Termo T konc. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm. Version 5.2 mars 2010

Transkript

1 Termo T konc Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 5.2 mars 2010 Förord Termo T konc är en sammanfattning av kursen SG1216 Termodynamik för farkostteknik vid KTH. Den utgör en något utvidgad formelsamling och anger tydligt vad kursen handlar om men den bör inte användas som fullvärdigt och självständigt kursmaterial. Från och med version 5.0 har ekvationerna samma nummrering som i kompendiet Termodynamik med kompressibel strömning av Tony Burden. Från och med version 5.1 innehåller Termo T konc tabeller för isentrop strömning samt stötvågstabeller. Termo T konc är TILLÅTET SOM HJÄLPMEDEL vid skrivningar. 1

2 Contents 1 Klassisk termodynamik System, tillstånd, och processer Den första huvudsatsen Tryck-volym-arbete Värmeöverföring, inre energi och entalpi Den andra huvudsatsen Värmemotorer och verkningsgrader Kylning och värmepumpar HS0, HS2 och temperatur Termodynamisk temperatur Entropi HS1 med HS2 för ett p-v system Exergi Energikvalitet Exergi i slutna system Avslutande sammanfattning av HS Matematisk teori Termodynamiska potentialer Maxwells relationer Några generella samband Materie Fast material, vätska, och gas Värmekapaciteter Inkompressibel materie Vatten Ideala gaser Den ideala gaslagen Joules lag Den molekylära bilden Luft som idealgas Reversibla adiabatiska processer Ändringar i entropi Isentropa processer Verkliga gaser Strömning genom öppna system Klassisk termodynamik för öppna system Energibudgeten för öppna system Entropibudgeten för öppna system Strömningsexergi Inkompressibel strömning Kompressibel strömning

3 3.3.1 Energi och Machtal Dysströmning Stötvågor Kraftekvationen Analys av kretsprocesser, m m p-v -diagrammet T -S-diagrammet Carnotkretsen Stirling- och Ericssonkretserna Otto- och Dieselkretserna A Matematik 27 B Fysikaliska data 28 C Numeriska tabeller 29 C.1 Tabeller för isentrop strömning C.2 Stötvågstabeller D Notation 37 D.1 Symboltabell E Ordlista 39 3

4 1 Klassisk termodynamik Termodynamikens huvudsatser är stringenta formuleringar av allmän mänsklig intuition och förståelse och utgör de grundstenar på vilka den klassiska termodynamiken axiomatiskt byggs upp. 1.1 System, tillstånd, och processer Systemet är det tydligt avgränsade objekt som studeras och analyseras. Resten av universum utgör systemets omgivning. Systemet avgränsas från sin omgivning av sin rand eller gränsyta. När massa kan strömma genom gränsen till ett system sägs systemet vara öppet. Ett slutet system har konstant massa. Ingen värmeöverföring kan ske till eller från ett termiskt isolerat system. Dess rand är adiabatisk. Ett system med en stel rand kan inte utföra p-v arbete (avs 1.3). Ett isolerat system växelverkar inte alls med sin omgivning. Det sker ingen överföring av varken massa, värme, eller arbete. Ett system är i termodynamisk jämvikt om dess tillstånd skulle förbli oförändrat om systemet helt isolerades från sin omgivning. Termodynamisk jämvikt förutsätter statisk jämvikt, inre termisk jämvikt, och kemisk jämvikt. Ett system har lika många frihetsgrader som det finns oberoende möjligheter att ändra dess energi (i en kvasijämviktsprocess). Ett enkelt system har enbart två frihetsgrader. Ett p-v system utför p-v arbete (avs 1.3) och ingen annan form av arbete. En tillståndsfunktion är en storhet eller variabel som har ett välbestämt värde när systemet befinner sig i ett välbestämt jämviktstillstånd. När ett system genomgår en process från ett tillstånd till ett annat är ändringen i en tillståndsfunktion därmed helt oberoende av processen. Extensiva storheter är additiva när system läggs ihop medan intensiva storheter är oberoende av systemets storlek. Specifika storheter beräknas per massenhet. Se notationsbilagan. En process är systemets väg från ett tillstånd till ett annat. En kvasistatisk process eller kvasi-jämvikts-process är en kedja eller halsband av jämviktstillstånd. Under en kvasistatisk eller kvasi-jämvikts- process kan processen fås att ändra riktning genom en oändligt liten ändring av de aktuella drivande krafterna. Kvasistatiska processer sägs vara internt reversibla. En (helt) reversibel process är en idealisering som medför att både systemet och dess omgivning kan återställas exakt till begynnelsetillståndet när processen är slut. Processer inom vilka friktion, t ex viskös strömning, förekommer utgör exempel på icke-reversibla processer. Andra tydliga exempel är värmeöverföring över ändliga temperaturskillnader och s k spontana, d v s plötsligt frisläppta, processer som för systemet långt från jämvikt. 4

5 Några, mer eller mindre idealiserade, processer är av särskilt intresse: isobar dp = 0 konstant tryck isokor dv = 0 konstant volym isoterm dt = 0 konstant temperatur adiabatisk δq = 0 ingen värmeöverföring isentrop ds = 0 konstant entropi En process som är både reversibel och adiabatisk är isentrop. 1.2 Den första huvudsatsen Den Första Huvudsatsen (HS1) lyder, I varje system finns det en tillståndsfunktion energi som, 1, varken kan förstöras eller skapas, och som, 2, kan föras till eller från systemet genom värmeöverföring eller utförande av arbete. Matematiskt innebär HS1 att vi kan skriva, E = Q W, (2.1) där E är systemets (totala) energi som, enligt HS1, är en tillståndsfunktion. W är arbete utfört av det system som studeras och Q är värme överfört till det system som studeras. Överfört värme, Q, och utfört arbete, W, är inte tillståndsfunktioner. Antag nu att systemets totala energi kan skrivas i formen, E = U + E rör (2.2) där E rör är systemets makroskopiska rörelseenergi, med formen 1 2 mv2. U är systemets inre energi som, enligt HS1, är en tillståndsfunktion. När de rör är försumbar, t ex i systemets viloram, blir HS1, ekv (2.1), du = δq δw och du = δq δw. (2.5) Här har denna viktiga grundekvation skrivits i både extensiv form, för ett slutet system, och i den mer generella specifika formen. 1.3 Tryck-volym-arbete När en mängd gas i en cylinder utför arbete mot en kolv ges den mängd arbete som utförs av, δw = p dv. (2.6) Detta grundläggande uttryck gäller generellt i alla system då trycket har samma värde, p, överallt på de delar av randen där arbetet utförs. När ett p-v system utför arbete i en kvasistatisk process, har trycket ett väldefinerat värde i alla de jämviktstillstånd som processen går genom, så vi kan skriva, δw int.rev = p dv int.rev, (2.7) 5

