Tentamen i SG1216 Termodynamik för T2 den 25 maj 2009

Transkript

1 Tentamen i SG6 Termodynamik för T den 5 maj 009 Tid: Hela tentamenstiden kan fritt disponeras för de delar (kontrollskrivningar och/eller betygstentamen) som återstår. Tentamen består av 3 delar: Kontrollskrivning Kontrollskrivning Betygstentamen Varje delskrivning som du gör ska lämnas in i ett separat omslag! För godkänt betyg på tentamen, vilket efter att samtliga obligatoriska moment avklarats ger slutbetyg på kursen, krävs endast godkänt betyg på de två kontrollskrivningarna. Detta motsvarar slutbetyg E, D eller, i enstaka fall, C enligt s nuvarande betygsskala. Notera att en eller båda kontrollskrivningarna kan vara godkända redan tidigare. (Det är i regel inte meningsfullt att ägna tentamenstid åt en redan godkänd kontrollskrivning!) Det är tentandens eget ansvar att hålla reda på vilken/vilka kontrollskrivningar som redan är godkända! Betygstentamen är till för de tentander som antingen sedan tidigare eller under denna tentamen är/blir godkända på samtliga kontrollskrivningar och som aspirerar på högre slutbetyg än det som erhålls enbart från kontrollskrivningarna. Detta innebär bl.a. att det inte är möjligt, för den som inte är godkänd på samtliga kontrollskrivningar efter detta tentamenstillfälle, att spara resultat på betygstentamen till ett senare tentamenstillfälle. Mer information om kraven för att få slutbetyg i kursen redovisas nedan. Bedömning: Lösningarna på både kontrollskrivningarna och betygstentamen måste utgå från klart redovisade grundläggande fakta och/eller ekvationer. Som sådana räknas, om inget annat framgår explicit i problemtexten, bl.a. det som finns i Formelsamlingen men du måste hänvisa t.ex. till ekvationsnummer i denna. Du kan annars t.ex. nämna namnet på den princip du stöder dig på. Förutom att vara korrekt krävs av en lösning/svar att den är logiskt sammanhängande det får inte finnas luckor i argumentationen. Slutbetyg: För att erhålla slutbetyg i kursen måste de obligatoriska momenten Seminarieuppgifter (fem stycken), Projekt/Laboration samt två kontrollskrivingar vara godkända. För högre betyg krävs även att du gör betygstentamen. Vad slutbetyget blir finns redovisat på kurshemsidan under rubriken Betyg. Slutbetyget kan även bli Fx enligt denna skala. Detta är ett icke godkänt betyg men den som får detta har möjlighet att komplettera till slutbetyget E. Poänggränser för betyget Fx framgår av annan kursinformation. Den som får detta slutbetyg bör kontakta examinator snarast efter att slutbetyget är klart, dock senast innan omtentan i augusti, för att avtala när och hur denna komplettering ska genomföras. Om du inte har kontaktat examinator inom denna tid övergår betyget automatiskt till F, dvs. underkänt. Lycka till! Anders Dahlkild Please turn for an English version!

2 Exam in SG6 Termodynamik för T May 5, 009 Time: The examination time is at your free disposal between the different remaining parts of the examination (KS, KS and/or grade exam). The exam consists of 3 parts: Kontrollskrivning Kontrollskrivning Grade exam Each part of the exam that you carry out should be returned in a separate cover! To pass the examination both KS and KS must be passed separately. If in addition to KS and KS all other compulsory parts of the course are passed you are entitled to a final grade E, D or possibly C. Note that one or both of KS and KS may be passed already before this examination. (It is usually not meaningful to use the examination time on KS or KS if it is already passed.) It is the responsibility of the student herself/himself to keep track of the record of passed tests (KS, KS). The grade exam is for all students that already passed, or during the present exam will pass, KS and KS and aspire to a higher final grade than given only by passing KS and KS. You cannot save the result of this grade exam, should you have to pass KS and/or KS on a later occasion. More information on the requirements to get a final grade on the course is given below. Assessment: The presented solutions to the kontrollskrivningarna and the grade exam must originate from clearly showed basic facts and/or equations. Refer to the problem formulation, equation numbers in the Termo T conc or the name of the principle on which your solution builds. Except that the solution should be correct it is required to be logically coherent there must be nothing missing in the argumentation. Final grade: To receive a final grade for this course the compulsory parts Seminar exercises (five), Project/Laboration and two kontrollskrivningar (KS, KS) must be passed. For a higher grade you are required to carry out the grade exam. The detailed requirements for higher grades are given on the course homepage under Betyg. The final grade can also be Fx. This is a nonpassing grade but it can be complemented to grade E. Limiting points for grade Fx are given on the course home page. If you get Fx as your final grade you should contact the examiner as soon as possible, at latest before the re-exam in August, to agree on when and how this complement should be done. If you do not contact the examiner in due time your grade will automatically be transferred into F, i.e. not passed. Good luck on the exam! Anders Dahlkild Var god vänd för svensk version!

