Energitekniska formler med kommentarer

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Energitekniska formler med kommentarer"

Transkript

1 Energitekniska formler med kommentarer Energiteknik del 2 Anders Bengtsson 19 januari 2011 Sammanfattning Det finns egentligen inga formler som alltid kan användas. Med en formel tänker man sig ofta en kombination av bokstäver som man hittar i en formelsamling som man stoppar in siffror i för att räkna ut ett svar. Men så fungerar det inte. En formel är alltid omgiven av en berättelse som talar om vad den kan användas till och hur den ska användas. En formel måste anpassas till ett sammanhang. Att lösa problem handlar om att berätta den berättelsen! Ni har sett att det är så jag gör på tavlan. Jag skulle kunna räkna genom alla uppgifter hemma och sedan på tavlan bara skriva ner det rätta formlerna, stoppa in siffrorna och sedan knappa på räknaren. Då skulle vi hinna många uppgifter. Men skulle ni lära er något? Jag tror inte det. När jag löser ett problem berättar jag en berättelse. Jag ritar figurer, jag tar reda på vad vi vet om systemet, inte bara givna data, utan också annat som inte uttrycks i siffror i uppgiftstexten. Jag tar reda på vad som ska räknas ut. Jag försöker förstå hur systemet fungerar egentligen. Så småningom klarnar det vilka formler som kan anpassas till och tillämpas på problemet. Att skriva en formelsamling blir då också att berätta en historia. Den kommer här. 1

2 1 Enkel modell för energitekniska system Figuren visar en starkt schematiskt modell av ett värmetekniskt system där energiutbytet med systemets omgivning i form av värme och arbete visas. W in U Q in Q ut W ut Figur 1: Modell av värmetekniskt system. Här räknas energiflödena positiva i pilarnas riktning. Energiprincipen (termodynamikens första lag) Energi kan inte skapas eller förintas, bara omvandlas mellan olika former. Tillämpat på ett värmetekniskt system där vi räknar på energiformerna värme och arbete blir energibalansen Q in + W in Q ut W ut = U (1) Netto-inflödet (utflödet) av olika energiformer till systemet ger en ökning (minskning) av den inre energin: U > 0 ( U < 0). Vi räknar netto-värme som tillförs systemet positivt, och nettoarbete som systemet uträttar på omgivningen som positivt 1 Q in Q ut = Q (2) W ut W in = W (3) 1 Ibland räknas arbete som uträttas av systemet på omgivningen istället som negativt, men det ger mer krångel med minustecken. 2

3 Energiprincipen kan då skrivas som Q = U + W (4) Ett värmetekniskt system sägs befinna sig i olika tillstånd som karakteriseras av olika tillståndsvariabler. Exempel för en gas kan vara tryck, volym och temperatur. När tillståndet förändras talar man om en process. 2 Beräkning av värmeutbytet ( Q) med omgivningen Hur stort värmeutbytet med omgivningen blir vid en process beror på hur processen går till. Q är alltså ingen tillståndsvariabel, utan snarare en processvariabel. I det fall att inget annat energiutbytet sker med omgivningen, det vill säga då W = 0, ger energiprincipen att Q = U. Då gäller för många system med hög noggrannhet att U = c m T (5) Här är c den så kallade specifika värmekapaciteten. Den mäts i J/kgK. I denna form används formeln för fasta ämnen och vätskor, som ju inte utvidgas så mycket vid en temperaturhöjning (det uträttade arbetet kan försummas). För gaser är det lite mer komplicerat som vi strax ska se. Formeln (5) kan också skrivas U = C n T (6) där nu stora C är den molara specifika värmekapaciteten och n är antalet mol materia. C mäts således i J/molK. Denna form användes mest för gaser. För gaser som kan ändra sin volym kraftigt vid uppvärmning, måste man räkna med olika värmekapaciteter beroende på om processen sker vi konstant volym eller vid konstant tryck. Mer om detta senare. Kontentan av allt detta är att vid uppvärmningsprocesser där systemets volym inte ändras (inget arbete uträttas) så har man i praktiken Q = C n T eftersom då gäller Q = U. Lägg dock märke till att detta är korrekt bara om inget annat energiutbyte än värmeutbyte sker med omgivningen. Och som sagt, för gaser har man 3

4 lite mer speciella formler. Varning! Överhuvudtaget är beräkning av värmeutbyten och arbeten i allmänhet mer komplicerat är jag beskriver här. Problemet ligger i att värmetekniska system beskrivs av ett antal tillståndsvariabler (tryck, volym, temperatur, materiamängd) som alla i egentligen varierar mer eller mindre under olika typer av processer. För att göra det hela hanterligt räknar man därför på processer under vilka olika variabler antas vara konstanta (oförändrade). Dessutom definieras en uppsättning tillståndsfunktioner såsom exempelvis entalpi, entropi och exergi som är användbara i många sammanhang. I en första kurs är det dock inte vettigt att gå in på allt detta. Som ytterligare komplikationer har vi sådant som öppna och slutna system, reversibla och irreversibla processer. Kring detta har mycket förvirrat och felaktigt skrivits i literaturen, att behandla det korrekt och begripligt får vi vänta med. Vad som följer är förenklat men korrekt. Den större berättelsen kommer i det fjärde häftet Termodynamikens andra lag. Gaser Orsaken till att gaser är så vanliga i värmetekniska sammanhang är att de är det aktiva mediet i många värmemaskiner. Förbränningsmotorn är ett tydligt exempel. Hjärtat i en sådan är ett kolv&cylindersystem. I en första fas sugs en bränsle-luft blandning in i cylindern under volymexpansion. Därefter komprimeras blandningen. Sedan antänds blandningen (värme tillförs) och förbränningsgaserna expanderar (systemet uträttar arbete). I nästa fas minskar volymen igen och avgaserna pressas ut ur systemet. Därefter upprepas processen. Detta är givetvis förenklat, men ger principen för en fyrtakts bensinmotor. I alla de här beskrivna delprocesserna sker energiutbyte med omgivningen. Totalt har vi en kretsprocess, den upprepar sig regelbundet, eller cykliskt. Efter en cykel är systemet tillbaka i ursprungstillståndet och processen upprepas. Tillståndsvariabler för en gas är tryck p, volym V, temperatur T samt antal molekyler n. Mellan dessa variabler gäller en tillståndsekvation. Experimentellt har man kommit fram till att den allmänna gaslagen gäller med stor noggrannhet för de flesta gaser under normala omständigheter vad gäller tryck och temperatur pv = nrt (7) 4

5 Här mäts trycket i N/m 2 eller Pa, volymen i m 3, temperaturen i K och antalet molekyler i mol. R är den allmänna gaskonstanten som har värdet R = 8, 314 J/molK (8) Lagen kallas också för ideala gaslagen eftersom den faktiskt kan härledas från grundläggande (förenklande=ideala) antaganden om gasmolekylernas rörelse. För ideala gaser gäller dessutom ytterligare några enkla lagar. Exempelvis beror den inre energin enbart på temperaturen. Lägg dock märke till att om man har en blandning av gaser så gäller gaslagen för varje gas för sig. I en gasblandning är givetvis volymen och temperaturen de samma, men antalet gasmolekyler kan vara olika. Därmed får gaserna också olika så kallade partialtryck. Antalet molekyler mäts i mol. Notera att 1 mol = 6, stycken (9) Detta tal kallas för Avogadros tal. 2 3 Beräkning av arbete Arbete är heller ingen tillståndsvariabel utan en processvariabel. Arbetet beror alltså på vilken process man har. Låt oss studera ett enkelt kolv&cylinder-system med en ideal gas som arbetsmedium. p, V, n, T p, V, n, T dv Figur 2: Model av kolv& cylinder-system. 2 Somliga blir förvirrade över Avogrados tal. Det är helt enkelt en praktisk förkortning för ett stort antal precis som 1 dussin är en förkortning för 12 stycken och 1 tjog för 20 stycken. 5