6 där int.rev står för internt reversibel, avs 1.1, s 4. Det arbete som utförs under en reversibel process från tillstånd 1 till tillstånd 2 är, W 12 = V2 V 1 p dv. (2.8) Integralen kan inte beräknas, d v s värdet på W kan inte bestämmas, förrän p är helt känd som funktion av V. För ett p-v system som genomgår en process i vilken δw = p dv gäller, kan HS1, ekv (2.5), skrivas, du = δq p dv och du = δq p dv, (2.9) där den andra, specifika, formen erhålls genom att dividera den första, extensiva, med systemets massa, m. 1.4 Värmeöverföring, inre energi och entalpi För ett p-v system som genomgår en reversibel isokor process leder definitionen av den specifika värmekapaciteten, δq v = c v dt v (2.10), och HS1, ekv (2.9), till, du v = c v dt v. (2.12) Med lite matematik, ekv (A.9), fås nu, c v = ( ) u T v. (2.13) De analoga uttrycken för reversibla processer vid konstant tryck är, dh p = δq p = c p dt p och c p = där h är entalpin definerad enligt, ( ) h, (2.15 & 2.16) T p h = u + pv. (2.14) Om inre energi sägs vara värme överfört vid konstant volym kan entalpi sägas vara värme överfört vid konstant tryck. Entalpi är också en viktig energistorhet inom energibudgeten för strömning genom öppna system. Se avs 3.1 nedan. HS1 för ett p-v system, ekv (2.9), ger för entalpi, dh = δq + vdp. (2.17) Ekvationer (2.12) och (2.15) är särskilt betydelsefulla för ideala gaser se avs och var uppmärksam på skillnaden mellan, t ex, ekv (2.12) och ekv (3.8). 6

7 1.5 Den andra huvudsatsen Clausius (1850) formulerade den andra huvudsatsen så här; Ingen kretsprocess är möjlig i vilken överföring av värme från en kallare till en varmare kropp är det enda som sker. Följande Kelvin (1851) formulerade Planck (1927) den andra huvudsatsen så här; Ingen kretsprocess är möjlig i vilken allt tillfört värme omvandlas slutligen till arbete. En analys baserad på generella värmemotorer (avs 1.6) visar att de två formuleringarna av HS2 ovan är helt ekvivalenta. Den ena medför den andra, och tvärtom. 1.6 Värmemotorer och verkningsgrader Energibudgeten (HS1) för en värmemotor är, 0 = Q in Q ut W Q in = W + Q ut (7.2) Här är Q in värme överfört från det varma värmemagasinet till systemet, medan Q ut är värme överfört från systemet till det kalla värmemagasinet. W är arbete utfört av systemet vilket överensstämmer med den övergripande teckenkonventionen. Den termiska verkningsgraden för en värmemotor, eller kretsprocess, är definerad som: η = W Q in = W ut,netto Q in. (7.3) En viktig följd av den andra huvudsatsen gäller maximala verkningsgrader och optimala motorer: Ingen värmemotor som arbetar mellan två givna temperaturer, eller värmemagasin, kan vara effektivare än en reversibel värmemotor som arbetar mellan samma temperaturer eller värmemagasin. Matematiskt uttryckt, η η rev = η max eller η optimal = η rev. (7.4) Det är implicit i detta påstående att alla reversibla värmemotorer har samma verkningsgrad som kan därmed enbart bero på de två värmemagasin som de arbetar emellan. Denna följd av den andra huvudsatsen kallas Carnots följdsats. Den är en grundsten i den axiomatiska uppbyggnaden av det makroskopiska temperaturbegreppet, avs 1.7. Med hjälp av energibudgeten, ekv (7.2), fås, η rev = 1 T lȧg T hög, (7.6) där T är termodynamisk temperatur, avs

8 1.6.1 Kylning och värmepumpar Energibudgeten (HS1) för kylprocesser och värmepumpar är, 0 = Q kall Q varm + W in (7.7) där Q kall är värme överfört från det kalla värmemagasinet till systemet, Q varm är värme överfört från systemet till det varma värmemagasinet, och W in är arbete utfört på systemet. Det följer från HS2 att ingen kylprocess eller värmepump kan vara effektivare än en reversibel värmemotor som tillförs arbete och åstadkommer värmeöverföring. Köldfaktorn för, t ex, en kylprocess defineras enligt, och får det optimala värdet, η kyl = Q kall W in, (7.8) η kyl,rev = där T är termodynamisk temperatur, avs Värmefaktorn för, t ex, en värmepump defineras enligt, T lȧg T hög T lȧg, (7.9) och får det optimala värdet, η vp = Q varm W in, (7.10) η vp,rev = där T är termodynamisk temperatur, avs HS0, HS2 och temperatur T hög T hög T lȧg, (7.11) Den s k nollte huvudsatsen är en grund för en axiomatisk, makroskopisk och generell definition av temperatur. Först defineras termisk jämvikt enligt; Två kroppar, eller system, som är i termisk kontakt, och som båda två befinner sig i jämvikt, sägs vara i termisk jämvikt med varandra. Det förekommer ingen värmeöverföring mellan de två kropparna och man kan säga att de har samma temperatur. Nollte huvudsatsen (HS0); Om två kroppar, eller system, var för sig är i termisk jämvikt med ett tredje system då måste de också vara i termisk jämvikt med varandra. Det tredje systemet kan vara någon sorts termometer och man kan påstå att de första två har samma temperatur, den temperatur som kan läsas av från termometern. 8

9 1.7.1 Termodynamisk temperatur HS2, genom Carnots sats, låter termodynamisk temperatur defineras enligt, T 1 T 2 = Q 1 Q 2, (7.5) i reversibla motorer, eftersom det följer från HS2 att kvoten Q 1 /Q 2 beror enbart på värmemagasinen och är i övrigt den samma för alla reversibla motorer. Notera att definitionen i ekv (7.5) förutsätter att all värmeöverföring till och från motorn sker isotermt. Det följer nu från definitionen av termodynamisk temperatur att det finns en absolut nollpunkt; Q > 0 T > 0. Nollpunkten i Kelvinskalan sammanfaller med den absoluta nollpunkten medan vatten fryser vid 273,15 K vid atmosfärstryck. M h a Carnots kretsprocess, avs 4.3, kan man visa att den idealgas- temperaturskalan, d v s den temperatur som kan mätas med en idealgastermometer, sammanfaller med den termodynamiska temperaturskalan. Idealgas-temperaturskalan visar också på existensen av en absolut nollpunkt. 1.8 Entropi Definitionen av entropi grundas på Clausius sats; för en helt godtycklig kretsprocess, δq T rand 0. (9.1) Denna sats bevisas med hjälp av den andra huvudsatsen, särskilt ekv (7.6) eller (7.5). För en reversibel kretsprocess blir ekv (9.1), Nu defineras entropi, S, enligt, rev δq T rand = 0. (9.2) ds = δq int.rev T, (9.3) där int.rev står för internt reversibel, avs 1.1, s 4. Med hjälp av ekv (9.2) kan man visa att entropi är en tillståndsfunktion. Beräkningar av entropiändringar behöver därmed inte baseras på den aktuella processen. Man antar ofta implicit att mellan varje par av tillstånd existerar åtminstone en väg eller process som är internt reversibel. Utöver själva definitionen av entropi, ekv (9.3), kan man med hjälp av ekv (9.1) skriva en entropibudget; ds = δq + δσ, (9.4) T där ändringen i entropi får bidrag från, 1, överföring i samband med värmeöverföring, och, 2, produktion i inre irreversibiliteter, δσ. Clausius olikhet, ekv (9.1), visar, med ekv (9.2), att, δσ 0 medan δσ rev = 0. (9.5) 9

