Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn hjälmedel: Telefon, lto och ll eletronis medel som n ols till internet Sriv nmn och ersonnummer å vrje ld Denn tentmensl får ej ehålls efter tentmenstillfället utn s lämns in tillsmmns med lösningr Poängfördelning och etygsgränser: Tentmen ger mimlt oäng Betygsgränser: För etyg A, B, C, D, E rävs, 4,, resetive oäng Komlettering: oäng å tentmen ger rätt till omlettering (etyg F Sid v 9
Ugift ( Br för dem som inte lrt s För händelsern A och B gäller tt P ( A 4, PB (, P(A B 5 Bestäm P(A B Berän snnoliheten tt et en v A, B inträffr c Bestäm om A och B är oeroende händelser och motiver svret (Noll oäng för svret till c utn orret motivering Ugift ( Br för dem som inte lrt s Låt f ( 5, för övrigt vr täthetsfuntionen för en stostis vriel X Bestäm onstnten väntevärdet E (X och c vrinsen Vr(X Ugift ( Br för dem som inte lrt s En Mrov edj i disret tid med två tillstånd E och E hr övergångsmtrisen P y Bestäm onstntern och y Systemet strtr i E Bestäm snnoliheten tt systemet är i E efter steg c Bestäm den sttionär snnolihetsvetorn Ugift 4 ( I en låd finns 5 röd (R grön (G och lå (B ulor Vi tr 8 ulor å måfå utn återläggning Bestäm snnoliheten tt få (et röd, grön och lå ulor i vilen ordning som helst Du s svr med inomiloicienter Vi tr 8 ulor å måfå med återläggning Bestäm snnoliheten tt få (et röd, grön och lå ulor i vilen ordning som helst Svr med 4 signifint siffror c Vi tr 5 ulor å måfå utn återläggning Bestäm snnoliheten tt få ulorn i följnde ordning: R,G,B,R,G Svr med 4 signifint siffror Sid v 9
Ugift 5 ( Låt, f ( ( +, <, för övrigt vr täthetsfuntionen för en stostis vriel X Bestäm onstnten Bestäm fördelningsfuntionen F( Ugift ( Vid tillverning v motstånd v en viss ty lir resistnsen N(, fördeld (enhet ohm Vd är snnoliheten tt 5 serieolde sådn motstånd sll få en resistns melln 45 och 55 ohm? Ugift 7 (4 En forsre gjorde 5 mätningr i en flod str nednför ett industriutslä och fic följnde resultt (enhet: mg/l för ett giftigt ämne: X: 7 8 Efter en månd gjorde forsren 4 mätningr å smm lts och fic följnde resultt: Y: 9 8 Vi ntr normlfördelning ( Bestäm ett onfidensintervll för µ X µ Y med onfidensgrd 95% (Kn mn med 95% onfidensgrd åstå tt situtionen i floden hr förändrts? Motiver svret Ugift 8 ( Låt X N(; och X N(5; vr två nårmlfördelde sv ( Bestäm snnoliheten tt X X ( Bestäm snnoliheten tt X X Ugift 9 ( Ett etjäningssystem n modellers som M/M// (två etjänre och öltser Anomstintensiteten är 8 under/minut och etjäningsintensiteten för en etjänre är µ 5 under/minut ( Bestäm snnolihetern,,, 5 ( Bestäm snnoliheten tt en und måste vänt men får etjäning Sid v 9
Ugift ( Vi etrtr ett önät som estår v två M/M/ ösystem (se Fig Betjänren i ösystem hr etjäningsintensitet µ 5 under er minut, medn etjänren i ösystem hr etjäningsintensitet µ under er minut Ny under ommer Poissonfördelde till ösystem med intensiteten 7 under er minut 9 % v under lämnr nätet efter etjäning i ösystem men % fortsätter, först till ösystem och därefter igen till ösystem (se Fig Berän medelntl under i nätet (dvs under i ösystem+ under i ösystem Fig Kösystem µ % 9% Kösystem µ Ugift ( ( Låt X vr Poissonfördeld sv med rmeter, dvs X Po( Då gäller P( X e! Bevis tt E (X ( Låt, < <, f ( för övrigt vr täthetsfuntionen för en (liformigt fördeld stostis vriel X Bevis tt väntevärdet + E( X Lyc till: Sid 4 v 9
