Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00

Transkript

1 Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling typ Beta), miniräknare som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild ad@mech.kth.se) Bedömning: Lösningen av dessa uppgifter bedöms antingen som godkänd G) eller underkänd U). För att få G måste du kunna redovisa en lösning som dels är i stort sett korrekt, dels inte strider mot någon grundprincip du ska kunna från denna eller tidigare kurser och dels redovisar ett djup i förståelsen för ämnet. 1. Använd termodynamikens 2:a huvudsats för att visa att: Ingen värmepump som drivs mellan två givna temperaturer, eller värmemagasin, kan vara effektivare, d.v.s. ha ett högre värde på η vp, än en reversibel värmemotor som drivs reverserat mellan samma temperaturer eller värmemagasin. 2. Betrakta en jetmotor med en s.k. efterbrännkammare. Denna är monterad direkt efter turbinen och innan motorns utloppsmunstycke. I en efterbrännkammare tillförs mer bränsle som vid sin förbränning tillför mer värme till den gas som strömmar genom motorn. Detta leder till att temperaturen stiger i den gas som strömmar genom efterbrännkammaren. Antag att det omedelbart efter turbinen och före efterbrännkammaren gäller att trycket är 250 kpa, temperaturen är 800 K samt att gasens kinetiska energi kan försummas. Efterbrännkammaren kan betraktas som ett rör med konstant tvärsnitt genom vilket gasen strömmar friktionsfritt. Direkt efter efterbrännkammaren finns ett konvergent-divergent munstycke med ett utlopp till den omgivande atmosfären. Antag att trycket i gasen då denna lämnar detta utloppsmunstycke är 80 kpa. a) Hur stor är strömningshastigheten och hur stort är machtalet vid utloppet från motorn om inget bränsle och därmed inget värme) tillförs i efterbrännkammaren? Ledning: Vad är rimligt att anta för tillståndsändringen i gasen i detta fall? b) Upprepa denna beräkning för det fall då det värme som tillförs i efterbrännkammaren är 300 kj/kg. Gasens tillståndsändring i efterbrännkammaren ska i detta fall antas vara isobar! Vad är rimligt att anta för tillståndsändringen i gasen då denna strömmar genom utloppsmunstycket efter efterbrännkammaren? c) Hur stort är massflödet ut ur motorn i de två fallen ovan? Antag att tvärsnittsarean vid utloppet är 0,20 m 2 i det tvärsnitt där trycket är 80 kpa). d) Använd nu detta massflöde för att uppskatta den strömningshastighet vid början av efterbrännkammaren som försummats ovan. Antag att tvärsnittsarean där är 1,50 m 2 i det tvärsnitt där trycket är 250 kpa). Försumma tillskottet i massflöde från det bränsle som tillförs i efterbrännkammaren. Den gas som strömmar genom efterbrännkammaren är i båda fallen ideal och ska antas ha specifika värmekapaciteter vars variation med temperaturen i denna del av strömningen genom motorn kan antas vara försumbar. Vidare gäller för gasen att γ 1,32 och att R 288 J/kg K). 3. Betrakta en ideal Ottokretsprocess med kompressionsförhållandet r 8. Det värme som tillförs vid förbränningen är q 300 kj/kg. Beräkna förändringen i systemets exergi i vart och ett av delstegen med det döda tillståndet givet av tillståndet vid kretsprocessens största volym och minsta tryck och temperatur, V 0 V max 1 dm 3, T min 300 K, p 0 p min 100 kpa. När är exergin som störst i kretsprocessen? Jämför detta värde med

2 2 SCI, Mekanik, KTH det som du beräknar för processens nettoarbete under en cykel. Betrakta också den så kallade exergibudgeten för delprocessen med värmetillförseln. Antag att värmet tillförs vid randtemperaturen T rand T max och använd exergibudgeten till att beräkna systemets irreversibla produktion av entropi i detta delsteg. 4. Nyfångade nykokta räkor får kallna till omgivningstemperaturen 20 C innan de fryses i räktrålarens kylanläggning. Infrysningen görs i en kompressoranläggning där kall temperatur-reservoar är havet +10 C). Bestäm minimum tillfört kompressorarbete/kg räkor om räkorna skall frysas till 22 C. Antag att räkorna har samma termiska egenskaper som vatten, dvs värmekapacitet, fryspunkt och smältvärme är samma som för rent vatten. För vatten gäller att c vatten 4,18 kj/kg K), c is 2,22 kj/kg K), h smält 334 kj/kg.