10 Genom att också skriva entropibudgeten för omgivningen erhålls nu, ds univ. = ds (syst) + ds omg. = δσ (syst) + δσ omg. = δσ univ. 0. (9.6) Likhet i detta uttryck är generellt sett otänkbart. 1.9 HS1 med HS2 för ett p-v system För ett p-v system, ekv (2.7), blir HS1, ekv (2.5), med HS2, genom ekv (9.3), För entalpin, ekv (2.14), fås, du = T ds pdv. (9.7) dh = T ds + vdp. (9.8) Jämförd med ekv (2.5) och (2.17) har HS1 nu uttryckts i termer av enbart tillståndsfunktioner Exergi Detta avsnitt presenterar några begrepp som är betydelsefulla för analysen av energiomvandling och andra industriella processer. Analysen betonar utnyttjandet och förbrukningen av resurser. I detta avsnitt tar vi hänsyn till det faktum att den förmåga som ett system, som energikälla sedd, har att uträtta arbete, ev genom att driva en värmemotor, är beroende av dess omgivning, i synnerhet omgivningens temperatur, T omg, och tryck, p omg Energikvalitet Mekanisk energi, t ex makroskopisk rörelseenergi, sägs ha högre kvalitet är termisk energi, d v s värme, eftersom mekanisk energi kan i princip omvandlas till arbete till 100% medan omvandlingen av termisk energi till arbete är begränsad av η optimal < 1.00, enligt avs 1.6. Man kan gå vidare och definera en kvalitetsfaktor som är 1.00 för mekanisk energi medan kvalitetsfaktorn är begränsad till η optimal = η rev = 1.00 T 0 /T för termisk energi från ett värmemagasin med temperatur T > T 0. Det blir dock mer generellt att införa begreppet exergi Exergi i slutna system Exergi är förmåga att utföra arbete. Eller mer noga uttryckt; Ett slutet systems exergi i en given omgivning är den teoretiskt sett maximala mängd arbete som kan utföras när systemet växelverkar med sin omgivning tills de två systemen är i jämvikt med varandra. Exergin i ett slutet system är därmed, A = (E U 0 ) + p 0 (V V 0 ) T 0 (S S 0 ), (13.5) 10

11 där E, V, och S är systemets (totala) energi, volym och entropi. U 0, V 0 och S 0 är de värden som systemets inre energi, volym och entropi skulle ha i det s k döda tillståndet i vilket systemet har samma temperatur, T 0, och tryck, p 0, som omgivningen. Med utgångspunkt i uttrycket för exergi, A, i ekv (13.5) leder energibudgeten, ekv (2.1) för E, och entropibudgeten, ekv (9.4) för S = ds, till exergibudgeten, A = T2 T 1 ( 1 T 0 T ) δq W + p 0 V T 0 σ. (13.9) Den sista termen, T 0 σ, är destruktionen av exergi i icke-reversibla delprocesser Avslutande sammanfattning av HS2 Avslutningsvis kan vi sammanfatta den Andra Huvudsatsens många olika utsägningar, lite löst: Värme överförs aldrig från kallt till varmt utan en arbetsinsats. Inte ens i teori finns det en värmemotor med verkningsgrad 1,00. Entropi ökar hela tiden. Exergi förbrukas. Hade vi ägnat oss mer åt den molekylära synpunkten hade vi kunnat lägga till: Värme sprider sig värmedöden. Oordningen bara ökar Matematisk teori Detta avsnitt är på gränsen till överkurs Termodynamiska potentialer För ett p-v system, defineras ett antal s k termodynamiska potentialer, inre energi entalpi Helmholtz funktion Gibbs funktion HS1 med HS2, ekv (9.7), ger för dessa potentialer, u h = u + pv ψ = u T s g = u + pv T s du = T ds pdv dψ = sdt pdv dh = T ds + vdp dg = sdt + vdp där den första raden utgörs av just ekv (9.7) tillsammans med ekv (9.8), och ges här för fullständighetens skull. 11

12 Maxwells relationer Eftersom uttrycken i ekv (9.7), (9.8) med flera är exakta differentialer ger nu ren matematik, bl a (A.8), ( ) ( ) ( ) ( ) T p T v = = v s p s s v s p ( ) ( ) ( ) ( ) p s v s = = T v T p v T p T Dessa mycket användbara samband kallas Maxwells relationer Några generella samband Genom att betrakta inre energi som en funktion av temperatur och volym, u(t, v), kan man nu härleda, { ( ) } p du = c v dt + T p dv, (12.19) T v som gäller generellt i ett p-v -system. På samma sätt kan man härleda för s(t, v), ds = c ( ) v p T dt + dv. (12.20) T Se ekv (3.8) och ekv (9.10) för de förenklade former som dessa uttryck ta i en ideal gas. Genom att betrakta entalpi som en funktion av temperatur och tryck, h(t, p), kan man härleda, dh = c p dt + v v T ( v T ) dp. (12.21) p som gäller generellt i ett p-v -system. På samma sätt kan man härleda för s(t, p), ds = c ( ) p v T dt dp. (12.22) T p Se ekv (3.11) och ekv (9.11) för de förenklade former som dessa uttryck ta i en ideal gas. Ekv (12.20) och (12.22) tillsammans ger, c p = c v + T ( v T ) p ( ) p T v, (12.23) som ska jämföras med idealgasuttrycket i ekv (3.12). Slutligen, m h a enbart Maxwells relationer, kan man härleda det generella uttrycket, ( ) ( ) c p v p = c v p v T s, (12.24) för kvoten γ = c p /c v. 12

