5C1201 Strömningslära och termodynamik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "5C1201 Strömningslära och termodynamik"

Transkript

1 5C1201 Strömningslära och termodynamik Föreläsning 12: Kompressibel strömning Introduktion samt isentropisk strömning Målsättning: att formulera de grundekvationer som gäller då strömningen är kompressibel, att visa att i dessa grundekvationer måste ingå en eller flera tillståndsekvationer för fluiden, att repetera några centrala delar från termodynamiken som är av betydelse då strömningen är kompressibel, att definiera begreppen ljudhastighet och Mach-tal, att härleda relationen mellan Mach-talet och det termodynamiska tillståndet vid endimensionell isentropisk strömning av en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter samt att studera relationen mellan Mach-talet och tvärsnittsareafördelningen i isentropisk strömrörsströmning av en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter. Detta är den första i en serie av tre föreläsningar som behandlar kompressibel strömning. Hela detta avsnitt behandlas i M7 kap. 11 och materialet till denna föreläsning återfinns i och Övningsmaterial finns i Ek kap. 1och Grundekvationer Som framgår av bild 1 ger de konserveringslagar man kan formulera för ett kompressibelt strömningsfält (kontinuitets-, kraft- och energiekvationerna) inte ett slutet ekvationssystem. Man har fler obekanta än ekvationer. För att sluta ekvationssystemet måste man lägga till ekvationer som specificerar vilken typ av fluid man behandlar. Dessa samband får vi från termodynamiken där de kallas tillståndsekvationer. En mer generell term är konstitutiva ekvationer. Den typ av fluid vi ska behandla i denna kurs är en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter (eller specifika värmen). Det ger två stycken tillståndsekvationer enligt bilden och därmed har vi ett slutet ekvationssystem som, i princip, är lösbart Några termodynamiska grunder Enligt ovan ska vi behandla kompressibel strömning av ideala gaser. En sammanfattning av tillståndsekvationen för en ideal gas finns i bild 2. En sådan gas är ett s.k. enkelt termodynamiskt system och för sådana gäller enligt termodynamiken att varje 1

2 Kompressibel strömrörsströmning grundekvationer Kontinuitetsekvationen ρua= konst. Kraftekvationen (Eulers ekvation) 1 dp + u du =0 ρ 2 ekvationer, 3 obekanta. Energiekvationen (HS1 öppet system) (h + 12 ) u2 =0 3 ekvationer, 4 obekanta. Ideal gas pv = RT 4 ekvationer, 5 obekanta....medkonstantaspecifikavärmen h = c p T 5 ekvationer, 5 obekanta. Tvärsnittsareafördelningen A förutsätts känd. h är entalpin och v =1/ρ. sl11001s ( c AK) Bild 1: tillståndsvariabel (t.ex. tryck, temperatur, täthet, inre energi, entalpi, entropi) kan skrivas som en funktion av högst två andra tillståndsvariabler. För en ideal gas gäller dessutom att den inre energin, som vi här ska beteckna e, och entalpin h enbart är en funktion av temperaturen T (bild 3). I mer avancerad analys av kompressibla strömningsfält för man ofta även in ter- Ideal gas Tillståndsekvation: p ρ = RT Def.: En ideal gas är en gas i vilken intermolekylära krafter är försumbara. För detta krävs att dimensionen på de molekyler som gasen består av är liten jämfört med avståndet mellan molekylerna. ρ = densiteten, p = trycket, T = temperaturen, R = R/M = gaskonstanten, R = N A k = universella gaskonstanten = 8 314,3 J/(kmol K), M = gasens medelmolmassa, N A = Avogadros tal = 6, partiklar/kmol, k = Boltzmanns konstant = 1, J/K. sl11002s ( c AK) Bild 2: 2

3 Ett enkelt termodynamiskt system I ett enkelt termodynamiskt system är varje tillståndsvariabel en funktion av maximalt två andra tillståndsvariabler. En ideal gas är ett exempel på ett enkelt termodynamiskt system. Ienidealgasgäller dessutom att den inre energin e, entalpin h och de specifika värmena c v och c p enbart är en funktion av temperaturen T. sl11003s ( c AK) Bild 3: merna termiskt ideal gas och kaloriskt ideal gas. Definitionerna framgår av bilderna 4 och 5. Notera att det i allmänhet krävs att det pågår en kemisk reaktion i strömningen för att en ideal gas inte ska vara termiskt ideal. Sådana problem behandlar vi inte här alla gaser i denna kurs är termiskt ideala. Notera också att med en kaloriskt ideal gas avser man detsamma som en ideal gas med konstanta värmekapaciteter. Termiskt ideala gaser För en ideal gas (eng. perfect gas) gäller p ρ = RT där R = R/M är gaskonstanten, R är den universella gaskonstanten och M gasen (medel)molmassa. Om det förekommer kemiska reaktioner i gasen ändras medelmolmassan M och därmed även gaskonstanten R. Def.: En termiskt ideal gas (eng. thermally perfect gas) är en gas där gaskonstanten R verkligen är en konstant, dvs. en gas i vilken inga kemiska reaktioner pågår. sl11004s ( c AK) Bild 4: 3

4 Kaloriskt ideala gaser För en ideal gas (eng. perfect gas) gäller p ρ = RT Utgående från denna ekvation kan man visa att den specifika inre energin e och den specifika entalpin h e = e(t ) h = h(t ) och att de speicifika värmekapaciteterna c v = c v (T ) c p = c p (T ) Om temperaturen T inte är för hög (för luft 500 à K) gäller approximativt att c v och c p är konstanta. Def.: En kaloriskt ideal gas (eng. calorically perfect gas) är en ideal gas i vilken c v och c p är konstanta. I en kaloriskt ideal gas gäller för ändringar i inre energin e och entalpin h e = c v T h = c p T sl11005s ( c AK) Bild 5: Det strömmande mediet i många av de problem vi ska studera i denna kursdel är luft. Luft är en blandning av flera olika gaser varav de viktigaste visas i bild 6. Om luftens temperatur blir för hög får man betydande effekter av kemiska reaktioner mellan de olika gaser som luften består av. Sådan effekter ska vi inte intressera oss för i denna kurs. Vidare gäller att de specifika värmekapaciteterna för luft är oberoende Luft Luft kan, förutom vid extremt höga tryck, betraktas som en ideal gas. Torr luft har sammansättningen (volymskoncentrationen) 78,084% N 2 20,946% O 2 0,934% Ar 0,033% CO 2 Resterande 0,003% utgörs av olika spårämnen som t.ex. ädelgaser, vätgas och olika kväveoxider. Detta ger att gaskonstanten för luft R = 287,06 J/(kg K) Luft är en termiskt ideal gas upp till den temperatur där N 2 -ocho 2 -molekylerna börjar dissociera. När detta inträffar beror av trycket. Vid 100 kpa börjar luft dissociera vid en temperatur en bit över K. sl11006s ( c AK) Bild 6: 4