6 Systemet är ritat i två lägen, i det andra har gasen pressat ut kolven ett litet stycke så att volymen ökat med dv. Symbolen d betyder en liten förändring på samma sätt som symbolen används för en större förändring. Det arbete som gasen uträttar under denna lilla volymförändring bestäms av dw = pdv (10) Man tänker sig alltså att trycket inte hinner ändras under en sådan liten volymförändring. För en större volymförändring, säg från volymen V A till volymen V B (så att V = V B V A ) måste man summera bidragen från alla små volymförändringar mellan V A och V B. Arbetet blir W = VB V A pdv (11) alltså en integral. Integralen används ju som vanligt när vi vill summera något som varierar. För att kunna räkna ut just denna integral måste vi veta hur trycket p beror på volymen V. Vi ska göra det nedan för ett antal typiska processer. Notera först att alla symbolerna hänger ihop fint och snyggt V = VB V A dv = [ ] VB V = V B V A (12) V A precis som det ska. Här ser vi en (större) volymförändring V som en summa av många små dv. 3.1 Isokor process, konstant volym Tänk på en gas i en stålflaska. I en sådan kan volymen inte ändras. Eftersom volymen är konstant ( V = 0) uträttas inget arbete W = W A B = 0 (13) varför värmeutbytet är lika med ändringen i inre energi Q = U. Tryckökningen leder till en temperaturhöjning som kan beräknas via gaslagen T = V A p nr = V A(p B p A ) (14) nr Eftersom inre energin U för en ideal gas enbart beror på temperaturen T kan man beräkna den som 6

7 P P B B P A A V A =V B V Figur 3: Isokor process. U = c v m T (15) Därmed kan även värmeutbytet beräknas till Q = Q B A = c v m T (16) Detta är den ekvation man oftast ser. Man säger att systemet absorberar värme Q = Q A B isokort. I dessa ekvationer står c v för den specifika värmekapaciteten vid konstant volym. Viktigt att förstå! Man måste ha klart för sig att inget värme lagras upp av gasen. Värme är en energiform som enbart kan flöda, eller strömma, inte lagras. Värme tillförs alltså gasen. Det som däremot lagras är inre energi. Högersidorna i formlerna 15 och 16 ser likadana ut, och ger samma numeriska resultat, men deras betydelser är olika. Om processen går åt andra hållet, så att man istället har en trycksänkning, minskar inre energin och systemet lämnar värme till omgivningen. 3.2 Isobar process, konstant tryck Tänk på en gas i en ballong. Trycket bestäms av trycket i omgivningen. Eftersom trycket är konstant ( p = 0) kan det uträttade arbetet beräknas enkelt W A B = VB V A pdv = p A VB V A dv = p a (V B V A ) = p a V (17) 7

8 P A B P A =P B V A V B V Figur 4: Isobar process. Volymökningen leder till en temperaturhöjning som kan beräknas via gaslagen T = p A V nr = p A(V B V A ) (18) nr Detta samband mellan V och T (som gäller vid konstant tryck) kan användas för att beräkna det isobara arbetet enligt W A B = nr T (19) Systemet absorberar nu värme Q = Q A B isobart Q = Q A B = c p m T (20) där man nu räknar med en isobar specifik värmekapacitet c p. Av historiska och praktiska skäl räknar man på detta sätt, men notera att systemet inte lagrar upp hela denna energimängd i form av inre energi. Istället uträttas ett arbete på omgivningen. Det absorberade värmet leder till en höjning av den inre energin som även i detta fall (för en ideal gas) kan beräknas via U = c v m T. Samtidigt uträttar gasen ett arbete på omgivningen W = p a V. Samband mellan c v och c p för en ideal gas Detta resonemang kan vi nu använda för att reda ut hur c v och c p hänger samman för en ideal gas. Det hela blir enklast om man räknar värmekapaciteterna per mol istället för per kg. Man använder då beteckningarna stora C v och stora C p, och man skriver för en isobar process Q = Q A B = C p n T (21) 8

9 där C p nu mäts i J/molK. Här kan man lägga märke till att detta är samma enhet som gaskonstanten R mäts i. Energiprincipen ger nu Q = U + W. Vi sätter in allt vi vet Ekvation (20) som gäller för isobart värmeutbyte Ekvation (15) som alltid gäller för en ideal gas Ekvation (19) som gäller för isobart arbete så får vi C p n T = C v n T + nr T (22) Vi ser att (korta bort den gemensamma faktorn n T) C p = C v + R (23) När man slår upp värmekapaciteter för gaser i tabellverk måste man ge noga akt på om det är C p, C v eller c p, c v som är angivet. Titta på enheterna. C mäts per mol, c mäts per kg. Ibland anges bara värmekapacitet vid konstant volym, ibland bara vid konstant tryck. Dessa är dock relaterade på ett enkelt sätt, nämligen via ekvation (23), så har man den ena kan man få fram den andra. Mer om stora C v och C p för en ideal gas När man försökte basera värmeläran på en mikroskopisk teori för hur molekylerna i en gas rör sig, kom man fram till att man måste räkna med att varje frihetsgrad för den enskilda molekylens rörelse bar på en fundamental, mycket liten, energimängd där k B är Boltzmanns konstant e = 1 2 k BT (24) k B = 1, J/K (25) Det är inte helt fel att tänka sig k B som ett mått på materiens fundamentala värmekapacitet. Det blir tydligare om man räknar inte för en enstaka frihetsgrad, utan för 1 mol frihetsgrader. Multiplicera alltså med Avogadros tal N A = 6, mol 1, då får man k B N A = 1, J/K 6, mol 1 = 8, 3144 J/Kmol vilket är precis gaskonstanten. För en mol frihetsgrader har vi alltså värmekapaciteten 9

10 E = 1 2 k BN A T = 1 RT (26) 2 Nu kan man börja räkna frihetsgrader för gasmolekyler. En enkel en-atomig molekyl har 3 frihetsgrader att röra sig i: Riktningarna x, y och z i rummet. Den inre energin för n mol en-atomiga gasmolekyler blir alltså U = 3 2 nrt U = 3 nr T (27) 2 Jämför nu denna formel med formeln U = C v n T så ser vi att stora C v för en en-atomig gas blir 3 2 R. C v = 3 2 R (28) För en två-atomig gas kan molykylerna även rotera i två riktningar (vilka?). Antalet fundamentala frihetsgrader är alltså 5, och stora C v för en två-atomig gas blir 5 2 R. Kvoten γ mellan värmekapaciteterna γ = C p C v = c p c v (29) spelar en roll i vissa sammanhang. Tabellen nedan sammanfattar användbar data för en- och två-atomiga ideala gaser. Ideal gas C p C v γ = C p /C v 1-atomig 5/2 R 3/2 R 5/3 = 1, 67 2-atomig 7/2 R 5/2 R 7/5 = 1, Isoterm process, konstant temperatur Man kan tänka sig att systemet står i god värmekontakt med en stor temperaturreservoar som håller T konstant under processen. Eftersom temperaturen är konstant ( T = 0) så ändras inte inre energin U = U A B = 0 (30) Enligt gaslagen ser vi då att tryck gånger volym är konstant p A V A = p B V B (31) 10