13 2 Materie 2.1 Fast material, vätska, och gas Ett rent ämne kan finnas i flera olika faser; gas, vätska, samt en eller flera faser med fast form. Dessa olika möjliga faser anges av p-v-t ytan i fasdiagrammet. Vid temperaturer högre än den kritiska temperaturen kan man inte längre skilja gasfasen och vätskefasen åt. En betraktelse av projiceringen av p-v-t ytan på p-v planet, eller diagrammet, visar att den kritiska punkten ges av; ( ) ( p 2 ) p = 0 med = 0. (4.4) v v 2 T Övergång mellan olika faser, s k fasomvandling, kräver överföring av värme, s k omvandlingsentalpi, q = h fasomv. En mängd av ett rent ämne utgör ett enkelt p-v system Värmekapaciteter För ett enkelt p-v system m m defineras den specifika värmekapaciteten vid konstant volym genom, δq v = c v dt v, (2.10) och den specifika värmekapaciteten vid konstant tryck genom, T δq p = c p dt p. (2.11) För vätskor och fast material, c p c v (4.9), eftersom vätskor och fast material är nära nog inkompressibla, åtminstone jämfört med gaser Inkompressibel materie Masstätheten, ϱ = 1/v, hos vätskor och fast material som genomgår måttliga processer är nästan konstant, dv 0. Det är ofta praktiskt att använda den approximativa beräkningsmodellen inkompressibel materie i vilken, δq = c v dt, du = c v dt, (4.6 & 4.7) och, dh = c v dt + v dp = c v dt + 1 dp. (4.8) ϱ Jämför ekv (4.7) med det generellt giltiga uttrycket för du i ekv (12.19), och ekv (4.8) med det generellt giltiga uttrycket för dh i ekv (12.21). Eftersom vätskor och fast material är nära nog inkompressibla är skillnaden c p c v liten i någon relevant mening och vi kan skriva, helt enkelt. c p c v, (4.9) 13

14 2.1.3 Vatten Vatten vid atmosfärstryck och vid temperaturer mellan 0 C och 30 C har masstäthet, och specifik värmekapacitet, c p ϱ = 998,0 ± 2,0 kg/m 3, = 4,20 ± 0,02 kj/(kg K). Se avsnitt Vid atmosfärstryck och 100 C är masstätheten ϱ = 958,0 kg/m 3 och värmekapaciteten c p = 4,22 kj/(kg K). 2.2 Ideala gaser För en relativt tunn gas (jfr avs 2.2.3) kan man visa teoretiskt att, p v T = p V nt där R är en och samma konstant för alla olika ämnen, = R, (3.2) R = 8,314 kj/(kmol K). (3.3) Därmed kallas R den allmänna gaskonstanten. Experimentellt visar det sig att ekv (3.2) uppfylls av gaser vid låga tryck, p < 0,05 p krit, samt vid höga temperaturer, T > 15 T krit, och även för 2 T krit < T < 3 T krit. Gränsangivelserna är ungefärliga, och beror förstås på den önskade noggrannheten, men gränserna, uttryckta i termer av kritiskt tryck och kritisk temperatur, är i stort sett de samma för alla olika ämnen. Idealgasmodellen bygger på två grundstenar, den ideala gaslagen och Joules lag. Med hjälp av bl a Maxwells relationer, avs 1.12, kan man visa teoretiskt att en gas som uppfyller den ideala gaslagen också uppfyller Joules lag och, tvärtom, en gas som uppfyller Joules lag uppfyller också den ideala gaslagen Den ideala gaslagen Följande ekv (3.2) ovan satisfierar en ideal gas tillståndsekvationen, Uttryckt i specifik volym, v = 1/ϱ, blir denna, och i extensiv form för ett slutet system blir den, I ekv (3.5) och (3.1) är, p v = R T. (3.2) pv = RT eller p = ϱrt, (3.5) pv = mrt. (3.1) R = R M, (3.4) den specifika gaskonstanten för det aktuella ämnet, eller t o m för en gasblandning som, t ex, luft (avs 2.2.4). 14

15 2.2.2 Joules lag Joules lag lyder, Den inre energin i en ideal gas beror enbart på gasens temperatur. Detta kan visas teoretiskt för en tunn gas (jfr avs 2.2.3). Matematiskt innebär Joules lag att u är enbart en enkel funktion av T så att, du = c v dt och c v = du dt, (3.8 & 3.7) och den specifika värmekapaciteten beror enbart på T. Joules lag tillsammans med den ideala gaslagen, ekv (3.5), innebär att entalpi, h, definerad i ekv (2.14), beror enbart på T i en ideal gas. Nu kan ekv (2.15) skrivas, dh = c p dt och c p = dh dt Joules lag innebär att c p beror enbart på T i en ideal gas. T -derivatan av ekv (2.14), som definerar entalpin, ger nu,. (3.11 & 3.10) c p = c v + R. (3.12) Genom att införa kvoten, kan c v och c p skrivas, c p = γr γ 1 γ = c p c v, (3.13) och c v = R. (3.15 & 3.14) γ 1 Dessa uttryck för c v och c p är särskilt användbara eftersom γ ofta kan antas ta ett teoretiskt bestämt värde se avs Den molekylära bilden Idealgasmodellen inom den molekylära synpunkten, d v s statistisk fysik, består av ett tunt moln av oändligt många molekyler som växelverkar med varandra enbart genom kortvariga kollisioner som upprätthåller en jämviktsfördelning bland de olika energimoderna hos molekylerna. Inom denna molekylära teori för ideala gaser är c v och c p konstanta och kvoten γ = c p /c v ges av antalet frihetsgrader hos molekylerna: ideala gaser bestående av enatomiga molekyler γ = = 1,67 ideala gaser bestående av tvåatomiga molekyler γ = = 1,40 ideala gaser bestående av fleratomiga molekyler γ = = 1,33 15

16 2.2.4 Luft som idealgas Luft är en gasblandning som består till ca 80% av kväve, N 2, och till ca 20% av syre, O 2. De övriga komponenterna spelar ytterst lite roll för de värden som presenteras här. Det molviktade medelvärdet för molmassan är, så att den specifika gaskonstanten är, M = 28,97 kg/kmol, (3.16) R = R M = 287,0 J/(kg K). (3.17) En gasblandning uppför sig oftast idealt under förhållanden då komponenterna var för sig uppför sig idealt. Eftersom luft består nästan enbart av tvåatomiga molekyler kan man anta att γ = c p /c v = 1,40. Se avs Nu erhålls, c v = 717,5 J/(kg K), och c p = 1005 J/(kg K), (3.18 & 3.19) från ekv (3.14) Reversibla adiabatiska processer Detta avsnitt avser enbart ideala gaser och förutsätter att c v och c p är konstanta. Energibudgeten för en adiabatisk process i ett slutet p-v system, ekv (2.9) med δq = 0, tillsammans med Joules lag genom ekv (3.8) och den ideala gaslagen, ekv (3.5), ger, T v γ 1 = konstant. (3.20) Energibudgeten skriven för entalpin i ett p-v system, ekv (2.17) med δq = 0, ger, tillsammans med Joules lag genom ekv (3.11), T γ p γ 1. (3.21) Den ena av ekv (3.20) och (3.21) ger den andra med hjälp av den ideala gaslagen, ekv (3.5). Tillsammans ger de, pv γ = konstant. (3.22) Det arbete som utförs under en internt reversibel och adiabatisk process ges av ekv (2.8) tillsammans med ekv (3.22) och ekv (A.4), W 12 = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ). (3.23) Ekvationer (3.20) t o m (3.23) är giltiga i internt reversibla och adiabatiska processer i ideala gaser med konstant γ = c p /c v. Definitionen av entropi, ekv (9.3), innebär att adiabatiska och internt reversibla processer är isentropa så ekv (3.20), (3.21) och (3.22) upprepas nedan i avs

