MMVF01 Termodynamik och strömningslära

Transkript

1 MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfrågor strömningslära (inkl. svar i kursiv stil; utan figurer) 24 november 2010 Sidhänvisningar: Young et al. (4th Ed.), Çengel & Boles (6th Ed.), Formelsamling (FS) CH. 1 INLEDNING 1.1 Definiera eller förklara kortfattat (a) fluid fluid = medium som kontinuerligt deformeras vid godtyckligt liten skjuvbelastning. (s. 1) (b) dynamisk viskositet Dynamisk viskositet, µ = ämnesstorhet som uttrycker förhållandet mellan skjuvspänning (bromsande skjuvkraft per areaenhet) i ett plan och vinkeldeformationshastigheten i samma plan. För enkel skjuvströmning, V = u(y)î är τ = µ(du/dy), där τ är skjuvspänningen. (s. 12) (c) kinematisk viskositet Kinematisk viskositet, ν = µ/ρ; µ är fluidens dynamiska viskositet och ρ dess densitet. (s. 13) (d) Reynolds tal Re = ρv L/µ = V L/ν, där ρ är fluidens densitet, µ dess dynamiska viskositet (ν kinematisk viskositet), L en karakteristisk längd (t.ex. diametern för en sfär) och V en karakteristisk hastighet (t.ex. anströmningshastigheten för en omströmmad kropp). (s. 13, 251/2, Table 7.1) (e) ljudhastighet Ljudhastighet, c = utbredningshastighet för små tryckstörningar i ett kompressibelt medium. Alt. c = ( p/ ρ) s, d.v.s. roten ur partiella derivatan av trycket p m.a.p. densiteten ρ vid isentrop process. (s. 17; s. 854 i Çengel & Boles) (f) Machtal Ma = V/c, där V är lokal hastighet och c lokal ljudhastighet. (s. 18; s. 854 i Çengel & Boles) 1.2 Ange dimensionen för dynamisk resp. kinematisk viskositet i SI-enheter. Ange också ungefärliga siffervärden på dessa för vatten och luft vid rumstemperatur och normaltryck (20 C, 1 atm). {µ} = Pa s; {ν} = m 2 /s; vatten, 20 C: µ = Pa s, ν = m 2 /s; luft, p = 1 atm, 20 C: µ = Pa s, ν = m 2 /s. Newtonsk fluid, enkel skjuvströmning: τ = µ du dy, {τ} = Pa = N/m2 = (kg m/s 2 )/m 2 = kg/(s 2 m), { du dy } = s 1, d.v.s. {µ} = kg/(s m) = Pa s; {ν} = {µ}/{ρ} = m 2 /s. (s. 13, Table B.2/4) 1.3 För Newtonska fluider gäller att skjuvspänningar är proportionella mot skjuvhastigheter (skjuvvinklars tidsderivator) i olika plan. Om skjuvningen sker i ett enda plan visa då att skjuvspänningen τ är proportionell mot hastighetsgradienten vinkelrätt detta plan. Betrakta ett från början (vid t = 0) rätvinkligt fluidelement, med sidorna δx och δy i xy-planet. När elementet tänks släppt fri i den enkla skjuvströmningen V = u(y)î translateras elementet (i x-riktningen med hastigheten u). Eftersom hastigheten varierar i y-led sker det även en vinkeldeformation i xy-planet. Hastighetsskillnad u mellan elementets över- och undersida vid tillräckligt litet δy: (du/dy)δy. Förskjutningen av översidan blir således u δt. Under tillräckligt kort δt fås vinkeldeformationen (skjuvvinkeln) δβ = u δt/δy = (du/dy)δt. Då δt 0 fås dβ/dt = du/dy. Om τ är proportionell mot dβ/dt är således τ du/dy. (s. 11/12) 1

2 CH. 2 FLUIDERS STATIK 2.1 Förklara vad som avses med absolut tryck samt över- resp. undertryck. Absolut tryck är tryck relativt vakuum (där p = 0). Över- resp. undertryck är tryckskillnaden över resp. under omgivande lufttryck. (s. 35/36; s. 22/3 i Çengel & Boles) 2.2 Betrakta en fluid i vila där z-riktningen är lodrätt uppåt. Utgående från att trycket är en skalär storhet, p = p(x, y, z), visa att dp dz = ρ g. Betrakta ett litet lådliknande fluidelement med sidorna δx, δy och δz (Fig. 2.2). Trycket i elementets centrum (omkring den betraktade punkten) = p. P.g.a. elementets utsträckning är trycken över resp. yta inte lika med p. Trycken kan dock sägas vara konstanta över resp. yta. Trycket på nivån z + δz/2 vid tillräckligt litet δz: p + ( p/ z)(δz/2), på nivån z δz/2: p + ( p/ z)( δz/2). Eftersom tryck verkar in mot punkten blir netto tryckkraft i z-riktningen ( p/ z) δx δy δz,, som tillsammans med tyngdkraften ρ g δx δy δz måste vara noll (ingen acceleration), d.v.s. p/ z = ρ g. Ingen masskraft i varken x- eller y-riktningen ger p/ x = p/ y = 0 eller p = p(z), vilket med tidigare resultat ger dp/dz = ρ g. (s ) 2.3 Beskriv hur differenstryck över en komponent i ett rörsystem kan mätas m.h.a. U- rörsmanometer. Den strömmande fluiden har densiteten ρ, manometervätskan