grafer Centralt innehåll

Trigonometri och grafer Centralt innehåll Trigonometriska funktioners grafer och dess egenskaper. Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer. Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska och sammansatta funktioner. Strategier för matematisk problemlösning. I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volm, skala och likformighet samt trigonometri. 50

38876744 894789475 7547 534374 55 777 48398678567 894789475849 Inledande aktivitet FRÅN ENHETSCIRKEL TILL KURVA Använd enhetscirkeln och din räknare. a) Gör en tabell där är vinklarna 0, 30, 60, 90,..., 360 och är vinklarnas sinusvärde. b) Rita på ett rutat papper ett koordinatsstem där en ruta i -led motsvarar 30 och en ruta i -led motsvarar 0,. v O Pricka in tabellens punkter och skissa grafen. c) Kontrollera grafen till = sin med grafräknare. d) Undersök med grafräknare hur grafen till = sin ser ut i intervallet 70 70. Förklara. Använd din grafräknare. a) Jämför graferna till = sin och = 0,5 sin med = sin. Rita en skiss och beskriv likheter och skillnader. b) Jämför graferna till = sin och = sin 0,5 med = sin. Rita en skiss och beskriv likheter och skillnader. c) Hur beror grafen till = A sin k av värdet på A och k? Formulera en slutsats. 5

. Trigonometriska kurvor Sinus- och cosinuskurvor Många fenomen i naturen är periodiska och upprepar sig regelbundet. Några eempel är dagens längd under ett år, ebb och flod samt olika svängningar och vågrörelser. För att kunna beskriva dessa fenomen med matematiska modeller behöver vi periodiska funktioner. Vi börjar med att undersöka hur sin varierar under ett varv i enhetscirkeln. Enhetscirkel Vi avläser de markerade punkternas -koordinater och gör en tabell och graf. sinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Kontroll med grafräknare = sin 0 0 90 80 0 70 360 0 90 360 0 360 period Vi har nu ritat en sinuskurva i ett intervall med längden 360. Kurvans utseende upprepas obegränsat i båda riktningarna. Vi säger att sinusfunktionen är periodisk med perioden 360. = sin 70 90 90 70 450 5. Trigonometriska kurvor

På liknande sätt får vi för cosinusfunktionen: cosinuskurvan Värdetabell Graf med fem punkter Grafritande räknare = cos 0 90 0 80 70 0 360 80 360 0 360 Om vi ritar både sinuskurvan och cosinuskurvan i samma koordinatsstem, ser vi att de är förskjutna i -led i förhållande till varandra. Cosinuskurvan får vi genom att förskjuta sinuskurvan 90 åt vänster. = cos = sin 360 80 80 360 Eempel Hur skiljer sig kurvan = 3 sin från kurvan = sin? Svaret är enkelt: -koordinaterna till kurvan = 3 sin får vi genom att multiplicera alla -koordinater till kurvan = sin med 3. 0 90 80 70 360 sin 0 0 0 3 sin 0 3 0 3 0 ma Amplituden = 3 sin = sin 4 80 360 0 360 min 4 amplitud största värdet minsta värdet En sinuskurvas amplitud är = 3 sin har amplituden 3, maimivärdet 3 och minimivärdet 3.. Trigonometriska kurvor 53

Eempel Hur skiljer sig kurvan = sin 4 från kurvan = sin? Utseendet på kurvan = sin upprepas efter 360. Utseendet på kurvan = sin 4 upprepas då 4 = 360, alltså efter 90. Vi ritar graferna. = sin = sin 4 90 90 360 Vi ser i figuren att funktionen = sin 4 har perioden 90. Perioden kan beräknas 360 4 = 90 På motsvarande sätt har = cos perioden 360 / = 70 Amplitud och period påverkas inte av att en kurva förskjuts. Sammanfattning = A sin k har amplituden A och perioden 360 k = A cos k har amplituden A och perioden 360 k 0 Funktionen =,5 sin är given. a) Ange amplitud, största värde och minsta värde. b) Bestäm perioden. c) Skissa kurvan för hand och kontrollera med räknare. Vi jämför med = A sin k a) Amplituden A =,5, största värdet =,5 och minsta värdet =,5. b) k = perioden = 360 = 80 c) Dela intervallet 0 till 80 i fra lika delar. Markera fem punkter så att kurvan kan skissas. Kontrollera med räknaren, inställd på grader (deg). Maimivärde och största värde 90 80 0 80 54. Trigonometriska kurvor