11 P P A A P B B V A V B V Figur 5: Isoterm process. Arbetet kan beräknas eftersom gaslagen också ger p = nrt/v VB VB dv W A B = pdv = nrt V A V A V [ ] VB = nrt ln V = nrt ln V B V A V A (32) Eftersom U = 0 absorberar systemet ett lika stort värme Q = Q A B = W A B men inget av detta värme lagras upp i systemet (kom ihåg T = 0 och därmed U = 0). Man kan se det som att systemet absorberar värme som helt och hållet går åt till att uträtta ett arbete på omgivningen. Om processen går åt andra hållet är det omgivningen som uträttar arbete på systemet som då avger värme till omgivningen. Detta framgår av att tecknen på W och Q i det fallet är negativa. Återigen ser vi att varken arbete eller värme kan lagras, enbart flöda in eller ut ur ett system. Det blir väldigt tydligt för isoterma processer för gaser där ingen energi alls kan lagras av gasen! 3.4 Adiabatisk process, inget värmeutbyte med omgivningen En process kan vara adiabatisk om systemet är väl isolerat mot omgivningen eller om processen sker snabbt jämfört med värmetransporten som i regel är ganska långsam. Vi har alltså Q = Q A B = 0 varför W = W A B = U (33) 11

12 P P A A B P B V A V B V Figur 6: Adiabatisk process. Systemet uträttar ett arbete och energin till detta tas från den inre energin. Vi kan också skriva detta i termer av små förändringar med hjälp av differentialer. 3 Vi har dq = du + dw = 0 där dw = pdv och alltså du + pdv = 0 (34) Även om processen inte sker vid konstant volym så kan vi använda (för en ideal gas) du = c v mdt för att beräkna ändringen i inre energi. Detta ger c v mdt + pdv = 0 eller dt = pdv c v m (35) Eftersom ingen av de variabler som ingår i gaslagen (utom antalet molekyler n) är konstant, blir det lite mer komplicerat här. Ändå går det att få fram ett samband mellan tryck och volym som kan utnyttjas för att beräkna arbetet. Vi börjar med att differentiera gaslagen d(pv ) = d(nrt) pdv + V dp = nrdt (36) Sätter man samman dessa två ekvationer, (35) och (36), kan man eliminera dt och får (1 + nr )pdv + V dp = 0 (37) c v m Använder man sig sedan av det samband mellan C v och C p som vi tog fram ovan, se ekvation (23), så kan man räkna fram att 3 En differential kan sägas vara en matematiskt liten förändring. 12

13 1 + nr c v m = γ (38) och vi får en ganska enkel ekvation för differentialerna γpdv + V dp = 0 eller γ dv V = dp p Det finns två sätt att lösa denna differentialekvation. (39) Metod 1 Man kan integrera den på följande vis γ dv V = dp p γ lnv = ln p + konstant (40) Använder man sedan logaritmlagarna, får man pv γ = k (41) där konstanten k kan beräknas i någon av processens ändpunkter k = p A V γ A = p BV γ B (42) Metod 2 En annan metod är att skriva ekvation (39) på formen dp dv = γ p (43) V Vi vill bestämma trycket p som en funktion av volymen V. Ekvationen frågar efter en funktion som har egenskapen att om man deriverar den med avseende på V, så är det samma sak som att dividera med V och multiplicera med en konstant γ. En sådan funktion är just p = kv γ (44) eftersom ju dp dv = kγv γ 1 och γ p V = kγv γ 1 Båda metoderna ger förstås samma lösning. Nu kan arbetet beräknas eftersom vi vet hur trycket beror på volymen, nämligen formel (44). Resultatet blir W A B = VB V A kv γ dv = k 1 γ 13 (V (1 γ) B V (1 γ) A ) (45)

14 Detta ser inte så trevligt ut. Som tur är kan uttrycket förenklas om man använder sig av formeln (42). Man får W A B = 1 1 γ (p BV B p A V A ) (46) Vi lämnar det som en övning att med hjälp av de samband som finns framme dessutom visa att detta är samma som c v m T (47) det vill säga inget annat än just U, vilket vi ju kunde ha sagt med en gång. Men nu ser vi en gengäld att allt hänger samman. 3.5 Sammanfattning processer för ideala gaser Energiprincipen gäller alltid: Q = U + W. I alla processer från A till B räknas differenser som X = X B X A Process A B Q = Q A B U = U A B W = W A B Isokor U c v m T 0 Isobar c p m T c v m T p V = nr T Isoterm W 0 nrt ln(v B /V A ) Adiabat 0 c v m T U Processerna kan gå åt båda hållen. För varje tillståndsvariabel (p, V, T,U) eller processvariabel (Q, W) kan variabel därför vara positiv eller negativ, beroende på vilken typ av process man tittar på (exempelvis expansion eller kompression ). 14

15 Process A B Ena hållet Andra hållet Isokor Tryckökning: Värme absorberas som lagras i en ökning av inre energin Trycksänkning: Värme avges, inre energin minskar motsvarande Isobar Isoterm Adiabat 4 Kretsprocesser Expansion: Värme absorberas som dels lagras i en ökning av inre energin, dels går till uträttat arbete Expansion: Värme absorberas som helt går till uträttat arbete Expansion: Arbete uträttas genom en sänkning av inre energin Kompression: Värme avges, inre energin minskar, arbete uträttas på systemet Praktiskt fungerande värmemaskiner måste arbeta cykliskt. Processer som upprepas cykliskt kallas för kretsprocesser. I ett pv-diagram kommer en kretsprocess att representeras av en sluten kurva. Ett varv runt i kretsprocessen kallas för en cykel. Typexemplet är en förbränningsmotor som genomgår en serie av faser eller delprocesser som upprepas regelbundet. Efter en viss tid är systemet tillbaka till utgångstillståndet. Man kan få en uppfattning om frekvensen för detta cykliska arbete genom att betänka att tomgångsvarvtalet för en typiskt bensinmotor är ca 2000 varv/minut. Under kretsprocessen absorberar systemet värme (detta betalar man för i form av bränsle) och uträttar arbete (detta är nyttan), men systemet kommer också att avge värme till omgivningen (detta är förluster varav en del tas tillvara för exempelvis kupévärme. I vissa faser av processen måste dessutom arbete uträttas på systemet (som när bränsleluft-blandningen i en bensinmotor komprimeras), detta arbete måste subtraheras från det uträttade arbetet. Tänker man såhär så inser man att en vettig definition på kretsprocessens verkningsgrad är netto uträttat arbete / tillfört värme. Netto uträttat arbete (av systemet uträttat arbete på omgivningen minus av omgivningen på systemet uträttat arbete) kan beräknas som arean av området som innesluts av kretsprocessens kurva i pvdiagrammet. När man studerar kretsprocesser teoretiskt är det vanligt att dela Kompression: Värme avges, motsvarande arbete uträttas på systemet Kompression: Arbete uträttas på systemet, inre energin ökar motsvarande 15