3 Kontrollskrivning, SG6 Termodynamik för T 5 maj 009, kl. 4:00 8:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Varje rätt löst/besvarad uppgift ger poäng. I undantagsfall kan nästan rätt eller mycket goda försök ge 0,5 poäng. För godkänd kontrollskrivning krävs 3 poäng.. Två slutna gasbehållare med volymerna V a 5 liter och V b 50 liter, innehåller luft vid samma tryck p MPa men med olika temperaturer (T ) a 0 C respektive (T ) b 0 C. Behållarna är först termiskt isolerade från varandra och omgivningen. Fortfarande termiskt isolerade från sin omgivning sätts gaserna i behållarna i termisk kontakt med varandra vid bibehållen volym genom att den termiska isoleringen mellan behållarna avlägsnas. Beräkna tryckskillnaden mellan behållarna, (p ) a -(p ) b, när ny jämvikt inträtt.. Betrakta en ideal gas som genomgår en internt reversibel expansion i en cylinder där volymen i cylindern ökar från V till V >V. I vilken av följande processer uträttar gasen mest arbete, om alla processer går mellan samma tillstånd p, V och p, V med början i tillstånd? Process A: Isoterm expansion till V, följt av isokor tryckförändring till p. Process B: Adiabatisk expansion till p, V. Process C: Isokor tryckförändring till p V /V, följt av isoterm expansion till p, V. De specifika värmekapaciteterna är konstanta och c p /c v.4. Svaret skall motiveras. 3. Skissa ett pv-diagram som illustrerar principerna för isoterm tillståndsförändring i en fluid som genomgår fasomvandling från vätska till gas. I diagrammet skall anges i vilka områden av pv-diagrammet fluiden förekommer som enbart vätska, som vätska och gas och som enbart gas. Skissa också en isoterm tillståndsförändring för samma fluid som går genom den s.k. kritiska punkten och ange om den temperaturen är större eller mindre jämfört med den första isotermen. 4. Inloppet till turbinen i ett litet vattenkraftverk ligger på höjden 0 m över turbinens utlopp. Vatten strömmar in i inloppet med en försumbar hastighet och ut ur turbinen med hastigheten 0 m/s. Variationen i vattnets tryck och temperatur mellan in- och utloppen kan försummas liksom värmeutbytet med omgivningen. Hur stort volymflöde av vatten krävs för att turbinen ska ge uteffekten 500 kw? 5. Luft med stagnationstillståndet p 0 och T 0 strömmar genom ett konvergent munstycke ut i ett stort omgivande rum. I detta rum är trycket p e och temperaturen T e. Hur stor är strömningshastigheten i luftstrålen som lämnar munstycket om p 0 80 kpa, T K, p e 00 kpa och T e 90 K? Du får anta att tillståndsändringen i luftströmmen genom munstycket är adiabatisk och reversibel (dvs. isentropisk). Please turn for an English version!