0 Du vet att = sin har perioden 360. Förklara hur du då får perioden för a) = sin 0 b) = sin 0, 03 Har = sin 3 och = cos 3 samma period? 04 Bestäm perioden för a) = sin 4 c) = cos b) = sin 0,75 d) = cos 3 05 a) Skissa för hand kurvan = sin. b) Ange det största och minsta värde som sin kan anta. c) Ange kurvans amplitud. 06 Bestäm kurvans amplitud och period. a) = 4 cos b) = 00 sin,5 c) = 50 cos 5 d) 0 0 09 Rita graferna till = sin och = cos i samma koordinatsstem. a) Vilka likheter respektive skillnader finns mellan graferna? b) För vilka -värden i intervallet 0 360 gäller att cos < sin? 0 a) Skissa kurvan till = sin b) Ange det största och minsta värde som funktionen = sin kan anta. Har ekvationen 4 sin = sin någon lösning? Motivera. För vilka värden på A saknar ekvationen A sin 5 =, lösningar? 3 Grafen visar hur kurvan = sin skär linjerna = ±k i fra punkter i intervallet 0 360. Bestäm summan + + 3 + 4. 3 4 = k = k 07 Ge ett eempel på en funktion med perioden 00 och amplituden,5. 08 a) Skissa för hand två perioder av kurvan = sin 4 b) Kontrollera din skiss med grafräknare. 4 Utgå från att f () = sin och att f (a) = 0,3 och beräkna summan f (a) + f (a + 360 ) + f (a + 70 ) + +... + f (a + 3 600 ). 5 Beräkna utan att använda räknare summan sin + sin + sin 3 + +... + sin 358 + sin 359.. Trigonometriska kurvor 55

Grafritande räknare Du ska kunna lösa ekvationer och olikheter eakt med algebraiska metoder. Men som ett komplement är grafritande räknare ett utmärkt verktg för att undersöka funktioner och på ett överskådligt sätt lösa ekvationer och olikheter grafiskt. 6 Visa grafiskt att ekvationen sin = 0,5 har fra lösningar i intervallet 0 360. Rita graferna till funktionerna = sin och = 0,5. 0 360 Graferna skär varandra på fra ställen. Det innebär att sin = 0,5 har fra lösningar i intervallet. 7 Lös grafiskt ekvationen cos 0,5 = 0,7 i intervallet 0 360. 8 Hur många lösningar har ekvationen sin = cos i intervallet 0 360? 9 Hur avläser du perioden för kurvan = sin 0,6? 0 Undersök: För vilka positiva värden på a har ekvationen sin = a i intervallet 0 360 a) två lösningar b) en lösning c) ingen lösning? Lös ekvationen cos = 0,5 i intervallet 500 700 a) grafiskt b) algebraiskt. Olikheten cos < k har en lösning 0 < < 40. Vilket värde har k? 3 För vilka värden på b saknar ekvationen 3 sin 4 + b = 0 lösningar? 4 Det finns ett enkelt samband mellan antalet lösningar till ekvationen sin k = a i intervallet 0 360 och värdet på k, där k är ett positivt heltal och 0 < a <. Ta reda på detta samband. 56. Trigonometriska kurvor

Aktivitet Undersök Trigonometriska kurvor Använd fönsterinställningarna: X min = 80 X ma = 360 Y min = 3 Y ma = 3 Tips: När du undersöker flera kurvor samtidigt är det lättare att se skillnad på dem om du låter kurvorna ha olika linjetper. 3 80 3 360 Materiel: Grafräknare a) Rita i samma fönster = sin och = sin + Vad skiljer graferna åt? b) Undersök för olika värden på a : Hur är grafen till = sin + a förskjuten i förhållande till = sin? a) Rita i samma fönster = sin och = sin ( + 60 ) Gör avläsningar på graferna. Vad skiljer graferna åt? 3 Undersök för olika positiva värden på v : Hur är grafen till = sin ( v) förskjuten i förhållande till = sin? 4 Undersök och ange en funktion på formen = sin ( ± v) som har en graf identisk med grafen till a) = cos b) = sin 5 Formulera kortfattat hur grafen till = A sin ( ± v) + b påverkas av värdena på A, v och b. b) Undersök för olika positiva värden på v : Hur är grafen till = sin ( + v) förskjuten i förhållande till = sin? Motivera varför.. Trigonometriska kurvor 57