16 upp dem i en serie av enkla delprocesser av de slag vi studerat ovan. En viktig sådan teoetisk model är Carnotprocessen som består av två isotermer och två adiabater. P W V Figur 7: Kretsprocess. 4.1 Carnotprocessen Carnotprocessen är en idealiserad kretsprocess som är teoretiskt intressant och beräkningsmässigt hanterlig. Historiskt har den varit viktig för värmelärans utveckling. Den består alltså av fyra delprocesser: Isoterm, adiabat, isoterm och adiabat. Ingen verklig värmemaskin går så rent. Mycket av dess intresse ligger i att man kan bevisa att den har den teoretiskt högsta möjliga verkningsgrad som man kan uppnå för en värmemaskin som arbetar mellan två temperaturer, en högre T V (varma reservoaren) och en lägre T K (kalla reservoaren). Carnotprocessen kan beskrivas på följande sätt om vi rör oss medurs från tillståndet A i figuren via tillstånden B, C och D tillbaka till A. Tillståndsförändringar under en Carnotprocess A B Isoterm expansion T = T B T A = 0 p = p B p A < 0, V = V B V A > 0 B C Adiabatisk expansion Q = Q B C = 0 p = p C p B < 0, V = V C V B > 0, T = T C T B < 0 C D Isoterm kompression T = T D T C = 0 p = p D p C > 0, V = V D V C < 0 D A Adiabatisk expansion Q = Q D A = 0 p = p A p D > 0, V = V A V D < 0, T = T A T D > 0 16

17 A P B D C V Figur 8: Carnotprocess. Under dessa delprocesser kan vi alltså med hjälp av vad vi tidigare beräknat skriva ned energiförändringarna. Energiförändringar under en Carnotprocess A B Isoterm expansion Arbete uträttas W A B = nrt A ln(v B /V A ) > 0 ( nytta ). Lika mycket värme Q A B absorberas ( kostnad ). B C Adiabatisk expansion Q B C = 0 Arbete uträttas (tas från inre energin), ( nytta ). Det visar sig att vi inte behöver räkna ut det dock. C D Isoterm kompression Arbete uträttas på systemet W C D = nrt C ln(v D /V C ) < 0 ( nödvändigt ). Lika mycket värme Q A B lämnas till omgivningen ( förluster ). D A Adiabatisk kompression Q D A = 0 Arbete uträttas på systemet (inre energin ökar), ( nödvändigt ). Det visar sig att vi inte behöver räkna ut det dock. Vi vill nu beräkna verkningsgraden η som kvoten mellan uträttat arbete ( nytta ) och tillfört värme ( kostnad ). Då skulle man i princip också behöva beräkna det uträttade arbetet under den adiabatiska expansionen D C, men som vi ska se behöver vi inte det om vi utnyttjar energiprincipen. 17

18 Vi har en kretsprocess, detta betyder att den inre energin efter en cykel är tillbaka till sitt ursprungliga värden, eller U cykel = 0. Vi finner alltså att Q cykel = W cykel. Enligt vår genomgång av delprocesserna får vi nu att enbart isotermerna bidrager till Q cykel (eftersom värmeutbytet är noll under adiabaterna) Q cykel = Q A B + Q C D = nrt A ln V B V A + nrt C ln V D V C (48) Det uträttade arbete (alltså netto -arbetet) är W cykel = Q cykel = Q A B + Q C D. (49) Det tillförda värmet är Q A B och verkningsgraden blir således η = W cykel Q A B = Q A B + Q C D Q A B = 1 + Q C D Q A B. (50) Kvoten mellan Q C D och Q A B kan beräknas (med ett viss besvär) Q C D = T C ln VD VC Q A B T A ln V B VA = T C T A. (51) Vi visar inte hela beräkningen, men det sista likhetstecknet kommer sig av att för de adiabater vi har gäller V B /V A = V C /V D, ett samband som följer av att för de båda adiabaterna gäller TV γ 1 = konstant. Beräkning av (51) Här kommer beräkningen i alla fall för den som vill vara säker på att det är rätt! För de två adiabaterna gäller T B V γ 1 B = T C V γ 1 C (52) T A V γ 1 A = T D V γ 1 D (53) Att dessa ekvationer gäller kan man övertyga sig om genom att utnyttja pv γ = konstant (ekvation 41) för en adiabat och byta ut trycket p mot nrt/v med hjälp av gaslagen. 18

19 Dessutom vet vi att T A = T B och T C = T D för isotermerna. Om vi nu delar ekvationerna (52) och (53) med varandra så får vi resultatet V B /V A = V C /V D. (Man delar alltså vänsterledet med vänsteledet och högerledet med högerledet.) Hela poängen med detta är att Carnotverkningsgraden blir η = 1 T C T A (54) Eller om man vill uttrycka det med T kall = T C och T varm = T A η = 1 T kall T varm (55) 4.2 Några tillämpningar av Carnotprocessen Motorn Carnotprocessen kan användas till beskriva ett antal värmemaskiner såsom förbränningsmotorn, kylskåpet och värmepumpen. Kylskåpet och värmepumpen är snarlika i sin tekniska utformning, båda bygger på att man pumpar runt en kylvätska som i en fas av processen tvingas att förångas (tar upp värme) och i en annan tvingas kondensera (avlämna värme). På så vis kan värme pumpas från den kalla sidan till den varma genom en insats av arbete. I kylskåpet är den kalla sidan ( nyttan ) inuti skåpet. Vi vill pumpa värme ur kylskåpet för att hålla insidan kall. I värmepumpen är den varma sidan ( nyttan ) inomhus. Vi vill pumpa väme utifrån och in för att hålla huset varmt. Notera dock att just på grund av förångnings- och kondensationsfaserna är Carnotprocess ingen riktigt bra modell. Vi räknar med den för enkelhets skull. Den överskattar effektiviteten (i jämförelse med verkliga kylmaskiner/värmepumpar med upp till tre till fyra gånger). Förbränningsmotorn är naturligtvis helt annorlunda till sin tekniska uppbyggnad. Både kylskåpet och värmepumpen är slutna system, medan förbränningsmotorn är ett öppet system. Inte desto mindre kan den abstrakt (men grovt) beskrivas som en Carnotprocess. 4 För verkliga förbänningsmotorer finns ett antal kretsprocesser som beskriver dem väl. 4 Hur det kan vara möjligt förklaras i del 3 Mer om kretsprocesser. 19