4 Kontrollskrivning, SG6 Termodynamik för T May 5 009, kl. 4:00 8:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examinator: Anders Dahlkild Assessment: Each correctly solved problem (out of 5) gives point. In exclusive cases almost correct or good attempts may give 0.5 points. To pass the test 3 points are required.. Two closed gas containers with volumes V a 5 liters and V b 50 liters contain air at the same pressure p MPa but at different temperatures (T ) a 0 C and (T ) b 0 C respectively. The containers are first thermally insulated from each other and from the surroundings. Still thermally insulated from the surroundings the two gas volumes are put in thermal contact with each other by removing the thermal insulation between the containers. Calculate the pressure difference between the containers, (p ) a -(p ) b, at the subsequent equilibrium state.. Consider a perfect gas subject to an internally reversible expansion in a cylinder where the cylinder volume increases from V to V >V. In which one of the following processes does the gas perform the largest amount of work, if all processes take place between the same two states p, V and p, V starting at state? Process A: Isothermal expansion to V, followed by an isochoric pressure change to p. Process B: Adiabatic expansion to p, V. Process C: Isochoric pressure change to p V /V, followed by isothermal expansion to p, V. The specific heat capacities are constant and c p /c v.4. You must motivate your answer. 3. Sketch a pv-diagram that illustrates the principles of isothermal change of state in a fluid that involves phase change from liquid to gas. In the diagram you should indicate in which regions of the pv-diagram the fluid appear as liquid only, as liquid and gas and as gas only. Also sketch an isothermal state of change that passes through the critical point and state whether this temperature is larger or smaller compared to the first isotherm. 4. The inlet of the turbine to a small water power plant is at the height 0 m above the outlet of the turbine. Water flows into the inlet at low speed and out of the turbine at 0 m/s. The variation of water pressure and temperature between the in- and outlets can be neglected as well as the heat exchange with the surroundings. Determine the mass flow rate of water required for the turbine to give a power of 500 kw. 5. Air at the stagnation state p 0 and T 0 flows through a convergent nozzle and out in a large surrounding room. In this room the pressure is p e and the temperature is T e. Determine the velocity of the air jet that leaves the nozzle if p 0 80 kpa, T K, p e 00 kpa and T e 90 K? You may assume that the change of state in the air flow of the nozzle is adiabatic and reversible (i.e. isentropic). Var god vänd för svensk version!

5 Kontrollskrivning, SG6 Termodynamik för T 5 maj 009, kl. 4:00 8:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Varje rätt löst/besvarad uppgift ger poäng. I undantagsfall kan nästan rätt eller mycket goda försök ge 0,5 poäng. För godkänd kontrollskrivning krävs 3 poäng.. Ett visst hus läcker värme med 50 kw en vinterdag. Ge en undre gräns för den lägsta utomhustemperatur vid vilken en luft-luftvärmepump på 5 kw arbetseffekt klarar att hålla en inomhustemperatur på 5 C.. I en ideal Otto-kretsprocess med kompressionsförhållandet r V max /V min 8 är den lägsta temperaturen för arbetsmediet i cykeln 0 C. Bestäm den högsta temperaturen i cykeln om värmetillförseln vid förbränningen är 50 kj/kg per cykel. Arbetsmediet är luft och kan betraktas som en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter. 3. Luften i en sluten behållare med volym V 5 liter, tryck p 00 kpa och temperatur T 0 C värms upp av en gaslåga under en viss tid t. Efter uppvärmningen värmeisoleras behållaren. Temperaturen då ny jämvikt ställt in sig i behållaren efter uppvärmningen är T 00 C. Bestäm den irreversibla delen av entropiändringen i gasen om temperaturen på den del av randen där värmeöverföringen sker kan antas konstant och lika med T rand 600 K. Luften får antas uppföra sig som en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter. 4. I en experimentanläggning noterar man att en rak stöt rör sig med hastigheten v s 50 m/s in i stillastående kvävgas (N). Trycket i kvävgasen är innan stöten passerat 000 Pa och temperaturen är 7 C. Hur stort är trycket och hur stor är temperaturen i kvävgasen efter att stöten har passerat? För kvävgas gäller att molmassan M N 8,06 kg/kmol. Ledning: Betrakta problemet från ett system fixt i stöten, detta är en s.k. Galileitransformation. Tryck och temperatur är invarianta vid en sådan transformation, dvs. de är lika stora i ett sådant stöt-fixt system som i det rumsfixa system som beskrivs ovan. 5. Betrakta ett metallblock med massan m,5 kg, densiteten ρ kg/m 3 och med den specifika värmekapaciteten c 460 J/(kg K). Beräkna metallblockets exergi om dess temperatur är a) 00 C respektive b) 60 C. Omgivningen (i detta fall det s.k. döda tillståndet) har i båda fallen temperaturen 0 C och trycket är 00 kpa. Please turn for an English version!