5 Entropin isentropi Entropin s definieras så att differentialen ds = (δq) rev. T där (δq) rev. är värmeöverföringen från omgivningen till gasen vid en (internt) reversibel tillståndsändring. Om den reversibla tillståndsändringen dessutom är adiabatisk, dvs.om (δq) rev. =0 framgår från definitionen ovan att ds =0 dvs. entropin är konstant. En tillståndsändring där entropin s är konstant kallas isentropisk. Från ovan framgår att en reversibel och adiabatisk tillståndsändring är isentropisk. sl11007s ( c AK) Bild 7: av temperaturen om denna inte är alltför hög (bild 5). I denna kursdel kommer vi att behandla ett fenomen där tillståndsändringen i gasen inte är reversibel. I alla andra problem är tillståndsändringen reversibel. Vi ska även förutsätta att alla tillståndsändringar sker adiabatiskt, dvs. utan något värmeutbyte med omgivningen. I en tillståndsändringen som är adiabatisk och re- Isentropisk tillståndsändring i en ideal gas För en gas som satisfierar Boyles lag pv = f(t ) gäller vid en isentropisk tillståndsändring att pv γ = konst. eller p ρ γ = konst. där γ = c p c v För en ideal gas gäller dessutom att p T = konst. γ/(γ 1) och ρ = konst. T 1/(γ 1) sl11008s ( c AK) Bild 8: 5

6 Ljudhastigheten En ljudvåg är en infinitesimal tryckstörning. Denna utbreder sig med ljudhastigheten a. Tillståndsändringen då ljudvågen passerar är isentropisk (dvs. adiabatisk och reversibel). Man kan visa att ljudhastigheten a 2 = ( ) p ρ s För en gas som uppfyller Boyles lag pv = f(t ) ger detta p ρ γ = konst. a 2 = γ p ρ Om gasen dessutom är ideal gäller även att a 2 = γrt sl11009s ( c AK) Bild 9: versibel är entropin s konstant, man säger att strömningen är isentropisk (bild 7). Då tillståndsändringen i en ideal gas är isentropisk gäller de samband som visas i bild 8 mellan tillståndsvariablerna tryck, täthet och temperatur. Notera att kvoten c p /c v mellan gasens specifika värmen i denna kursdel betecknas med γ och inte med k som i termodynamikdelen. Dessa olika beteckningar är främst historiskt betingade. Inom energitekniken med dess tillämpningar används vanligen k eller κ eller κ som beteckning på denna kvot medan inom strömningmekanik och dess tillämpningar beteckningen γ är mycket vanlig Ljudhastigheten och Mach-talet Ljudhastigheten a är utbredningshastigheten för små tryckpulser. Notera att dessa tryckpulser utbreder sig med denna hastighet relativt gasen. Tryckpulsens hastighet relativt en rumsfast observatör är alltså en annan. Under nästa föreläsning kommer vi att härleda uttrycket för ljudhastigheten som finns längst ned till vänster i bild 9. Den översta relationen på bild 8 och tillståndsekvationen för en ideal gas ger de inramade relationerna. Notera att om gasens termodynamiska tillstånd varierar från punkt till punkt i ett strömningsfält så gör även ljudhastigheten det. Man har alltså en lokal ljudhastighet i varje punkt i fältet. Vi kommer senare under innevarande föreläsning att se att vid isentropisk strömning av en termiskt och kaloriskt ideal gas är det inte strömningshastigheten i sig som primärt påverkar gasens termodynamiska tillstånd utan kvoten u/a mellan strömningshastigheten u och den lokala ljudhastigheten a. Denna kvot kallas Mach-talet och vi ska beteckna detta M. 6

7 Bernoullis ekvation vid isentropisk strömrörsströmning Utgå från Eulers ekvation 1 dp + u du + g dz =0 ρ Detta är kraftekvationen vid stationär och friktionsfri strömning längs en strömlinje. Integrera längs strömlinjen dp ρ u2 + gz = konst. Isentropisk strömning, Boyles lag pv γ = konstant = p 0 v γ 0 vilket ger att dp ρ = γ p γ 1 ρ och att γ p γ 1 ρ u2 + gz = konstant sl12001s ( c AK) Bild 10: 12.4 Bernoullis ekvation och energiekvationen vid isentropisk strömrörsströmning Eulers ekvation är en differentialekvationsformulering av kraftekvationen (Newtons andra lag) för friktionsfri strömning. Denna härleddes för strömrörsströmning under Energiekvationen vid endimensionell strömning Energiekvationen för ett öppet adiabatiskt system som inte utbyter något axelarbete med omgivningen ( h + 1 ) 2 u2 + gz =0 vilket ger att h = γr T γ 1 = γ γ 1 ( ) p ρ Energiekvationen kan alltså skrivas För en kaloriskt ideal gas gäller att h = c p T och för en termiskt ideal gas att c p = γr ( ) p och = R T γ 1 ρ γ p γ 1 ρ u2 + gz = konstant längs en strömlinje. sl12002s ( c AK) Bild 11: 7