20 Låt oss nu räkna med Carnot för enkelhets skull. För att beskriva Carnotprocessen använder vi följande figur som visar energiflöden mellan två temperaturreservoarer, en varm med konstant temperatur T v och en kall med konstant temperatur T k. Tv Qv W T k Qk Figur 9: En Carnotmotor. I denna typ av figur låter vi pilarnas riktning stå för positiva värmen och arbeten. Från figuren ser vi omedelbart att Q v = W + Q k eller W = Q v Q k (56) Verkningsgarden är per definition η = W Q v = Q v Q k Q v = 1 Q k Q v (57) Om vi jämför detta med uttrycket för Carnotverkningsgraden η = 1 T k /T v får vi Q k = T k (58) Q v T v Detta är en formel som är mycket använbar när man räknar på kylmaskiner och värmepumpar (då är verkningsgraden inte så relevant). Kylskåpet I ett kylskåp pumpas värme ut ur kylskåpet genom en insats av ett arbete. Flödena blir som i figuren räknade positiva i pilarnas riktning. För kylskåpet definierar man köldfaktorn som kvoten mellan bortkylt värme ( nytta ) och tillfört arbete ( kostnad ) ɛ k = Q k (59) W Carnotverkningsgraden har ingen relevans för kylskåpet men formel (58) är användbar. 20

21 Ute i köket Tv Qv T k Qk W Från elnätet Inne i kylskåpet Figur 10: Ett Carnotkylskåp. Värmepumpen I en värmepump pumpas värme från utomhusluften in i huset genom en insats av ett arbete. Flödena blir som i figuren räknade positiva i pilarnas riktning. För värmepumpen definierar man värmefaktorn som kvoten mellan inomhus avgiven värme ( nytta ) och tillfört arbete ( kostnad ) ɛ v = Q v (60) W Carnotverkningsgraden har ingen relevans för värmepumpen men formel (58) kan användas. Inomhus Tv Qv T k Q k Utomhus W Från elnätet Figur 11: En Carnotvärmepump. 4.3 Termodynamikens andra lag Termodynamikens andra lag kan formuleras på några olika sätt. 21

22 Clausius formulering Det finns ingen process vars enda resultat är att värme överförs från en kallare till en varmare reservoar (det vill säga utan någon insats av på systemet uträttat arbete). Kelvins formulering Det finns ingen process vars enda resultat är att värme från en enda varm reservoar helt omvandlas till arbete (det vill säga utan närvaro av en kall reservoar). Däremot kan värme från en varm reservoar helt omvandlas till värme vid kallare reservoar. Det är en naturlig process. Vidare kan arbete helt omvandlas till värme. Det är också en naturlig process. Matematiskt formuleras termodynamikens andra lag med hjälp av tillståndsfunktionen entropi. Här krävs dock en djupare förståelse av sambanden mellan tillståndsfunktioner och processfunktioner. Mer om detta i del 4 Termodynamikens andra lag. 5 Värmetransport Man räknar med tre former av värmetransport Konduktion, värmen transporteras via mikroskopisk växelverkan mellan materialets partiklar. Kallas också värmeledning. Konvektion, värmen transporteras via makroskopisk materialtransport. Strålning, värmen transporteras via elektromagnetisk strålning vars frekvensspektrum bestäms av temperaturen på den strålande ytan. 5.1 Konduktion Värmeledning räknat som transporterat värme per tidsenhet kallas värmeflödet och betecknas med φ och mäts i W. För att beräkna värmeledningen genom en skiva av ett visst material med tjockleken d och arean A använder man formeln där φ = λ A Tv T k d (61) λ är materialets värmekonduktivitet. Mäts i Wm 1 K 1. A är den värmeöverförande arean. Mäts i m 2. 22

23 φ Tv T k d Figur 12: Värmeledning genom en skiva. T v temperaturen på den varma sidan. Mäts i K. T k temperaturen på den kalla sidan. Mäts i K. d materialets tjocklek. Mäts i m. Formeln är giltig om skivan inte är alltför tjock. Dimensionerna stämmer, vilket kan kontrolleras genom att multiplicera samman dimensionerna för storheterna i högerledet 5.2 Konvektion Wm 1 K 1 m 2 K m = W Då en yta med en viss temperatur T 1 står i kontakt med en vätska eller en gas kommer det att ske en värmetransport genom konvektion. Konvektion betyder i detta sammanhang materialtransport. Vätskan eller gasen kommer att cirkulera utanför ytan och på så sätt värmas vid ytan och kylas en bit ut i vätskan/gasen. Man räknar med en värmegenomgångskoefficient, betecknad med α, som beskriver storleken på denna värmetransport. Den beror på vätska/gas men även på strömmningsförhållanden. T 1 T 2 Figur 13: Värmekonvektion utanför en yta. 23

24 där Formeln för värmekonvektion lyder φ = α A (T 1 T 2 ) (62) α värmegenomgångskoefficienten. Mäts i Wm 2 K 1. A är den värmeöverförande arean. Mäts i m 2. T v temperaturen på den varma sidan. Mäts i K. T k temperaturen på den kalla sidan. Mäts i K. Formeln är giltig om ingen påtvingad cirkulation finns. Vid påtvingad cirkulation (exempelvis via fläktar, blåst, omröring eller strömning) ökar konduktionen, men är svårare att beräkna. 5.3 Värmeledning genom flera materialskikt Om man har flera värmeisolerande skikt med exempelvis inomhusluft på ena sidan och utomhusluft på den andra, kan man sätta samma dessa formler för att beräkna den totala värmetransporten. Detta är ju situationen i en husvägg. T 1 φ α k 1 1 α k 2 2 d 1 d 2 T 2 Figur 14: Värmetransport genom flera skikt. Naturligtvis är det samma värmeflöde genom alla skikten. Utnyttjar man detta faktum kan man visa att värmeflödet kan skrivas som där φ = U A (T 1 T 2 ) (63) U är det så kallade U-värdet mätt i Wm 1 K 1. 24

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln.

Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Maj 7, 2013, KoK kap. 6 sid 171-176) och kap. 8 Centrala ekvationer i statistisk mekanik

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 7 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Tentamen Joakim Wren Exempeltentamen 8 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära, miniräknare.

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten0 Ladokkod: TT05A Tentamen ges för: Årskurs Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 202-08-30 Tid: 9.00-3.00 7,5 högskolepoäng

Läs mer

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser

7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser 7. Inre energi, termodynamikens huvudsatser Sedan 1800 talet har man forskat i hur energi kan överföras och omvandlas så effektivt som möjligt. Denna forskning har resulterat i ett antal begrepp som bör

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF4 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Tisdag aug, kl 8.3-.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl 8.3-13.3 i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Teorin för denna laboration hittar du i föreläsningskompendiet kapitlet om värmemaskiner. Läs detta ordentligt!

Teorin för denna laboration hittar du i föreläsningskompendiet kapitlet om värmemaskiner. Läs detta ordentligt! Kretsprocesser Inledning I denna laboration får Du experimentera med en Stirlingmotor och studera en värmepump. Litteraturhänsvisning Teorin för denna laboration hittar du i föreläsningskompendiet kapitlet

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag CALMERS 1 (3) Kemi- och bioteknik/fysikalk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag jälpmedel: Kursböckerna

Läs mer

Fysikaliska modeller

Fysikaliska modeller Fysikaliska modeller Olika syften med fysiken Grundforskarens syn Finna förklaringar på skeenden i naturen Ställa upp lagar för fysikaliska skeenden Kritiskt granska uppställda lagar Kontrollera uppställda

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Stirlingmotorn. Värmepumpen. Förberedelser. Verkningsgrad, s 222. Termodynamikens andra huvudsats, s 217. Stirlingprocessen, s 235.

