Samtliga Härledningar och Bevis inom Termodynamik för T2. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm

Transkript

1 Samtliga Härledningar och Beis inom ermodynamik för 2 ony Burden Institutionen för mekanik, KH, Stockholm Version 3.0 mars 2006

2 Förord Denna lunta innehåller samtliga härledningar och beis som skulle kunna förekomma inom kursen 5C1216 termodynamik för 2. Det främsta syftet är att ingen ska behöa skria a beis och härledningar från talan under föreläsningarna som om i ar tillbaka i medeltiden. Luntan innehåller äen en hel del extra kommentarer som inte förekommer i föreläsningsanteckningarna. Medan föreläsningarna är asedda att ara ett första möte med de olika kursasnitten ska Samtliga härledningar och beis stödjer utecklandet a en djupare förståelse. Denna lunta bygger på sammanfattningen ermo konc. De har identisk asnittsnumrering och nästintill identisk ekationsnumrering. ermo konc ger en bra öersikt öer innehållet i denna lunta och du kommer att behöa ha åtminstone ordlistan och symboltabellen från ermo konc bredid dig när du studerar denna lunta. Version 3.0 är framtagen för läsåret 2005/06. Den innefattar text från 2004/05 med (enbart) notation anpassad till 2005/06. Denna lunta är INE ILLÅEN som hjälpmedel id skriningar. 2

3 Contents 1 Klassisk termodynamik System, tillstånd, och processer Den första huudsatsen ryck-olym-arbete Värmeöerföring, inre energi och entalpi Den andra huudsatsen Värmemotorer och erkningsgrader Kylning och ärmepumpar HS0, HS2 och temperatur ermodynamisk temperatur Entropi HS1 med HS2 för ett p-v system Exergi Energikalitet Exergi i slutna system Aslutande sammanfattning a HS Matematisk teori ermodynamiska potentialer Maxwells relationer Några generella samband Den ideala gaslagen och Joules lag Materie Materie Fast material, ätska, och gas Värmekapaciteter Inkompressibel materie Vatten Ideala gaser Den ideala gaslagen Joules lag Den molekylära bilden Luft som idealgas Reersibla adiabatiska processer Ändringar i entropi

4 2.3.7 Isentropiska processer Verkliga gaser Strömning genom öppna system Klassisk termodynamik för öppna system Energibudgeten för öppna system Strömning och energi Entropibudgeten för öppna system Strömningsexergi Inkompressibel strömning Kompressibel strömning Energi och machtal Dysströmning Stötågor Kraftekationen Analys a kretsprocesser, m m p-v -diagrammet S-diagrammet Carnotkretsen Stirling- och Ericssonkretserna Otto- och Dieselkretserna A Matematik 67 B Litteraturlista 69 4

5 Chapter 1 Klassisk termodynamik Klassisk termodynamik byggs upp axiomatiskt utifrån s k huudsatser som därmed utgör grundstenar i teorin. ermodynamikens huudsatser har inte stringent härletts eller beisats utan de är snarare stringenta formuleringar a allmän mänsklig intuition och förståelse. Masskonserering, t ex, kallas huudsats nr 1, HS 1. Den öergripande målsättningen är en extremt generell och allmängiltig teori. Det centrala begreppet inom termodynamik är energi och den centrala frågeställningen är omandlingen a energi från ärme till arbete, d s hur i människor får arbete utfört a kolmotorer, turbiner, reamotorer med mera. Fokuset i denna kurs är på kompressions oxh expansionsarbete, s k p-v arbete. Arbete utfört a andra krafter än trycket kan föras in i teorin på ett helt analogt sätt. 1.1 System, tillstånd, och processer Systemet är det tydligt agränsade objekt som studeras och analyseras. (Jämför friläggning inom mekanik.) Systemet kan ara en hel bilmotor. Det kan också ara en liten fluidpartikel som förs genom bilmotorn. När systemet har definerats utgör resten a uniersum systemets omgining. Systemet agränsas från sin omgining a sin rand eller gränsyta. När massa kan strömma genom gränsen till ett system sägs systemet ara öppet. Ett slutet system har konstant massa. Ingen ärmeöerföring kan ske till eller från ett termiskt isolerat system. Dess rand är adiabatisk. Ett system med en stel rand kan inte utföra p-v arbete (as 1.3). Ett isolerat system äxelerkar inte alls med sin omgining. Det sker ingen öerföring a arken massa, ärme, eller arbete. Ett system är i termodynamisk jämikt om dess tillstånd skulle förbli oförändrat om systemet helt isolerades från sin omgining. ermodynamisk jämikt förutsätter statisk jämikt, inre termisk jämikt, och kemisk jämikt. Ett system har lika många frihetsgrader som det finns oberoende möjligheter att ändra dess energi (i en kasijämiktsprocess). I beräkningar och härledningar anänds oftast flera ariabler, eller tillståndsfunktioner, än som behös för att fastställa systemets tillstånd. 5

6 Ett enkelt system har enbart tå frihetsgrader. En fix mängd a ett rent ämne, t ex en gas, utgör ett enkelt system. Se as 2.2. Ett p-v system utför p-v arbete (as 1.3) och ingen annan form a arbete. En mängd ren gas i en cylinder med en kol utgör ett enkelt p-v system. Se as 2.2. En tillståndsfunktion är en storhet eller ariabel som har ett älbestämt ärde när systemet befinner sig i ett älbestämt jämiktstillstånd. När ett system genomgår en process från ett tillstånd till ett annat är ändringen i en tillståndsfunktion därmed helt oberoende a processen. Exempel är massa, m, tryck, p, inre energi, u, och entropi, s. Motexempel är tillfört ärme, Q, och utfört arbete, W. Dessa storheter beror på den process som för systemet mellan tillstånden så de är process-funktioner, och inte tillståndsfunktioner. Extensia storheter är additia när system läggs ihop medan intensia storheter är oberoende a systemets storlek. Som exempel betrakta en mängd gas i jämikt med massa m 0 och id tryck p 0. Om nu för exemplets, eller analysens, skull detta system delas i tå delar med massor m 1 och m 2 kommer m 1 + m 2 m 0 medan trycket i de tå systemen kommer att ara det samma som i det ursprungliga systemet, p 1 p 0 och p 2 p 0. Massa är extensi och tryck är intensit. Substans eller materie-mängd, d s antal mol, är också extensi medan temperatur och alla specifika storheter är intensia. Specifika storheter beräknas per massenhet. ill exempel, om ett system har massa m och olym V är dess specifika olym V/m. Se notationsbilagan i ermo konc. En process är systemets äg från ett tillstånd till ett annat. En kasistatisk process eller kasi-jämikts-process är en kedja eller pärlband a jämiktstillstånd. (Detta är i princip en nödändig förutsättning för att processen ska kunna ritas som en heldragen linje i, t ex, p-v diagrammet.) Under en kasistatisk eller kasi-jämikts- process kan processen fås att ändra riktning genom en oändligt liten ändring a de aktuella driande krafterna. Kasistatiska processer sägs ara internt reersibla. En (helt) reersibel process är en idealisering som medför att både systemet och dess omgining kan återställas exakt till begynnelsetillståndet när processen är slut. Processer inom ilka friktion, t ex iskös strömning, förekommer utgör exempel på icke-reersibla processer. Andra tydliga exempel är ärmeöerföring öer ändliga temperaturskillnader och s k spontana, d s plötsligt frisläppta, processer som för systemet långt från jämikt. Några, mer eller mindre idealiserade, processer är a särskilt intresse: isobar dp 0 konstant tryck isokor d 0 konstant olym isoterm d 0 konstant temperatur adiabatisk δq 0 ingen ärmeöerföring isentrop ds 0 konstant entropi Ett p-v system utför inget arbete under en isokor process se ek (1.5). 6