17 2.2.6 Ändringar i entropi HS1 med HS2, (9.7), Joules lag genom (3.8), och den ideala gaslagen, (3.5), ger, dt ds = c v T + R dv v. (9.10) På samma sätt ger HS1 med HS2 för entalpin, (9.8), Joules lag genom (3.11), och den ideala gaslagen, (3.5), dt ds = c p T R dp p. (9.11) Ekv (9.10) och (9.11) ger, tillsammans med ekv (3.12), ds = c v dp p + c p dv v. (9.12) Om c v och c p är konstanta kan ekv (9.10), (9.11) och (9.12) integreras till olika logaritmiska uttryck för ändliga ändringar i entropin i en ideal gas m h a ekv (A.3) Isentropa processer Detta avsnitt avser enbart ideala gaser och förutsätter att c v och c p är konstanta. När γ = c p /c v är konstant kan ekv (9.12) med ds = 0 integreras vilket ger, pv γ = konstant, när s = konstant. (9.13) Med hjälp av den ideala gaslagen, ekv (3.5), erhålls nu, T v γ 1 = konstant och T γ p γ 1, när s = konstant, (9.14 & 9.15) som kan också härledas direkt från ekv (9.10) respektive ekv (9.11). Definitionen av entropi, ekv (9.3), innebär att isentropa processer är adiabatiska och internt reversibla så ekv (9.13) och (9.14) är identiska med ekv (3.20), (3.21) och (3.22) i avs Se ekv (3.23) för det arbete som utförs under en isentropisk process. 2.3 Verkliga gaser Detta avsnitt är på gränsen till överkurs. Ett relativt enkelt exempel på en gaslag, eller modell, med ett användningsområde som är större än den ideala gränsen, är van der Waals gaslag, ( p + a v 2 ) (v b ) = R T, (4.10) eller, (p + av 2 ) (v b) = RT. (4.11) I motsats till den allmänna gaskonstanten, R, kommer parametrarna a och b att bero på vilken gas som modelleras. Notera att notationen a och b inte är standard. Van der Waals gaslag kan kalibreras vid den kritiska punkten och ger då en relativt grov överensstämmelse med en reltativt stor del av p-v -T ytan. Alternativet är en noggrannare kalibrering i en mer begränsad del av p-v -T ytan, t ex ett övergångsområde till den ideala gränsen. 17

18 3 Strömning genom öppna system Detta avsnitt behandlar både ren strömning, t ex genom dysor, och strömning genom maskiner som turbiner, pumpar och kompressorer. 3.1 Klassisk termodynamik för öppna system Klassisk termodynamik (avs 1) tillämpas på tidsoberoende (stationär) strömning genom öppna system (avs 1.1, s 4) Energibudgeten för öppna system I detta avsnitt tillämpas den första huvudsatsen på tidsoberoende (stationär) strömning genom ett öppet system. Massflödet genom det öppna sytemet ges av, ṁ = ϱva, (5.1) där A är tvärsnittsarean. Genom att tillämpa HS1, ekv (2.1) med ekv (2.2), på en stor fluidpartikel, en sk Lagrangsk kontrollvolym, som sträcker sig från inloppet till utloppet av systemet, erhålls, ( u v2 + gz ) = q (pv) w axel. Här är (pv) = (p/ϱ) det sammanlagda resultatet av det arbete som utförs av tryckkrafter vid in- och utloppen. Det övriga arbetet som utförs av fluiden i systemet, w axel, kallas tekniskt arbete eller axelarbete, och betecknar, t ex, det arbete som utvinns ur fluiden som strömmar genom en turbin. I termer av entalpi, h = u + pv, ekv (2.14), blir ekvationen ovan, ( h v2 + gz ) = q w axel, (5.9) som är den form i vilken HS1 brukar skrivas för öppna system. Genom att jämföra ekv (5.9) med ekv (2.1), eller ekv (2.5), kan man påstå att entalpi, h, spelar den roll i energibudgeten för öppna system som inre energi, u, spelar i energibudgeten för slutna system, åtminstone beräkningsmässigt Entropibudgeten för öppna system När entropibudgeten, ekv (9.4), skrivs ned för en kontrollvolym som omfattar hela det öppna systemet erhålls entropibudgeten för tidsoberoende strömning, ṁ s = ṁ (s ut s in ) = Q T rand + σ, (9.9) där ṁ är det konstanta massflödet genom systemet. Entropiproduktionshastigheten, σ, erhåller positiva bidrag från friktion, d v s viskösa skjuvkrafter i strömningen. 18

19 3.1.3 Strömningsexergi Exergiflödet i strömrörsströmning in i, eller ut ur, ett öppet system ges av ṁa f där a f är den specifika flödes eller strömningsexergin som kan skrivas, a f = h h v2 + g(z z 0 ) T 0 (s s 0 ). (13.11) Här är h 0 och s 0 de värden som entalpin och entropin skulle ha i det s k döda tillståndet i vilket temperaturen och trycket är lika med omgivningens temperatur, T 0, och tryck, p 0. Med utgångspunkt i uttrycket för strömningsexergi, a f, i ekv (13.11) leder energibudgeten, ekv (5.9) för (h v2 + gz), och entropibudgeten, ekv (9.9) för s, till exergibudgeten, ( a f = 1 T ) 0 q w axel T 0 σ T rand ṁ. (13.14) Den sista termen, T 0 σ/ṁ, är den specifika destruktionen av exergi i icke-reversibla delprocesser. 3.2 Inkompressibel strömning I inkompressibel strömning kan den strömmande fluiden modelleras som inkompressibel materie, avs 2.1.2, och uttrycket för entalpin (4.8) gör det möjligt att dela energin in i dels mekanisk energi och dels termisk eller inre energi. Ekvationen för den mekaniska energin kan skrivas, ( ) 1 ϱ p v2 + gz medan ekvationen för den inre energin kan skrivas, = w axel w diss, (5.15) u = q + w diss. (5.17) I högerledena betecknar w diss energiförluster per enhetsmassa i systemet som innebär en överföring av energi från mekanisk energi till inre energi. För friktionsfri strömning, leder ekvation (5.15) till, ( ) 1 ϱ p v2 + gz d v s den s k energiformen av Bernoullis lag. 3.3 Kompressibel strömning = 0, (5.16) Detta avsnitt behandlar ren strömning (w axel = 0) i vilken det förekommer betydelsefulla variationer i masstäthet, ϱ. Diffusiv värmeöverföring antas vara försumbar och avsnittet behandlar enbart adiabatisk strömning (q = 0). Dessutom antas strömningen vara reversibel vilket innebär dels att strömningen måste kunna approximeras som 19

