MEKANIK KTH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C1201 Stromningslara och termodynamik for T2 den 30 augusti Stromfunktionen for den ho

Transkript

1 MEKNK KH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C0 Stromningslara och termodynamik for den 30 augusti 00. Stromfunktionen for den homogena fristrommen och kallan ar ;Vy; m dar den forsta termen (fristrommen) ar given i kartesiska koordinater och den andra (kallan) i polara. stagnationspunkten ar y 0 och. Detta ger att stromfunktionen i denna punkt ar ;m och att ekvationen for stagnationsstromlinjen ar ; m ;Vy; m ) y m V ; For stora varden pa x galler att! 0 vilket ger att H y ass m V ) H m V Denna relation kan aven erhallas om man observerar att hastighetsbidraget fran kallan! 0pa stora avstand fran denna. Volymodet mellan de tva grenarna av stagnationsstromlinjen blir da m VH for stora varden pa x. Stagnationsstromlinjens ekvation kan nu skrivas y H ;! ) y x tan tan! ; y H eller y x H H tan ; y H vstandet s mellan kallan och stagnationspunkten ges av V m s ) s H 59 vilket ger att koordinaterna pa stagnationsstromlinjen aven kan skrivas y x s H tan ; y H For de givna vardena pa y(h) ger detta

2 y(h) xh xs 0,90,4 8,7 0,95 3,0 8,7 0,99 5,8 99,0 Vi ser alltsa att den halvoandliga kropp som genereras av en kalla och en fristrom har uppnatt 95% av den plana plattans tjocklek pa ett avstand av drygt 3 plattjocklekar fran plattans framkant. Vidare framgar att vid denna position ar plattans langd ca 0 ganger avstandet mellan kallan och stagnationspunkten. pproximationen ar alltsa mycket god for plattor som inte ar alltfor korta, bade vad avser tjockleksfordelningen och att avstandet mellan kallan och stagnationspunkten forsummas. 3. Entropi deneras av ds int:rev vilket ar helt ekvivalent med, S dar ar en internt reversibel process som for systemet fran tillstand till tillstand. (illstanden och ar darmed jamviktstillstand.) For att denitionen av entropi ska vara entydig maste, (S) (S) B dar B ar en annan internt reversibel process som ocksa for systemet fran tillstand till tillstand. Detta visas med hjalp av Clausius olikhet, som har skrivits har for en sluten kretsprocess som loper genom jamviktstillstand sasom internt reversibla processer gor. Vi inleder sjalva beviset med att infora benamningen 0 for den internt reversibla process som for systemet fran tillstand till tillstand langs samma vag som process, d v s process 0 ar process bakat. Notera att, 0 ;! 0 ; : De tva sammansatta processerna 0 medboch med B 0 ar nu slutna. (De sammanfaller men gar at olika hall.) Clausius olikhet ger nu, och, 0 [B [B 0 illsammans B ; 0 B + + B 0 0! 0! ; 0! B B + B ; 0:! (S) (S) B :

3 Nu har vi visat att entropin ar entydigt denerad. Eftersom andringen i entropi ar oberoende av vilken internt reversibel vag som tas mellan tillstanden sa ar entropi en tillstandsfunktion, vilket skulle bevisas. Detta innebar bl a att vi kan skriva, (S) (S) (S) B : Clausius olikhet anvands ocksa for att visa att entropiandringar i ett isolerat system inte kan vara negativa. Forst betraktar vi en godtycklig process,, i ett godtyckligt system, som inte behover vara isolerat. Eftersom entropi ar en tillstandsfunktion ges entropiandringen under process av, S dar ar en internt reversibel process som ocksa for systemet fran tillstand till tillstand. Lat 0 vara den internt reversibla process som for systemet fran tillstand till tillstand langs samma vag som process. Nu ar den sammansatta processen bestaende av 0 med den aktuella processen,, en sluten kretsprocess och Clausius olikhet ger, [ 0 grans grans + 0 0: Nu betraktar vi enbart isolerade system och konstaterar att en godtycklig process i ett isolerat system maste vara adiabatisk eftersom varme inte kan foras mellan systemet och dess omgivning, 0! 0: Clausius olikhet ger nu, [ 0 grans och for entropiandringen, S ; 0 vilket skulle bevisas. Slutligen, om den aktuella processen, i det isolerade systemet, ar reversibel kan vi upprepa resonemanget ovan for den omvanda processen, 0, och komma fram till, (S) 0 dar, (S) 0 0 ; ; S: Sa, S 0 och S ;(S) 0 0! S vilket ocksa skulle bevisas. 3 3