7 Se upp med isoterma processer! De är inte nödändigtis adiabatiska när systemet kan utföra arbete. Entropi defineras i ek (1.25). En process som är både reersibel och adiabatisk är isentrop. 1.2 Den första huudsatsen Den Första Huudsatsen (HS1) lyder, I arje system finns det en tillståndsfunktion energi som, 1, arken kan förstöras eller skapas, och som, 2, kan föras till eller från systemet genom ärmeöerföring eller utförande a arbete. Matematiskt innebär HS1 att i kan skria, E Q W, (1.1) där E är systemets (totala) energi som, enligt HS1, är en tillståndsfunktion. W är arbete utfört a det system som studeras och Q är ärme öerfört till det system som studeras. Öerfört ärme, Q, och utfört arbete, W, är inte tillståndsfunktioner. Antag nu att systemets totala energi kan skrias i formen, Ekation (1.1) kan nu skrias i formen, E U + E rör (1.2) (U + E rör ) Q W. För s k konseratia krafter, som t ex tyngdkraften, kan det utförda arbetet skrias i formen, W kons E pot, där den s k potentiella energin, E pot, defineras a just detta uttryck. Ekation (1.1) kan därmed skrias i formen, (U + E rör + E pot ) Q W icke kons. Denna form kan ara att föredra. ill exempel, i härledningen a Bernoullis princip sedd som energiprincip är det bekämt att särskilja tyngdkraftens potentiella energi från örigt arbete. För oändligt små ändringar i E, motsarande små mängder öerfört ärme och utfört arbete, skris ek (1.1) i formen, de δq δw. Se notationsbilagan i ermo konc och definitionen a en tillståndsfunktion på sida 6 i as (1.1). När de rör är försumbar, t ex i systemets iloram, blir HS1, ek (1.1), du δq δw och du δq δw. (1.3) Här har denna iktiga grundekation skriits både i extensi form, för ett slutet system, och i den mer generella specifika formen. Se notationsbilagan i ermo konc. 7

8 1.3 ryck-olym-arbete När en mängd gas i en cylinder utför arbete mot en kol ges den mängd arbete som utförs a, δw p dv. (1.4) Detta grundläggande uttryck gäller generellt i alla system då trycket har samma ärde, p, öerallt på de delar a randen där arbetet utförs. När ett p-v system utför arbete i en kasistatisk process, har trycket ett äldefinerat ärde i alla de jämiktstillstånd som processen går genom, så i kan skria, δw int.re p dv, (1.5) där int.re står för internt reersibel, as 1.1, s 6. Det arbete som utförs under en reersibel process från tillstånd 1 till tillstånd 2 är, W 12 V2 V 1 p dv. (1.6) Integralen kan inte beräknas, d s ärdet på W kan inte bestämmas, förrän p är helt känd som funktion a V. För ett p-v system som genomgår en process i ilken δw p dv gäller, kan HS1, ek (1.3), skrias, du δq p dv och du δq p d, (1.7) där den andra, specifika, formen erhålls genom att diidera den första, extensia, med systemets massa, m. 1.4 Värmeöerföring, inre energi och entalpi Ett p-v system som genomgår en reersibel isokor process utför inget arbete, dw p d p 0 0, så den första huudsatsen, ek (1.7), lyder, du δq p d δq p 0 δq. Se notationsbilagan i ermo konc eller matematikbilagan i denna lunta. Definitionen a den specifika ärmekapaciteten id konstant specifik olym, ek (2.2), ger nu, du δq c d. (1.8) Denna ekation indikerar att i håller på med u(, ). Flerariabelsanalys, ek (A.9), ger, du ( ) u d + 8 ( ) u d

9 du ( ) u d + ( ) u d + 0. ( ) u d Jämförelse med ek (1.8) ger nu, c ( ) u. (1.9) För reersibla processer id konstant tryck, du p δq p p d p d s δq p du p + p d p. Analogt till δq du skulle i ilja skria δq p d(...) p där storheten i d(...) är en tillståndsfunktion. Det är faktiskt möjligt. Den första huudsatsen, ek (1.7), ger, För en isobar process, δq du + pd du + d(p) dp d(u + p) dp. Nu definerar i entalpi, h, enligt, δq p d(u + p) p dp p d(u + p) p 0. h u + p H U + pv, (1.10) så att δq p dh p. Helt analogt med ek (1.8) och (1.9) kan i ta fram, dh p δq p c p d p och c p ( ) h. (1.11) p Obserera att ek (1.10) och (1.11) har bytt ordning jämfört med ermo konc. Om inre energi sägs ara ärme öerfört id konstant olym kan entalpi sägas ara ärme öerfört id konstant tryck. Entalpi är också en iktig energistorhet inom energibudgeten för strömning genom öppna system. Se as 3.1 nedan. HS1 för ett p-v system, ek (1.7), ger för entalpi, dh d(u + p) du + d(p) δq p d + dp + p d δq + dp. (1.12) Ekationer (1.8) och (1.11) är särskilt betydelsefulla för ideala gaser se as och ar uppmärksam på skillnaden mellan, t ex, ek (1.8) och ek (2.16). 9