ρ m. Härled ett uttryck på tryckdifferensen med given avläst höjdskillnad h. Rita upp figur enligt Fig. E2.3 (sätt h 2 = h, ρ 1 = ρ, ρ 2 = ρ m ). Utnyttja principen att trycket på samma lodrätta höjd och för samma (stillastående) fluid i korresponderande kärl är lika. Vid vertikal förflyttning i samma fluid (med konstant densitet) är p = ρg z, där trycket ökar nedåt. Betrakta nivån som är på lodräta avståndet h 1 från de bägge punkterna A och B (där trycken är p A resp. p B ). I punkt (2) är trycket p A ρgh 1, i punkt (3): p B ρg(h 1 + h) + ρ m g h. Eftersom dessa tryck är lika fås p A p B = (ρ m ρ)g h. (s. 40/41; Example 2.3) CH. 3 BERNOULLIS EKVATION 3.1 Definiera begreppet inkompressibel strömning samt ange en tumregel för när en strömning måste betraktas som kompressibel. Vid inkompressibel strömning kan fluidens densitet betraktas som konstant. (FS s. 4 samt s. 90) Om lokal strömningshastighet överstiger ca. 30% av lokal ljudhastighet måste strömningen betraktas som kompressibel. (FS s. 4 samt s. 91) 3.2 (a) Definiera vad som menas med en strömlinje. En strömlinje är en linje i rummet vars tangentvektor i varje punkt är parallell med hastighetsvektorn. (s. 67, 105) (b) Betrakta stationär och friktionsfri strömning (endast tryck- och gravitationskrafter). Visa att dp + ρ d(v 2 /2) + ρ g dz = 0 gäller längs en strömlinje. Kraftbalans för liten fluidpartikel i form av en parallellepiped med volymen δv, längs en strömlinje: δm a s = δw s + δf ps ; δm = ρ δv; a s = dv/dt = (dv/ds)(ds/dt) = (dv/ds)v = (d/ds)(v 2 /2); tyngdkraft: δw s = ρ δv g sin θ, där sin θ = dz/ds, se Fig Tryck på resp. area vid δs/2 (area = δv/δs): p+(dp/ds)( δs/2) och p+(dp/ds)(δs/2); resulterande tryckkraft: δf ps = (dp/ds)δv. Division med δv, multiplikation med ds och omstuvning ger resultatet. (s ) 3.3 Ange Bernoullis ekvation längs en strömlinje. Ingående storheter skall klarläggas. Under vilka förutsättningar gäller ekvationen? Längs en strömlinje vid stationär, inkompressibel, friktionsfri strömning är summan av statiskt tryck, dynamiskt tryck och höjdtryck konstant, p + ρv 2 /2 + ρ gz = konst., där z är en vertikal koordinat (uppåt), ρ fluidens konstanta densitet, V hastigheten och p det statiska trycket. (s. 71/90/91) 2

3 3.4 Definiera eller förklara kortfattat (a) statiskt tryck Det statiska trycket är det faktiska trycket i en punkt (att det kallas statiskt tryck beror på att det är det faktiska tryck som en tänkt observatör inuti ett fluidelement känner av när denne följer med elementet i strömningen). (s. 29/75) (b) dynamiskt tryck Kombinationen ρv 2 /2 kallas dynamiskt tryck (V hastighet, ρ densitet). (s. 75) (c) stagnationspunkt En stagnationspunkt är en punkt i ett strömningsfält där hastigheten är noll. (s. 75) 3.5 Beskriv hur ett s.k. Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) fungerar samt härled ett uttryck på strömningshastigheten. Illustrera. Principskiss enligt Fig. 3.6 (se även OH-mtrl); anströmningshastighet V. Stagnationspunkt vid det främre tryckhålet (2), tryck p s ; vid (1), d.v.s. vid tryckhålet utefter röret (oftast flera tryckhål i en krans runtom eller en slits), har trycket (via anpassad design) återgått till fluidens statiska tryck i den ostörda strömningen framför röret, tryck p. Längs den horisontella strömlinje som kommer in framifrån och träffar stagnationspunkten gäller enligt Bernoullis ekvation, p s = p + ρv 2 /2, d.v.s. V = 2(p s p)/ρ. Mätning av p s p och känd densitet ρ ger hastigheten. (s. 76) 3.6 Härled ett uttryck på en vätskestråles hastighet ut ur ett litet hål som sitter i botten på en stor öppen tank. Strömningen kan betraktas som friktionsfri. Hur beräknas volymflödet om hålets area är givet? Kontraktionskoefficienten antas känd (given). Stor tank d.v.s. förutsätt konstant vätskedjup h, stationär strömning. Hålets area A h samt vätska d.v.s. inkompressibel strömning. Följ en strömlinje från ytan (sektion 1), som passerar igenom hålet där sektion 2 är lagd tvärs genom den fria strålen vid utloppet, se Fig Friktionsfritt p 1 + ρv1 2/2 + ρgz 1 = p 2 + ρv2 2/2 + ρgz 2. z 1 = h, p 1 = p atm, stor tank V 1 V 2 ; z 2 = 0, p 2 = p atm + ρ air gh d.v.s. V 2 = 2(1 ρ air /ρ)gh = 2gh om ρ air ρ. Strålens area vid utloppet, A j, volymflöde Q = A j V 2 ; Kontraktionskoefficient, C c = A j /A h Q = C c A h 2gh. OBS! C c 1. (s. 78/79) 3.7 Beskriv och illustrera hur en Venturimeter fungerar samt härled ett uttryck på massflödet. Förutsätt stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning. Design enligt Fig eller 8.26, kort kontraktion från det anslutna rörets tvärsnittsarea A 1 till en minsta sektion med area A 2, därefter relativt långsam areaökning tillbaks till A 1. Variationer över tvärsnitt försummas. Tryckskillnad p = p 1 p 2 uppmätt mellan sektion 1 strax innan kontraktionen och minsta sektion (2); ρ är fluidens konstanta densitet. Antag horisontellt, z 2 = z 1. Bernoullis ekvation: p 1 +ρv1 2/2 = p 2+ρV2 2 /2. Massbalans vid stationär, inkompressibel strömning: Q = A 1 V 1 = A 2 V 2 Massflöde: ṁ = ρ Q = ρ A 2 V 2. (s. 85/86) 2 p/ρ V 2 = 1 (A 2 /A 1 ) 2 CH. 4 KINEMATIK 4.1 Beskriv kortfattat skillnaden mellan partikelbana och stråklinje. Partikelbana: den faktiska bana i rummet en tänkt fluidpartikel följer. Stråklinje: lokus (förbindelselinje mellan positioner) för fluidpartiklar som tidigare passerat en viss punkt i rummet. Vid stationär strömning överensstämmer partikelbanor med stråklinjer (och strömlinjer). (s. 106) 3

4 4.2 Förklara kortfattat skillnaden mellan laminär och turbulent strömning. Laminär strömning är en stabil och skiktad strömningstyp som uppträder om Reynolds tal är tillräckligt lågt, t.ex. vid rörströmning då Re < 2100; liten blandningsförmåga. Turbulent strömning är en oordnad och till synes kaotisk strömningstyp, karakteriseras av virvelrikedom samt slumpmässiga fluktuationer i både tid och rum, uppträder alltid om Reynolds tal är tillräckligt högt (motsatsen till laminär strömning); stor blandningsförmåga. (s. 105/287) 4.3 En fluidpartikels hastighetsvektor beror av läget och tiden t enligt V = V [ x(t), y(t), z(t), t ]. Visa att partikelns acceleration kan skrivas a = V t + u V x + v V y + w V z Partikelns acceleration är tidsderivatan av dess hastighet, a = dv/dt, d.v.s. a = (d/dt)v[ x(t), y(t), z(t), t ] = V/ t + ( V/ x)(dx/dt) + ( V/ y)(dy/dt) + ( V/ z)(dz/dt), vilket då u = dx/dt, v = dy/dt och w = dz/dt kan skrivas enligt den angivna formen. (s. 108/9) 4.4 Låt B vara en godtycklig massberoende storhet och b vara samma storhet uttryckt i per massenhet. (a) Härled ett uttryck för den materiella tidsderivatan av B tillämpad på en stillastående, stel kontrollvolym vid endimensionell strömning (Reynolds transportteorem). Betrakta strömning i ett rör enligt Fig Lägg en invändig CV som vid tiden t överensstämmer med ett (slutet) system, B CV (t) = B sys (t). Inströmning vid kontrollytan (1), utströmning vid (2). Vid tiden t+δt, där δt är litet, har systemet flyttat sig en aning, sträckan V 1 δt vid (1), V 2 δt vid (2). Benämn skillnadsregionen vid (1) med I, den vid (2) med II. Integrerat värde av B för systemet vid t + δt: B sys (t + δt) = B CV (t + δt) B I (t + δt) + B II (t + δt). Förändring av B sys per tidsenhet: δb sys /δt = (δt) 1 [ B sys (t+δt) B sys (t) ] = (δt) 1 [ B CV (t+δt) B CV (t)+b II (t+δt) B I (t+δt) ], där B I (t + δt) = b 1 δm 1 = (bρav ) 1 δt och B II (t + δt) = (bρav ) 2 δt. Låt nu δt 0. Vänsterledet blir då den materiella tidsderivatan av B sys, (D/Dt)B sys. Första två termerna i H.L. övergår till den partiella tidsderivatan av B CV, ( / t)b CV. Detta ger: (D/Dt)B sys = ( / t)b CV +(ρbav ) 2 (ρbav ) 1. (s ) (b) Ange motsvarande generella teorem (tredimensionell, instationär strömning) gällande en rörlig men stel kontrollvolym. Illustrera det konvektiva bidraget med figur. Se Fig. D.2/D.3. Ytnormalvektorn ˆn pekar ut från CV. Låt W beteckna den vektoriella skillnaden mellan fluidens hastighet V och CV:s hastighet V CV, bägge relativt ett stillastående koordinatsystem. Hastigheten W = V V CV är då fluidens hastighet relativt ett koordinatsystem fixerat till kontrollvolymen. Det är normalkomposanten av W, W n = W ˆn, som transporterar massa (d.v.s. B) över kontrollytan CS. Allmän form för rörlig men stel CV: (D/Dt)B sys = CV ( / t)(ρb)dv + CS ρbw ˆn da. (Appendix D, s. 479) CH. 5 INTEGRALANALYS 5.1 (a) Definiera medelhastighet V över ett