M/M/m/K ösystem /Betecningr: Sttionär snnoliheter; är snnoliheten för under i systemet N Medelntl under i systemet, N N q + N s N q N s Medelntl under i ön Medelntl under i etjänrn ~ Betjäningstid för en und (stostis vriel Medel etjäningstid för en und, E ( ~ w ~ Väntetid (tid i ö för en und (stostis vriel W Medel väntetid för en und, W E(w~ s~ Totl tid i systemet för en und; ~ s ~ + w ~ T Medel totltid i systemet för en und T E(s ~, T W + Anomstintensitet Särrde under er tidsenhet särr Effetiv nomstintensitet - särr µ Betjäningsintensitet ρ Erjuden trfi, ρ µ Någr formler för ett M/M/m/K ösystem: N, särr m, särr T N,, T W + µ Littles formler: N T N q W N s N N q + N s ρ, erjuden trfi (lls ocså "etjäningsftor" µ säρρ ρsäρρ, särrd trfi, ρ, etiv trfi µ µ Belstning er etjänre Ns/m Sid 5 v 9
Någr formler för ett M/M/ ösystem: I ett M/M/ ösystem är µ > (nnrs ilds en oegränsd ö N N q + N s T W + µ ρ ρ ρ ρ N, T µ Fördelningsfuntionen för den totl tiden i systemet för en und är ( t F~ s t P( ~ µ ( s t e Littles formler: N T (I ett M/M/ system, eftersom ingen und vviss N q W N s Sid v 9
FACIT: Ugift ( Br för dem som inte lrt s För händelsern A och B gäller tt P ( A 4, PB (, P(A B 5 Bestäm P(A B Berän snnoliheten tt et en v A, B inträffr c Bestäm om A och B är oeroende händelser och motiver svret (Noll oäng för svret till c utn orret motivering Från P(A B P(A + PB ( PA ( B hr vi 5 4 + PA ( B Härv PA ( B Snnoliheten tt et en v A, B inträffr PA ( \ B + PB ( \ A +4 Alterntiv: P(A B PA ( B 5 4 c P(A B smt P(A PB ( 4 8 A och B är INTE oeroende eftersom P(A PB ( P(A B Svr: PA ( B 4 c A och B är oeroende Rättningsmll:,, c Ugift ( Br för dem som inte lrt s Låt f ( 5, för övrigt vr täthetsfuntionen för en stostis vriel X Bestäm onstnten väntevärdet E (X och c vrinsen Vr(X 5 Aren f ( d d Aren Sid 7 v 9
7 5 E ( X f ( d d d 7 c Först eränr vi Vr(X Svr:, 8 5 7 f ( d d d 8 4 f ( d ( (X E E ( X c Vr(X 7 7 5 4 7 9 5 9 Rättningsmll:,, c Ugift ( Br för dem som inte lrt s En Mrov edj i disret tid med två tillstånd E och E hr övergångsmtrisen P y Bestäm onstntern och y Systemet strtr i E Bestäm snnoliheten tt systemet är i E efter steg c Bestäm den sttionär snnolihetsvetorn Summn v ll element i en rd i mtriset P är li med 7 Därför 7 och y 4, och P 4 Strtvetorn är ( (, 7 ( (, (,7 4 7 ( (,7 (5, 49 4 Svr Snnoliheten tt systemet är i E efter steg är 49 c Låt q (, y vr en sttionär snnolihetsvetor Då gäller qp q och Sid 8 v 9
Vi sriver qp + y q å omonent form: (, y 7 + y (, y 4 7 + 4 y y och lägger till evtionen + y ( q är en snnolihetsvetor Därmed hr vi systemet: + y 7 + y 7 + 4 y y 7 y + y + y Andr evtionen är smm som först Från först evtionen hr vi 7 y som vi sustituerr i tredje evtionen och får 7 + Därmed Svr: q ( /, 7 / 45, 585 Rättningsmll:,, c y 7 Ugift 4 ( I en låd finns 5 röd (R grön (G och lå (B ulor Vi tr 8 ulor å måfå utn återläggning Bestäm snnoliheten tt få (et röd, grön och lå ulor i vilen ordning som helst Du s svr med inomiloicienter Vi tr 8 ulor å måfå med återläggning Bestäm snnoliheten tt få (et röd, grön och lå ulor i vilen ordning som helst Svr med 4 signifint siffror c Vi tr 5 ulor å måfå utn återläggning Bestäm snnoliheten tt få ulorn i följnde ordning: R,G,B,R,G Svr med 4 signifint siffror Sid 9 v 9