10 1.5 Den andra huudsatsen Den första huudsatsen hädar energins oförstörbarhet och lägger en grund till beskriningen a öerföring och omandling a energi. HS1 säger däremot ingenting om riktningen hos dessa olika öerförings- och omandlingsprocesser. Det är emellertid en allmän mänsklig erfarenhet och insikt att många olika processer har naturliga riktningar och den andra huudsatsen ger en stringent formulering till denna insikt. HS2 har fått ett antal till synes olika formuleringar och den leder till ett antal olika betydelsefulla resultat se as 1.6, 1.7, & 1.8 nedan. Clausius (1850) formulerade HS2 så här; Ingen kretsprocess är möjlig i ilken öerföring a ärme från en kallare till en armare kropp är det enda som sker. Som sagt är termodynamikens huudsatser stringenta formuleringar a allmän mänsklig erfarenhet och förståelse. Följande Kelin (1851) formulerade Planck (1927) HS2 så här; Ingen kretsprocess är möjlig i ilken allt tillfört ärme omandlas slutligen till arbete. (Sånt är liet!) En analys baserad på generella ärmemotorer (as 1.6) isar att de tå formuleringarna a HS2 oan är helt ekialenta. Beis Beiset har tå delar. Den ena är att isa att om Clausius formulering a den andra huudsatsen inte gäller kan inte heller Planks formulering följande Kelin gälla. D s om HS2 enligt Kelin och Planck gäller måsta HS2 enligt Clausis också gälla. Den andra delen a beiset är tärtom. Vi isar att om Planks formulering a den andra huudsatsen inte gäller kan inte heller Clausius formulering gälla. D s om HS2 enligt Clausius gäller måste HS2 enligt Kelin och Planck också gälla. Del 1: Om Clausius formulering a den andra huudsatsen inte gäller finns det ett system som för ärme från en kallare kropp till en armare utan en arbetsinsats. Låt Q ara det ärme som förs från den kallare till den armare kroppen. Nu sätter i in en ärmemotor (se as 1.6) som arbetar mellan samma tå kroppar och som lämnar ifrån sig Q ut Q till den kallare kroppen. Se figur 3 tillhörande denna lunta eller figur 5.2 i kursboken. Betrakta det sammansatta systemet bestående a systemet som bryter mot Clausius formulering a den andra huudsatsen tillsammans med den insatta ärmemotorn. Detta sammansatta system tar in ärme Q in Q W + Q ut Q W > 0 och utför arbete W men lämnar inte ifrån sig spillärme eftersom Q ut Q 0. (Detta blir ännu tydligare om i kortslutar den kalla kroppen.) Systemet bryter mot Plancks formulering a den andra huudsatsen, ilket är precis det som skulle beisas i den första delen a beiset. 10

11 Del 2: Om Plancks formulering a den andra huudsatsen inte gäller finns det en supermotor som tar ärme, Q in, från någon kropp eller ärmemagasin och omandlar det helt och hållet till arbete, W Q in. Nu låter i detta ärme dria en ärmepump (se as 1.6.1) som för ärme från en kallare kropp till den kropp som supermotorn utnyttjar. Se figur 4 tillhörande denna lunta. Betrakta det sammansatta systemet bestående a systemet som bryter mot Plancks formulering a den andra huudsatsen tillsammans med den insatta ärmepumpen. Detta sammansatta system tar in ärme Q kall > 0 från den kalla kroppen och lämnar ifrån sig ärme Q arm Q in Q arm W Q kall > 0 till den armare kroppen utan att arbete behöer tillföras. Systemet bryter mot Clausius formulering a den andra huudsatsen, ilket är precis det som skulle beisas i den andra delen a beiset. Nu är det fullständiga beiset klart. Den ena formuleringen medför den andra och tärtom. Generellt och öergripande kan man påstå att HS2 hädar att allt utnyttjande a energi som resurs leder till en försämring a dess anändbarhet. Detta leder till begreppet exergi som anänds för att analysera energiomandlings- och resursförbrukande processer. Se as Värmemotorer och erkningsgrader Den generella ärmemotorn representerar ångmaskiner och förbränningsmotorer, såsom bil- och flygmotorer. Den omandlar energi i form a öerfört ärme till energi i form a utfört arbete. När den körs åt andra hållet motsarar den kylprocesser och ärmepumpar som kräer arbete för att kunna åstadkomma ärmeöerföring. Carnot insåg i början a 1800-talet att en ärmemotor alltid arbetar mellan tå ärmemagasin, ett armt och ett kallt, samt att den alltid ager spillärme till det kalla magasinet. eoretisk analys anänder oftast idealiserade ärmemagasin, som har så stort ärmekapacitet att ändlig ärmeöerföring medför en försumbar temperaturändring. Energibudgeten (HS1) för en ärmemotor är, 0 Q in Q ut W Q in W + Q ut (1.13) Här är Q in ärme öerfört från det arma ärmemagasinet till systemet, medan Q ut är ärme öerfört från systemet till det kalla ärmemagasinet. W är arbete utfört a systemet ilket öerensstämmer med den öergripande teckenkonentionen. Se figur 5 tillhörande denna lunta eller figur 2.15a i kursboken. Den termiska erkningsgraden för en ärmemotor, eller kretsprocess, är definerad som: η W Q in W ut,netto Q in. (1.14) 11

12 Alla prestationstal, s k godhetstal, har samma generell struktur, ad man ill ha ad det kostar. Se äen definitionerna a köldfaktorn i ek (1.18) och a ärmefaktorn i ek (1.20) i as nedan. Carnots följdsats En iktig följd a den andra huudsatsen gäller optimala motorer och maximala erkningsgrader: Ingen ärmemotor som arbetar mellan tå gina temperaturer, eller ärmemagasin, kan ara effektiare än en reersibel ärmemotor som arbetar mellan samma temperaturer eller ärmemagasin. Matematiskt uttryckt, η η re η max eller η optimal η re. (1.15) Följden a HS2 oan kallas ibland Carnots följdsats men Carnot formulerade den ca 1830, ett tiotal år innan Clausius och Kelin formulerade själa HS2. Beis Beiset kan baseras på antingen den ena eller den andra formuleringen a den andra huudsatsen och för författaren a denna lunta ligger det närmast till hands att anända Clausius formulering. Båda beis ges dock här. Först beiset som baseras på Clausius formulering a den andra huudsatsen: Betrakta en godtycklig ärmemotor som arbetar mellan tå gina temperaturer eller ärmemagasin och låter den drier en reersibel ärmemotor reerserat, d s som en ärmepump, mellan samma tå ärmemagasin så att W re W motor W. Se figur 6 tillhörande denna lunta. Det sammansatta systemet, bestående a den godtyckliga ärmemotorn tillsammans med den reersibla ärmemotorn, utför inget arbete, arken positit eller negatit, så Clausis formulering a den andra huudsatsen kräer att netto öerföringen a ärme sker från det arma till det kalla magasinet, Q motor,in Q re,arm Q motor,ut Q re,kall 0. Eftersom det är erkningsgraden, ek (1.14), som i är intresserade a fokuserar i på den första olikheten. För den godtyckliga motorn, Q motor,in W η, medan för den reersibla motorn, Q re,arm W η re Q re,arm W η re. 12