tvärsnitt beskrivet av ytan A med normalvektorn ˆn (inkompressibel strömning). V = Q/A = A 1 A (V ˆn) da, där ˆn är ytnormalvektor för ytelementet da och V fluidens hastighet. (s. 125 samt s. 223 i Çengel & Boles) (b) Visa att medelhastigheten i ett rakt cirkulärt rör med fullt utvecklad laminär strömning är lika med halva hastigheten i rörets centrum. Hastighetsprofilen är parabolisk. Parabolisk, axisymmetrisk hastighetsprofil: u = u max (1 η 2 ) där η = r/r (R är rörets innerradie); medelhastighet = V, V ˆn = u, ytelement da = 2πr dr. Volymflöde: Q = V A = V πr 2 = A V ˆn da = R 0 u 2πr dr d.v.s. V/u max = 2R 2 R 0 (1 η2 )r dr. Med r = R η och dr = R dη fås V/u max = 1 0 2(η η3 ) dη = 2[ η 2 /2 η 4 /4 ] 1 0 = 1/2. (Ex. 5.2, s. 126/7) 4

5 5.2 Newtons andra lag tillämpat på en kontrollvolym (CV): Vρ dv + VρV ˆn da = F CV t CV CS där F CV = vektoriella summan av alla krafter som verkar på CV. Hastighetsvektorn V är relaterad till ett icke-accelererande koordinatsystem. Ange ett lämpligt koordinatsystem om kontrollvolymen rör sig med konstant hastighet. Förenkla ovanstående ekvation då strömningen är stationär och sker genom en stel kontrollvolym med endimensionella (homogena) förhållanden vid in- och utlopp. Specialisera sedan till ett inlopp och ett utlopp. Om CV rör sig är det lämpligt med ett koordinatsystem som är fixerat till CV. Stationär strömning, d.v.s. första termen i V.L. noll. Med alla storheter konstanta innanför integraltecknet i andra termen i V.L. och med ytnormalen pekande ut från CV övergår denna term till en summa över alla genomströmmade kontrollytor motsvarande netto utströmmad (linjär) impuls per tidsenhet, (ṁv)net,out = (ṁv) out (ṁv) in. Observera att ρv ˆn da = ±dṁ (+ vid utströmning, vid inströmning). Samtidigt gäller ju enligt massbalans och vid stationär strömning, ṁ out = ṁin. Med ett inlopp och ett utlopp är ṁ out = ṁ in = ṁ, d.v.s. ṁ(v out V in ) = F CV. (FS s. 8 samt Ex. 5.5/6/7/8/9) 5.3 Härled ett uttryck på det arbete/tidsenhet som en stråle med massflödet ṁ S uträttar på en skovel vilken rör sig med hastigheten U i strålens riktning. Strålen omlänkas vinkeln θ. Strålens tvärsnittsarea när den träffar skoveln är A och vätskans densitet är ρ. Försumma effekter av friktion och gravitation. Lägg en stel (men rörlig) CV kring skoveln; koordinatsystem xyz fixerat till CV. Försumma ev. variationer över tvärsnitt och låt kontrollytorna vid in- och utlopp vara vinkelräta mot resp. hastighetsvektor (snitt 1 och 2). Skovelns hastighet U konstant d.v.s. strömningen genom CV kan förutsättas stationär och dessutom inkompressibel (vätska, d.v.s. konstant densitet). Impulsekvationen med ett inlopp och ett utlopp: ṁ(v 2 V 1 ) = F CV. Låt koordinaten x vara i vagnens färdriktning, V 1 = (V U)î = V 1 î = V rel î. Massflödet genom CV, ṁ = ρv 1 A 1 = ρ(v U)A 1 = ρv rel A. Försumbara effekter av gravitation, d.v.s. omlänkningen kan tänkas ske i ett horisontellt plan. Fria vätskeytor, d.v.s. samma statiska tryck överallt (atmosfärstryck). Eftersom strömningen kan betraktas som friktionsfri är dynamiska trycket lika i snitt 1 och 2, V 2 = V 1 = V rel (Bernoullis ekvation). Beteckna kraften på CV från marken i x-riktningen med F Ax. Inget bidrag från varken tryck, friktion eller gravitation ger enligt impulsbalans i x-riktningen: ṁ(v rel cos θ V rel ) = F Ax, d.v.s. F Ax = ṁv rel (1 cos θ) = ρ(v U) 2 A(1 cos θ). Kraften på skoveln är motriktad, d.v.s. F Ax är kraften på vagnen från CV i x-riktningen. Denna kraft uträttar ett arbete per tidsenhet, Ẇ = F Ax U = ρ(v U) 2 A(1 cos θ)u, där V = ṁ S /(ρa) (Ex Fö). 5.4 Ange Bernoullis utvidgade ekvation tillämpad mellan två snitt i ett rör vid inkompressibel, stationär och endimensionell strömning. Definiera ingående termer och storheter. Illustrera i figur. Endimensionell strömning = homogena förhållanden över tvärsnitt. Tillämpad mellan två rörtvärsnitt (1: inlopp, 2: utlopp): p 1 + ρ V ρ g z 1 = p 2 + ρ V ρ g z 2 + p f + ρ w s där p är statiskt tryck, ρ fluidens densitet, V hastighet, z vertikal höjd över någon referensnivå, p f tryckförlust p.g.a. irreversibiliteter (alltid större än noll) och w s tekniskt arbete per massenhet (positiv för turbiner, negativ för pumpar och fläktar). (FS s. 10 samt s. 158) 5