5, 8 5 Snnoliheten tt få R vid en drgning är Eftersom vi hr drgning med återläggning får vi smm snnolihet för A vid vrje drgning Snnoliheten tt få G vid en drgning är 5 Snnoliheten tt få B vid en drgning är Snnoliheten för RRRGGBBB är därmed 5 Smm snnolihet gäller för vrje ermuttion v RRRGGBBB Det finns ermuttioner Därför är 8! 89 75!!! 5 5 c Snnoliheten för R,G,B,R,G är 5 49 9 475 c 9 99 98 97 9 548 8!!!! sådn Svr: 5 8 75 c 9 Rättningsmll:,, c Ugift 5 ( Låt, f ( ( +, <, för övrigt vr täthetsfuntionen för en stostis vriel X Bestäm onstnten Sid v 9
Bestäm fördelningsfuntionen F( Aren d + ( + d 7 Aren 594 7 Fördelningsfuntionen + ( + + ( + ( 7 + F ( f ( t dt Vi etrtr följnde fyr fll: i < I dett fll är F ( f ( t dt dt ii F( f ( t dt dt + iii < 7 t t dt + 7 7 F( f ( t dt dt + t dt + 7 7 ( + d t t + ( + ( + ( + + 7 + + t 7 7 7 7 7 7 7 7 iv < I dett intervll uenrt gäller F( Sid v 9
Därmed är,, F( 7 + 7, 7 7 7, < < > Svr: 7,, F( 7 + 7, 7 7 7, < < > Rättningsmll:, orret uttrycet i intervllet [,] Allt orret Ugift ( Vid tillverning v motstånd v en viss ty lir resistnsen N(, fördeld (enhet ohm Vd är snnoliheten tt 5 serieolde sådn motstånd sll få en resistns melln 45 och 55 ohm? Betecn resistnsern X,X Låt 5 X X + + X 5 Vi hr Sid v 9
X X + + X N(5, 5 N(5; 5 5 N (5; 774 55 5 45 5 P(45 < X < 55 Φ( Φ( 5 5 Φ(5 Φ( 5 74 578 4844 Svr: P48 Rättningsmll: Korret till X N( 5, 5 ger Allt orret Ugift 7 (4 En forsre gjorde 5 mätningr i en flod str nednför ett industriutslä och fic följnde resultt (enhet: mg/l för ett giftigt ämne: X: 7 8 Efter en månd gjorde forsren 4 mätningr å smm lts och fic följnde resultt: Y: 9 8 Vi ntr normlfördelning ( Bestäm ett onfidensintervll för µ X µ Y med onfidensgrd 95% (Kn mn med 95% onfidensgrd åstå tt situtionen i floden hr förändrts? Motiver svret 8 s 5759 y 85 s 77858 * ( n s + ( n s s 97 n + n α / 5%, α / 975% 975 r ntl frihetsgrder n + n 5 + 4 7 Konfidensintervll: y t α / ( n + n * σ +, n n y + t α / ( n + n * σ + n n Eftersom n 5, n Sid v 9
y α / 5% α / 975 och t α / (7,4 får vi * t α / (7 σ + 45895 4 Härv får vi för µ A µ B följnde onfidensintervll: [ 48, 458] Svr Konfidensintervll: [ 48, 458] Nej Eftersom intervllet innehåller n mn INTE med 95% onfidensgrd åstå tt situtionen i floden hr förändrts Rättningsmll: Korret s eller s till ger Korret Korret svr och motivering * σ ger + * σ Korret onfidensintervll Ugift 8 ( Låt X N(; och X N(5; vr två nårmlfördelde sv ( Bestäm snnoliheten tt X X ( Bestäm snnoliheten tt X X Låt Y X X Då gäller E Y E( X E( X 5 5, ( V ( Y ( σ + ( ( σ 4 4 + 9 5, σ 5 5 Y Alltså Y N(5,5 Sid 4 v 9