6 Kontrollskrivning, SG6 Termodynamik för T May 5 009, kl. 4:00 8:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examinator: Anders Dahlkild Assessment: Each correctly solved problem (out of 5) gives point. In exclusive cases almost correct or good attempts may give 0.5 points. To pass the test 3 points are required.. A house is leaking heat at a rate of 50 kw during a winter day. Give a lower limit of the outdoor temperature at which an air-air heat pump of 5 kw power manage to keep an indoor temperature of at least 5 C.. In an ideal Otto cycle with the compression ratio r V max /V min 8 the lowest temperature of the working medium is 0 C. Determine the highest temperature of the cycle if the heat addition during combustion is 50 kj/kg per cycle. The working medium is air and can be considered a perfect gas at constant specific heats. 3. The air in a closed container with volume V 5 litre, pressure p 00 kpa and temperature T 0 C is heated by a burner during a given time t. After heating the container is thermally isolated. The temperature when new equilibrium is established is T 00 C. Determine the irreversible part of the entropy change in the gas if the temperature at the part of the boundary where the heat transfer occurs can be assumed constant and equal to T rand 600 K. The air may be assumed a perfect gas at constant specific heats. 4. In an experimental laboratory facility one detects a normal shock wave with the speed v s 50 m/s moving into stagnant nitrogen (N). The pressure in the nitrogen before the shock wave has passed is 000 Pa and the temperature is 7 C. What is the pressure and temperature in the nitrogen after the shock has passed? The molecular mass of nitrogen is M N 8.06 kg/kmol. Hint: Consider the problem in a frame of reference fixed in the shock wave. This is a so called Galilei transformation. Pressure and temperature is invariant during the transformation, i.e. in the frame of reference fixed in the shock wave they are the same as in the frame of reference fixed in the laboratory described above. 5. Consider a metallic block with mass m.5 kg, density ρ kg/m 3 and with specific heat c 460 J/(kg K). Calculate the exergy of the metallic block if its temperature is a) 00 C respectively b) 60 C. The surroundings (in this case the so called dead state ) has in both cases the temperature 0 C and pressure 00 kpa. Var god vänd för svensk version!

7 BETYGSTENTAMEN, SG6 Termodynamik för T 5 maj 009, kl. 4:00 8:00 Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen). Examinator: Anders Dahlkild Bedömning: Lösningen av dessa uppgifter bedöms antingen som godkänd (G) eller underkänd (U). För att få G måste du kunna redovisa en lösning som dels är i stort sett korrekt, dels inte strider mot någon grundprincip du ska kunna från denna eller tidigare kurser och dels redovisar ett djup i förståelsen för ämnet.. Betrakta Joules experiment, där gasen i en värmeisolerad behållare genomgår en fri expansion till en större volym, V V 00 liter, utan att uträtta arbete. Beräkna temperaturförändringen om gasen är en van der Waals gas med massan m 0, kg och där specifika värmet vid konstant volym kan antas konstant c v 3R med R 46,4 J/(kg K). Parametrarna i van der Waals tillståndsekvation är kalibrerade till a,703 kpa (m 3 /kg), b 0,0069 m 3 /kg. För den inre energin gäller det generella sambandet (.9) på sidan i formelsamlingen.. Visa att ingen värmemotor som arbetar mellan två givna temperaturer, eller värmemagasin, kan vara effektivare än en reversibel värmemotor som arbetar mellan samma temperaturer eller värmemagasin. Beviset får baseras på antingen den ena eller den andra formuleringen av den :a huvudsatsen. 3. Den ideala gasturbincykeln eller Brayton-cykeln (uppkallad efter den amerikanske ingenjören George Brayton som föreslog cykeln på 870-talet) består av 4 reversibla delar: isentroper och isobarer. Låt oss följa en gaspartikels väg genom gasturbincykeln. Gaspartikeln komprimeras först i kompressorn, varefter gasen tillförs värme i brännkammaren. Därefter går den genom turbinen där trycket sjunker till det ursprungliga värdet. Gasen kyls sedan i en värmeväxlare och kommer tillbaka till ursprungstillståndet. Börja med att rita upp den ideala cykeln en gaspartikel genomlöper i ett pv- och ett Ts-diagram. Bestäm därefter: a) nettoarbetet ut, b) värmeöverföringen till gasen vid uppvärmning och kylning, c) den termiska verkningsgraden och d) det arbete som måste tillföras själva kompressorn. Antag följande: Gasen i cykeln är luft (betraktas som ideal med konstanta cv och cp) som har trycket 00 kpa och temperaturen 40 C vid inloppet till kompressorn och temperaturen 3 C då den lämnar turbinen. Tryckförhållandet i kompressorsteget är :0 och alla strömningshastigheter är små. 4. Tvärsnittsareafördelningen i ett hål på en behållare kan ha stor betydelse för strömningen genom detta. Betrakta strömningen genom hålen i figurerna a) och b) (se sista sidan). Tvärsnittsareafördelningen är lika i dessa hål men omkastad. I figur a) minskar tvärsnittsarean monotont från Aw till An medan den i figur b) ökar från An till Aw. Luft strömmar från vänster till höger genom båda hålen. På inströmningssidan (till vänster) lagras luften i en stor trycktank vid trycket p och temperaturen T. Dessa värden kan förutsättas vara konstanta. I det stora rummet på utströmningssidan (till höger) är trycket p. Hur stort är massflödet genom vart och ett av de två hålen? Antag att strömningen är stationär, friktionsfri och adiabatisk genom hålen. Givet: A n 0, cm, A w 0,3 cm, p 40 kpa, p 00 kpa och T 90 K. Please turn for an English version!

