ut v ut A ut RT ut v ut A ut , kg/s 1,02 kg/s. c) Liksom i b) gäller att strömningen är sonisk i minsta sektion så att A A hals och A /A ut 6,25/15 0,417. Tabellen ger då för supersonisk strömning M ut 2,4, T ut T 0 0,465, p 0 0,0684, T ut 140 K, 47,9 kpa. v ut M ut γrtut 2,4 1, m/s 569 m/s. Eftersom strömningen är strypt blir massflödet samma som i b).

5 SCI, Mekanik, KTH 5 d) Strömningen uppströms om stöten är samma som i c). Inloppsdata till stöten fås därför från utloppsdata för c). Stöttabellen ger Då blir M 1 2,4 M 2 M ut 0,523, T 2 T 1 2,04, p 2 p 1 6,55. T ut T 2 2,04 T 1 2, K 286 K, p 2 6,55 p 1 6,55 47,9 kpa 314 kpa. v ut M ut γrtut 0,523 1, m/s 177 m/s. Eftersom strömningen är strypt blir massflödet samma som i b). e) Fram till stöten, som uppstår någonstans i den divergerande delen av dysan, är strömningen isentropisk så att tabellen ger M 1 1,5 A* A 1 A hals A 1 0,85 A 1 6,25 0,85 cm2 7,35 cm 2, där A 1 är tvärsnittet vid stöten. Stöttabellen ger sedan M 1 1,5 M 2 0,701. Isentroptabellen med machtalet efter stöten ger M 2 0,7 A* 2 A 1 0,914 A * 2 0,914 7,35 cm 2 6,72 cm 2, där A * 2 är den kritiska arean efter stöten. Man finner även från stöttabellen att M 1 1,5 p 0,2 p 0,1 0,93, där p 0,2 är stagnationstrycket efter stöten. Efter stöten och fram till utloppet är strömningen isentropisk så att tabellen för A * 2 6,72 A ut 15 0,448 ger att T ut M ut 0,27, 0,947, 0,985, p 0,2 T 0 där stagnationstemperaturen är densamma före och efter stöten. Man får T ut 0, K 296 K, och p 0,2 p 0,1 0, ,93 0,947 kpa 616 kpa. p 0,1 v ut M ut γrtut 0,27 1, m/s 93,1 m/s. Eftersom strömningen är strypt blir massflödet samma som i b). 4. a) (1 2) kompressor, (2 3) avgivande av värme till det varma magasinet, (3 4) expansion av köldmediet via en expansionsventil är i detta fall ersatt med en adiabatisk expansion via t.ex. en turbin på vilken gasen uträttar arbete, (4 1) upptagande av värme från det kalla magasinet (det som skall kylas).

6 6 SCI, Mekanik, KTH b) Delprocess (2 3) sker vid konstant tryck. 1:a huvudsatsen ger då att c p (T 3 T 2 ) q d.v.s. avgiven värme är q ut q 23 c p (T 2 T 3 ). Temperaturen T 2 är resultatet av en adiabatisk och reversibel kompression vilket kräver att ( ) γ 1 ( ) 0,4 T 2 p2 γ 400 1,4 T K 401 K. T 1 p Då blir avgiven värme q ut q 23 c p (T 2 T 3 ) 1004,5 ( ) J/kg 101,5 J/kg. c) Temperaturen T 4 är resultatet av en adiabatisk och reversibel expansion vilket kräver att ( ) γ 1 ( ) 0,4 T 4 p4 γ 100 1,4 T K 202 K. T 3 p Delprocess (4 1) sker vid konstant tryck. 1:a huvudsatsen ger då att c p (T 1 T 4 ) q d.v.s. upptagen värme är q in q 41 c p (T 1 T 4 ) 1004,5 ( ) J/kg 68 J/kg. d) Nettoarbetet under en cykel ges enligt 1:a huvudsatsen av 0 q 23 + q 41 w netto w netto,luft w netto q 23 q kj/kg 34 kj/kg. e) Axelarbetet ges av 1:a huvudsatsen för öppna system tillämpat på kompressorn, d.v.s. delprocess (1 2), enligt c p (T 2 T 1 ) 0 + w axel,kompr w axel,kompr 1004,5 ( ) J/kg 132 kj/kg. f) Kylfaktorn beräknas enligt q η kyl q 23 q Enligt 2:a huvudsatsen skall kylfaktorn vara mindre eller lika med kylfaktorn för en reverserad Carnotmaskin som arbetar mellan samma värmemagasin. Värmemagasinen representeras av T K och T K. Carnot-kylfaktorn blir då η kyl,rev T T 3 T Observera att de konstanta temperaturerna för den optimala kylprocessens värmemagasin måste vara sådana att de kan användas för att driva den verkliga kylprocessen. 2:a huvudsatsen jämför kylprocesser som arbetar mellan samma värmemagasin. Skulle man lite slarvigt beräkna den optimala kylfaktorn från den minsta och den största temperaturen i Braytonprocessen får man värdet T min T T max T min T 2 T , som är mindre än den verkliga kylfaktorn för processen. Man inser dock att två värmemagasin med kalla temperaturen T 4 och varma temperaturen T 2 inte kan användas för att driva den angivna Braytonprocessen. Det kalla värmemagasinet under delprocess 4 1 skall överföra värme till kylmediet vars temperatur ökar från T 4 till T 1. Det kalla magasinet måste alltså ha minst temperaturen T 1 för att åstadkomma detta. Likaså måste det varma magasinet, som skall ta emot värme under delprocess 2 3, ha en temperatur som är högst lika med T 3. Värmemagasin med T 1 och T 3 ger alltså den övre gränsen för vad kylfaktorn för Braytonprocessen kan vara. Sedan kan man spekulera i om det kalla

7 SCI, Mekanik, KTH 7 magasinet har en temperatur större än T 1 och det varma magasinet en temperatur mindre än T 3. Då skulle den optimala kylfaktorn bli större än 9.