Förskjuta kurvor Eempel Vi ska visa hur man får kurvan till = sin ( + v) + d genom att utgå från = sin. Om vi utgår från = sin och adderar till alla -koordinater får vi funktionen = sin +. Hela grafen förskjuts enheter uppåt. Amplituden är fortfarande, men -värdena varierar nu mellan och 3. = sin + 3 = sin = sin är förskjuten enheter uppåt. 80 360 Kontrollera graferna med din grafräknare. Eempel Om vi utgår från = sin och förskjuter den 30 åt höger förändras inte amplituden eller perioden. Vi får funktionen = sin ( 30 ) eftersom ( 30 ) går från 0 till 360 när går från 30 till 390. = sin = sin ( 30 ) 360 30 80 390 En period = 360 = sin är förskjuten 30 åt höger. Kontrollera graferna med din grafräknare. Sammanfattning Kurvan till = sin ( + v) + d kan vi få genom att förskjuta = sin d > 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter uppåt. d < 0 ger att kurvan är förskjuten d enheter nedåt. v > 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till vänster. v < 0 ger att kurvan är förskjuten v grader till höger. Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt. 5 a) Beskriv hur grafen till = sin ( + 45 ) är förskjuten i förhållande till = sin. b) Bestäm största och minsta värde för funktionen = 4 + 3 sin a) Grafen är förskjuten enheter nedåt och 45 åt vänster i förhållande till = sin. b) = 3 sin har amplituden 3 och -värdena varierar därför mellan 3 och 3. = 4 + 3 sin är förskjuten 4 enheter uppåt i förhållande till = 3 sin. -värdena varierar därför mellan och 7. Största värde = 7 och minsta värde =. 58. Trigonometriska kurvor

6 Antag att du har ritat kurvan = sin. Hur får du då kurvan a) = sin + 5 c) = sin ( + 55 ) b) = sin,5 d) = sin ( 35 )? 7 Ange sinuskurvans ekvation. a) 33 Viktoria påstår att en sinuskurva alltid kan skrivas som en cosinuskurva. Har hon rätt? 34 360 360 Hur ska du förskjuta a) = sin för att få grafen ovan b) = cos för att få grafen ovan? b) 60 300 8 Ange största och minsta värde för funktionen a) = sin + 3 c) = 5 cos b) = 3 4 sin d) = cos 0 9 Ge ett eget eempel på en funktion vars största värde är och minsta värde är 0. 30 Bestäm talet a så att = 5 sin + a aldrig skär -aeln. 3 Hur ska du förskjuta kurvan = cos för att få kurvan a) = cos ( + 60 ) + 3,5 b) = cos ( 0 ),5? 3 Kurvan = sin 3 förskjuts 36 åt höger. Vilken ekvation får den na kurvan? 35 Bestäm A och v i = A sin ( v) om ma = 3 och (0) =,5. (A > 0, 0 < v < 90 ) 36 Hur är kurvan = 3 cos ( + 50 ) förskjuten i förhållande till = 3 cos? 37 För vilket värde på a är funktionens största värde 8, om = 5 a sin? 38 Rita kurvorna = sin och = cos ( + 70 ) i samma fönster på din grafritare. a) Vilken slutsats är rimlig att dra från graferna? b) Bevisa din slutsats. 39 Bestäm p och q så att funktionen = p sin ( 0 ) q får minsta värdet 3 och största värdet 5. 40 Rita kurvan med din grafräknare. Ange en annan formel för funktionen. Motivera. a) = cos + sin b) = cos + sin (90 ) c) = cos + 3 sin. Trigonometriska kurvor 59