6 CH. 6 DIFFERENTIALANALYS 6.1 Den momentana påverkan som ett hastighetsfält har på ett från början kubiskt litet fluidelement kan kinematiskt uppdelas i fyra s.k. elementarrörelser; vilka? Illustrera med figur. 1. translation (förflyttning utan vridning och deformation); 2. volymsförändring (normaltöjning); 3. stelkroppsrotation (vridning); 4. vinkeldeformation (skjuvtöjning). (s. 178, Fig. 6.1) 6.2 (a) Divergensen av hastighetsvektorn V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater = u/ x + v/ y + w/ z. Vad beskriver denna skalära storhet? Vad gäller vid inkompressibel strömning? Divergensen uttrycker relativa volymsförändringen per tidsenhet för ett fluidelement. Eftersom ett fluidelements massa är konstant är denna storhet noll vid inkompressibel strömning, ρ = konst. (s. 180) (b) Skriv ut rotationen av hastighetsvektorn V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater. Vad beskriver denna vektor? Rotationen av hastighetsvektorn = V (= vorticitetsvektorn). Med = ( / x, / y, / z) kan kryssprodukten = V skrivas som en determinant, î ĵ ˆk ( x y z w u v w = y v ) ( w î z x u ) ( v ĵ + z x u ) ˆk y V uttrycker den dubbla momentana stelkroppsrotationen (vridningshastigheten) av ett fluidelement, moturs. (s. 182) 6.3 Visa att vorticitetsvektorns enda komposant vid plan strömning motsvarar den dubbla, momentana, vinkelhastigheten (moturs) för diagonalen av ett från början kvadratiskt infinitesimalt litet fluidelement. Plan strömning: V = (u, v, 0), där u = u(x, y), v = v(x, y); ζ z = ( V) z = v/ x u/ y. Figur enligt Fig Materiella linjen OA vrids moturs av den differentiella ändringen av v i x- led, vridningsvinkel δα = ( v/ x)δx δt/δx, där δt är extremt litet. På motsvarande sätt vrids den materiella linjen OB medurs av förändringen av u i y-led, vridningsvinkel δβ = ( u/ y)δy δt/δy. Moturs vridning av diagonalen (kring z-axeln, δx = δy): (δα δβ)/2. Vinkelhastigheten (moturs) fås efter division med δt 0; ω z = (dα/dt dβ/dt)/2 = ( v/ x u/ y)/2 = ζ z /2. (s. 180/1) 6.4 För ett strömningsfält beskrivet via ett Cartesiskt koordinatsystem leder lagen om massans oförstörbarhet till följande (kontinuitetsekvationen på differentiell form): ρ t + x (ρ u) + y (ρ v) + (ρ w) = 0 z (a) Härled ekvationen. Utgå från massbalans gällande en liten stel kontrollvolym kring en godtycklig punkt. Ledning: DB sys /Dt = CV (ρ b)/ t dv + CS ρ bv ˆn da. (b) Vid inkompressibel strömning kan ekvationen förenklas. Hur? (a) Massbalans för en stel CV runt den betraktade punkten (b = 1): CV ( ρ/ t) dv + CS ρv ˆn da = 0. Om nu CV är extremt liten behövs ingen volymsintegrering för den första termen, den kan ersättas med ( ρ/ t)δx δy δz. Variationer över tvärsnitt kan också försummas vid tillräckligt liten CV. Andra termen är netto massflöde ut ur CV, ṁ net,out. Netto massflöde ut ur CV i x-riktningen: ( ṁ x / x) δx, där ṁ x = (ρ u)δy δz. P.s.s. fås nettoutflöden i övriga riktningar. Totalt massflöde ut ur CV: [ x (ρ u) + y (ρ v) + ] z (ρ w) δx δy δz = [ (ρv)] δx δy δz 6

7 Efter divison med CV:s konstanta volym δx δy δz fås ρ t + (ρv) = 0 (b) Vid inkompressibel strömning är ρ konstant, d.v.s. V = u/ x + v/ y + w/ z = 0. (s ) 6.5 Betrakta plan, tvådimensionell strömning beskriven i ett Cartesiskt koordinatsystem, u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0. (a) Definiera strömfunktionen ψ(x, y) via uttryck för u och v. ψ definieras så att kontinuitetsekvationen är automatiskt uppfylld: u = ψ/ y, v = ψ/ x. (s. 187) (b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer. Längs en linje ψ = konst. gäller dψ = 0; ψ = ψ(x, y) dψ = ( ψ/ x) dx + ( ψ/ y) dy. Enligt definition av ψ: dψ = v dx + u dy = 0. Längs en strömlinje är en förflyttningsvektor (dx, dy, 0) parallell med hastighetsvektorn (u, v, 0), d.v.s. v/u = dy/dx eller u dy v dx = 0 = dψ. (s. 187/8) CH. 7 DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHET 7.1 Ange dimensionen för densitet ρ, dynamisk viskositet µ, effekt P (arbete per tidsenhet) samt specifik värmekapacitet c p i MLT -systemet. Densitet är massa per volymsenhet, volym har dimensionen L 3 d.v.s. {ρ} = ML 3. Plan skjuvströmning, τ = µ(du/dy), där