3 SCI, Mekanik, KTH 3 Lösningar till betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 09:00-13:00 1. Se kursboken av Tony Burden. 2. Låt index 1 beteckna tillståndet i ett tvärsnitt mellan turbinen och efterbrännkammaren, index 2a tillståndet i utloppet från motorn i deluppgift a) och index 2b detta tillstånd i deluppgift b). Givet är att p kpa, 800 K, p 2a p 2b 80 kpa samt att v 1 0 m/s. Sökt är v 2a, M 2a, v 2b och M 2b. Enligt HS1 gäller allmänt fär ett äppet system att h + 12 ) v2 q w s Vid strömningen genom efterbrännkammaren och utloppsmunstycket är axelarbetet w s 0. Vidare gäller i a) att q 0 kj/kg och i b) att q 300 kj/kg. Den sökta hastigheten i utloppet från motorn får vi alltså från h 2 h 1 ) v2 2 v 2 1) q v 2 2 v q h 2 h 1 )] v q + c p T 2 )] där det är givet att v 1 kan försummas. I deluppgift a) ger detta att v 2 2a 2c p T 2a ) I detta fall strömmar gasen friktionsfritt och utan något nämnvärt värmeutbyte med omgivningen genom efterbrännkammaren och utloppsmunstycket. Gasens tillståndsändring är då adiabatisk och reversibel, dvs. isentrop. Då gäller att Vidare gäller att Detta ger dels att och dels att c p p T γ/γ 1) T 2a γr γ 1 1, ,32 1 T 2a 800 γ 1)/γ p2a p 1 J/kg K) J/kg K) 0,32/1,32 80 K 607 K 250 v 2a ) m/s 677 m/s Ljudhastigheten vid utloppet från motorn munstycket) är i detta fall vilket ger att det sökta machtalet är a 2a γrt 2a 1, m/s 480 m/s M 2a v 2a 677 a 2a 480 1,41 Notera att eftersom M 2a > 1 krävs att utloppet från motorn är utformat som ett konvergentdivergent munstycke precis som sägs i problemtexten. Notera också att eftersom strömningshastigheten i stagnationskammaren är låg fungerar denna i detta fall som en stagnationskammare. Det innebär bl.a. att p 1 och i detta fall är stagnationstillståndet för den isentropa strömningen genom utloppsmunstycket. I deluppgift b) gäller att v2b 2 2 q + c p T 2b )]

4 4 SCI, Mekanik, KTH För att finna temperaturen T 2b måste vi dela upp tillståndsändringen från 1 till 2b i två steg, en del genom efterbrännkammaren och en del genom utloppsmunstycket. Låt index 3 beteckna tillståndet vid övergången mellan dessa två delar. Det är givet att tillståndsändringen i efterbrännkammaren är isobar. Då gäller dels att p 3 p 1 och dels att q c p T 3 ). Detta ger att T 3 + q c p K K Strömningen genom utloppsmunstycket kan förutsättas vara isentrop. Det ger nu att γ 1)/γ 0,32/1,32 T 2b p2b 80 T 2b K 799 K 250 p 1 och att den sökta hastigheten är v 2b )] m/s 777 m/s Ljudhastigheten och machtalet är a 2b γrt 2b 1, m/s 551 m/s M 2b v 2b a 2b ,41 Notera att machtalen M 2a och M 2b är lika stora! Massflödet ut ur motorn ges av ṁ ρ 2 v 2 A 2 p 2 RT 2 v 2 A 2 där det är givet att A 2 0,20 m 2. Det ger i fall a) att och i fall b) att ṁ a p 2 RT 2a v 2a A 2 ṁ b p 2 RT 2b v 2b A 2 I början av efterbrännkammaren är massflödet ,2 kg/s 62,0 kg/s ,2 kg/s 54,0 kg/s ṁ ρ 1 v 1 A 1 p 1 R v 1 A 1 där det är givet att A 1 1,50 m 2. Det ger i fall a) att och i fall b) att R v 1a ṁ a 62,0 p 1 A ,50 R v 1b ṁ b 54,0 p 1 A ,50 m/s 38 m/s m/s 33 m/s Från detta framgår att v 1a v 2a och att v 1b v 2b vilket motiverar det antagande som anvisas i problemtexten att hastigheterna den kinetiska energin) i tvärsnitt 1 kan försummas. 3. Förändring i exergi för ett slutet system kan skrivas A U + p 0 V S.