Ekvationen för en sinusformad kurva 4 Figuren visar grafen till en sinusfunktion. Bestäm en ekvation av tpen = A sin k + d för denna kurva. 7 3 Perioden = 400, d v s 360 = 400 och k = 0,9. k Amplituden A = A = 7 ( ) = 8 = 4 maimivärdet minimivärdet Jämfört med = 4 sin 0,9 gäller: Förskjutningen i -led är 3 enheter uppåt. N mittlinje är = 3, dvs d = 3. = 4 sin 0,9 + 3 0 Till sist bör du kontrollera med grafritande räknare att denna ekvation ger rätt graf. Svar: Kurvans ekvation är = 4 sin 0,9 + 3. 8 00 400 400 4 Rita en skiss av kurvan = 5 sin ( + 45 ) 4. Kurvan har samma amplitud och period som = 5 sin, dvs amplituden 5 och 5 = 5 sin perioden 360 = 80. Förskjutningen i -led är 45 till vänster. Förskjutningen i -led är 4 enheter nedåt. Den na mittlinjen är = 4. 45 5 9 80 = 4 = 5 sin ( + 45 ) 4 Kontrollera grafens utseende med din räknare. OBS Om funktionen = 5 sin ( + 45 ) 4 skrivs = 5 sin ( + 90 ) 4 kan det vara svårare att se förskjutning 45. 60. Trigonometriska kurvor

43 Bestäm en funktion av tpen = a sin b som ger grafen a) 4 48 Funktionen = 00 sin 5 + 300 ger grafen c 60 b b) 30 44 Skissa grafen utan hjälpmedel. Kontrollera sedan med din grafräknare. a) = sin 0,5 + b) = cos + 45 Hur många perioder har kurvan = sin 4 i intervallet 0 360? 46 Bestäm en funktion av tpen = a sin b( + v) som ger grafen 0 47 Vilka av de se funktionerna ger grafen? A = sin B = cos C = sin ( + 80 ) 80 D = cos ( + 80 ) E = sin ( 90 ) F = cos ( 90 ) Bestäm talen a, b och c. 49 Bestäm en funktion av tpen = a sin b( + v) + d som ger grafen 60 a 50 Skissa grafen till = 0,5 sin (3 90 ). Kontrollera med din grafräknare. 5 Rita en enkel skiss till grafen av funktionen = A sin 360 ( C) + D B där A, B, C och D är positiva. Markera i figuren var talen A, B, C och D kan avläsas. 5 f () = A sin k + b Putte påstår att graferna till f ( ) och f () är identiska. Har han rätt eller fel? Motivera.. Trigonometriska kurvor 6

Kurvan = tan Funktionen = tan har perioden 80. Vi kan visa detta med omskrivningen tan ( + 80 ) = sin( + 80 ) cos( + 80 ) = sin cos = sin cos = tan Vi börjar därför med att rita kurvan på ett intervall av längden 80 och vi väljer intervallet 90 < < 90. Observera att tan ej är definierad för de -värden då cos = 0, t e = 90 och = 90. värdetabell 90 89 80 45 0 0 0 45 80 89 90 tan ej def. 57,3 5,7 0,4 0 0,4 5,7 57,3 ej def. graf När närmar sig 90 från vänster kommer tan att väa obegränsat. = tan När närmar sig 90 från höger kommer tan att avta obegränsat. asmptoter Linjerna = 90 och = 90 kallas lodräta asmptoter. = k Figuren visar att en ekvation av tpen tan = k, där k är ett godtckligt tal, har en och endast en lösning inom en period. 60 60 Ekvationen tan = k Den fullständiga lösningen till tan = k är = tan k + n 80 Vi ritar en graf med flera perioder med grafritande räknare. Kontrollera också hur din räknare reagerar om du försöker beräkna tan ( 90 ) och tan (90 ). 360 4 360 4 6. Trigonometriska kurvor