13 (Begreppet reersibel ärmemotor är erkligen så kraftfullt!) Nu, HS2 enl. Clausius Q motor,in Q re,arm 0 W η W η re 0 1 η 1 η re 0 η re η 0 η η re. V.S.B. Plancks formulering a den andra huudsatsen kan förstås också anändas för att beisa Carnots följdsats. Betrakta en godtycklig ärmemotor som arbetar mellan tå gina temperaturer eller ärmemagasin och låter återigen en reersibel ärmemotor drias reerserat, d s som en ärmepump, mellan samma tå ärmemagasin. I detta beis låter i den reersibla ärmemotorn för lika mycket ärme till det arma magasinet som den godtyckliga motorn för därifrån, Q re,arm Q motor,in. Man kan säga att i har kortslutat det arma ärmemagasinet. Vi äljer att kortsluta det arma magasinet, och inte det kalla, eftersom i är intresserade a just η, ek (1.14). Se figur 7 tillhörande denna lunta eller figur 5.5 i kursboken. Det sammansatta systemet, bestående a den godtyckliga ärmemotorn tillsammans med den reersibla ärmemotorn, tar in ärme Q motor,in Q re,arm från ett enda ärmemagasin, det arma, och utför arbete W motor W re. Plancks formulering a den andra hudsatsen kräer, W motor W re 0, d s att egentligen utförs inget arbete alls a det sammansatta systemet utan det tillförs. Enligt definitionen, medan för den reersibla motorn, Nu, V.S.B. W motor ηq motor,in, W re η re ( Q re,arm ) W re η re Q re,arm. HS2 enl. Kelin o Planck W motor W re 0 ηq motor,in η re Q re,arm 0 η η re 0 η η re. 13

14 Det är implicit i Carnots följdsats att alla reersibla ärmemotorer har samma erkningsgrad som kan därmed enbart bero på de tå ärmemagasin som de arbetar emellan. Carnots sats är därmed en grundsten i den axiomatiska uppbyggnaden a det makroskopiska temperaturbegreppet, as 1.7. I termer a just termodynamisk temperatur,, och med hjälp a energibudgeten, ek (1.13), fås nu, η re W re Q in,re Q in,re Q ut,re Q in,re 1 Q ut,re Q in,re 1 lȧg hög. (1.16) Notera att η re < 1 så att, m h a ek (1.15), η < 1 för alla ärmemotorer. Värme går alltid till spillo när det omandlas till arbete Kylning och ärmepumpar Energibudgeten (HS1) för kylprocesser och ärmepumpar är, 0 Q kall Q arm + W in (1.17) där Q kall är ärme öerfört från det kalla ärmemagasinet till systemet, Q arm är ärme öerfört från systemet till det arma ärmemagasinet, och W in är arbete utfört på systemet. ex betecknas den eleffekt som drier ett kylskåp med Ẇin. Se figur 8 tillhörande denna lunta eller figur 2.15b i kursboken. Kylprocesser För en kylprocess, som t ex ett kylskåp, motsaras ad man ill ha a det ärme, Q kall, som förs från det kalla ärmemagasinet medan ad det kostar är det arbete, W in, som utförs på systemet så det releanta prestationstalet är köldfaktorn, η kyl, definerad a, bortfört ärme η kyl Q kall. (1.18) erfordrat arbete W in Det följer från den andra huudsatsen att Ingen kylprocess som dris mellan tå gina temperaturer, eller ärmemagasin, kan ara effektiare, d s ha ett högre ärde på η kyl, än en reersibel ärmemotor som dris reerserat mellan samma temperaturer eller ärmemagasin. Den reersibla ärmemotorn tillförs arbete och åstadkommer ärmeöerföring. Beis Betrakta en godtycklig kylprocess som arbetar mellan tå gina temperaturer eller ärmemagasin. För omäxlingens eller fullständighetens skull anänds formuleringen följande Kelin och Planck för att beisa η kyl η kyl,re här medan Clausius formulering anänds i samband med ärmepumpar nedan. Således låter i en reersibel motor arbetar mellan samma tå ärmemagasin som kylprocessen och kortslutar det kalla magasinet genom att låta, Q kall Q motor,ut. 14

15 Vi äljer att kortsluta det kalla magasinet, och inte det arma, eftersom i är intresserade a η kyl, ek (1.18). Se figur 9 tillhörande denna lunta eller figur 5.7 i kursboken (som innehåller ett tryckfel). Det sammansatta systemet, bestående a kylprocessen tillsammans med ärmemotorn, tar in ärme Q motor,in Q arm från ett enda ärmemagasin, det arma, och utför arbete W motor W in. Plancks formulering a den andra hudsatsen kräer, W motor W in 0. Enligt definitionen, medan för den reersibla motorn, W in Q kall η kyl, Nu, W motor Q kall η kyl,re W motor Q kall η kyl,re, HS2 enl. Kelin o Planck W motor W in 0 Q kall η kyl,re Q kall η kyl η kyl,re η kyl η kyl η kyl,re 0 η kyl η kyl,re. V.S.B. Beiset baserat på Clausius formulering a den andra huudsatsen lämnas som en öning. I termer a termodynamisk temperatur, as 1.7.1, får η kyl det optimala ärdet, η kyl,re Q kall,re W in,re Q kall,re Q arm,re Q kall,re lȧg hög lȧg. (1.19) Värmepumpar För en ärmepump motsaras ad man ill ha a det ärme, Q arm, som förs till det arma ärmemagasinet medan ad det kostar är det arbete, W in, som utförs på systemet så det releanta prestationstalet är ärmefaktorn, η p, definerad a, η p tillfört ärme erfordrat arbete Det följer från den andra huudsatsen att Q arm W in. (1.20) Ingen ärmepump som dris mellan tå gina temperaturer, eller ärmemagasin, kan ara effektiare, d s ha ett högre ärde på η p, än en reersibel ärmemotor som dris reerserat mellan samma temperaturer eller ärmemagasin. Den reersibla ärmemotorn tillförs arbete och åstadkommer ärmeöerföring. 15

16 Beis Betrakta en godtycklig ärmepump som arbetar mellan tå gina temperaturer eller ärmemagasin. Beiset baseras på den ena eller den andra formuleringen a den andra huudsatsen. Formuleringen följande Kelin och Planck anändes för att beisa η kyl η kyl,re oan så Clausius formulering anänds för att beisa η p η p,re här. Således låter i ärmepumpen drias a en reersibel motor som arbetar mellan samma tå ärmemagasin som kylprocessen, d s W in W motor W. Se figur 10 tillhörande denna lunta. Det sammansatta systemet, bestående a ärmepumpen tillsammans med ärmemotorn, utför inget arbete, arken positit eller negatit, så Clausis formulering a den andra hudsatsen kräer att netto öerföringen a ärme sker från det arma till det kalla magasinet, Q motor,in Q arm Q motor,ut Q kall 0. Eftersom det är ärmefaktorn, ek (1.20), som i är intresserade a fokuserar i på den första olikheten. Enligt definitionen, medan för den reersibla motorn, Nu, Q arm η p W in η p W, Q motor,in η p,re ( W motor ) Q motor,in η p,re W. HS2 enl. Clausius Q motor,in Q arm 0 η p,re W η p W 0 η p η p,re. V.S.B. Beiset baserat på Plancks formulering a den andra huudsatsen lämnas som en öning. I termer a termodynamisk temperatur, as 1.7.1, η p,re Q arm,re W in,re Q arm,re Q arm,re Q kall,re hög hög lȧg. (1.21) 1.7 HS0, HS2 och temperatur Den s k nollte huudsatsen är en grund för en axiomatisk, makroskopisk och generell definition a temperatur. Först defineras termisk jämikt enligt; å kroppar, eller system, som är i termisk kontakt, och som båda tå befinner sig i jämikt, sägs ara i termisk jämikt med arandra. 16

