VINGTEORI. C L = C L 1+2/AR, C D = C D + C2 L C L och C D gäller oändligt bred vinge (2-D, AR ) L = C L A p ρu 2 /2, D = C D A p ρu 2 /2

Transkript

1 VINGTEORI Flygplansvinge sedd uppifrån Planarea (vingyta), A p Vingbredd, b Medelkorda, C = A p /b Aspect Ratio, AR = b/c Vingtvärsnitt Fart, U Anfallsvinkel rel. kordalinje, α Max. välvning, h Max. tjocklek, t Små anfallsvinklar α 1 Liten välvning β = 2h/C 1 Slanka profiler t/c < 0.2 (Elliptisk planform, Re = ρuc/µ 1) C L = C L 1+2/AR = 2π(α+β) 1+2/AR, C D = C D + C2 L πar C L och C D gäller oändligt bred vinge (2-D, AR ) L = C L A p ρu 2 /2, D = C D A p ρu 2 /2

2 HORISONTELL FLYGNING L = W (Lift = Weight) D = T (Drag = Thrust) (a) Vilken fart ger lägst bränsleåtgång vid given flygsträcka? Bränsleåtgång energiändring = arbete = kraft väg, kraft = T = D; sök D min D = C D A p ρu 2 /2 C D = C Dpara +C 2 L/(πAR) C Dpara = C Dplan +C D = konst. C L = 2W/(ρU 2 A p ) D = C 1 U 2 +C 2 U 2, dd/du = 0 U D = 2W/(ρA p )/(πarc Dpara ) 1/4 D min = 2W/ πar/c Dpara (C D = 2C Dpara, C L = πarc Dpara ) (b) Minimal effekt ger längst tid i luften vid given bränslemängd, P = DU U P = U D /3 1/4 = 0.76U D P min = WU P / 3πAR/(2C Dpara ) D/D min P/P min U/U D Ex. Fokker F-28, W = 0.30 MN, A p = 79 m 2, AR = 8.0 (b = 25.1 m), ρ = 0.41 kg/m 3 (z = 10 km), C Dpara = U D = 192 m/s = 691 km/h (angivet, most economical speed = 678 km/h); U P = 146 m/s = 525 km/h.

3 LYFTKRAFT PÅ EN VINGE L. Prandtl T. J. Mueller Vingen accelererar kontinuerligt omgivande fluid nedåt vilket innebär en kraft på vingen uppåt, en lyftkraft. Lyftkraften kan också härledas till att vingen länkar om strömningen, uppåt strax framför vingen, nedåt i bakkant; mot denna nettoimpulsändring nedåt svarar en motriktad kraft uppåt på vingen, en lyftkraft. Strömningen kan tänkas sammansatt av en där fluiden passerar vingen utan omlänkning (friktionsfri strömning) samt en medurs cirkulationsrörelse. Friktion Cirkulation Lyftkraft Cirkulationen innebär ökad hastighet på ovansidan, minskad på ovansidan, d.v.s. en tryckskillnad, jfr. Bernoullis ekvation. En vinge bibringas en hastighet lite snett nedåt. Hur utvecklas cirkulationen? (a) precis vid start; strömning runt bakkant, ingen omlänkning, ingen cirkulation (b) friktion i kombination med tryckökning strömningen klarar inte att komma runt kanten avlösning moturs virvel (startvirvel), cirkulationen utvecklas (medurs) (c) bakkantsströmningen stabiliseras, vingen lämnar startvirveln bakom sig, cirkulationen närmar sig slutvärdet (d) startvirveln ett par kordor bakom, cirkulationen fullt utvecklad

4 VIRVELSKIKT Betrakta en oändlig rad av linjevirvlar längs x-axeln. Alla virvlar har samma styrka K, samma rotationsriktning (moturs) och ligger på samma inbördes avstånd a. Komplex potential: f(z) = ik[lnz +ln(z a)+ln(z 2a)+...+ln(z +a) [ ( )] πz +ln(z +2a)+...] = ikln sin a Sök strömfunktionen ψ, imaginärdelen av f = φ + iψ. Utnyttja komplexkonjugatet, f = φ iψ ( ) f f = 2iψ = ik ln πz sin sin πz a a Trigonometrisk identitet, 2sinαsinβ = cos(α β) cos(α + β), samt cosix = coshx ger ψ = 1 2 Kln 1 cosh 2πy 2 a cos2πx a ψ = konst. ger strömlinjer: Stora avstånd från x-axeln: u = ±πk/a, v = 0. Cirkulation kring rektangel med bredd dx och höjd upp i detta område: dγ = u l dx u u dx = 2πK dx = γdx a Funktionen γ kan tolkas som cirkulation per breddenhet och kan för ett allmänt virvelskikt vara en funktion av x. Ch. 8.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