8 Bernoullis ekvation och energiekvationen Dåströmningen är stationär, friktionsfri och isentropisk och gasen satisfierar Boyles lag lyder Bernoullis ekvation γ p γ 1 ρ u2 + gz = konstant Energiekvationen kan också skrivaspå denna form. Förutsättningen är då attmanharen stationär och adiabatisk strömning av en termiskt och kaloriskt ideal gas. För en gas som satisfierar Boyles lag gäller att ljudhastigheten a 2 = γ p ρ γ p γ 1 ρ = a2 γ 1 Denna ekvation kan alltså även skrivas 1 γ 1 a u2 + gz = konstant Vid strömning av gaser kan man normalt försumma ändringar i den sista termen (gz). sl12003s ( c AK) Bild 12: föreläsning 2, se avsnitt 2.3. Eulers ekvation kan integreras längs strömröret i de fall man har ett entydigt samband mellan trycket p och tätheten ρ och resultatet kallas Bernoullis ekvation. Om strömningen är isentropisk och om gasen är ideal har man det samband mellan p och ρ som ges i bild 8 ovan. Integrering genomförs i bild 10 som visar Bernoullis ekvation vid isentropisk strömning av en ideal gas. Notera alltså att det finns flera former av Bernoullis ekvation, inte bara den som gäller för inkompressibel strömning och som presenterades under den första delen av kursen. Ett annat uppenbart exempel, som dock inte kommer att behandlas i denna kurs, är isoterm strömning av en ideal gas. Ur termodynamisk synvinkel är strömrörsströmning ett öppet system som inte utbyter något axelarbete med omgivningen. Energiekvationen för ett sådant system som dessutom är adiabatisk visas i bild 11. Om gasen som strömmar genom strömröret dessutom är ideal visas i denna bild att energiekvationen får samma form som Bernoullis ekvation. I bild 12 visas att Bernoullis ekvation och energiekvationen kan formuleras så att den lokala ljudhastigheten kommer in explicit. Denna form av dessa ekvationer kommer att vara utgångspunkten i fortsättningen. Den tredje termen i dessa ekvationer uttrycker variationen i den potentiella energin längs strömröret. I bild 13 visas att höjdvariationen längs strömröret måste vara stor för att denna term ska ha någon betydelse. Den typen av problem kommer vi inte att vara intresserade av inom ramen för denna kurs. Maximal höjdändringar vi kan tänka oss här är en eller annan meter (typiska vertikal dimensioner på t.ex. flygplan). Den tredje termen kommer därför att försummas i fortsättningen. Men kom ihåg det om du stöter på ettproblemdär denna approximation kanske inte är giltig. Målsättningen här är att formulera relationer för hur det termodynamiska tillstån- 8

9 Den potentiella energin Energiekvationen för adiabatisk strömning längs en strömlinje lyder h u2 + gz = konstant Om konstanten i högerledet utvärderas i stagnationstillståndet kan energiekvationen skrivas (h h 0 )+ 1 2 u2 + + g (z z 0 )=0 Ändringen i den potentiella energin kan försummas jämfört med ändringen irörelseenergin om g (z z 0 ) u z z 0 u2 2g Typiska strömningshastigheter är betydligt större än 10 m/s låt 30 m/s vara en undre gräns. Det ger uppskattningen z z m 50 m sl12013s ( c AK) Bild 13: det i gasen varierar med hastigheten längs strömröret. Sådana relationer bör man alltid skriva på dimensionslös form. Vi måste därför definiera ett lämpligt termodynamiskt referenstillstånd. Ett lämpligt sådant är det s.k. stagnationstillståndet som defineras i bild 14. De sökta relationerna erhålls om man utgår från energiekvationen (eller Bernoullis Stagnationstillståndet Definition: Stagnationstillståndet är det termodynamiska tillstånd som nås efter en (tänkt eller verklig) isentropisk uppbromsning till vila. Stagnationstillståndet betecknas med index 0. Notera att så länge strömningen längs en strömlinje är isentropisk såharman samma stagnationstillstånd i alla punkter längs denna strömlinje. En isentropisk strömning är adiabatisk. Energiekvationen ger alltså vid isentropisk strömning h u2 = konstant = h 0 Detta innebär att stagnationsentalpin h 0 är konstant även vid adiabatisk strömning. Detta gäller även stagnationstemperaturen i en kaloriskt ideal gas ty h 0 = c p T 0 sl12004s Bild 14: 9

10 Termodynamiska relationer vid isentropisk strömning Energiekvationen och Bernoullis ekvation kan skrivas Detta ger följande s.k. isentroprelationer a (γ 1) u2 = konstant = a 2 0 Dividera med a 2 = γrt ( a0 ) 2 T ( 0 u = a T =1+1 2 (γ 1) a För in machtalet ) 2 M = u a där a är den lokala ljudhastigheten. T T 0 = p p 0 = ρ ρ 0 = [1+ 12 (γ 1) M 2 ] 1 [1+ 12 (γ 1) M 2 ] γ/(γ 1) [1+ 12 (γ 1) M 2 ] 1/(γ 1) sl12005s Bild 15: ekvation) skriven i den form från bild 12 ovan som innehåller ljudhastigheten. Vidare måste man utnyttja relationen mellan ljudhastigheten och den absoluta temperaturen från bild 9 och relationerna mellan trycket p, tätheten ρ och temperaturen T då tillståndsändringen är isentropisk från bild 8. De resulterande relaionerna finns presenterade i bild 15 och dessa relationer är plottade i bild 16. Notera det naturliga sl12006s Bild 16: 10

11 Isentropisk strömrörsströmning Eulers ekvation dp + u du =0 ρ Isentropi i en ideal gas Stationär strömrörsströmning. Kontinuitetsekvationen ρ(x) u(x) A(x) = konstant Differentiera och dividera med ρua dρ ρ + du u + da A =0 p = p(ρ, s) dp = a 2 dρ Detta ger att da A = du ( M 2 1 ) u sl12007s Bild 17: sätt som Mach-talet M = u/a kommer in. Notera också att alla dessa tre termodynamiska tillståndsvariabler avtar då gasen accelereras mot allt högre Mach-tal. T.ex. har trycket halverats efter en acceleration från vila till M = Inverkan av strömrörets tvärsnittsarea Tvärsnittsarean har en mycket intressant, och förvånande, inverkan på en isentropisk strömrörsströmning. Detta kan analyseras om man utgår från kontinuitetsekvationen som i bild 17. Om man utnyttjar att gasen är ideal och att strömningen är isentropisk får man det inramade sambandet. Notera att faktorn (M 2 1) byter tecken då Mach-taletM passerar 1. Detta innebär här att areaändringen da och hastighetsändringen du har olika tecken vid underljudsströmning (M < 1) och samma tecken vid överljudsströmning (M >1). Detta förhållande illustreras i bild 18. Notera också att om areaändringen da =0såär antingen Mach-talet M = 1 eller såär hastighetsändringen du = 0. Den viktigaste tillämpningen här är den som visas i den övre vänstra figuren i bild 19. Det är alltså möjligt att accelerera en strömning till ett överljudsmachtal genom en dysa med en minsta sektion. Detta under förutsättning att förhållandena i övrigt tillåter denna typ av strömning. Vi kommer att återkomma till detta under den tredje föreläsningen om kompressibel strömning. En viktig tillämpning av detta är i konstruktionen av vindtunnlar för överljudsströmning. En annan viktig tillämpning är i utblåsmunstycket från raketmotorer och från vissa jetmotorer. Till slut ska vi formulera en relation mellan strömrörets tvärsnittsareafördelning A och Mach-talet M. Som vanligt vill vi ha denna relation på dimensionslös form. I detta fall vill vi normera tvärsnittsarean A med dess värde i något lämpligt referenstillstånd. Stagnationstillståndet som vi använt ovan är olämpligt ty då vinärmar oss detta så 11