17 Det förekommer ingen ärmeöerföring mellan de tå kropparna och man kan säga att de har samma temperatur. Nollte huudsatsen (HS0); Om tå kroppar, eller system, ar för sig är i termisk jämikt med ett tredje system då måste de också ara i termisk jämikt med arandra. Det tredje systemet kan ara någon sorts termometer och man kan påstå att de första tå har samma temperatur, den temperatur som kan läsas a från termometern ermodynamisk temperatur Det följer från Carnots s k följdsats till den andra huudsatsen att alla reersibla ärmemotorer har samma erkningsgrad som kan därmed enbart bero på de tå ärmemagasin som de arbetar emellan; η re,1 η re,2 η re f ( hög, lȧg ). Med hjälp a energibudgeten, ek (1.17), kan i skria i mer generell notation, där f a 1 f. Dimensionsanalys kräer, Q 1 Q 2 f a ( 1, 2 ), Q 1 Q 2 f b medan möjligheten att bygga en reersibel motor a tå reersibla motorer med ett mellanliggande ärmemagasin kräer, Q 1 Q ( ) ( ) ( ) 1 Q f b f b f b. Q 3 Q 2 Q Nu äljer i den enklaste möjligheten och definerar termodynamisk temperatur enligt, ( 1 2 ), 1 2 Q 1 Q 2. (1.22) Kom ihåg att motorn måste ara reersibel och notera att definitionen i ek (1.22) förutsätter att all ärmeöerföring till och från motorn sker isotermt. Man kan säga att den termodynamiska standard termometern är en reersibel ärmemotor med isoterm ärmeöeföring. Det följer nu från definitionen a termodynamisk temperatur att det finns en absolut nollpunkt; Q ut > 0 lȧg > 0 d s Q 0 > 0. Nollpunkten i Kelinskalan sammanfaller med den absoluta nollpunkten medan atten fryser id 273,15 K id atmosfärstryck, 101,33 kpa. M h a Carnots kretsprocess, as 4.3, kan man isa att den idealgas- temperaturskalan, d s den temperatur som kan mätas med en idealgastermometer, sammanfaller med den termodynamiska temperaturskalan. Idealgas-temperaturskalan isar också på existensen a en absolut nollpunkt. 17

18 1.8 Entropi Entropi ger ett kantitatit mått på mycket a det som den andra huudsatsen handlar om, och i synnerhet ett mått på förekomsten a icke-reersibla processer. Definitionen a entropi grundas på Clausius sats eller olikhet. Clausius sats För en helt godtycklig kretsprocess i ett godtyckligt system, δq rand 0, (1.23) där δq är ärme som förs till en del a systemets rand där temperaturen är rand. För en reersibel kretsprocess blir ek (1.23), re δq rand 0. (1.24) beis Clausius sats är extremt generell. Vi betraktar ett godtyckligt system som genomgår en godtycklig kretsprocess. Vid ett läge i kretsprocessen tar systemt in ärme δq δq syst., id en del a sin rand där temperaturen är rand, och utför arbete δw δw syst.. Se figur 11 tillhörande denna lunta eller figur 6.1 i kursboken. (Obs! Både δq > 0 och δq 0 är möjliga och både δw > 0 och δw 0 är möjliga.) Beiset baseras på den andra huudsatsen som den har formulerats a Kelin och Planck, sida 10. Vi inför en reersibel motor som dris mellan det aktuella systemet och ett annat system id den konstanta temperaturen 0, t ex dess omgining eller ett ärmemagasin. Den reersibla motorn tar in ärme δq motor,in från det andra systemet, utför arbete δw motor med en maximal erkningsgrad, och lämnar ifrån sig ärme δq motor,ut δq syst. till det aktuella systemet. Se figur 11 tillhörande denna lunta eller figur 6.1 i kursboken. Eftersom motorn är reersibel, så den utför arbete, δq motor,ut δq motor,in rand 0 där δq motor,ut δq syst., δw motor δq motor,in δq motor,ut ( ) 0 1 δq motor,ut rand ( ) 0 1 δq syst.. rand Beroende på tecknet på δq δq syst. och förhållandet mellan rand och 0 är både δw motor > 0 och δw motor 0 möjliga. Nu ges det totala arbete som utförs a det aktuella systemet tillsammans med den reersibla ärmemotorn under en hel cykel a kretsprocessen a, W total {δwsyst. + δw motor }. Plancks formulering a den andra huudsatsen kräer W total 0 eftersom allt ärme som det sammansatta systemet, bestående a det aktuella systemet tillsammans med 18

19 ärmemotorn, får från systemet id 0 omandlas till arbete, W total. Eftersom energi, E, är en tillståndsfunktion, enligt den första huudsatsen, och de δq δw kan i skria, δw syst. {δqsyst. de } δq syst. 0 δq. Det arbete som utförs per cykel kan nu skrias, W total { δq syst. + ( ) } 0 1 δq syst. rand 0 δq syst. 0 rand δq rand. Eftersom 0 > 0, enligt definitionen a termodynamisk temperatur, följer Clausis olikhet nu från den andra huudsatsen, W total 0 δq rand 0. D s i har beisat ek (1.23). Om kretsprocessen är reersibel kan den genomlöpas bakåt. Clausius olikhet ger då, δqbak. rand 0. Värmeöerföringen blir dock reerserad, δq bak. δq så, δq rand δqbak. rand 0. Den enda möjligheten att satisfiera denna ekation och Clausius olikhet samtidigt är, δq rand 0, d s ek (1.24). Denna gäller enbart reersibla kretsprocesser. Definition Följande Clausius sats oan defineras entropi, S, enligt, ds δq int.re, (1.25) där int.re står för internt reersibel, as 1.1, s 6. Med hjälp a Clausius sats, genom ek (1.24), isar man att definitionen är entydig med följden att entropi är en tillståndsfunktion. 19

20 Definitionen a entropi är entydig ekialent med, S Entropi defineras i ek (1.25) ilket är helt A δq, där A är en internt reersibel process som för systemet från tillstånd 1 till tillstånd 2. (illstånden 1 och 2 är därmed jämiktstillstånd.) För att definitionen a entropi ska ara entydig måste, ( S) A ( S) B, där B är en annan internt reersibel process som också för systemet från tillstånd 1 till tillstånd 2. Detta isas med hjälp a Clausius sats skrien för en reersibel kretsprocess, ek (1.24). Vi inleder själa beiset med att införa benämningen A för den internt reersibla process som för systemet från tillstånd 2 till tillstånd 1 längs samma äg som process A, d s process A är process A bakåt. Notera att, δq A δq A A δq A δq. Den sammansatta processen A med B är sluten och reersibel. Clausius sats genom ek (1.24) ger, 0 A B δq A δq + B δq så, δq A B δq ( S) A ( S) B. Nu har i isat att entropin är entydigt definerad. A δq B + δq, Entropi är en tillståndsfunktion: Eftersom ändringen i entropi är oberoende a ilken internt reersibel äg som tas mellan tillstånden är entropi en tillståndsfunktion. Detta innebär bl a att i kan skria, ( S) 12 ( S) A ( S) B. Beräkningar a entropiändringar behöer därmed inte baseras på den aktuella processen. Man antar ofta implicit att mellan arje par a tillstånd existerar åtminstone en äg eller process som är internt reersibel. Entropiändringar i slutna system Vi betraktar en godtycklig process, A, i ett godtyckligt system. Entropiändringen under process A ges a, ( S) A ( S) 12 ( S) R R δq, där R är en internt reersibel process som också för systemet från tillstånd 1 till tillstånd 2. Låt R ara den internt reersibla process som för systemet från tillstånd 2 till 20