20 friktionsfri och dels att det inte får förekomma några stötvågor. (Se avs nedan.) De termodynamiska processerna i gasen är då både adiabatiska och reversibla vilket innebär att de är isentropa (avs 1.8). Den fluid som strömmer kompressibelt antas vara en gas, eller en blandning gaser. Det främsta antagandet som görs om denna gas är att den uppför sig som en ideal gas i strömningen och detta avgränsas ytterligare till en ideal gas med konstant γ = c p /c v Energi och Machtal I adiabatisk strömning, q = 0, och energibudgeten, (5.9), för stationär strömning utan inverkan av tyngdkraften blir, ( h v2) = 0 h v2 = konstant. (6.4) För att erhålla behändiga beräkningsformler ersätts konstant i HL med värdet hos VL, h+ 1 2 v2, i stagnationstillståndet och strömningshastigheten, v, skrivs om med hjälp av machtalet, M. Machtalet defineras av M = v a. (6.1) där ljudhastigheten, a, ges generellt av, a 2 = ( ) p ϱ rev,ad = ( ) p. (6.2) ϱ s I en ideal gas med konstant γ = c p /c v leder ekv (3.22) eller ekv (9.13) till, a = γ p ϱ = γrt, (6.3) där den ideala gaslagen, ekv (3.5), har använts för att ta fram det andra uttrycket. Stagnationstillståndet p 0, T 0, ϱ 0 o s v där v 0 = 0 M 0 = 0. Det isentropa stagnationstillståndet defineras som det tillstånd som gasen skulle befinna sig i efter en adiabatisk och reversibel, d v s isentrop, inbromsning till vila, v 0 = 0 och M 0 = 0. När strömningen är inte enbart adiabatisk utan även reversibel är det behändigt att skriva energibudgeten, (6.4), på formen, där h 0 är stagnationsentalpin. h v2 = h 0, (6.5) 20

21 Adiabatisk reversibel strömning av en ideal gas med konstant γ = c p /c v. Joules lag (3.11) används, tillsammans med ekv (3.14) och (6.3), för att skriva om energibudgeten (6.5) som en beräkningsformel för T/T 0 som funktion av M, T T 0 = [ (γ 1) M2] 1. (6.6) Någon av ekvationerna (3.21) och (9.14), p T γ/(γ 1), leder vidare till, p p 0 = [ (γ 1) M2] γ/(γ 1), (6.7) och den ideala gaslagen, (3.5), eller någon av ekvationerna (3.20) och (9.14), ger till slut, ϱ ϱ 0 = [ (γ 1) M2] 1/(γ 1). (6.8) Uttrycken, eller funktionerna av M, i ekv (6.6) (6.8) är lika med 1,0 när M = 0 (= M 0 ) och avtar sedan monotont när M ökar genom 1,0 till. Numeriska värden erhållna med formlerna (6.6) (6.8) återges i Tabeller för isentrop strömning i bilaga C.1. Ekvation (6.6) kan också härledas från Eulers ekvation för stationär strömrörsströmning. En första integral av Eulers ekvation är, γ p γ 1 ϱ v2 = konstant, (6.9) vilket kan sägas vara Bernoullis lag för kompressibel strömning. Den ideala gaslagen (3.5) och uttrycket (6.3) för ljudhastigheten leder sedan till ekv (6.6) ovan Dysströmning Detta avsnitt behandlar strömning genom en konvergent divergent dysa, en s k Lavaldysa. Masskonservering tillämpas på stationär strömning i ett strömrör och och leder till, (M 2 1) dv v = da A, (6.11) med hjälp av uttrycken för massflödet (5.1), ljudhastigheten (6.3) och machtalet (6.1) tillsammans med Eulers ekvation. Ekvation (6.11) visar att det finns tre olika fall eller möjligheter med klart skilda strömningsbilder. underljudsströmning, M < 1. Hastigheten ökar när tvärsnittsarean minskar och hastigheten minskar när tvärsnittsarean ökar. Detta förhållande känns igen från inkompressibel strömning. överljudsströmning, M > 1 Hastigheten minskar när tvärsnittsarean minskar och hastigheten ökar när tvärsnittsarean ökar. Detta är tvärtom inkompressibel strömning. När tvärsnittsarean, A, minskar ökar masstätheten, ϱ, och gasen komprimeras. När tvärsnittsarean, A, ökar minskar masstätheten, ϱ, och gasen expanderar. 21

22 strömning med ljudhastigheten, M = 1 och v = a. Enligt ekv (6.11) kan detta ske enbart där tvärsnittsarean har ett minimum (eller ett maximum). Strömningen i dysan i övrigt bestämmer om strömningshastigheten ökar, minskar, eller går genom ett maximum eller minimum i halsen. Det kritiska tillståndet p, T, A o s v där M = 1 v = a. Detta referenstillstånd defineras som det tillstånd som gasen skulle befinna sig i efter en adiabatisk och reversibel, d v s isentrop, fartökning eller inbromsning till strömning med ljudhastigheten. Med hjälp av beräkningsformlerna (6.6) (6.8) kan stagnationstillståndet och det kritiska tillståndet enkelt relateras till varandra. Den mest betydelsefulla storheten i det kritiska tillståndet är dock referensarean A som inte har någon motsvarighet i stagnationstillståndet. Masskonservering tillsammans med uttrycken ovan för T/T 0 (6.6) och ϱ/ϱ o (6.8) ger, A A = 1 M { } (γ+1)/(2(γ 1)) (γ 1) M2 2. (6.12) (γ + 1) 1 2 I en figur där A/A visas som funktion av M liknar kurvan den ena sidan av en konvergent divergent dysa med ett minimum A = A vid M = 1. För varje värde hos A/A ger ekvation (6.12) två värden hos M; ett med M < 1 och ett med M > 1. Numeriska värden fär A /A inkluderas i Tabeller för isentrop strömning i bilaga C.1. Strypt dysströmning M hals = M = 1 och A hals min A = A. Ekvation (6.11) ovan visar att gas kan expanderas från underljudshastighet till överljudshastighet i en konvergent divergent dysa om de drivande tryckförhållandena är lämpligt valda. Gasen måste passera genom det kritiska tillståndet (M = M = 1) i dysans hals där tvärsnittsarean är minst och dysans konvergenta del övergår i dess divergenta del. Massflödet i strypt dysströmning är det maximalt möjliga massflödet genom dysan under de förutsättningar som gäller i detta avsnitt. Strömningen genom dysan sägs vara strypt (eng.: choked). Uttrycket (6.3) för ljudhastigheten i en ideal gas med konstant γ = c p /c v tillsammans med formlerna (6.6) och (6.8) ger, γ ṁ strypt = p 0 RT 0 ( 2 γ + 1 (Den ideala gaslagen (3.5) har använts för att ersätta ϱ 0 med p 0.) Stötvågor ) (γ+1)/(γ 1) 1/2 A. (6.13) Strömningen är stationär i stötvågens viloram och de tre grundprinciperna masskonservering, Newtons 2:a lag genom den s k kraftekvationen, och den första huvudsatsen (6.4) leder till, ϱ 1 v 1 = ϱ 2 v 2 22