12 Isentropisk strömrörsströmning da A = du ( M 2 1 ) u sl12008s Bild 18: gäller att strömrörets tvärsnittsarea A. Man använder därför normalt det s.k. kritiska tillståndet vilket definieras i bild 20. Man finner det sökta sambandet om man utgår från kontinuitetsekvationen. Detta visas i bild 21 och det sökta sambandet finns plottat i bild 22. Notera från denna plot att för ett givet areaförhållande finns två lösningar till Mach-talet, ett underljuds- Isentropisk strömrörsströmning da A = du ( M 2 1 ) u sl12009s Bild 19: 12

13 Det kritiska tillståndet Definition: Det kritiska tillståndet är det termodynamiska tillstånd som nås efter en (tänkt eller verklig) isentropisk hastighetsändring till machtalet M =1. Det kritiska tillståndet betecknas med index eller index c. Tillståndsvariablernas värden i det kritiska tillståndet används huvudsakligen för normering. Skälet till att föra in det kritiska tillståndet som komplement till stagnationstillståndet är att ett strömrörs tvärsnitt A dåmannärmar sig stagnationstillståndet. sl12010s Bild 20: machtal och ett överljudsmachtal. Att så måste vara fallet inser man från bild 19. Vilket Mach-tal man får beror på andra faktorer. Denna analys måste dock vänta till den sista föreläsningen i denna kursdel! En viktig del av problemlösningen till detta avsnitt går ut på att tillämpa de relationer som presenterats i bilderna 15 och 21 ovan. Dessa relationer brukar kallas Areafördelningen vid isentropisk strömning Utgå från kontinuitetsekvationen ρua= ρ u A där betecknar det s.k. kritiska tillståndet. I detta är u = a vilket ger att A A = ρ ρ u a = M ρ ρ ( ) 1/2 T T eller A A = M ρ ( ) 1/2 T [ρ ( ) ] T 1/2 1 ρ 0 T 0 ρ 0 T 0 Här är ( ) 1/2 [ ρ T = 1+ γ 1 ] γ M 2 γ 1 ρ 0 T 0 2 ρ ( ) T 1/2 [ ] 1 γ+1 γ +1 2 γ 1 = ρ 0 T 0 2 vilket ger att A A = M γ γ 1 2 M 2 1 γ+1 2 γ 1 sl12011s ( c AK) Bild 21: 13

14 sl12012s Bild 22: isentropsambanden (där det är underförstått att det handlar om strömrörsströmning av en kaloriskt ideal gas). Dessa samband har man traditionellt givit i tabellform och en sådan tabell återfinns dels längs bak i läroboken (M7) och dels i slutet av den exempelsamling som hör till denna kursdel (Ek). Sambanden som visas i bild 15 är dock inga problem med de miniräknare som är allmänt använda idag. Notera dock att det inte går att lösa ut Mach-talet M explicit från den relation som finns i bild 21! Då man behöver detta kan tabellen vara en bra genväg. Det finns även MatLab rutiner som gör dessa beräkningar och som den som är intresserad kan få tillgång till. I detta paket ingår även rutiner för andra samband som kommer att härledas på nästa föreläsning. 14

SG1216. Termodynamik för T2

SG1216. Termodynamik för T2 SG1216 Termodynamik för T2 Klassisk termodynamik med kompressibel strömning. rörelseenergi och arbete inom mekanik rörströmning inom strömningslära integralkalkyl inom envariabelsanalys differentialkalkyl

Läs mer

Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00

Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00 Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 25 maj 2010, kl. 9:00-13:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling typ Beta),

Läs mer

Termo T konc. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm. Version 5.2 mars 2010

Termo T konc. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm. Version 5.2 mars 2010 Termo T konc Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 5.2 mars 2010 Förord Termo T konc är en sammanfattning av kursen SG1216 Termodynamik för farkostteknik vid KTH. Den utgör en något

Läs mer

Termo T konc. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm. Version 5.0 mars 2008

Termo T konc. Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm. Version 5.0 mars 2008 Termo T konc Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 5.0 mars 2008 Förord Termo T konc är en sammanfattning av kursen SG1216 Termodynamik för farkostteknik vid KTH. Den utgör en något

Läs mer

1. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens inlopp ges av. p = d

1. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens inlopp ges av. p = d MEKANIK KTH Förslag till lösningar vid tentamen i 5C9 Teknisk strömningslära för M den 6 maj 004. Det totala tryckfallet från pumpens utlopp, via rörledningen och alla komponenterna tillbaks till pumpens

Läs mer

Arbete är ingen tillståndsstorhet!

Arbete är ingen tillståndsstorhet! VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:

Läs mer

KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT

KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT KOMPRESSIBEL STRÖMNING I RÖR OCH KANALER, KONSTANT TVÄRSNITT Stationär, endimensionell strömning, perfekt gas, konstant tvärsnitt. Inget tekniskt eller visköst arbete, försumbara variationer i potentiell

Läs mer

Arbetet beror på vägen

Arbetet beror på vägen VOLYMÄNDRINGSARBETE Volymändringsarbete = arbete p.g.a. normalkrafter mot ytor (tryck) vid volymändring. Beteckning: W b (eng. boundary work); per massenhet w b. δw b = F ds = P b Ads = P b dv Exempel:

Läs mer

Tio föreläsningar inom. Termodynamik med kompressibel strömning

Tio föreläsningar inom. Termodynamik med kompressibel strömning Tio föreläsningar inom Termodynamik med kompressibel strömning Tony Burden Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 2.0 mars 2006 Förord Denna lunta innehåller de åtta till tio föreläsningar som

Läs mer

3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion

3. En konvergerande-divergerande dysa har en minsta sektion på 6,25 cm 2 och en utloppssektion Betygstentamen, SG1216 Termodynamik för T2 26 augusti 2010, kl. 14:00-18:00 SCI, Mekanik, KTH 1 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ

Läs mer

Termodynamik Föreläsning 4

Termodynamik Föreläsning 4 Termodynamik Föreläsning 4 Ideala Gaser & Värmekapacitet Jens Fjelstad 2010 09 08 1 / 14 Innehåll Ideala gaser och värmekapacitet TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 3.6 3.11 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18

Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-01-19 kl 13-18 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

Kap 7 entropi. Ett medium som värms får ökande entropi Ett medium som kyls förlorar entropi

Kap 7 entropi. Ett medium som värms får ökande entropi Ett medium som kyls förlorar entropi Entropi Är inte så enkelt Vi kan se på det på olika sätt (mikroskopiskt, makroskopiskt, utifrån teknisk design). Det intressanta är förändringen i entropi ΔS. Men det finns en nollpunkt för entropi termodynamikens

Läs mer

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 29 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 3. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Entropi 1.1 Inledning Entropi införs med relationen: S = k ln(ω (1 Entropi har enheten J/K, samma som k som är Boltzmanns konstant. Ω är antalet

Läs mer

Kap 4 energianalys av slutna system

Kap 4 energianalys av slutna system Slutet system: energi men ej massa kan röra sig över systemgränsen. Exempel: kolvmotor med stängda ventiler 1 Volymändringsarbete (boundary work) Exempel: arbete med kolv W b = Fds = PAds = PdV 2 W b =

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F(FTF40) Tid och plats: Torsdag /8 008, kl. 4.00-8.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω)

FUKTIG LUFT. Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft. ω = m v /m a m = m a (1 + ω) FUKTIG LUFT Fuktig luft = torr luft + vatten m = m a + m v Fuktighetsgrad ω anger massan vatten per kg torr luft Normalt är ω 1 (ω 0.02) ω = m v /m a m = m a (1 + ω) Luftkonditionering, luftbehandling:

Läs mer

Applicera 1:a H.S. på det kombinerade systemet:

Applicera 1:a H.S. på det kombinerade systemet: (Çengel, 998) Applicera :a H.S. på det kombinerade systemet: E in E out E c på differentialform: δw δw + δw δ Q R δwc dec där C rev sys Kretsprocessen är (totalt) reversibel och då ger ekv. (5-8): R R

Läs mer

HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning

HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 4 maj, 2016 NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR145 Vatten/ Hydraulik sammmanfattning 4 maj 2016

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Måndag den 4 januari 008, kl. 8.30-.30 i M-huset. Examinator:

Läs mer

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamen i termodynamik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Ten01 TT051A Årskurs 1 Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: Tid: 2012-06-01 9.00-13.00

Läs mer

Lite kinetisk gasteori

Lite kinetisk gasteori Tryck och energi i en ideal gas Lite kinetisk gasteori Statistisk metod att beskriva en ideal gas. En enkel teoretisk modell som bygger på följande antaganden: Varje molekyl är en fri partikel. Varje molekyl

Läs mer

Termodynamik FL7 ENTROPI. Inequalities

Termodynamik FL7 ENTROPI. Inequalities Termodynamik FL7 ENTROPI Varför är den termiska verkningsgraden hos värmemaskiner begränsad? Varför uppstår den maximala verkningsgraden hos reversibla processer? Varför går en del av energin till spillvärme?

Läs mer

p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):

p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation:

Läs mer

p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa.

p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa. BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation:

Läs mer

Tentamen i Termodynamik Q, F, MNP samt Värmelära för kursen Värmelära och Miljöfysik 20/8 2002

Tentamen i Termodynamik Q, F, MNP samt Värmelära för kursen Värmelära och Miljöfysik 20/8 2002 UPPSALA UNIVERSITET Fysiska institutionen Sveinn Bjarman Tentamen i Termodynamik Q, F, MNP samt Värmelära för kursen Värmelära och Miljöfysik 20/8 2002 Skrivtid: 9-14 Hjälpmedel: Räknedosa, Physics Handbook

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2010-12-14 kl 14-19 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

5C1201 Strömningslära och termodynamik för T2 Inkompressibel, friktionsfri och viskös strömning,

5C1201 Strömningslära och termodynamik för T2 Inkompressibel, friktionsfri och viskös strömning, MEKANIK KTH 5C1201 Strömningslära och termodynamik för T2 Inkompressibel, friktionsfri och viskös strömning, läsperiod 1 läsåret 2003/04 Denna kursdel introducerar de grundläggande begreppen inom strömningsmekaniken

Läs mer

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j.

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j. Föreläsning 4. 1 Eulers ekvationer i ska nu tillämpa Newtons andra lag på en materiell kontrollvolym i en fluid. Som bekant säger Newtons andra lag att tidsderivatan av kontrollvolymens rörelsemängd är

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Rena ämnen/substanser (pure substances) Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja blandat med

Läs mer

MEKANIK KTH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C1201 Stromningslara och termodynamik for T2 den 30 augusti Stromfunktionen for den ho

MEKANIK KTH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C1201 Stromningslara och termodynamik for T2 den 30 augusti Stromfunktionen for den ho MEKNK KH Forslag till losningar till Sluttentamen i 5C0 Stromningslara och termodynamik for den 30 augusti 00. Stromfunktionen for den homogena fristrommen och kallan ar ;Vy; m dar den forsta termen (fristrommen)

Läs mer

Övningsuppgifter termodynamik ,0 kg H 2 O av 40 C skall värmas till 100 C. Beräkna erforderlig värmemängd.

Övningsuppgifter termodynamik ,0 kg H 2 O av 40 C skall värmas till 100 C. Beräkna erforderlig värmemängd. Övningsuppgifter termodynamik 1 1. 10,0 kg H 2 O av 40 C skall värmas till 100 C. Beräkna erforderlig värmemängd. Svar: Q = 2512 2516 kj beroende på metod 2. 5,0 kg H 2 O av 40 C skall värmas till 200

Läs mer

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140)

Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF140) Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Teknisk Fysik Mats Granath Tentamen i Termodynamik och Statistisk fysik för F3(FTF40) Tid och plats: Tisdag 8/8 009, kl. 4.00-6.00 i V-huset. Examinator: Mats

Läs mer

bh 2 π 4 D2 ] 4Q1 πd 2 =

bh 2 π 4 D2 ] 4Q1 πd 2 = MEKANIK KTH Förslag till lösningar vid tentamen i 5C1921 Teknisk strömningslära för M den 27 maj 2005 1. Medelhastigheten i rören är ū 1 4Q 1 πd 2 ochikanalenär den ū 2 och ges av Q 2 [bh 2 π ] 4 D2 Kravet

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

A. Egenskaper hos plana figurer (MTM458)

A. Egenskaper hos plana figurer (MTM458) uleå tekniska universitet Hans Åkerstedt Aerodynamik f37t 8/9 FORMESAMING I AEROYNAMIK INNEHÅ:. Hydrostatik och standard atmosfären. Kinematik 3. Konserveringslagar 4. Modellförsök och likformighet 5.