21 tillstånd 1 längs samma äg som process R. Den sammansatta processen bestående a R med den aktuella processen, A, är en sluten kretsprocess och Clausius olikhet, ek (1.23), ger, A R δq rand A δq rand + R δq 0. Nu inför i den extensia storheten, σ A, genom, σ A A R δq rand δq A rand R δq 0, så att, σ A 0. I termer a σ A kan i skria entropiändringen i formen, S R δq A δq rand + σ A, där VL, S, är oberoende a processen medan HL beror starkt på den aktuella processen A. Om process A är själ reersibel får i likhet i Clausius olikhet, d s ek (1.24) i stället för ek (1.23), så att, σ re 0. Därmed säger i att σ A är produktionen a entropi (σ A 0) på grund a icke-reersibla delprocesser (σ re 0) under process A. Under oändligt korta processer är ändringen i entropi, ds δq + δσ, (1.26) där, δσ 0 medan δσ re 0. (1.27) Ändringen i entropi får bidrag från, 1, öerföring i samband med ärmeöerföring, och, 2, produktion i inre irreersibiliteter, δσ. Under en adiabatisk process, δq 0, och ändringen i entropi blir, ( S) ad 0 + σ A 0, d s entropin kan omöjligen minska. Detta gäller, t ex, under alla processer i isolerade system. Under en reersibel adiabatisk process, ( S) re,ad 0 + σ re 0, d s entropin är konstant under reersibla adiabatiska processer. Sådana processer brukar kallas just isentropa. 21

22 Uniersum är ett (triiellt) isolerat system, och (helt) reersibla processer förekommer inte, så ds uni. > 0 under alla processer. Det kan ge lite mer insikt om i tittar på ds uni. under en iss process i ett isst system; ds uni. ds (syst) + ds omg. δq (syst) + σ (syst) + δq omg. + σ omg. rand rand δq (syst) + σ (syst) + δq (syst) + σ omg. rand rand δσ (syst) + δσ omg. δσ uni. 0. (1.28) Likhet i detta uttryck är generellt sett otänkbart eftersom det skulle förutsätta att processen är (helt) reersibel. Se sida 6. Ek (1.28), ds uni. > 0, brukar sägas leda till tidens pil, d s att tiden bara går åt ett håll, ilket stämmer bra med allmän mänsklig erfarenhet och är inbyggt i formuleringarna a den andra huudsatsen i as 1.5. Inom statistisk fysik kopplas entropi till begrepp som ordning, kaos och information. 1.9 HS1 med HS2 för ett p-v system Införandet a begreppet entropi leder till att HS1 kan skrias i termer a enbart tillståndsfunktioner. För en oändligt kort process ger den första huudsatsen, genom ek(1.3), du δq δw, där δq är ärme fört till systemet och δw är arbete utfört a systemet. Under en internt reersibel process i ett p-v system ges det utförda arbetet a, ek(1.5), δw int.re p dv int.re, medan definitionen a entropi, ek(1.25), ger det tillförda ärmet i formen, δq int.re ds int.re. Det matematiska uttrycket för öerfört ärme får nu samma struktur som det matematiska uttrycket för utfört arbete. Om man säger att temperatur är den kraft som drier ärmeöerföring kan man säger att entropi är det rum i ilket denna krafts angreppspunkt rör sig. De tre ekationerna oan medför att energibudgeten för en internt reersibel process i ett p-v system kan skrias i termer a enbart tillståndsfunktioner, du int.re ds int.re p dv int.re. Ändringarna i tillståndsfunktionerna U, S och V är dock oberoende a processen så, du ds p dv, 22

23 gäller generellt, äen under processer som inte är reersibla. I termer a specifika storheter, du ds p d. (1.29) För entalpin, ek (1.10), fås, dh ds + dp. (1.30) Jämförd med ek (1.3) och (1.12) har den första huudsatsen uttryckts i termer a enbart tillståndsfunktioner Exergi Detta asnitt presenterar några begrepp som är betydelsefulla för analysen a energiomandling och andra industriella processer. Analysen betonar utnyttjandet och förbrukningen a resurser. I detta asnitt tar i hänsyn till det faktum att den förmåga som ett system, som energikälla sedd, har att uträtta arbete, e genom att dria en ärmemotor, är beroende a dess omgining, i synnerhet omginingens temperatur, 0, och tryck, p 0. Se Energi och exergi för fullständiga härledningar. exten som återges i detta asnitt är kopierad direkt från ermo konc så att asnitts och ekationsnumreringarna förblir identiska Energikalitet Mekanisk energi, t ex makroskopisk rörelseenergi, sägs ha högre kalitet är termisk energi, d s ärme, eftersom mekanisk energi kan i princip omandlas till arbete till 100% medan omandlingen a termisk energi till arbete är begränsad a η optimal < 1.00, enligt as 1.6. Man kan gå idare och definera en kalitetsfaktor som är 1.00 för mekanisk energi medan kalitetsfaktorn är begränsad till η optimal η re / för termisk energi från ett ärmemagasin med temperatur > 0. Det blir dock mer generellt att införa begreppet exergi Exergi i slutna system Exergi är förmåga att utföra arbete. Eller mer noga uttryckt; Ett slutet systems exergi i en gien omgining är den teoretiskt sett maximala mängd arbete som kan utföras när systemet äxelerkar med sin omgining tills de tå systemen är i jämikt med arandra. Exergin i ett slutet system är därmed, A (E U 0 ) + p 0 (V V 0 ) 0 (S S 0 ), (1.31) där E, V, och S är systemets (totala) energi, olym och entropi. U 0, V 0 och S 0 är de ärden som systemets inre energi, olym och entropi skulle ha i det s k döda tillståndet i ilket systemet har samma temperatur, 0, och tryck, p 0, som omginingen. 23