Stirlingmotorn. Värmepumpen. Förberedelser. Verkningsgrad, s 222. Termodynamikens andra huvudsats, s 217. Stirlingprocessen, s 235. ... Kretsprocesser Stirlingmotorn och värmepumpen Avsikten med laborationen är att Du ska få en djupare teoretisk och praktisk förståelse för begreppen energiomvandling, arbete, värme och verkningsgrad.

Läs mer

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00 CHALMERS 1 (4) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi Termodynamik (KVM091/KVM090) TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM091 och KVM090) 2010-01-15 kl. 14.00-18.00

Läs mer

Strömning och varmetransport/ varmeoverføring

Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Lektion 7: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Reynolds tal är ett dimensionslöst tal som beskriver flödesegenskaperna hos en fluid. Ett lågt värde på Reynolds

Läs mer

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Personnummer:

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Personnummer: ENERGITEKNIK II 7,5 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 41N05B En2 Namn: -------------------------------------------------------------------------------------------------------

Läs mer

Laboration: Värmepump, Stirlingmotor och Kroppens Effekt

Laboration: Värmepump, Stirlingmotor och Kroppens Effekt FYSA15 Laboration: Värmepump, Stirlingmotor och Kroppens Effekt 1 2 Teori: Termodynamiska system och jämvikt Bild 1: En gas uppdelad i två delsystem A och B, skilda åt av en vägg. Ett termodynamiskt system,

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V CHLMERS 1 (3) TENTMEN I TERMODYNMIK för K2 och Kf2 (KVM090) 2009-08-27 kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Kursböckerna Elliott-Lira: Introductory Chemical Engineering Thermodynamics och P. tkins, L. Jones:

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30 CHALMERS 1 (3) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2011-10-18 kl. 08.30-12.30

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω)

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω) FUKTIG LUFT Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft Normalt är ω 1 (ω 0.02) ω = m v /m a m = m a (1 + ω) Luftkonditionering, luftbehandling:

Läs mer

Laboration 6. Modell av energiförbrukningen i ett hus. Institutionen för Mikroelektronik och Informationsteknik, Okt 2004

Laboration 6. Modell av energiförbrukningen i ett hus. Institutionen för Mikroelektronik och Informationsteknik, Okt 2004 Laboration 6 Modell av energiförbrukningen i ett hus Institutionen för Mikroelektronik och Informationsteknik, Okt 2004 S. Helldén, E. Johansson, M. Göthelid 1 1 Inledning Under större delen av året är

Läs mer

Grundläggande energibegrepp

Grundläggande energibegrepp Grundläggande energibegrepp 1 Behov 2 Tillförsel 3 Distribution 4 Vad är energi? Försök att göra en illustration av Energi. Hur skulle den se ut? Kanske solen eller. 5 Vad är energi? Energi används som

Läs mer

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19

Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Tentamen KFKA05 för B, 2011-10-19 kl 14-19 Även för de som läste KFK080 för B hösten 2010 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00 CHALMERS 1 (3) Energi och Miljö/Värmeteknik och maskinlära Kemi- och bioteknik/fysikalisk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M2 (KVM091 och KVM090) 2012-01-13 kl. 14.00-18.00

Läs mer

UMEÅ UNIVERSITET 2012-03-13 Fysiska institutionen Leif Hassmyr VARMLUFTSMASKIN TYP STIRLING

UMEÅ UNIVERSITET 2012-03-13 Fysiska institutionen Leif Hassmyr VARMLUFTSMASKIN TYP STIRLING UMEÅ UNIVERSITET 2012-03-13 Fysiska institutionen Leif Hassmyr VARMLUFTSMASKIN TYP STIRLING VARMLUFTSMASKIN TYP STIRLING INLEDNING: 1 Stirlingmotorn är en värmemotor som kan ha utvändig förbränning. Motorn

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki

Kapitel V. Praktiska exempel: Historien om en droppe. Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V Praktiska exempel: Historien om en droppe Baserat på material (Pisaran tarina) av Hanna Vehkamäki Kapitel V - Praktiska exempel: Historien om en droppe Partiklar i atmosfa ren Atmosfa rens sammansa

Läs mer

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått.

12) Terminologi. Brandflöde. Medelbrandflöde. Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. 12) Terminologi Brandflöde Brandskapat flöde avses den termiska expansionen av rumsvolymen per tidsenhet i rum där brand uppstått. Medelbrandflöde Ökningen av luftvolymen som skapas i brandrummet när rummet

Läs mer

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH GRUNDLÄGGANDE BEGREPP System (slutet system) = en viss förutbestämd och identifierbar massa m. System Systemgräns Omgivning. Kontrollvolym (öppet system) = en volym som avgränsar ett visst område. Massa

Läs mer

Sammanfattning: Fysik A Del 2

Sammanfattning: Fysik A Del 2 Sammanfattning: Fysik A Del 2 Optik Reflektion Linser Syn Ellära Laddningar Elektriska kretsar Värme Optik Reflektionslagen Ljus utbreder sig rätlinjigt. En blank yta ger upphov till spegling eller reflektion.

Läs mer

Värmelära. Fysik åk 8

Värmelära. Fysik åk 8 Värmelära Fysik åk 8 Fundera på det här! Varför kan man hålla i en grillpinne av trä men inte av järn? Varför spolar man syltburkar under varmvatten om de inte går att få upp? Varför hänger elledningar

Läs mer

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser

VI. Reella gaser. Viktiga målsättningar med detta kapitel. VI.1. Reella gaser I. Reella gaser iktiga målsättningar med detta kapitel eta vad virialutvecklingen och virialkoefficienterna är Kunna beräkna första termen i konfigurationsintegralen Känna till van der Waal s gasekvation

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Tentamen KFKA05, 2014-10-29

Tentamen KFKA05, 2014-10-29 Denna tentamen gäller om du haft Molecular Driving Forces av Dill & Bromberg som kursbok. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall

Läs mer

Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp.

Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp. Fysik 1 kapitel 6 och framåt, olika begrepp. Pronpimol Pompom Khumkhong TE12C Laddningar som repellerar varandra Samma sorters laddningar stöter bort varandra detta innebär att de repellerar varandra.

Läs mer

Statsagronom Gösta Gustafsson, Lantbrukets Byggnadsteknik (LBT), SLU, Alnarp

Statsagronom Gösta Gustafsson, Lantbrukets Byggnadsteknik (LBT), SLU, Alnarp System för användning av solenergi för spannmålstorkning Statsagronom Gösta Gustafsson, Lantbrukets Byggnadsteknik (LBT), SLU, Alnarp På årsbasis varierar solinstrålningen mellan 900-1000 kwh per m 2 horisontell

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

KYLSKÅPSPROJEKTET. Robert Mustonen, David Larsson, Christian Johansson, Andreas Svensson OCTOBER 12, 2014

KYLSKÅPSPROJEKTET. Robert Mustonen, David Larsson, Christian Johansson, Andreas Svensson OCTOBER 12, 2014 KYLSKÅPSPROJEKTET Robert Mustonen, David Larsson, Christian Johansson, Andreas Svensson OCTOBER 12, 2014 LINKÖPINGS UNIVERSITET Tekniska högskolan vid Linköpings universitet Rapport för Projekt Kylskåp

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning del 2 i Fysik A för Basåret Tisdagen den 10 april 2012 kl. 9.00-13.00 (Denna tentamen avser andra halvan av Fysik A, kap 2 och 7-9 i Heureka. Fysik A)

Läs mer

Räkneövning/Exempel på tentafrågor

Räkneövning/Exempel på tentafrågor Räkneövning/Exempel på tentafrågor Att lösa problem Ni får en formelsamling Huvudsaken är inte att ni kan komma ihåg en viss den utan att ni kan använda den. Det finns vissa frågor som inte kräver att

Läs mer

Värmepumpar av. Joakim Isaksson, Tomas Svensson. Beta-verision, det kommer att se betydligt trevligare ut på hemsidan...