23 p 1 + ϱ 1 v 2 1 = p 2 + ϱ 2 v 2 2 h v2 1 = h v2 2 där 1 betecknar tillståndet och strömningen uppströms stötvågen och 2 betecknar tillståndet och strömningen nedströms. För en ideal gas med konstant γ = c p /c v skrivs dessa ekvationer om med hjälp av den ideala gaslagen (3.5), Joules lag (avs 2.2.2) och uttrycket (6.3) för ljudhastigheten. Efter en hel del algebraiska manipulationer leder de omskrivna ekvationerna till beräkningsformler för nedströmsstorheter som funktioner av machtalet uppströms; och, M 2 2 = 1 + γ 1 γ+1 (M2 1 1) 1 + 2γ γ+1 (M2 1 1), T 2 T 1 = 1 M 2 1 ϱ 2 ϱ 1 = p 2 [ 1 + γ 1 γ+1 (M2 1 1) ] [ 1 + 2γ γ+1 (M2 1 1) ], M γ 1 γ+1 (M2 1 1), = 1 + 2γ γ+1 p (M2 1 1). (10.7) 1 För M 1 > 1,0 är kvoterna p 2 /p 1, T 2 /T 1 och ϱ 2 /ϱ 1 alla större än 1,0. Stötvågen är en plötslig kompression som rör sig med överljudshastighet i uppströmsgasens viloram. Kvoterna p 2 /p 1, T 2 /T 1 och ϱ 2 /ϱ 1 ökar relativt kraftigt när M 1 ökar med M 1 > 1,0. Numeriska värden erhållna från dessa beräkningsformler återges i bilaga C.2. En stötvåg är inte en reversibel process så det isentropa stagnationstillståndet nedströms stötvågen kommer inte att vara det samma som det isentropa stagnationstillståndet uppströms. En jämförelse av entalpiekvationen ovan med ekv (6.5) visar dock att h 0,2 = h 0,1. För en ideal gas med konstant γ = c p /c v leder h = 0 tillsammans med Joules lag (3.11) till T 0,2 = T 0,1. Kvoten mellan stagnationstrycken nedströms och uppströms stötvågen kan därmed beräknas med hjälp av p T γ/(γ 1) (3.21, 9.14), p 0,2 = p ( ) γ/(γ 1) 2 T2. (10.9) p 0,1 p 1 T 1 För M 1 > 1,0 är p 0,2 < p 0,1 och kvoten p 0,2 /p 0,1 avtar först långsamt och sedan kraftigt när M 1 ökar med M 1 > 1,0. Numeriska värden för p 0,2 /p 0,1 inkluderas i Stötvågstabeller i bilaga C.2. Eftersom stagnationstillståndena nås genom adiabatiska och reversibla inbromsningar kan ändringen i entropi över stötvågen beräknas genom att tillämpa ekv (9.11) på just stagnationstillståndena, ) s 2 s 1 = R ln ( p0,2 p 0,1, (10.10) eftersom T 0,2 = T 0,1. För M 1 > 1,0 är s > 0 även om kvoten s/r är mycket liten. Denna kvot växar först mycket långsamt och sedan kraftigare när M 1 ökar med M 1 > 1,0. För M 1 < 1,0 skulle s < 0 vilket visar att en plötslig expansion är omöjlig. 23

24 3.4 Kraftekvationen För stationär strömning genom en kontrollvolym med ett inlopp och ett utlopp leder Newtons andra lag (F = ma) till, F = ṁut v ut ṁ in v in = ṁ v, där Σ F är summan av alla krafter som verkar på gasen i kontrollvolymen, inklusive tryckkrafter. Observera att kraftekvationen är en vektorekvation. För kompressibel strömning är det ofta behändigt att skriva om rörelsemängdsflödet, ṁv, med hjälp av machtalet (6.1), idealgasuttrycket för ljudhastigheten (6.3) och den ideala gaslagen (3.5). 24

25 4 Analys av kretsprocesser, m m Termodynamik, avs 1, tillsammans med teorin för ideala gaser, avs 2.2, används för att konstruera enkla modeller för förbränningsmotorer, kylprocesser, värmepumpar, m m. Det s k arbetsmediet i dessa modeller är en ideal gas som oftast har samma specifik gaskonstant och samma specifika värmekapaciteter som luft. Detta arbetsmedium genomlöper ett antal reversibla delprocesser som tillsammans bildar en krets. Delprocesserna hör ofta till den lista över enkla processer som ges på sida 5 vid slutet av avs 1.1. Kretsprocesser som modellerar kylprocesser och värmepumpar genomlöpes åt andra hållet än dem som modellerar motorer, d v s moturs i stället för medurs i p-v - och T -S-diagrammen. Kylprocesser och värmepumpar utnyttjar ofta fasomvandling för att åstadkomma höga värmeöverföringshastigheter. Beroende på vilken kretsprocess som ska analyseras kan det ibland vara fördelaktigt att skriva om uttrycket för verkningsgraden, ekv (7.3), m h a HS1, ekv (7.2); η = W ut,netto Q in = Q in Q ut Q in = 1 Q ut Q in. (8.3) 4.1 p-v -diagrammet I p-v -diagrammet, med dess vågrätta V -axel och lodrätta p-axel, representeras isobara processer av vågrätta raka linjer och isokora processer av lodrätta raka linjer. Enligt den ideala gaslagen, ekv (eqidealgasclosed), är pv konstant under isoterma processer i en ideal gas så dessa processer representeras av hyperboler i p-v -diagrammet. Under en isentropisk process i en ideal gas är pv γ konstant, ekv (9.13), när γ = c p /c v är konstant, så isentropiska processer representeras av kurvor i p-v -diagrammet som inte är helt olika de hyperboler som representerar isoterma processer. 4.2 T -S-diagrammet I T -S-diagrammet, med dess vågrätta S-axel och lodrätta T -axel, representeras isoterma processer av vågrätta raka linjer och isentropa processer av lodrätta raka linjer. Isobara processer och isokora processer kräver lite mer analys. Under en isokor process i en ideal gas leder ekv (9.10), eller ekv (9.3) med ekv (2.10), till ds v = mc v dt v T dt v = T ds v mc v. (9.16) Under en isobar process i en ideal gas leder ekv (9.11), eller ekv (9.3) med ekv (2.11), till ds p = mc p dt p T dt p = T ds p mc p. (9.17) Under båda isokora och isobara processer i en ideal gas med konstanta värmekapaciteter växer T exponentiellt med S, T exp(s/mc). Eftersom c p > c v är isokorer brantare än isobarer. 25