τ är skjuvspänning d.v.s. kraft per areaenhet. Kraft F är massa gånger acceleration, acceleration (a) är hastighetsändring per tidsenhet, hastighet V har dimensionen LT 1 d.v.s. {F } = M{a} = MLT 2 ; {du/dy} = {V }L 1 = T 1 ; {µ} = {τ}{du/dy} 1 = {F }L 2 T = MLT 2 L 2 T = ML 1 T 1. Arbete W är kraft gånger längd, {W } = {F }L = ML 2 T 2 ; arbete per tidsenhet (effekt), {Ẇ } = {W }T 1 = ML 2 T 2 T 1 = ML 2 T 3. Ändring av entalpi för perfekt gas: h = c p T ; entalpi har samma dimension som kinetisk energi per massenhet V 2 /2, d.v.s. {c p } = {V 2 }/{ T } = (L/T ) 2 /Θ = L 2 T 2 Θ 1. (s. 3, Table 1.1) 7.2 (a) Vad innebär principen om dimensionshomogenitet? Alla termer i ett matematiskt-fysikaliskt giltigt uttryck måste ha samma dimension. (s. 3) (b) Formulera det s.k. Π-teoremet. Om en fysikalisk process är beskriven som ett samband mellan k dimensionsvariabler så kan relationen reduceras till en mellan k r dimensionslösa variabler, s.k. Π-grupper, där r är det maximala antalet variabler som tillsammans inte kan bilda en Π-grupp. Reduktionsgraden r är alltid mindre än eller lika med antalet primära dimensioner i den ursprungliga relationen. (FS s. 18 samt s. 242) 7.3 Förklara vad som menas med geometrisk och dynamisk likformighet. Geometrisk likformighet: alla rumsliga dimensioner vid modell- och prototypförhållanden står i ett visst konstant förhållande till varandra, l m /l p = λ l. Dynamisk likformighet: utöver geometrisk likformighet skall alla krafter i motsvarande punkter och vid motsvarande tidpunkter stå i ett visst konstant förhållande till varandra alt. kraftpolygoner verkande på fluidpartiklar ser likadana ut i homologa punkter och vid homologa tider. (s. 258/260) 7.4 (a) Betrakta en inkompressibel strömning med karakteristisk hastighet V och d:o längd L. Visa att Reynolds tal (Re) är ett mått på kvoten mellan tröghetskrafter och viskösa krafter verkande på ett litet fluidelement (tröghetskraft = massa acceleration). Fluidelementets massa ρl 3 ; acceleration är hastighetsändring per tidsenhet, tidsskala L/V, d.v.s. tröghetskraft ρl 3 V/(L/V ) = ρv 2 L 2. Motverkande (rörelsedämpande) viskös kraft 7

8 = τ A, där A L 2. Ex. strömning i tunn spalt, τ = µ(du/dy), d.v.s. τ µ(v/l). Detta visar att viskös kraft µv L, d.v.s. tröghetskraft/viskös kraft ρv 2 L 2 /(µv L) = ρv L/µ = Re. (fö, s. 251/258) (b) Formulera Reynolds likformighetslag. Vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor blir strömningen likformig vid likformig geometri om Reynolds tal är lika (vid modell- och fullskala). (Fö + Ch. 7.8). CH. 8 RÖRSTRÖMNING 8.1 (a) Definiera Reynolds tal vid strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt. Ange ungefärliga (ingenjörsmässiga) intervall i Reynolds tal för vilka strömningen kan betraktas som laminär resp. turbulent. Re = V d/ν, där V är medelhastigheten, d rörets inre diameter och ν fluidens kinematiska viskositet. Laminär strömning: Re < 2100; turbulent strömning: Re > (s. 279/287) (b) Skissera hastighetsprofilernas utseende vid fullt utvecklad laminär resp. turbulent strömning i ett rör med cirkulärt tvärsnitt. Hur inverkar Reynolds tal på profilens utseende? Laminär strömning (Re < 2100): profilen är parabolisk, u/v c = 1 (r/r) 2. Turbulent strömning: se Fig. 8.9; hastighetsprofilen är mer fyllig än vid laminär d:o, d.v.s. motsvarande mer flöde i rörets centrala delar och mycket större derivata vid rörväggen (se Fig. 8.9). Vid ökat Reynolds tal (Re) ökar profilens fyllighet för att då Re bli helt rak dock med oändlig derivata vid väggen. (s. 289, Fig. 8.9) 8.2 Härled Hagen-Poiseuilles lag, d.v.s. ett uttryck för volymflödet i ett cirkulärt rör vid fullt utbildad laminär strömning (innerradie R). Utgå från kraftbalans på ett cylindriskt (stångformat) element vid horisontell strömning (radie r, längd l). Balans mellan tryck- och friktionskrafter på ett litet stångformat (cylindriskt) element med radie r (tvärsnittsarea πr 2 ) och längd l (mantelarea 2πrl): (p 1 p 2 )πr 2 = p πr 2 = τ 2πrl, där τ = µ du dr d.v.s. du/dr = C r, där C = p/(2µl) > 0. Integration: u = Cr 2 /2 + B; randvillkoret u(r) = 0 ger u = C(r 2 R 2 )/2 = u max [ 1 (r/r) 2 ], där u max = p R 2 /(4µl). Volymflödet