24 Med utgångspunkt i uttrycket för exergi, A, i ek (1.31) leder energibudgeten, ek (1.1) för E, och entropibudgeten, ek (1.26) för S ds, till exergibudgeten, A 2 1 ( 1 0 ) δq W + p 0 V 0 σ. (1.32) Den sista termen, 0 σ, är destruktionen a exergi i icke-reersibla delprocesser Aslutande sammanfattning a HS2 Aslutningsis kan i sammanfatta den Andra Huudsatsens många olika utsägningar, lite löst: Värme öerförs aldrig från kallt till armt utan en arbetsinsats. Inte ens i teori finns det en ärmemotor med erkningsgrad 1,00. En reersibel ärmemotor skulle ha den högsta möjliga erkningsgraden. Entropi ökar hela tiden. Exergi, d s förmåga att utföra arbete, förbrukas. Hade i ägnat oss mer åt den molekylära synpunkten hade i kunnat lägga till: Värme sprider sig ärmedöden. Oordningen bara ökar Matematisk teori Detta asnitt är på gränsen till öerkurs ermodynamiska potentialer För p-v system definerar man fyra s k termodynamiska potentialer; inre energi, u, entalpi, h, Helmholtz funktion, ψ eller f, och Gibbs funktion, g. Alla fyra har fysikalisk dimension energi. Inre energi har sin grund i den första huudsatsen genom ilken den satsifierar, du ds p d, d s ek (1.29). Se as 1.2 och 1.9. Entalpi defineras genom, h u + p, 24

25 d s ek (1.10), och är den energistorhet som är lämplig för analys a strömning genom öppna system. Se as 1.4 och 3.1. Genom den första huudsatsen satisfierar entalpi, dh ds + dp, d s ek (1.30). Ändringen i entalpi under en isobar process är därmed lika med det öerförda ärmet. Entalpi, h, tas fram genom att lägga produkten p till inre energi, u. Helt analogt kan man dra ifrån produkten s och på så sätt skapa Helmholtz funktion, ψ u s. Den första huudsatsen, genom ek (1.29), ger för Helmholtz funktion, dψ d(u s) du d( s) ds p d ds s d s d pd. (1.33) Notera att denna ekation är lika snygg som ek (1.29) och (1.30). Slutligen kan man löpa linan ut och både lägga till p och dra ifrån s: g u s + p h s ψ + p, kallas Gibbs funktion. Genom den första huudsatsen satisfierar den, dg s d + dp. Äen denna ekation är lika snygg som ek (1.29) och (1.30). Produkten p ska läggas till medan s dras ifrån. Helmholtz och Gibbs funktioner spelar iktiga roller inom teoretisk fysik och fysikalisk kemi men inom kurs 5C1201 anänds de enbart för att ta fram Maxwells relationer Maxwells relationer För den inre enrgin ger den första huudsatsen, tillsammans med den andra huudsatsen, ekation (1.29), du ds pd, som indikerar att det är lämpligt att uttrycka inre energi som en funktion a entropi och olym, d s u(s, ). Flerariabelsanalys, ek A.8, ger i så fall, du ( ) u ds + s ( ) u d. s Jämförelse a denna ekation med ekation (1.29), du ds pd, ger, ( ) u s och 25 ( ) u s p.

26 Flerariabelsanalys ger nu, ( ( ) ) u s s ( s ( ) ) u s ( ) s ( ) p s den första a fyra s k Maxwellrelationer för ett p-v system. De öriga tre följer från entalpi, h, Helmholtz funktion, ψ, och Gibbs funktion, g. För entalpi, ger så att, dh ds + dp och dh p ( ) h s p s För Helmholtz funktion, ger så att, ( ( ) h s p ( s och ( ) ) h p s p dψ s d p d och dψ ( ) ) ψ För Gibbs funktion, ger så att, p ( ) ψ ( s och ( ) ) ψ dg s d + dp och dg ( ) g p ( ) g p ( s och ( ) ) g p p ( ) h ds + s p ( ) h p s, ( ) p s ( ) ψ d + ( ) ψ ( ) s p, ( ) g d + p ( ) g p, ( ) s p Vi kommer att ha stor nytta a Maxwells relationer i nästa asnitt. 26 ( ) h dp, p s ( ). s p, ( ) ψ d, ( ) p ( ) g dp, p. (1.34) ( ). (1.35) p

27 Några generella samband Nu har i den teoretiska grund som behös för att härleda några iktiga generella samband för enkla p-v system. Dessa anänds bl a för att framställa tabeller för, t ex, u, h, och s, från uppmätta ärden för p,, och. inre energi som en funktion a temperatur och olym, u(, ). Analysen i as 1.4 a ärmeöerföring id konstant olym i ett p-v system indikerar att det är lämpligt att uttrycka inre energi som en funktion a temperatur och olym, d s u(, ). Flerariabelsanalys, ek A.8, ger då, du ( ) u d + ( ) u d c d + ( ) u d, med hjälp a ek (1.9) för c. Den andra partiella deriatan skris i termer a enbart p,, och med hjälp a dels den första huudsatsen, genom ek (1.29), dels den tredje Maxwellrelationen, ek (1.34); ( ) u du ds p d ( ) s ( ) p p p 1. ( ) Ändringen i inre energi ges därmed a, du c d + { ( ) } p p d, (1.36) som gäller helt generellt i ett p-v -system. Se ek (2.16) och as nedan för den enklare form som detta uttryck tar i en ideal gas. entropi som en funktion a temperatur och olym, s(, ). Den första huudsatsen, genom ek (1.29), ger, du ds p d ds 1 du + p d, som tillsammans med ek (1.36) ger, ds c d + Se ek (2.28) för den form som detta uttryck tar i en ideal gas. 27 ( ) p d. (1.37)

28 entalpi som en funktion a temperatur och tryck, h(, p). Analysen i as 1.4 a ärmeöerföring id konstant tryck i ett p-v system indikerar att det är lämpligt att uttrycka entalpi som en funktion a temperatur och tryck, d s h(, p). Flerariabelsanalys, ek A.8, ger då, dh ( ) h d + p ( ) h dp c p d + p ( ) h dp, p med hjälp a ek (1.11) för c p. Den andra partiella deriatan skris i termer a enbart p,, och med hjälp a dels den första huudsatsen, genom ek (1.30), dels den fjärde Maxwellrelationen, ek (1.35); ( ) h p dh ds + dp ( ) s p ( ) + p ( ) p p + 1. Ändringen i entalpi ges därmed a, ( ) dh c p d + dp. (1.38) p som gäller helt generellt i ett p-v -system. Se ek (2.17) och as nedan för den enklare form som detta uttryck tar i en ideal gas. entropi som en funktion a temperatur och tryck, s(, p). Den första huudsatsen, genom ek (1.30), ger, dh ds + dp ds 1 dh dp, som tillsammans med ek (1.38) ger, ds c p d Se ek (2.29) för den form som detta uttryck tar i en ideal gas. specifika ärmekapaciteter tå generella relationer Genom att subtrahera ek (1.37) från ek (1.39) erhålls, (c p c ) d ( ) dp + p 28 ( ) dp. (1.39) p ( ) p d.