8 GRADE EXAM, SG6 Termodynamik för T May 5 009, kl. 4:00 8:00 You may use: Termo konc of Tony Burden, mathematical tables and a calculator (without information connected to this course). Examiner: Anders Dahlkild Assessment: Your solution to these problems will be graded pass (P) or fail (F). To get P you must present a solution that, firstly, is over all correct, secondly, does not overrule any of the basic thermodynamic or physical principles that should be known to you from this or previous courses and, thirdly, shows a depth in the understanding of the subject.. Consider Joules experiment, where the gas in a thermally isolated container is performing a free expansion to a larger volume, V V 00 litre, without performing any work. Calculate the change in temperature if the gas is a van der Waals gas with mass m 0. kg and where the specific heat at constant volume can be considered constant c v 3R med R 46.4 J/(kg K). The parameters in the van der Waals equation of state are calibrated to a.703 kpa (m 3 /kg), b m 3 /kg. For the internal energy holds the general relation (.9) on page in Termo T conc.. Show that no heat engine operating between two given temperatures, or heat reservoirs, can be more efficient than a reversible heat engine operating between the same temperatures or heat reservoirs. The proof may be based on either one of the two formulations of the :nd law of thermodynamics. 3. The ideal gas turbine cycle or the Brayton cycle (after the american engineer George Brayton) has 4 reversible parts: isentropic paths and isobaric paths. Let s follow a gas particle through the turbine cycle. The gas particle is first compressed in the compressor, after which heat is added in the combustion chamber. Subsequently the gas particle goes through the turbine where the pressure goes down to its value in the beginning of the cycle. The gas is then cooled via a heat exchanger and returns to its original state before the compressor. First draw the ideal cycle for a gas particle in a pv- and a Ts-diagram. Then determine: a) the net work performed, b) the heat transfer to the gas at heating and cooling, c) the thermal efficiency η and d) the work performed on the gas by the compressor. Assumptions allowed: The gas is air (perfect gas at constant specific heats) with pressure 00 kpa and temperature 40 C at the inlet of the compressor and temperature 3 C leaving the turbine. The pressure ration of the compressor step is :0 and all gas velocities are small. 4. The cross sectional area distribution of a hole in a container may have a large influence of the flow through it. Consider the flows though the holes in figures a) and b) (see last page). The cross sectional area distributions are the same, but reversed. In figure a) the area decreases monotonically from Aw to An whereas in b) it increases from An to Aw. Air flows from left to right through both holes. On the inlet side (to the left) the gas is stored in a large pressure vessel at pressure p and temperature T. These values can be considered constants. In the large space at the outlet side (to the right) the pressure is p. Determine the mass flow rate through each of the holes. Assume the flow through the holes to be at steady state, friction less and adiabatic. Given: A n 0. cm, A w 0.3 cm, p 40 kpa, p 00 kpa och T 90 K. Var god vänd för svensk version!