Q fås efter integration, Q = R 0 u 2πr dr = πr4 p 8 µl. (s. 283/4) 8.3 Definiera eller förklara kortfattat: (a) inloppssträcka i rör = den sträcka längs ett rör, efter ett inlopp eller en störning vid passage av t.ex. en rörkrök, som krävs för hastighetsprofilens utseende skall bli oberoende av position längs röret. Efter inloppssträckan sägs strömningen vara fullt utbildad. (s. 281/2, Fig. 8.3) (b) friktionsfaktor f (Darcy-Weisbachs friktionsfaktor) Irreversibel tryckförlust p.g.a. rörfriktion: p f = p f,major = f(l/d)ρv 2 /2, d.v.s. f = 2D p f /(ρlv 2 ), där D är rörets (inre) diameter, l dess längd, V medelhastigheten och ρ fluidens densitet. Strömningen förutsätts fullt utbildad. (För icke-cirkulära tvärsnitt ersätts D med hydraulisk diameter D h ). (s. 291 samt FS s. 22) (c) engångsförlustkoefficient K L Irreversibel tryckförlust p.g.a. virvelbildning m.m. över en rörkomponent: p f = p f,minor = K L ρv 2 /2, d.v.s. K L = 2 p f /(ρv 2 ), där V är en referenshastighet, oftast medelhastigheten i det anslutna röret uppströms (ρ är fluidens densitet). (s. 294) (d) hydraulisk diameter D h D h = 4A/P, där A är rörets eller kanalens tvärsnittsarea och P dess våtlagda omkrets (periferi). (s. 301/2 samt FS s. 22) 8

9 8.4 Skissera i ett dubbellogaritmiskt diagram hur friktionsfaktorn varierar med Reynolds tal och relativ skrovlighet vid fullt utbildad strömning i rör (Moody-diagrammet). Se Fig Laminär strömning: f = C/Re, där Re = ρv D h /µ, C en konstant och Re 2100 (ca.); cirkulärt tvärsnitt: D h = D och C = 64. Relativ skrovlighet ɛ/d h inverkar inte på f vid laminär strömning. I ett dubbel-logaritmiskt diagram blir funktionen C/Re en rak linje snett nedåt. Vid turbulent strömning, Re > 4000 (ca.), inverkar ɛ/d h. För ett slätt rör (ɛ/d h 0) varierar f grovt sett enligt f = C 1 Re 1/4, d.v.s. med mindre lutning nedåt jämfört med laminära fallet. Vid tillräckligt högt Re och turbulent strömning blir till slut f oberoende av Re och enbart beroende av ɛ/d h (till höger om streckad linje); ökande ɛ/d h ger ökat f. (s. 292) CH. 9 OMSTRÖMMADE KROPPAR 9.1 Definiera för en omströmmad kropp: (a) formmotstånd Formmotstånd är strömningsmotstånd p.g.a. tryckkrafter mot kroppen yta (tryckkrafternas variation beror väsentligen på kroppens form). (s. 347) (b) motståndskoefficient C D C D = 2D/(ρV 2 A), där D är strömningsmotstånd i anströmningsriktningen, längs V, ρ fluidens densitet, V anströmningshastighet och A en karakteristisk area för kroppen. (s. 330/347) 9.2 (a) Förklara kortfattat vad som menas med ett gränsskikt. Illustrera med enkel skiss. Ett gränsskikt är ett tunt område närmast en fast yta där viskösa effekter är av betydelse, utanför gränsskiktet kan strömningen betraktas som friktionsfri (Fig. 9.4c). Ett nödvändigt villkor för existens av gränsskikt är att Reynolds tal är högt. (s ) (b) Ange en praktisk definition av gränsskiktstjocklek δ. δ = δ 99 där δ 99 är det vertikala avstånd från väggen där hastigheten uppnår 99% av hastigheten utanför gränsskiktet, u(y = δ 99 ) = 0.99 U. (s. 334) (c) Hur varierar δ med avståndet från framkanten x vid strömning över en plan platta vid tangentiell anströmning med konstant hastighet U? Potensberoenden i olika områden skall anges. Illustrera med figur. För ett laminärt gränsskikt ökar δ (= δ 99 ) som roten ur x, se ekv. (9.8). För ett turbulent gränsskikt tillväxer δ snabbare, approximativt som x 0.8. Skiss enligt Fig (Fö + s. 336/341) (d) Om plattan i (c) är slät och framkanten skarp, var kan man då, normalt sett, förvänta sig omslag till turbulent gränsskikt? Omslag kan förväntas ske vid x = x cr = Re xcr ν/u där Re xcr och ν är fluidens kinematiska viskositet. (Med normalt sett avses vid tekniska störningsnivåer.) (s. 340) 9.3 Definiera förträngningstjocklek δ för ett gränsskikt vid inkompressibel, tvådimensionell strömning. Förklara varför δ kallas förträngningstjocklek. Illustrera med figur. δ = 0 (1 u/u) dy δ motsvarar en förflyttning ut från väggen av en tänkt strömlinje vid gränsskiktets rand (en förträngning) som uppstår p.g.a. väggens friktion, d.v.s. p.g.a. av själva gränsskiktet, se Fig. 9.8 (δ illustreras även i Fig. 9.7). Utan friktion (utan gränsskikt) fås ingen uppbromsning och strömlinjer följer då kroppskonturen. (s. 335) 9.4 Förklara kortfattat vad som menas med gränsskiktsavlösning (eng. boundary layer separation), speciellt varför fenomenet uppträder. Illustrera schematiskt för strömning kring en cirkulär cylinder (eller en sfär). 9