Läs mer

Tillämpad termodynamik

Tillämpad termodynamik 4A1112 Tillämpad termodynamik HT 2002 1 Institutionen för Energiteknik, Avdelningen för Tillämpad termodynamik och kylteknik, Kungl Tekniska Högskolan, Stockholm. 4A1112 HT2002 Tillämpad termodynamik För

Läs mer

Bestäm brombutans normala kokpunkt samt beräkna förångningsentalpin H vap och förångningsentropin

Bestäm brombutans normala kokpunkt samt beräkna förångningsentalpin H vap och förångningsentropin Tentamen i kemisk termodynamik den 7 januari 2013 kl. 8.00 till 13.00 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer

Läs mer

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F4. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F4 VSEPR-modellen elektronarrangemang och geometrisk form Polära (dipoler) och opolära molekyler Valensbindningsteori σ-binding och π-bindning hybridisering Molekylorbitalteori F6 Gaser Materien

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen Kapitel I Introduktion och första grundlagen Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal partiklar (atomer, molekyler,...) i vilka temperaturen

Läs mer

Energitransport i biologiska system

Energitransport i biologiska system Energitransport i biologiska system Termodynamikens första lag Energi kan inte skapas eller förstöras, endast omvandlas. Energiekvationen de sys dt dq dt dw dt För kontrollvolym: d dt CV Ändring i kontrollvolym

Läs mer

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

Examination av, och betygskriterier för, kursen MJ1112 Tillämpad termodynamik Av Hans Havtun,

Examination av, och betygskriterier för, kursen MJ1112 Tillämpad termodynamik Av Hans Havtun, Examination av, och betygskriterier för, kursen MJ111 Tillämpad termodynamik Av Hans Havtun, hans.havtun@energy.kth.se Lärandemål Efter kursen skall studenten kunna 1. formulera, modellera och lösa problem

Läs mer

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan

Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Termodynamikens grundlagar Nollte grundlagen Termodynamikens 0:e grundlag Två system, bägge enskilt i termisk jämvikt med en tredje, är i jämvikt sinsemellan Temperatur Temperatur är ett mått på benägenheten

Läs mer

Termodynamik FL1. Energi SYSTEM. Grundläggande begrepp. Energi. Energi kan lagras. Energi kan omvandlas från en form till en annan.

Termodynamik FL1. Energi SYSTEM. Grundläggande begrepp. Energi. Energi kan lagras. Energi kan omvandlas från en form till en annan. Termodynamik FL1 Grundläggande begrepp Energi Energi Energi kan lagras Energi kan omvandlas från en form till en annan. Energiprincipen (1:a huvudsatsen). Enheter för energi: J, ev, kwh 1 J = 1 N m 1 cal

Läs mer

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH GRUNDLÄGGANDE BEGREPP System (slutet system) = en viss förutbestämd och identifierbar massa m. System Systemgräns Omgivning. Kontrollvolym (öppet system) = en volym som avgränsar ett visst område. Massa

Läs mer

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2) Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,

Läs mer

Hur förändras den ideala gasens inre energi? Beräkna också q. (3p)

Hur förändras den ideala gasens inre energi? Beräkna också q. (3p) entamen i kemisk termodynamik den 4 juni 2013 kl. 14.00 till 19.00 Hjälpmedel: Räknedosa, BEA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje

Läs mer

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action

Kapitel III. Klassisk Termodynamik in action Kapitel III Klassisk Termodynamik in action Termodynamikens andra grundlag Observation: värme flödar alltid från en varm kropp till en kall, och den motsatta processen sker aldrig spontant (kräver arbete!)

Läs mer

Planering Fysik för V, ht-10, lp 2

Planering Fysik för V, ht-10, lp 2 Planering Fysik för V, ht-10, lp 2 Kurslitteratur: Häfte Experimentell metodik och föreläsningsanteckningar, Kurslaboratoriet 2010 samt Göran Jönsson: Fysik i vätskor och gaser, Teach Support 2009. markerar

Läs mer

Termodynamik Föreläsning 5

Termodynamik Föreläsning 5 Termodynamik Föreläsning 5 Energibalans för Öppna System Jens Fjelstad 2010 09 09 1 / 19 Innehåll TFS 2:a upplagan (Çengel & Turner) 4.5 4.6 5.3 5.5 TFS 3:e upplagan (Çengel, Turner & Cimbala) 6.1 6.5

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 2012-05-23 1. a Molekylerna i en ideal gas påverkar ej varandra, medan vi har ungefär samma växelverkningar mellan de olika molekylerna i en ideal blandning.

Läs mer

MMVA01 Termodynamik med strömningslära Exempel på tentamensuppgifter

MMVA01 Termodynamik med strömningslära Exempel på tentamensuppgifter TERMODYNAMIK MMVA01 Termodynamik med strömningslära Exempel på tentamensuppgifter T1 En behållare med 45 kg vatten vid 95 C placeras i ett tätslutande, välisolerat rum med volymen 90 m 3 (stela väggar)

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik

Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 203-0-9. Sambandet mellan tryck och temperatur för jämvikt mellan fast och gasformig HCN är givet enligt: ln(p/kpa) = 9, 489 4252, 4 medan kokpunktskurvan

Läs mer

Termodynamik FL4. 1:a HS ENERGIBALANS VÄRMEKAPACITET IDEALA GASER ENERGIBALANS FÖR SLUTNA SYSTEM

Termodynamik FL4. 1:a HS ENERGIBALANS VÄRMEKAPACITET IDEALA GASER ENERGIBALANS FÖR SLUTNA SYSTEM Termodynamik FL4 VÄRMEKAPACITET IDEALA GASER 1:a HS ENERGIBALANS ENERGIBALANS FÖR SLUTNA SYSTEM Energibalans när teckenkonventionen används: d.v.s. värme in och arbete ut är positiva; värme ut och arbete

Läs mer

jämvikt (där båda faserna samexisterar)? Härled Clapeyrons ekvation utgående från sambandet

jämvikt (där båda faserna samexisterar)? Härled Clapeyrons ekvation utgående från sambandet Tentamen i kemisk termodynamik den 14 december 01 kl. 8.00 till 13.00 (Salarna E31, E3, E33, E34, E35, E36, E51, E5 och E53) Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast

Läs mer

Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas

Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Flytande fas Gasfas Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska

Läs mer

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.

Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. 11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta

Läs mer

Kapitel 5. Gaser. är kompressibel, är helt löslig i andra gaser, upptar jämt fördelat volymen av en behållare, och utövar tryck på sin omgivning.

Kapitel 5. Gaser. är kompressibel, är helt löslig i andra gaser, upptar jämt fördelat volymen av en behållare, och utövar tryck på sin omgivning. Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 5. 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 5.7 Effusion och Diffusion 5.8 5.9 Egenskaper hos några verkliga gaser 5.10 Atmosfärens kemi Copyright

Läs mer

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014

Kapitel I. Introduktion och första grundlagen. Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Kapitel I Introduktion och första grundlagen Kursmaterialet: Jens Pomoell 2011, Mikael Ehn 2013-2014 Introduktion Vad är Termofysik? Termofysiken handlar om att studera system bestående av ett stort antal

Läs mer

1 Materiell derivata. i beräkningen och så att säga följa med elementet: φ δy + δz. (1) φ y Den materiella derivatan av φ definierar vi som.

1 Materiell derivata. i beräkningen och så att säga följa med elementet: φ δy + δz. (1) φ y Den materiella derivatan av φ definierar vi som. Föreläsning 2. 1 Materiell erivata ätskor och gaser kallas me ett sammanfattane or för fluier. I verkligheten består fluier av partiklar, v s atomer eller molekyler. I strömningsmekaniken bortser vi från

Läs mer

Räkneövning 2 hösten 2014

Räkneövning 2 hösten 2014 Termofysikens Grunder Räkneövning 2 hösten 2014 Assistent: Christoffer Fridlund 22.9.2014 1 1. Brinnande processer. Moderna datorers funktion baserar sig på kiselprocessorer. Anta att en modern processor

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19

Tentamen i Kemisk Termodynamik kl 14-19 Tentamen i Kemisk Termodynamik 2011-06-09 kl 14-19 Hjälpmedel: Räknedosa, BETA och Formelsamling för kurserna i kemi vid KTH. Endast en uppgift per blad! Skriv namn och personnummer på varje blad! Alla

Läs mer

Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Fast fas Flytande fas Gasfas

Gaser: ett av tre aggregationstillstånd hos ämnen. Fast fas Flytande fas Gasfas Kapitel 5 Gaser Kapitel 5 Innehåll 5.1 Tryck 5.2 Gaslagarna från Boyle, Charles och Avogadro 5.3 Den ideala gaslagen 5.4 Stökiometri för gasfasreaktioner 5.5 Daltons lag för partialtryck 5.6 Den kinetiska

Läs mer

Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3

Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3 Studieanvisningar i statistisk fysik (SI1161) för F3 Olle Edholm September 15, 2010 1 Introduktion Denna studieanvisning är avsedd att användas tillsammans med boken och exempelsamlingen. Den är avsedd

Läs mer

Planering Fysik för V, ht-11, lp 2

Planering Fysik för V, ht-11, lp 2 Planering Fysik för V, ht-11, lp 2 Kurslitteratur: Häfte: Experimentell metodik, Kurslaboratoriet 2011, Fysik i vätskor och gaser, Göran Jönsson, Teach Support 2010 samt föreläsningsanteckningar i Ellära,

Läs mer

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Onsdag 15 jan 14, kl 8.3-13.3 i Maskin -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook,

Läs mer

Övningstentamen i KFK080 för B

Övningstentamen i KFK080 för B Övningstentamen i KFK080 för B 100922 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (med tillhörande handbok), utdelat formelblad med tabellsamling. Slutsatser skall motiveras och beräkningar redovisas. För godkänt

Läs mer

Hydrodynamik Mats Persson

Hydrodynamik Mats Persson Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver

Läs mer

Vad tror du ökning av entropi innebär från ett tekniskt perspektiv?

Vad tror du ökning av entropi innebär från ett tekniskt perspektiv? Entropi Entropi är ett mått på oordning En process går alltid mot samma eller ökande entropi. För energi gäller energins bevarande. För entropi gäller entropins ökande. Irreversibla processer innebär att

Läs mer

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3.

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3. P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3. Luften värms nu långsamt via en elektrisk resistansvärmare

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Tentamen Joakim Wren Exempeltentamen 8 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära, miniräknare.

Läs mer

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen)

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen) Joakim Malm Teknisk Vattenresurslära LTH DELPROV /TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR0 4 OKTOBER 003, 08:00-:00 (Delprov), 08:00-3:00 (Tentamen) Tillåtna hjälpmedel: Kom ihåg: För samtliga uppgifter: Rättning:

Läs mer

Termodynamik, lp 2, lå 2003/04

Termodynamik, lp 2, lå 2003/04 5C1201 Strömningslära med Termodynamik för T Termodynamik, lp 2, lå 2003/04 Syfte; kursdelen introducerar de grundläggande begreppen inom klassisk termodynamik och ger en grund för vidare studier inom

Läs mer

1 Cirkulation och vorticitet

1 Cirkulation och vorticitet Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 5 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 5. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 5 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 5. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 5 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 5 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

Godkänt-del A (uppgift 1 10) Endast svar krävs, svara direkt på provbladet.

Godkänt-del A (uppgift 1 10) Endast svar krävs, svara direkt på provbladet. Tentamen för Termodynamik och ytkemi, KFKA10, 2018-01-08 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, utdelat formelblad och tabellblad. Godkänt-del A (endast svar): Max 14 poäng Godkänt-del B (motiveringar krävs):

Läs mer

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett "kallare" till ett "varmare" system utan att samtidigt utföra arbete.