5 SCI, Mekanik, KTH 5 För den adiabatiska kompressionen gäller γ 1 T 2 V1 8 γ 1 2,3 T ,3 K 689 K. V 2 m p 1V R , kg. A 12 mc v T 2 )+p 1 V 2 V 1 ) 0 1,16 0, )+100 1/8 1) J 236 J. För den isokora värmetillförseln gäller c v T 3 T 2 ) q in T 3 T 2 + q in K 1107 K. c v 717,5 T3 A 23 mc v T 3 T 2 ) + 0 mc v ln T 2 ] ,16 0, ) 300 ln J 230 J. 689 För den adiabatiska expansionen gäller T 4 T 3 V3 V 4 ) γ γ 1 0,44 T ,44 K 482 K. A 34 mc v T 4 T 3 )+p 1 V 4 V 3 ) 0 1,16 0, ) /8) J 433 J. För den isokora värmebortförseln gäller T1 A 41 mc v T 4 ) + 0 mc v ln T 4 ] 300 1,16 0, ) 300 ln J 33 J. 482 Det största värdet på exergin är A max J 466 J. Nettoarbetet per cykel blir W Otto η Otto mc v 717,5 T 3 T 2 ) 1 1 ) 1, ) J 196 J. 8 γ 1 Exergibudgeten för processen mellan delsteg 2 och 3 ges av 3 A 23 1 T ) 0 δq σ mc v T 3 T 2 ) T rand 2 T3 mc v T 3 T 2 ) 1 T 3 mc v dt σ T 2 T 3 ) σ T3 σ mc v T ) 2 1 T ) 1 A 23 / 253,9/ /300 J 0,08 J. T 3 4. Nedfrysningen av räkorna sker i tre steg: i) temperatursänkning i vatten-fas från begynnelsetemperaturen till fryspunkten, ii) fasövergång från vatten till is och iii) temperatursänkning i is-fas från fryspunkten till sluttemperaturen. Notera att begynnelsetemperaturen är lika med temperaturen i det varma magasinet, dvs. i havsvattnet. Att sänka temperaturen på räkorna från lufttemperaturen till havsvattnets temperatur kräver inget arbete! Möjligen kan man tänka sig att utvinna lite arbete ur denna initiala temperaturskillnad men det är väl tveksamt om det är praktiskt genomförbart med kompressoranläggningen ombord.)

6 6 SCI, Mekanik, KTH Det finns åtmindstånde) två alternativa lösningsmetoder. Alternativ 1: Det minsta arbete som krävs är lika stort som det arbete som kan utvinnas i den omvända processen. Detta inses eftersom den optimala processen är reversibel. Om havsvattnets temperatur definierar det döda tillståndet, 283,15 K, kan man helt enkelt räkna ut systemets exergi i sluttillståndet, vilket blir det minsta möjliga arbete som krävs. Man får a djupfryst u u 0 + p 0 v v 0 ) s s 0 ) Den andra termen är noll om man betraktar räkorna som inkompressibla. För den första termen får man u u 0 c is T djupfryst T fryspunkt ) h smält + c vatten T fryspunkt ) Den andra termen ger att s s 0 ) c is ln Således blir 2,2 22 0) ,2 0 10) kj/kg 424,2 kj/kg. 283,15 Tdjupfryst 2,2 ln T fryspunkt ) h smält + c vatten ln T fryspunkt ) ,2 ln 273,15 251,15 273,15 Tfryspunkt 273,15 283,15 a djupfryst u u 0 s s 0 ) 424, ,1 kj/kg 16,9 kj/kg. )] )] 441,1 kj/kg. Det arbete man eventuellt skulle kunna tillgodogöra sig vid kylningen av räkorna från luftttemperaturen till havsvattentemperaturen blir ) Träkor a räkor u u s s 0 ) c vatten T räkor ) c vatten ln 0,72 kj/kg.) Alternativ 2: Minimum erforderligt kompressorarbete erhålls vid en reversibel Carnotprocess. Då gäller att för de två delprocesser där temperaturen sänks att med något annorlunda beteckningar) dw dq ut dq in T 1 dq in där dq in c vatten dt resp. dq in c is dt Notera tecknet! Enligt den teckendefinition som används här är dq in positiv då räkornas temperatur sjunker. Vid själva fasövergången gäller i stället att w 00 q ut q in 1 q in där q in är smältvärmen h smält. Med givna siffror ger nu detta att kompressionsarbetet vid temperatursänkningen i vatten-fas är T0 w 10 c vatten T 1 dt c vatten ) T ut ln T ] 0 4, ) 283 ln 273 ] kj/kg 0, 756 kj/kg 283

7 SCI, Mekanik, KTH 7 På samma sätt blir kompressionsarbetet vid temperatursänkningen i is-fas T2 w 02 c is T 1 dt c is T 2 ) T ut ln T ] 2 2, ) 283 ln 251 ] kj/kg 3, 946 kj/kg 273 Kompressorarbetet vid fasövergången från vatten till is blir 283 w kj/kg 12, 234 kj/kg vilket, till slut, ger det totala kompressorarbetet w w 10 + w 00 + w 02 0, , , 946 kj/kg 16,9 kj/kg