10 Avlösning sker p.g.a. friktion, utan friktion ingen avlösning. Friktionens inverkan vid strömning kring en cylinder (eller en sfär) kan liknas med hur en kula som släpps utan hastighet från kanten av en skål; p.g.a. friktion kommer inte kulan ända upp till andra kanten, den stannar lite innan. Omvandlingen potentiell energi till kinetisk energi blir inte fullständig (kulans inre energi ökar d.v.s. den blir varmare). Något liknande gäller ett tänkt fluidelement som följer ytan. Omvandlingen flödesenergi p/ρ till kinetisk energi blir inte fullständig med friktion. Utan friktion kommer elementet att först accelereras från stagnationspunkten längst fram (med trycket p s ); nå sin högsta hastighet och lägsta tryck på krönet av cylindern (eller sfären), för att sedan återgå till hastigheten noll och trycket p s längst bak. Så länge kulan accelererar kan den naturligtvis inte stanna. Detsamma gäller för det tänkta fluidelementet, det kan bara stanna där trycket ökar längs ytan d.v.s. där hastigheten utanför gränsskiktet avtar. [Trycket tvärs ett gränsskikt är konstant, tryckvariationen utefter ytan bestäms av hastighetens variation utanför gränsskiktet d.v.s. av Bernoullis ekvation.] Stationär strömning innebär att det blir en ansamling av fluidelement vid den position där det första fluidelementet stannar. Ansamlingen innebär att fluidelement som kommer sent tvingas uppåt i gränsskiktet vilket till slut innebär att de dras med den yttre strömningen och släpper (löser av) från ytan. (s , Fig. 9.11/12) Ch. 17 (ÇENGEL & BOLES) KOMPRESSIBEL STRÖMNING 17.1 (a) Förklara vad som menas med stagnationstemperatur och stagnationstryck. Stagnationstemperatur är den temperatur som en fluid uppnår då den adiabatiskt nedbringas till hastigheten noll. Stagnationstryck är det tryck som en fluid uppnår då den adiabatiskt och friktionsfritt (isentropiskt) nedbringas till hastigheten noll. (s. 850/1) (b) Härled ett samband mellan stagnationstemperatur T 0, temperatur T, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. Vid kompressibel gasströmning kan variationer i potentiell energi försummas. Längs en kontrollvolym runt strömlinje, adiabatisk strömning: dh + d(v 2 /2) = 0, där h är entalpin per massenhet. Beteckna entalpin i stagnationspunkten (där hastigheten är noll) med h 0, motsvarande temperatur är T 0. Perfekt gas: h = c p T, d.v.s. h 0 h dh = h 0 h = c p (T 0 T ) = 0 V d(v 2 /2) = V 2 /2. Perfekt gas (liksom för ideal gas) c 2 = krt samt c p = kr/(k 1), där c är den lokala ljudhastigheten. Detta ger (Ma = V/c): T 0 T = 1 + V 2 2c p T = 1 + V 2 kr(k 1) c 2 = 1 + k 1 2kR 2 Ma2 (c) Härled ett samband mellan stagnationstryck P 0, statiskt tryck P, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. Isentropsamband: P v k = konst. (v = volymitet) Enligt (a) är T 0 /T = 1 + k 1 2 Ma2 (visas!). Isentropsambandet + ideala gaslagen (P v = RT ) ger P 0 /P = (v/v 0 ) k = (T/T 0 ) k (P 0 /P ) k eller (s. 850/1, 860/1) ( ) k P 0 P = T0 k 1 = (1 + k 1 ) k k 1 T 2 Ma Den lokala ljudhastigheten c i ett kompressibelt medium definieras ( P ) ( ) P c = = k ρ s ρ T Bestäm ur denna definition ett uttryck på ljudhastigheten för en ideal gas. För en ideal gas gäller ideala gaslagen, P = ρrt d.v.s. ( P/ ρ) T = RT vilket insatt ger c = krt. (s. 854) 10

11 17.3 Beskriv ett Lavalmunstycke (eng. converging-diverging nozzle). Illustrera. Vad används det till? Ett Lavalmunstycke är en anordning för att åstadkomma gashastigheter som är högre än den lokala ljudhastigheten; används t.ex. som utloppsmunstycke till raketer. Det består av en (snabbt) konvergerande del, följt av en minsta sektion (halsen) och slutligen en (svagt) divergerande utloppsdel. Det enda sätt på vilken en gas kan bibringas överljudshastighet utifrån stillastående vid adiabatiska förhållanden är via ett Lavalmunstycke. (Fö + s. 861, ) Christoffer Norberg, tel , christoffer.norberg@energy.lth.se 11