5 Slutligen eränr vi P ( Y Φ( Φ( 579 5 Först X X är evivlent med X X Låt Z X X Då gäller E Z E( X E( X 5, ( V ( Z ( σ + ( ( σ 4 + 5 σ Z 5 Alltså Z N(5, 5 Slutligen eränr vi 5 5 P ( Z Φ( Φ( Φ( Φ( 5 5 Φ( 79 Φ( 8 7 7 Svr: 579 Rättningsmll: Rätt eller fel Korret onlusion tt X X är evivlent med X X ger Allt orret Ugift 9 ( Ett etjäningssystem n modellers som M/M// (två etjänre och öltser Anomstintensiteten är 8 under/minut och etjäningsintensiteten för en etjänre är µ 5 under/minut ( Bestäm snnolihetern,,, 5 ( Bestäm snnoliheten tt en und måste vänt men får etjäning För tt rit tillståndsgrf tr vi hänsyn till följnde: Sid 5 v 9
i Totlntl ltser i systemet är m(ntlet etjänre+(ntlet öltserm+k+5 ii Anomstintensitet är onstnt 8 under er minut ii Betjäningsintensiteten för en etjänre är µ 5 under/minut Om åd två etjänre jor smtidigt (det händer när vi hr två eller fler under i systemet då är systemets etjäningsintensitet µ under/minut Därför hr vi följnde tillståndsgrf Först ritr vi tillståndsgrfer med övergångsintensiteter Med hjäl v teorin för födelsedödsrocesser hr vi följnde reltioner melln de sttionär snnolihetern och : Vi hr 8 µ 5 8 8, 8 µ µ 5 (* å linnde sätt 4, 4 89 och 5 55 µ µ µ Sid v 9
För tt estämm sustituerr vi ovnstående reltioner i evtionen + + + + + och får 785 4 5 Härv 5/99 577599 Sustitutionen i (* ger 577599, 5845, 75 578, 4 844, 5 7449 En und måste vänt men får etjäning om unden nommer när åd etjänrn är utgn och dessutom finns minst en ledig lts i ön; med ndr ord om det råder en v följnde tillstånd: E, E eller E4 (Noter tt unden viss om det råder tillstånd E5 Därför P( en und måste vänt men får etjäning + + 4 489 Svr: 577599, 5845, 75 578, 4 844, 5 7449 * Om en und träffr å eller und i systemet då går unden diret till en etjänre (utn tt vänt ** Om en und träffr å, eller 4 under i systemet då måste unden vänt (för åd etjänre är utgn, men unden får etjäning (viss inte från systemet *** Om en und träffr å 5 under i systemet då är ll etjänre och ll öltser utgn och därför vviss unden Alltså hr vi P( en und måste vänt men får etjäning + + 4 489 om figuren är orret om llt är orret Rätt eller fel Ugift ( Vi etrtr ett önät som estår v två M/M/ ösystem (se Fig Betjänren i ösystem hr etjäningsintensitet µ 5 under er minut, medn etjänren i Sid 7 v 9
ösystem hr etjäningsintensitet µ under er minut Ny under ommer Poissonfördelde till ösystem med intensiteten 7 under er minut 9 % v under lämnr nätet efter etjäning i ösystem men % fortsätter, först till ösystem och därefter igen till ösystem (se Fig Berän medelntl under i nätet (dvs under i ösystem+ under i ösystem Fig Kösystem µ % 9% Kösystem µ Vi etecnr med och dem etiv intensiteter till först (CPU och ndr (I/U ön Då gäller: + 7 + dvs som ger 7 + Härv 9 7 dvs under/min Slutligen under/min Dessutom hr vi µ 5 under/min På smm sätt µ under/min Eftersom ρ hr vi µ 5 ρ / 5 N ρ / 5 ρ / På smm sätt ρ och N µ ρ / 5 Slutligen N N + N + 5 Svr: N 5 Rättningsmll: för orret och Sid 8 v 9
+ för medelntl under i en ö N eller N Allt orret Ugift ( ( Låt X vr Poissonfördeld sv med rmeter, dvs Po( X Då gäller e X P! ( Bevis tt (X E ( Låt < < övrigt för f,, ( vr täthetsfuntionen för en (liformigt fördeld stostis vriel X Bevis tt väntevärdet ( X E +! (!! ( e e e X E, ( sust j e e j e j j *!, vilet sulle eviss Anmärning I övergången * hr vi nvänt den änd formeln! j j e j d d f X E ( ( ( ( + + VSB Sid 9 v 9