4 3. Bilens hastighet ar V 54 km/tim 5 m/s. a) eynolds tal baserat pa skyltens langd ar e l V l vilket ger den totala friktionskoecienten och friktionsmotstandet ;5 C F 074 (e l ) ; F C F V hl N 446 N Den eekt som atgar for att overvinna detta luftmostand ar alltsa P FV W 6,69 W b) eynolds tal baserat pa skyltens hojd ar e h V h ; vilket ger motstandskoecienten C D,9 och motstandet D C D V hl N N Eekten blir alltsa i detta fall P DV W,4 kw 3 4. Se gur 9.5 i Fundamentals of Engineering hermodyanmics av Moran & Shapiro. Med bokens notation ar de givna temperaturerna, 300 K och K: De givna vardena hos trycket ar, p p min 00 kpa och p 3 p max 0kPa: De ovriga tva vardena ges av den ideala gaslagen for tillstand, p V 3 m och p 3 V 3 m 34! p 34 p kpa och for tillstand 4, p 4 V 4 m 34 och p V 4 m! p 4 34 p 667 kpa: 4

5 For vidare berakningar kravs vardet hos heliums specika gaskonstant, M He 8 34 kj(kmol K) kgkmol 077 kj(kg K): Volymens gransvarden kan nu beraknas med hjalp av den ideala gaslagen for tillstand 3, och for tillstand, p 3 V 3 m 34! V 3 m 34 p 3 3 m 3 p V 4 m! V 4 m p 9 35 m 3 : Kompressionsforhallandet ar darmed, V 4 V 3 34 p 3 p 3 00: nget arbete utfors under de isokora delprocesserna. Under den isoterma kompressionen, W! p dv Under den isoterma expansionen, W 34 3!4 p dv V3 V 4 m V dv m 34 log ; m log V4 V MJ: V4 V 3 : Nettoarbetet ges nu av, W netto W +0+W m ( 34 ; ) log V4 V MJ: Under den isoterma expansionen ar temperaturen konstant, ( ) Joules lag ger nu (U) 34 c v ( ) 34 0forutsatt c v ar konstant. Energibudgeten, foljande den forsta huvudsatsen, ger nu 0(U) ; W 34,dv s 34 W 34 ( ) 34 0! (U) 34 0! c 34 W MJ: Den efterfragade kvoten ar darmed, W netto c W netto 34 W netto W ; 34 85: Verkningsgraden hos motsvarande optimal motor ar, ; min max ; 34 W netto c 85: illsammans med 4 ; 3 leder detta resultat (d v s deluppgift d) till den teoretiska mojligheten att astadkomma en optimal varmemotor genom att kombinera en ideal Stirling motor med en fullkomlig s k regenerator. 3 5

6 5. Hastigheten vid utloppet fran slangen ges av orricellis teorem och den ar u p gh dar h i detta fall ar vatskedjupet i tanken. Notera att detta djup avtar med tiden varfor aven hastigheten u avtar. ndringen i bensinvolymen i tanken kan tecknas pa tva satt dv ;dh uadt dar ar tankens tvarsnittsarea och a slangens. Med orricellis teorem ger detta att dt ; a dh u ; a dh p gh och efter en integrering erhalls foljande uttryck for den sokta tiden t ; a p g p h ; p h a s q h ; qh g dar h och h ar det ursprungliga respektive slutliga vatskedjupet i bensintanken. Med givna siror far man att samt slutligen 3 5dm 5dm V h 45dm 3 ) h 45 dm 3 dm 5 V h 5dm 3 ) h 5 dm dm 5 a 03 dm 3 t s 5 q q 3 ; s555s9min 5 s 6 rne Karlsson, ony Burden 30 augusti 00