Värmepumpar av. Joakim Isaksson, Tomas Svensson. Beta-verision, det kommer att se betydligt trevligare ut på hemsidan... Värmepumpar av Joakim Isaksson, Tomas Svensson Beta-verision, det kommer att se betydligt trevligare ut på hemsidan... I denna avhandling om värmepumpar har vi tänkt att besvara följande frågor: Hur fungerar

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner

Solens energi alstras genom fusionsreaktioner Solen Lektion 7 Solens energi alstras genom fusionsreaktioner i dess inre När solen skickar ut ljus förlorar den också energi. Det måste finnas en mekanism som alstrar denna energi annars skulle solen

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

TENTAMEN I FYSIK FÖR V1 18 december 2013

TENTAMEN I FYSIK FÖR V1 18 december 2013 TENTMEN I FYSIK FÖ V1 18 december 2013 Skrivtid: 08.00-13.00 Hjälpmedel: Formelblad och räknare. Börja varje ny uppgift på nytt blad och skriv bara på en sida. Lösningarna ska vara väl motiverade och försedda

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Fysik 1. 8. (Ö) Bestäm hur mycket av luften som finnas under 20 km, 15 km, 10 km och 5 km genom 2 /140127. p(h) = p 0 e mgh

Fysik 1. 8. (Ö) Bestäm hur mycket av luften som finnas under 20 km, 15 km, 10 km och 5 km genom 2 /140127. p(h) = p 0 e mgh Atmosfären Atmosfären är spelplatsen för alla väderfenomen, så första steget är att stifta bekantskap med denna tunna hinna som omger jordklotet, och utan vilken allt liv på jorden vore en omöjlighet.

Läs mer

Bergvärme & Jordvärme. Isac Lidman, EE1b Kaplanskolan, Skellefteå

Bergvärme & Jordvärme. Isac Lidman, EE1b Kaplanskolan, Skellefteå Bergvärme & Jordvärme Isac Lidman, EE1b Kaplanskolan, Skellefteå Innehållsförteckning Sid 2-3 - Historia Sid 4-5 - utvinna energi - Bergvärme Sid 6-7 - utvinna energi - Jordvärme Sid 8-9 - värmepumpsprincipen

Läs mer

Elda inte för kråkorna!

Elda inte för kråkorna! Elda inte för kråkorna! Climate Solutions Sweden lanserar nu ett nytt koncept med värmepumpar för total återvinning av ventilationsvärmen i fastigheter. Värmeenergin i frånluften används och täcker behovet

Läs mer

yttervägg 5,9 5,9 3,6 4,9 - - Golv 10,5 10,5 24 10,5 7 7 Tak 10,5 10,5 24 10,5 7 7 Fönster 2 2 4 3 - - Radiator 0,5 0,5 0,8 0,5 0,3 -

yttervägg 5,9 5,9 3,6 4,9 - - Golv 10,5 10,5 24 10,5 7 7 Tak 10,5 10,5 24 10,5 7 7 Fönster 2 2 4 3 - - Radiator 0,5 0,5 0,8 0,5 0,3 - B Lägenhetsmodell B.1 Yttre utformning Lägenheten består av tre rum och kök. Rum 1 och 2 används som sovrum, rum 3 som vardags rum, rum 4 som kök, rum 5 som badrum och slutligen rum 6 som hall. Lägenheten

Läs mer

Varje laborant ska vid laborationens början lämna renskrivna lösningar till handledaren för kontroll.

Varje laborant ska vid laborationens början lämna renskrivna lösningar till handledaren för kontroll. Strömning Förberedelser Läs i "Fysik i vätskor och gaser" om strömmande gaser och vätskor (sid 141-160). Titta därefter genom utförandedelen på laborationen så att du vet vilka moment som ingår. Om du

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Kvalificeringstävlingen) Riv loss detta blad och häfta ihop det med de lösta tävlingsuppgifterna. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla. Fyll i uppgifterna

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Värmeöverföringens mysterier (1)

Värmeöverföringens mysterier (1) Värmeöverföringens mysterier (1) av professor Dan Loyd, LiTH i samarbete med Pentronic 1998-2001 De engelska komikerna Michael Flanders och Donald Swahn har tonsatt termodynamikens lagar. En del av sången

Läs mer

Algebra - uttryck och ekvationer

Algebra - uttryck och ekvationer Förenkla: Tänk så här: Du går till affären och köper 3 äpplen och 2 bananer och lösgodis för 7 kr. Din kompis köper 1 äpple och 3 bananer och lösgodis för 10 kr. Hur många äpplen och hur många bananer

Läs mer

Vad är energi? Förmåga att utföra arbete.

Vad är energi? Förmåga att utföra arbete. Vad är energi? Förmåga att utföra arbete. Vad är arbete i fysikens mening? Arbete är att en kraft flyttar något en viss vägsträcka. Vägen är i kraftens riktning. Arbete = kraft väg Vilken är enheten för

Läs mer

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN

PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar PBMaE 5-5 Umeå universitet Provtid PROV I MATEMATIK KURS E FRÅN NATIONELLA PROVBANKEN Del I: Uppgift -9 Del II: Uppgift -7 Anvisningar Totalt 4 minuter

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1.

Solar cells. 2.0 Inledning. Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Solar cells 2.0 Inledning Utrustning som används i detta experiment visas i Fig. 2.1. Figure 2.1 Utrustning som används i experiment E2. Utrustningslista (se Fig. 2.1): A, B: Två solceller C: Svart plastlåda

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3)

Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Energi, katalys och biosyntes (Alberts kap. 3) Introduktion En cell eller en organism måste syntetisera beståndsdelar, hålla koll på vilka signaler som kommer utifrån, och reparera skador som uppkommit.