9 ! #! " & $ % $ & '!"! "! # & $ % $ & ' #" Figur till uppgift 4/Figure to problem 4

10

11 Lösningar KS SG Termisk jämvikt > (T ) a (T ) b T :a h.s. > m a c v (T ) a + m b c v (T ) b (m a c v + m b c v )T > T (m a (T ) a + m b (T ) b )/(m a + m b ) Ideal gas, luft > m a p V a /(R(T ) a ) 0 6 5*0-3 /(87*73) kg 0.3 kg m b p V b /(R(T ) b ) /(87 93) kg 0.59 kg T ( )/( ) K 86 K Ideal gas, konstant volym > (p ) a p T /(T ) a /73 (p ) b p T /(T ) b /93 (p ) a -(p ) b (/73 /93) Pa 7.5 kpa. Eftersom process B är adiabatisk och reversibel gäller att p V ϒ p V ϒ > p < p ty V >V. Eftersom process B är adiabatisk och reversibel gäller att T V ϒ- T V ϒ- > T < T ty V >V. Utfört arbete av systemet i en process mellan två tillstånd är lika med arean under tryckkurvan i pv-diagrammet mellan de två tillstånden. > Arean under isotermen T, d.v.s. arbetet i process A, är större än arean under isotermen T, d.v.s. arbetet i process C, mellan V och V i pvdiagrammet. Arean under adiabaten mellan V och V för process B, dvs arbetet i process B, är mindre än i A men större än i B. Det största arbetet utförs alltså i process A. 3. Se figur 8.7 sidan 66 i Young & Freedman. Den kritiska isotermen har större temperatur.

12 4. Den första huvudsatsen för ett öppet system ger att ( Δ h + ) v + gz q w s q Ẇs ṁ Här är enligt texten Δh c ΔT + ρ Δp c (T ut T in )+ ρ (p ut p in )0 tyt ut T in och p ut p in Δ ( v ) ( v ut vin) där v in 0 g Δz g (z ut z in ) där z ut z in 0 m. Vidare är det givet att värmeutbytet q kan försummas. Detta ger nu att massflödet av vatten genom turbinen är Ẇs ṁ kg/s 0,4 0 3 kg/s v ut + g (z ut z in ) 0 +9,8 ( 0) vilket ger att det sökta volymflödet är (va) ṁ ρ 5. I detta fall gäller för trycken att p e p , m 3 /s 0,4 m 3 /s 0,556 > p p 0 0,58 Detta innebär att strömningen genom munstycket inte är strypt vilket i sin tur innebär att machtalet i strålen M j <. Strömningen kan också förutsättas vara adiabatisk och reversibel, dvs. isentropisk, genom munstycket och ut i strålen. Det randvillkor som måste gälla på varje fri strålrand är att trycket är lika stort i strålen som i omgivningen. I detta fall är alltså trycket i strålen p j p e och machtalet M j erhålls från isentropsambandet p e p 0 p j p 0 [ + γ Mj ] γ/(γ ) M j γ [ (p0 ) (γ )/γ ] som med givna numeriska värden ger att [ (80 Mj ) 0,4/,4 0,4 ] 0,943 M j 0, Med detta machtal blir temperaturen i luftstrålen [ T j + γ ] Mj [+0,0,943] 0,8454 T 0 T j 0, K 53,6 K och ljudhastigheten blir a j γrt j, ,6 m/s 39, m/s Den sökta hastigheten i gasstrålen är alltså v j a j M j 39, 0,956 m/s 305 m/s p e

13 Lösningar KS SG η vp Q varm W (η vp ) rev Q varm Q varm Q kall > - T kall T varm 0 > T kall T varm > T kall 0.9T varm K K 4.8 C T varm T varm T kall T kall T varm. γ adiabatiskt > T v γ T v > T v T 3 isokort > q in c v (T 3 T ) > T 3 T + q in c v v γ T q in c v K 743. K 3. ΔS Q + σ T rand sökt storhet Q { konstant volym} mc v (T T ) m p V p > mc v V > mc v (T T ) p V T RT (γ )T (γ ) T Q mc v(t T ) p V T T rand T rand (γ ) T T rand J K.8 J K ΔS mc v ln T + mrln v T v σ ΔS Q T rand 0 p V (γ ) 5. J K.8 J K.3 J K ln T 5. J T K T