5 KUTTAVILLKORET 2-D vingprofil med cirkulation 1, liten anfallsvinkel. KUTTAVILLKORET: Det fysikaliskt riktiga värdet på cirkulationen Γ kring en tvådimensionell vingprofil är det som innebär ändlig hastighet vid bakkanten. Γ Kutta ger jämn bakkantsströmning liknande verkliga förhållanden, med friktion, högt Reynolds tal. Kuttavillkoret kan användas för att bestämma Γ Kutta, via en virvelskiktsfördelning γ(x) = dγ/dx längs vingen; γ(x) modellerar friktionens inverkan; lyftkraft per breddenhet, L/b = ρu Γ Kutta. Betrakta en vinklad, tunn, bred platta; tvådimensionell potentialströmning med cirkulation; liten anfallsvinkel α; korda C (framkant vid x = 0, bakkant vid x = C); sökt: γ(x). Virvelskiktet ger vid x upphov till ett hastighetssprång, u = u u u l = 2δu = γ(x). Eftersom α är liten förutsätts δu/u 1. Kuttavillkoret (skarp bakkant): u x=c = 0 γ(c) = 0 1 I Ch. 8.7 är cirkulation positiv vid medurs rotationsriktning.

6 VINKLAD PLATTA Lyftkraft: L = ρu Γb = ρu C 0 γ(x)bdx Lyftkraftskoefficient: C L = 2L/(ρU 2 bc) = (γ/u )d(x/c) Lyftkraft = resulterande tryckkraft uppåt L Lcosα = C 0 (p l p u )bdx Bernoullis ekvation visar att trycket runt plattan varierar som γ(x), C p,u = γ/u ; C p,l = +γ/u, C p = 2(p p )/(ρu 2 ) Hur bestäms γ? Ingen strömning genom plattan, v(y = 0) = 0, för alla x [0,C] Bidrag till vertikal hastighet vid x från dγ = γdx 0 vid x 0 : [dv] x = Totalt vid x från hela virvelskiktet: dγ 2π(x 0 x) = γdx 0 2π(x 0 x) v vs = C 0 γdx 0 2π(x 0 x) som tillsammans med bidraget från friströmmen (= U sinα) skall vara noll, d.v.s. C 0 γdx 0 2π(x 0 x) +U sinα = 0 Med γ(c) = 0 från Kuttavillkoret fås lösningen γ(x) = 2U (C/x 1) 1/2 sinα Insättning visar att lyftkraftskoefficienten varierar linjärt med α: C L = 2πsinα = 2πα (α 1)

7 VINKLAD PLATTA... Små anfallsvinklar: C L = 2πα (Γ Kutta = πcu α) Tryckfördelning Hastighetsfördelning Moment kring framkanten (LE = Leading Edge) M LE = xdl = bρu C 0 xγdx = (C/4)L alpha = 5 deg Momentmässigt verkar lyftkraften centrerad till en punkt en kvarts korda från framkanten. Denna punkt kallas tryckcentrum eller aerodynamiskt centrum (CP, Center of Pressure) x CP = C/4 Stämmer bra för alla slanka vingprofiler, se Fig. 8.21b.

8 SLANKA, VÄLVDA VINGPROFILER korda C, maximal välvning h, maximal tjocklek t Teori C L = 2π( t/c)sin(α+β), där β = tan 1 (2h/C) 3 } {{ } 0.77 C L = 0 vid α = α ZL = β; ex. h/c = α ZL = 5.7 Ovanstående tjockleksinverkan stöds inte av experiment, se figur. Små vinklar (α 1, β 1), slanka 2-D profiler C L = 2π(α+β)

9 AERODYNAMISKA DATA (2-D) Lägst C D kring C L = 0; vid höga α ökar C D kraftigt, lutningen dc L /dα minskar; till slut sker avlösning på ovansidan, C L minskar dramatiskt (överstegring = stall); max. C L vid α α stall.