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Solpaneler. Solpanelssystem: Solpanelssystemet består av: Solpanel Regulator Batteribank

Solpaneler. Solpanelssystem: Solpanelssystemet består av: Solpanel Regulator Batteribank Solpaneler Solpanelen är en anordning som omvandlar solenergin till elektricitet. Solljuset absorberas av solcellsmaterialet därefter sparkas elektroner ut ur materialet, dessa leds i en externkrets och

Läs mer

Kort historia På ITV s hemsida berättar de om hur ITV var först i Sverige så började man att använda geotermisk energi i början av 70-talet i form av

Kort historia På ITV s hemsida berättar de om hur ITV var först i Sverige så började man att använda geotermisk energi i början av 70-talet i form av GEOTERMISK ENERGI Innehållsförteckning 2-3 Kort historia 4-5 Hur utvinns energin, bergvärme 6-7 Hur utvinns energin, jordvärme 8-9 Värmepumpen 10-11 Energiomvandlingarna 12-13 Miljövänlig? 14-15 Användning

Läs mer

Bioenergi för värme och elproduktion i kombination 2012-03-21

Bioenergi för värme och elproduktion i kombination 2012-03-21 Bioenergi för värme och elproduktion i kombination 2012-03-21 Johan.Hellqvist@entrans.se CEO El, värme eller kyla av lågvärdig värme Kan man göra el av varmt vatten? Min bilmotor värmer mycket vatten,för

Läs mer

Applikationsexempel för Styrning av solfångare

Applikationsexempel för Styrning av solfångare Applikationsexempel för Styrning av solfångare Document title Document Identity 4655-015-01 Valid for Firmare version IMSE WebMaster Pro 1.09 Date 06-04-09 Webpages version 1.09 Abelko Innovation info@abelko.se

Läs mer

TSFS11 - Energitekniska system Kompletterande lektionsuppgifter

TSFS11 - Energitekniska system Kompletterande lektionsuppgifter 014-05-19 ISY/Fordonssystem TSFS11 - Energitekniska system Kompletterande lektionsuppgifter Lektion Uppgift K.1 En ideal enfastransformator är ansluten enligt följande figur R 1 = 1 kω I U in = 13 V N1

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

MOLN OCH GLOBAL UPPVÄRMNING

MOLN OCH GLOBAL UPPVÄRMNING MOLN OCH GLOBAL UPPVÄRMNING En rapport av Stefan Oros, Teknisk Fysik 10, LTH stefan.oros.719@student.lu.se Sebastian Nöbbelin, Teknisk Fysik 10, LTH atf10sno@student.lu.se Handledare: Staffan Sjögren Avdelningen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Värme och väder. Solen värmer och skapar väder

Värme och väder. Solen värmer och skapar väder Värme och väder Solen värmer och skapar väder Värmeenergi Värme är en form av energi Värme är ett mått på hur mycket atomerna rör på sig. Ju varmare det är desto mer rör de sig. Värme får material att

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Kinetik. Föreläsning 1

Kinetik. Föreläsning 1 Kinetik Föreläsning 1 Varför kunna kinetik? För att till exempel kunna besvara: Hur lång tid tar reaktionen till viss omsättningsgrad eller hur mycket produkt bildas på viss tid? Hur ser reaktionens temperaturberoende

Läs mer

RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN

RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN Värt att veta om ENERGIMÄTNING av fjärrvärme RADIATORTERMOSTATER RUMSTEMPERATUR TILLOPPSTEMPERATUR TRYCKFÖRHÅLLANDEN i fjärrvärmenätet TRYCK OCH FLÖDE 1 VÄRT ATT VETA För att informera om och underlätta

Läs mer

Man har mycket kläder på sig inomhus för att hålla värmen. Kläderna har man oftast tillverkat själv av ylle, linne & skinn (naturmaterial).

Man har mycket kläder på sig inomhus för att hålla värmen. Kläderna har man oftast tillverkat själv av ylle, linne & skinn (naturmaterial). ENERGI Bondefamiljen för ca 200 år sedan (före industrialismen) i februari månad, vid kvällsmålet : Det är kallt & mörkt inne i timmerhuset. Fönstren är täckta av iskristaller. Det brinner i vedspisen

Läs mer

Jordvärme, Bergvärme & värmepumpsprincipen. Maja Andersson EE1B El & Energiprogrammet Kaplanskolan Skellefteå

Jordvärme, Bergvärme & värmepumpsprincipen. Maja Andersson EE1B El & Energiprogrammet Kaplanskolan Skellefteå Jordvärme, Bergvärme & värmepumpsprincipen Maja Andersson EE1B El & Energiprogrammet Kaplanskolan Skellefteå Kort historik På hemsidan Wikipedia kan man läsa att bergvärme och jordvärme är en uppvärmningsenergi

Läs mer

Systemlösnings presentation del 1. JP Walther AB 2013

Systemlösnings presentation del 1. JP Walther AB 2013 Systemlösnings presentation del 1. JP Walther AB 2013 Vattenburen energi för egnahem/vannburen varme för bolig och hyttan Värmesystem med vattenmantling Ger möjlighet till *Förbrukarvatten/tappvarmvatten

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Fakta om värmepumpar och anläggningar. Luft

Fakta om värmepumpar och anläggningar. Luft Fakta om värmepumpar och anläggningar jord berg Luft vatten Svenska föreningen, SVEP, är en organisation för seriösa tillverkare, importörer, installatörer och återförsäljare av värmepumpar. Medlemsföretagen

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING

WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING WORKSHOP: EFFEKTIVITET OCH ENERGIOMVANDLING Energin i vinden som blåser, vattnet som strömmar, eller i solens strålar, måste omvandlas till en mera användbar form innan vi kan använda den. Tyvärr finns

Läs mer

Så fungerar en värmepump,

Så fungerar en värmepump, Så fungerar en värmepump, och så kan vi göra dem bättre Björn Palm, Avd. Tillämpad termodynamik och kylteknik, Inst Energiteknik, KTH Så fungerar en värmepump, Principen för ett värmepumpande system Värmesänka

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Jämförelse av Solhybrider

Jämförelse av Solhybrider Jämförelse av Solhybrider Uppföljning Oskar Jonsson & Axel Nord 2014-08-19 1 Inledning Denna rapport är beställd av Energirevisor Per Wickman som i ett utvecklingarbete forskar kring hur man kan ta fram

Läs mer

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping

Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Enhet 591 Ekholmen Matematik Betygskriterier i matematik år 9 Ekholmsskolan i Linköping Fakta Förståelse Färdighet Förtrogenhet De olika formerna samspelar och utgör varandras förutsättningar. För att

Läs mer

ENERGIHUSET. Övningens mål

ENERGIHUSET. Övningens mål ENERGIHUSET Övningens mål Målet med övningen är att eleverna ska lära sig om energibesparing och energieffektivitet, inklusive kostnadsfrågor. Övningen baseras på det faktum att uppvärmning och nerkylning

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Facit. Rätt och fel på kunskapstesterna.

Facit. Rätt och fel på kunskapstesterna. Facit. Rätt och fel på kunskapstesterna. Kunskapstest: Energikällorna. Rätt svar står skrivet i orange. 1. Alla använder ordet energi, men inom naturvetenskapen används en definition, dvs. en tydlig förklaring.

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

Vad är vatten? Ytspänning

Vad är vatten? Ytspänning Vad är vatten? Vatten är livsviktigt för att det ska finnas liv på jorden. I vatten finns något som kallas molekyler. Dessa molekyler går inte att se med ögat, utan måste ses med mikroskop. Molekylerna

Läs mer

Simulering och reglerteknik för kemister

Simulering och reglerteknik för kemister Simulering och reglerteknik för kemister Gå till http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm och gå igenom några av följande exempel. http://techteach.no/kybsim/index_eng.htm Följ gärna de beskrivningarna

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

4:2 Ellära: ström, spänning och energi. Inledning

4:2 Ellära: ström, spänning och energi. Inledning 4:2 Ellära: ström, spänning och energi. Inledning Det samhälle vi lever i hade inte utvecklats till den höga standard som vi ser nu om inte vi hade lärt oss att utnyttja elektricitet. Därför är det viktigt

Läs mer