26 4.3 Carnotkretsen Carnots kretsprocess består av två reversibla isoterma processer och två isentropa processer, vilket innebär att all värmeöverföring sker isotermt, antingen vid T = T max eller vid T = T min. Som värmemotor har kretsprocessen verkningsgraden, η Carnot = 1 T min T max = η optimal. (8.6) Jämför ekv (7.6). Eftersom all värmeöverföring sker just isotermt är Carnots kretsprocess den kretsprocess som motsvarar en reversibel generell värmemotor som i avs 1.6. När arbetsmediet är en ideal gas är temperaturerna i ekv (8.6) uppmätta på idealgastemperaturskalan. Överensstämmelsen mellan ekv (8.6) och ekv (7.6) visar att idealgastemperaturskalan överensstämmer med den fundamentala termodynamiska temperaturskalan, avs Stirling- och Ericssonkretserna Stirling-kretsprocessen består av två reversibla isoterma processer och två reversibla isokora processer. Dess verkningsgrad ligger under den generellt optimala men den sammansatta reversibla motorn, arbetscylindern med fullkomlig regenerator, uppnår den generellt optimala verkningsgraden, ekv (7.6). Ericsson-kretsprocessen består av två reversibla isoterma processer och två reversibla isobara processer. Dess verkningsgrad ligger under den generellt optimala men den sammansatta reversibla motorn, arbetscylindern med fullkomlig regenerator, uppnår den generellt optimala verkningsgraden, ekv (7.6). 4.5 Otto- och Dieselkretserna Den ideal air-standard Otto cycle är en reversibel kretsprocess som består av adiabatisk kompression, snabb uppvärmning vid konstant volym, ett adiabatiskt arbetsslag, samt isokor återgång till början av kompressionen. Dess verkningsgrad är, η Otto = 1 ( Vmin V max ) γ 1 = 1 r (γ 1), (8.5) och beror enbart på kvoten r = V max /V min som kallas kompressionsförhållandet. Den ideal air-standard Diesel cycle är en reversibel kretsprocess som består av adiabatisk kompression, tillförsel av värme vid konstant tryck, ett adiabatiskt arbetsslag, samt isokor återgång till början av kompressionen. 26

27 A Matematik För beräkningar av p-v arbete, entropiändringar med mera krävs fyra enkla integraler; x2 x 1 f(x) dx = 0 när x 2 = x 1 (A.1) och f är någorlunda snäll ; när f är oberoende av x; och, x2 x 1 f dx = f (x 2 x 1 ), (A.2) x2 ( ) 1 x 1 x dx = ln x2, (A.3) x 1 x2 x 1 1 x n dx = 1 n 1 ( 1 x n ) x2 n 1, (A.4) när n 1. Exakta differentialer, d v s oändligt små ändringar som t ex df och dx, presenteras i ekv (7.15) och Sats 7.6a i Analytiska metoder II av Eike Petermann. De satisfierar vanliga räkneregler för derivator; d(f + g) = df + dg (A.5) d(fg) = g df + f dg (A.6) d (f(x)) = df dx dx (A.7) Den sista, ekv (A.7), är ett specialfall av ekv (A.8) nedan. Partiella derivator presenteras i Analytiska metoder II, särskilt i Exempel 5.5. Den grundläggande ekvationen för enkla system är, dx = ( x y ) z dy + ( ) x dz. z y För förändringar med konstant z, dz = 0 och ekv (A.8) blir, ( ) x dx z = dy z. y z Lägg märke till notationen för konstant z, dx z, respektive ( ) x y Genom att använda ekv (A.8) två gånger om erhålls, och, ( x y ( ) x y z ) z ( y x ( ) y z x ) z ( ) z x y z. (A.8) (A.9) = 1, (A.10) = 1. (A.11) 27

28 B Fysikaliska data Allmänna fysikaliska konstanter accelerationen p g a tyngdkraften g = 9,81 m/s 2 standard atmosfärstryck p atm = 101,3 kpa den allmänna gaskonstanten R = 8314,5 J/(kmol K) Vanliga gaser symbol molmassa, M argon Ar 39,94 kg/kmol helium He 4,003 kg/kmol koldioxid CO 2 44,01 kg/kmol kolmonoxid CO 28,01 kg/kmol kväve N 2 28,01 kg/kmol luft 28,97 kg/kmol metan CH 4 16,04 kg/kmol syre O 2 32,00 kg/kmol vattenånga H 2 O 18,02 kg/kmol Luft (standard torr luft) R = 287,0 J/(kg K) c v = 717,5 J/(kg K) c p = 1004,5 J/(kg K) Vatten vid atmosfärstryck h smält = 334 kj/kg medan h fg = kj/kg. Masstäthet och specifik värmekapacitet temperatur ϱ c p 0 C 1000 kg/m 3 4,22 kj/(kg K) 10 C 1000 kg/m 3 4,19 kj/(kg K) 20 C 998 kg/m 3 4,18 kj/(kg K) 30 C 996 kg/m 3 4,18 kj/(kg K) 100 C 958 kg/m 3 4,22 kj/(kg K) 28

29 C Numeriska tabeller Denna bilaga innehåller dels tabeller för isentrop strömning i avsnitt C.1 och dels stövågstabeller i avsnitt C.2 med början på sida 34. Tabellerna för isentrop strömning visar numeriska värden för temperaturkvoten T/T 0 enligt ekv (6.6), för tryckkvoten p/p 0 enligt ekv (6.7), för kvoten mellan masstätheter ϱ/ϱ 0 enligt ekv (6.8), och för kvoten mellan tvärsnittsareor A /A enl ekv (6.12). De numeriska värdena redovisas med machtalet M som parameter och förutsätter att γ = c p /c v = 1,4000. Stövågstabellerna visar numeriska värden för temperaturkvoten T 2 /T 1, för tryckkvoten p 2 /p 1 enligt ekv (10.7), för kvoten mellan stagnationstryck p 0,2 /p 0,1 enligt ekv (10.9), och för nedströmsmachtalet M 2. De numeriska värdena redovisas med uppströmsmachtalet M 1 som parameter. Se avsnitt Numeriska värden för kvoten mellan masstätheter ϱ 2 /ϱ 1 ges av den ideala gaslagen (3.5): p = ϱrt p 2 p 1 = ϱ 2 ϱ 1 T2 T 1 ϱ 2 ϱ 1 = p 2/p 1 T 2 /T 1. Alla numeriska värden i tabellerna förutsätter att γ = c p /c v = 1,

30 C.1 Tabeller för isentrop strömning M T/T 0 p/p 0 ϱ/ϱ 0 A /A 0,00 1, , , , ,01 0, , , , ,02 0, , , , ,03 0, , , , ,04 0, , , , ,05 0, , , , ,06 0, , , , ,07 0, , , , ,08 0, , , , ,09 0, , , , ,10 0, , , , ,11 0, , , , ,12 0, , , , ,13 0, , , , ,14 0, , , , ,15 0, , , , ,16 0, , , , ,17 0, , , , ,18 0, , , , ,19 0, , , , ,20 0, , , , ,21 0, , , , ,22 0, , , , ,23 0, , , , ,24 0, , , , ,25 0, , , , ,26 0, , , , ,27 0, , , , ,28 0, , , , ,29 0, , , , ,30 0, , , , ,31 0, , , , ,32 0, , , , ,33 0, , , , ,34 0, , , , ,35 0, , , , ,36 0, , , , ,37 0, , , , ,38 0, , , , ,39 0, , , , ,40 0, , , , ,41 0, , , , ,42 0, , , , ,43 0, , , , ,44 0, , , , ,45 0, , , , ,46 0, , , , ,47 0, , , , ,48 0, , , , ,49 0, , , ,73558 M T/T 0 p/p 0 ϱ/ϱ 0 A /A