14 4. Kvävgasen N är en tvåatomig gas så γ c p /c v,40. Vi kommer även att behöva gaskonstanten för kvävgas. Denna är R R 8 34 J/(kg K) 96,76 J/(kg K) M N 8,06 M M v / a s v'v - v s v s p v v - v' v v - v' s s v s p T v'0 T p T p T stöt som rör sig fix stöt Den transformation till ett system fixt i stöten som beskrivs i ledningen till problemtexten illustreras i figuren ovan. Ljudhastigheten a påstötens inloppssida är a γrt,40 96,76 90,5 m/s 347,0 m/s vilket ger att inloppsmachtalet i stöten är M 50/347,0 3,600. Med detta inloppsmachtal ger stötrelationerna att tryck- och temperaturförhållandena över stöten är p 4,9554 och T 3,45408 p T vilketgerattdetsökta trycket och den sökta temperaruen efter att stöten passerat är p 4, Pa 4,96 kpa och T 3, ,5 K 00, K 5. Exergin ges av A (E U 0 )+p 0 (V V 0 ) T 0 (S S 0 ) där det allmänt gäller att E U +E pot +E kin. Metallblocket har samma potentiella och kinetiska energi som i det döda tillståndet så E pot +E kin 0.Vidareär ett metallblock inkompressibelt så V V 0. Detta ger att exergin för metallblocket i detta fall ges av A (U U 0 ) T 0 (S S 0 ) där det för ett inkompressibelt material gäller att U U 0 mc (T T 0 ) och S S 0 mc ln T T 0 Alltså gäller till slut att exergin i detta fall ges av ] A mc [(T T 0 ) T 0 ln TT0 som med de i deluppgift a) givna numeriska värdena ger att [ A a,5 460 (00 0) 93 ln 373 ] J 690 [80 70,7] J J 93 Med de i deluppgift b) givna numeriska värdena blir exergin [ A b,5 460 ( 60 0) 93 ln 3 ] J 690 [ ,4] J 9 68 J 93 Notera att exergin, dvs. den maximala mängd arbete som är möjlig att utvinna, är större vid samma temperaturdifferens om metallblocket är kallare än omgivningen!

15 Lösningar betygstentamen 5 maj Fri expansion, W0, och värmeisolerat, Q0, ger enligt :a h.s. att ΔU0. (.9) > du c v dt + T p T (4.) > p RT v b a v > p T v p dv > du c v dt + a v dv > Δu c v ΔT + > ΔT a c v v a c v a v v c v v v v R v b v p > T T a dv c v ΔT + a a 0 v v v v v p RT v b p a v ma V c v V V ( ) K.3 K Den totala inre energin hos gasen bevaras vid expansionen. Eftersom molekylerna befinner sig längre ifrån varandra efter expansionen, och eftersom molekylerna attraherar varandra, så har deras potentiella energi ökat. Därför måste deras rörelseenergi ha minskat vilket observeras som en minskning av temperaturen.. Se kurskompendiet kapitel 7.3.

16 3. Figuren nedan visar gasturbincykeln i ett pv och ett Tsdiagram. Vid () kommer gasen in i kompressorn och komprimeras isentropiskt mellan () och (). Vid () kommer gasen in i brännkammaren varvid värme tillförs isobart vid förbränningen fram till (3). Mellan (3) och (4) passerar gasen genom turbinen där den expanderas isentropiskt för att därefter kylas mellan (4) och () i en värmeväxlaren för att vid () åter komma in i kompressorn. U 9 [ X Givet är att p 00 kpa, T 33,5 K, T 4 496,5 K och att Processen är isentrop varför q 0. Huvudsats ger att p p p 3 p 4 0 Δh c p (T T )q w s, w s, och isentropin ger att ( ) (γ )/γ T p 0 /3,5 T p Processen 3 är isobar varför w s,3 0. Huvudsats ger att Δh c p (T 3 T )q 3 w s,3 q s,3 Processen 3 4 är isentrop varför q Huvudsats ger att och isentropin ger att T 3 T 4 Δh c p (T 4 T 3 )q 34 w s,34 w s,34 ( p3 p 4 ) (γ )/γ 0 /3,5 ( p p ) (γ )/γ T T Processen 4 är isobar varför w s,3 0. Huvudsats ger att a) Nettoarbetet ut från cykeln är Δh c p (T T 4 )q 4 w s,4 q s,4 w s w s, + w s,34 c p [(T T )+(T 3 T 4 )] c p [(T T 4 )+(T 3 T )] [ ( c p T T ) ( T 4 T )] [ ( ) ] (γ )/γ 3 p3 c p (T T 4 ) T T 4 p 4 Med givna numeriska värden ger detta w s 004,5 (33,5 496,5) [ 0 /3,5] J/kg 7,08 kj/kg