Entropi. Det är omöjligt att överföra värme från ett kallare till ett varmare system utan att samtidigt utföra arbete. Entropi Vi har tidigare sett hur man kunde definiera entropi som en funktion (en konstant gånger naturliga logaritmen) av antalet sätt att tilldela ett system en viss mängd energi. Att ifrån detta förstå

Läs mer

Termodynamik och inledande statistisk fysik

Termodynamik och inledande statistisk fysik Några grundbegrepp i kursen Termodynamik och inledande statistisk fysik I. INLEDNING Termodynamiken beskriver på en makroskopisk nivå processer där värme och/eller arbete tillförs eller extraheras från

Läs mer

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)

Tentamen i termodynamik. 7,5 högskolepoäng. Tentamen ges för: Årskurs 1. Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamen i termodynamik Provmoment: Ten0 Ladokkod: TT05A Tentamen ges för: Årskurs Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 202-08-30 Tid: 9.00-3.00 7,5 högskolepoäng

Läs mer

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag

TENTAMEN I TERMODYNAMIK för K2, Kf2 och TM (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag CALMERS 1 (3) Kemi- och bioteknik/fysikalk kemi ermodynamik (KVM091/KVM090) ENAMEN I ERMODYNAMIK för K2, Kf2 och M (KVM091 och KVM090) 2010-10-19 kl. 08.30-12.30 och lösningsförslag jälpmedel: Kursböckerna

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 6 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 6. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 6 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 6. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 6 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 6 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN

EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN Enhetligt ämne (eng. pure substance): ett ämne som är homogent och som har enhetlig kemisk sammansättning, även om fasomvandling sker. Vid jämvikt för ett system av ett enhetligt

Läs mer

Lösningsförslag. Tentamen i KE1160 Termodynamik den 13 januari 2015 kl Ulf Gedde - Magnus Bergström - Per Alvfors

Lösningsförslag. Tentamen i KE1160 Termodynamik den 13 januari 2015 kl Ulf Gedde - Magnus Bergström - Per Alvfors Tentamen i KE1160 Termodynamik den 13 januari 2015 kl 08.00 14.00 Lösningsförslag Ulf Gedde - Magnus Bergström - Per Alvfors 1. (a) Joule- expansion ( fri expansion ) innebär att gas som är innesluten

Läs mer

Exempel på Kontrollskrivning 2, SG1216 Termodynamik för T2 maj 2009, 2.5 timmar

Exempel på Kontrollskrivning 2, SG1216 Termodynamik för T2 maj 2009, 2.5 timmar Exempel på Kontrollskrivning 2, SG1216 Termodynamik för T2 maj 2009, 2.5 timmar Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare

Läs mer

KEMISK TERMODYNAMIK. Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016

KEMISK TERMODYNAMIK. Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016 KEMISK TERMODYNAMIK Lab 1, Datorlaboration APRIL 10, 2016 ALEXANDER TIVED 9405108813 Q2 ALEXANDER.TIVED@GMAIL.COM WILLIAM SJÖSTRÖM Q2 DKW.SJOSTROM@GMAIL.COM Innehållsförteckning Inledning... 2 Teori, bakgrund

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 7 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

Tentamen i termisk energiteknik 5HP för ES3, 2009, , kl 9-14.

Tentamen i termisk energiteknik 5HP för ES3, 2009, , kl 9-14. Tentamen i termisk energiteknik 5HP för ES3, 2009, 2009-10-19, kl 9-14. Namn:. Personnr: Markera vilka uppgifter som du gjort: ( ) Uppgift 1a (2p). ( ) Uppgift 1b (2p). ( ) Uppgift 2a (1p). ( ) Uppgift

Läs mer

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker

Läs mer

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar

Införa begreppen ström, strömtäthet och resistans Ohms lag Tillämpningar på enkla kretsar Energi och effekt i kretsar Kapitel: 25 Ström, motstånd och emf (Nu lämnar vi elektrostatiken) Visa under vilka villkor det kan finnas E-fält i ledare Införa begreppet emf (electromotoric force) Beskriva laddningars rörelse i ledare

Läs mer

Om trycket hålls konstant och temperaturen höjs kommer molekylerna till slut att bryta sig ur detta mönster (sublimation eller smältning).

Om trycket hålls konstant och temperaturen höjs kommer molekylerna till slut att bryta sig ur detta mönster (sublimation eller smältning). EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN Enhetligt ämne (eng. pure substance): ett ämne som är homogent och som har enhetlig kemisk sammansättning, även om fasomvandling sker. Vid jämvikt för ett system av ett enhetligt

Läs mer

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen

Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Rena ämnen/substanser Kap 3 egenskaper hos rena ämnen Har fix kemisk sammansättning! Exempel: N 2, luft Även en fasblandning av ett rent ämne är ett rent ämne! Blandningar av flera substanser (t.ex. olja

Läs mer

Repetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00

Repetition F8. Lunds universitet / Naturvetenskapliga fakulteten / Kemiska institutionen / KEMA00 Repetition F8 System (isolerat, slutet, öppet) Första huvudsatsen U = 0 i isolerat system U = q + w i slutet system Tryck-volymarbete w = -P ex V vid konstant yttre tryck w = 0 vid expansion mot vakuum

Läs mer

Kap.9, Kompressibel strömning

Kap.9, Kompressibel strömning Kaitel 9 Ka.9, Komressibel, strömning Kaitel 9 Komressibel strömning Evationer: Inomressibel: Kontinuitet Imuls Obeanta: Hastighet, try Komressibel: Kontinuitet Imuls Energi illståndsev. Obeanta: Hastighet,

Läs mer

OMÖJLIGA PROCESSER. 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0

OMÖJLIGA PROCESSER. 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0 OMÖJLIGA PROCESSER 1:a HS: Q = W Q = Q out < 0 W = W net,out > 0 Q W; GÅR INTE! PMM1 bryter mot 1:a HS 1:a HS: Q in = W net,out ; OK 2:a HS: η th = W net,out /Q in < 1 η th = 1; GÅR INTE! PMM2 bryter mot

Läs mer

Övningsmaterial inom. Termodynamik med kompressibel strömning

Övningsmaterial inom. Termodynamik med kompressibel strömning Övningsmaterial inom Termodynamik med kompressibel strömning Tony Burden, Arne Karlsson & Nils Tillmark Institutionen för mekanik, KTH, Stockholm Version 1.0 mars 2006 Förord Övningsmaterialet består av

Läs mer

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C. STRÖMLINJER, STRÅKLINJER,... En strömlinje (eng. streamline) är en kurva (linje) i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn V. I vanliga rätvinkliga koordinater gäller:

Läs mer

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Föreläsning 13/5 Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi Antag att en observatör O följer med en kropp i rörelse. Enligt observatören O så har O hastigheten

Läs mer