10 3-D VINGAR (WINGS OF FINITE SPAN) Lokala lyftkraften L(y) sjunker snabbt mot noll vid vingspetsarna VINGSPETSVIRVLAR

11 LANCHESTER-PRANDTLS LYFTLINJETEORI Tvådimensionell teori (2-D): cirkulation lyftkraft. Verklig vinge (3-D): lyftkraften varierar över vingen, noll vid vingspetsarna. Antagande: den ändliga vingen(bredd b) tänks ersatt med en linje i vilken cirkulationen varierar utefter dess längd, Γ = Γ(y); 2-D teori kan användas för varje snitt y = konst. lokal lyftkraft. Lokal anfallsvinkel, α = α(y) 1. dl = ρu Γ(y)dy, Γ(±b/2) = 0 Symmetrisk vinge Γ(0) = Γ o = max. Total lyftkraft: L = ρu b/2 b/2 Γ(y)dy 2-D teori tillåter inte att cirkulationen varierar utefter en virveltråd (potentialvirvel). Antag därför att ett knippe virveltrådar passerar över vingens (lyftlinjens) tryckcentrum (x = y = 0). På ömse sidor tappas virveltrådar av så att lyftkraften (cirkulationen) blir noll vid vingspetsarna. Vid varje position y = η utefter lyftlinjen sträcker sig en virveltråd med cirkulation dγ från x = 0 till x = + (vid x = + ligger den motriktade startvirveln ). Sammantaget ger trådarna, vid varje position y, upphov till en nedåtriktad hastighet w(y), en s.k. downwash.

12 LANCHESTER-PRANDTLS LYFTLINJETEORI... Nedåtriktad hastighet vid y från halvoändlig virvel vid y = η: [dw] y = dγ 4π(η y) = (dγ/dη)dη 4π(y η) Totalt vid (x = 0,y) från alla virvlar längs lyftlinjen: w(x = 0,y) = 1 4π b/2 b/2 (dγ/dη) dη y η Den nedåtriktade hastigheten w innebär att den lokala effektiva anfallsvinkeln minskar, α e = α α i, där α i = tan 1 w/u, se figur nästa sida. Lyftkraften minskar. Förutsätt nu w U, d.v.s. α i = w/u 1. Lokal 2D-teori ρu Γ(y)dy = dl e = 2πα e 1 2 ρu2 C(y)dy Γ(y) = πc(y)u α e där C(y) är lokal korda. Sammantaget fås följande integro-differentialekvation för Γ(y): Γ(y) = πc(y)u α(y) 1 4πU b/2 b/2 som kan lösas vid givna fördelningar C(y) och α(y). Otvistad vinge α = konst. (dγ/dη) dη y η

13 LANCHESTER-PRANDTLS LYFTLINJETEORI. dl = dl e cosα i = dl e L = ρu b/2 b/2 Γ(y)dy dd i = dl e sinα i = dl e α i D i = ρu b/2 b/2 Γ(y)α i(y)dy Den nedåtriktade hastigheten över vingen innebär ett extra strömningsmotstånd, ett lyftkraftsinducerat motstånd. Ellipsformad korda, C(y) = C o [1 (2y/b) 2 ] 1/2 ; planarea, A p = b/2 b/2 C(y)dy = πbc o/4, d.v.s. AR = b 2 /A p = b/c = 4b/(πC o ). Lösning, otvistad vinge: Γ(y) = Γ o 1 2y b 2 1/2 C L =,Γ o = πc ou α 1+2/AR,L = πρ V Γ 0 b/4 2πα 1+2/AR = 2πα e Generalisering, välvd vinge, elliptisk planform (β = 2h/ C 1): C L = 2π(α+β) 1+2/AR Ellipsformad korda innebär konstant nedåtriktad hastighet w(y) = U α i = 2U α 2+AR C D i = C L α i = C2 L πar Total motståndskoefficient (inkl. friktion): C D = C D +C Di.

14 UTVIDGAD VINGTEORI, SMÅ VINKLAR Friktion samt planformens utseende inverkar. Lyftkraftskoefficient: C L = 2πφ(α+β α i ), α i = C L πar (1+τ) där τ 0 (planform) och 0 < φ < 1 (friktion). Omskrivning: C L = ĈL γ, Ĉ L = 2π(α+β) 1+2/AR, γ = 1+2φ(1+τ)/AR φ(1+2/ar) Motståndskoefficient: C D = C D +C Di, C Di = C2 L πar (1+σ) σ 0 beror av planformen; elliptisk planform: σ = τ = 0. Ingen friktion φ = 1, C D = 0; väl utformad vinge, Re = U C/ν > φ < 0.04 (2π 0.96 = 6.0), C D < Rektangulär planform: σ och τ beror av AR enligt nedan. Ex. Rektangulär planform, se Fig α = 2, β = 5, AR = b/c = 5.0, φ = 0.85, C D = Sökt: C L och C D AR = 5 τ = 0.154,σ = 0.040; φ = 0.85 γ = 1.17; (α+β)/(1+2/ar) = 5 = 5(π/180) rad ĈL = 0.55,C L = 0.47 C Di = C 2 L(1+σ)/(πAR) = C D = Svar: C L = 0.47, C D = (elliptisk C L = 0.49,C D = 0.027).