17 b) Värmeöverföringen till gasen vid förbränningen är ( ) (γ )/γ p q 3 c p (T 3 T )c p (T 4 T ) p 004,5 0 /3,5 (496,5 33,5) J/kg 354,9 kj/kg och värmeöverföringen från gasen i värmeväxlaren är q 4 c p (T T 4 ) 004,5 (33,5 496,5) J/kg 83,8 kj/kg c) Den termiska verkningsgraden är d) Kompressorarbetet är η th w s q 3 7,08 354,9 0,48 w s,kompressor w s, c p (T T )c p T [ ( p p ) ] (γ )/γ 004,5 33,5 [ 0 /3,5] J/kg 9,76 kj/kg 4. Det helt avgörande för massflödet är om strömningen är strypt eller inte. Börja med att anta att strömningen inte är strypt och att den är subsonisk längs hela båda hålen. I det fallet gäller som randvillkor att trycket vid hålets utlopp till höger måste vara lika stort som trycket p i rummet. Vidare måste gälla att strömningen från trycktanken och genom hålet måste vara isentropisk och trycket p i trycktanken är då stagnationstrycket. Isentropsambandet för p/p 0 ger då att p p [ + γ ] γ/(γ ) M p 0 p som med givna numeriska värden ger att [ M (p ) [ (γ )/γ (40 ) (,40 )/,40 ] γ,40 ] 0, p M 0,703 Detta visar att det råder underljudsströmning i utloppet både i fallet a) och b). Eftersom hålets tvärsnitt konvergerar i fall a) måste machtalet öka längs detta hål och vara störst i utloppet. I det fallet är alltså strömningen inte strypt och det råder underljudsströmning i hela hålet. Massflödet kan då beräknas från sambandet ṁ a ρ a u a A a p a RT a M a γrta A n p a M a γ RT a A n

18 där M a M och p a p. Temperaturen vid utloppet ges från isentropsambandet T a T 0 T [ a + γ Ma T ] Med machtalet M som beräknats ovan blir denna temperatur [ T a T + γ M a] [ +,40 ] 0, ,90834 T a 63,4 K Detta ger till slut att massflödet i fall a) är,40 ṁ a , ,4 0, 0 4 kg/s 6, g/s I fall b) divergerar hålet. Detta innebär att om man förflyttar sig uppströms från utloppet mot inloppet så växer machtalet från ett subsoniska värde vid utloppet. Detta innebär att strömningen kan vara strypt och detta måste kontrolleras. För att kontrollera detta kan man först anta att strömningen är isentropisk genom hela hålet och beräkna värdet på dentvärsnittsarea A där machtalet M.OmA är större än inloppsarean A n måste strömningen vara strypt. Med machtalet M ovan får vi A A b A γ + M A w + γ 0,703 M,40 + +,40 (γ+)/((γ )) 0,50454 (,40+)/( (,40 )) 0,9989 vilket ger att A 0,76 cm vilket är >A n, alltså är strömningen i detta fall strypt. Strömningsbilden är i detta fall att machtalet i inloppet är och att detta sedan följs av ett område med överljudsströmning. Någonstans längs hålet finns en rak stöt och nedströms denna råder underljudsströmning. Positionen för den raka stöten anpassas så att randvillkoret att trycket i ska vara p iutloppetär uppfyllt. Notera att detta också innebär att machtalet M b vid utloppet i detta fall är M a ovan. Då strömningen är strypt ges massflödet genom hålet av { γ ṁ b p 0 RT 0 ( ) } (γ+)/((γ )) / { A p γ + som med kända numeriska värden ger att γ RT ( ) } (γ+)/((γ )) / A n γ + { ( ) } (,40+)/((,40 )) / ṁ b , , 0 4 kg/s 6,65 g/s,40 + Notera att massflödet ṁ b > ṁ a. 3