29 Nu kan man älja antingen att ta fram, (c p c ) 1 ( ) ( ) ( ) p p + ( ) p 0, eller, Hursomhelst, (c p c ) 1 ( ) p c p c ( ) 0 + p ( ) ( ) p p Denna ekation brukar skrias om m h a ek (A.11) i formen, där, c p c ( ) 2 ( ) p p β 1 ( ) p ( ) ( ) p. p. (1.40) β2 κ, är den isobara olymutidgningskoefficienten, d s den relatia ändringen i olym på grund a en isobar ändring i temperatur, och κ 1 ( ) p är den isoterma kompressibiliteten, d s den relatia ändringen i olym på grund a en isoterm ändring i tryck. När den ideala gaslagen, p R (2.15), uppfylls kan man beräkna de partiella deriatorna i högra ledet i ek (1.40) och ta fram c p c R, ek (2.18), som gäller enbart för en ideal gas. Koten c p /c k spelar en iktig roll i beräkningar på ideala gaser. För att ta fram ett generellt uttryck för c p /c anänder man definitionen a entropi, δq int.re. ds (1.25), snarare än de generella sambanden i detta asnitt. tillsammans med, ger, c d δq ds c c p d p δq p ds p c p c p c ( ) ( ) s s p 29, ( ) s, ( ) s, p

30 med hjälp a ek (A.10). Inga a dessa partiella deriator förekommer inom Maxwells relationer så i anänder ek (A.11); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c p s p s p. c p s s p s s s s En enkel kedjeregel för deriator ger nu, c p c ( ) p ( ) p. (1.41) s Som en öning kan man uttrycka den första deriatan med hjälp a den ideala gaslagen, ek (2.15), och den andra med hjälp a ek (2.31) och komma fram till c p /c k Den ideala gaslagen och Joules lag Den ideala gaslagen och Joules lag är helt ekialenta. D s om en gas uppfyller den ideala gaslagen kommer den också att uppfylla Joules lag, och tärtom om den uppfyller Joules lag kommer den att uppfylla den ideala gaslagen. Beiset har därmed tå delar. Del 1 en gas som uppfyller den ideala gaslagen uppfyller också Joules lag. Om gasen uppfyller den ideala gaslagen, p R, ek (2.15), kan de partiella deriatorna i uttrycken för du och dh i ek (1.36) och (1.38) oan tas fram. Uttrycken för du och dh reduceras därmed till ek (2.16) och (2.17). För du, p R ( ) ( ) p p R 1 R ) ( p p R du c d + 0 d c d. Motsarande detaljer för dh lämnas som en öning. p R p Del 2 en gas som uppfyller Joules lag uppfyller också den ideala gaslagen. Joules lag, as 2.3.2, ger du c d, ek (2.16), som tillsammans med det generella uttrycket i ek (1.36) oan ger, ( ) p p 0 1 ( ) p 1 p ( ) ln p ln p ln + f 1 () ( ) ln 0 p f 2 (), 30

31 där f 1 ln f 2 är en godtycklig funktion, integrationskonstanten. På samma sätt ger ek (2.17) med ek (1.38), ( ) p 0 f 4 (p). illsammans, p f 2 () f 4 (p) pf 4 (p) f 2 () f 4 (p) R p och f 2 () R p R, där R är en konstant ars ärde inte bestäms inom denna del a teorin. 31

32 Chapter 2 Materie 2.1 Materie 2.2 Fast material, ätska, och gas Ett rent ämne kan finnas i flera olika faser; gas, ätska, samt en eller flera faser med fast form. Dessa olika möjliga faser anges a p-- ytan i fasdiagrammet. Vid temperaturer högre än den kritiska temperaturen kan man inte längre skilja gasfasen och ätskefasen åt. En betraktelse a projiceringen a p-- ytan på p- planet, eller diagrammet, isar att den kritiska punkten ges a; ( ) p 0 med ( 2 ) p 2 0. (2.1) Ytterst få anliga ämnen har kritiska tryck och temperaturer som ligger nära atmosfärstryck och anliga inomhus och utomhus-temperaturer. Flera delar a p-- ytan anger att tå olika faser kan existera samtidigt. På en eller flera linjer i p-- ytan kan t o m tre olika faser existera samtidigt. Relationen mellan antalet samexisterande faser och den geomtriska dimensionen hos den releanta delen a p-- ytan ges a fasregeln. Öergång mellan olika faser, s k fasomandling, brukar kräa öerföring a ärme, s k omandlingsentalpi, q h fasom. När fasdiagrammet ritas som anligt, med p, och på arsin axel, hamnar jämiktstillstånden på en yta, ett geometriskt objekt med tå dimensioner. I princip skulle figuren kunna ritas i flera dimensioner, med axlar motsarande flera tillståndsfunktioner såsom inre energi och entropi, men jämiktstillstånden skulle fortfarande hamna på en tå-dimensionell yta. Detta innebär att om t ex p och är kända är, u och s då bestämda, åtminstone i princip. En mängd a ett rent ämne har alltså enbart tå frihetsgradar. Den utgör därmed ett enkelt system. En mängd a ett rent ämne kan dessutom utföra p-v arbete genom expansion och kompression. Den utgör därmed ett enkelt p-v system. 32

33 2.2.1 Värmekapaciteter När ärmeöerföring leder till en ändring i temperatur är det praktiskt att anända en beräkningsformel med formen Q C där C är en (empirisk) ärmekapacitet. Om systemet har flera frihetsgradar måste dock ärmeöerförings-processen preciseras noggrannare ilket kan leda till anändandet a flera ärmekapaciteter. För ett enkelt system med dess tå frihetsgradar, t ex, behös generellt tå ärmekapaciteter. För ett enkelt p-v system m m defineras den specifika ärmekapaciteten id konstant olym genom, δq c d, (2.2) och den specifika ärmekapaciteten id konstant tryck genom, δq p c p d p. (2.3) För ätskor och fast material, c p c (2.7), eftersom ätskor och fast material är nära nog inkompressibla, åtminstone jämfört med gaser Inkompressibel materie Masstätheten, ϱ 1/, hos ätskor och fast material som genomgår måttliga processer är nästan konstant, d 0. Det är ofta praktiskt att anända den approximatia beräkningsmodellen inkompressibel materie i ilken, ϱ konstant 1 ϱ konstant d 0. När den specifika olymen,, hålls konstant reduceras antalet frihetsgradar hos p- systemet från tå till ett så i kan skria, t ex, u(, ) u( ). Vi behöer inte heller ange ägen genom tillståndsrummet, d s p-- ytan, om det är tydligt att i anänder modellen inkompressibel materie. Vi kan, t ex, helt enkelt skria du i stället för du, eller, δq c d, (2.4) i stället för δq c d, ek (2.2). Den första huudsatsen, genom ek (1.7), ger, som i kan skria som, du δq pd c d p 0, du c d. (2.5) Jämför ek (2.5) med det generellt giltiga uttrycket för du i ek (1.36). För entalpin, h u + p (1.10), erhålls, h u( ) + p( ). 33