,73 tan v och enhetscirkeln Vi kan inte avläsa tan v direkt i enhetscirkeln. Men om vi ritar in linjen = i enhetscirkeln kan vi använda denna för att avläsa tangens värde. Förlängningen av radien bildar tillsammans med = och -aeln en rätvinklig triangel där t e 60 motstående katet tan 60 = närliggande katet = -värdet,73 Vi kan för alla vinklar avläsa tan v där radiens förlängning skär =. Detta eftersom tan v = tan (v + n 80 ) och tan ( v) = tan v. tan 50 = tan ( 30 + 80 ) = tan 30 0,58 0,58 50 53 a) Vilken period har = tan? b) Hur många lösningar har ekvationen tan = 0,9 i intervallet 0 v 360? 3 a) Perioden är 80 = 90 b) Varje period har en lösning. I intervallet 0 v 360 rms fra perioder. Ekvationen har fra lösningar. 0 3 360 54 Bestäm med en decimal samtliga lösningar till ekvationen a) tan = 0,9 b) sin = 3, cos a) tan = 0,9 b) sin = 3, cos Dividera med cos. = tan 0,9 + n 80 sin cos = 3, = 4,987... + n 80 tan = 3,,0 + n 90 = tan ( 3,) + n 80 7, + n 80 07,9 + n 80 Adderar vi en period till 7, blir svaret positivt.. Trigonometriska kurvor 63

55 Vilken period har a) tan c) tan 3? b) tan d) tan 0, Lös ekvationen och svara med en decimal. 56 a) tan = 0,6 b) tan = 5 57 a) tan =,3 b) tan 3 + 0,4 = 0 58 a) tan = 0, b) tan 3 + 5 = 0 59 a) sin = 0,8 cos b) sin = cos 60 Har tan något största eller minsta värde? Motivera. 6 Finn två olika värden på, ett positivt och ett negativt, så att tan =. 66 Lös ekvationen. Svara med en decimal. a) sin 3 cos = 0 b) 5 sin + cos = 0 67 Förenkla tan 90 sin 0 cos 0 utan räknare. 68 Undersök om ekvationen tan 3 = 3,08 har några lösningar mellan 00 och 300. Ange i så fall dessa. 69 Undersök grafiskt om tan = tan (80 ). 70 För vilka vinklar v i intervallet 0 till 360 är tan v negativt? Motivera ditt svar. 7 Bestäm ekvationen till grafen a) b) 6 Antag att sin = 0,6 och cos = 0,8. Vilket värde har då tan? 360 70 360 = 70 63 Beräkna tan 70 med din räknare. Förklara ditt svar. 64 Grafen visar = tan k. Vilket värde har k? 0 90 65 Bestäm utan räknare tan a + tan (a + 80 ) + tan (a + 360 ) om du vet att tan a = 5. 7 Undersök om tan = för tan( + 90 ) alla värden på. Visa i så fall detta. 73 Ekvationen 4 tan 5( + 0 ) = saknar lösningar i intervallet 80 < < a. Vilket är det största möjliga värdet på a? 74 Lös ekvationen 4 cos + sin cos = genom att först använda trigonometriska ettan. 75 Finn ett > 0 så att tan () = cos + 64. Trigonometriska kurvor

Kurvan = a sin + b cos Eempel Astra undersöker funktionen = sin + 3 cos med sin grafritande räknare. 5 = sin + 3 cos Astra tcker grafen ser ut som en sinusfunktion med amplituden ca 3,5. 90 360 Kan summan sin + 3 cos skrivas som en sinusfunktion på formen c sin ( + v)? 5 allmänna fallet Vi utgår från det allmänna fallet = a sin + b cos där a, b > 0. Om funktionen kan skrivas som = c sin ( + v) ger det ekvationssstemet = a sin + b cos = c sin ( + v) = a sin + b cos = c cos v sin + c sin v cos Den andra ekvationen kan vi skriva om med additionsformeln för sinus. Vi ser att ekvationerna är identiska om a = c cos v b = c sin v Vi använder detta ekvationssstem för att få fram formler för c respektive v. Om ekvationerna kvadreras och adderas ledvis får vi a + b = c cos v + c sin v a + b = c (cos v + sin v) c = a + b Trigonometriska ettan Vi utgår från ekvationssstemet igen. Om den andra ekvationen divideras ledvis med den första får vi tan v = b a Vi kan alltså skriva om = a sin + b cos som en sinusfunktion = c sin ( + v) där v beräknas med formeln tan v = b a och c = a + b. Trigonometriska kurvor 65

Eempel forts Astras funktion = sin + 3 cos (a =, b = 3) kan skrivas på om på formen = c sin ( + v) där: tan v = b a = v = tan 3 3 33,7 c = a + b = 3 3,6 = sin + 3 cos 3,6 sin ( + 33,7 ) Vi kan på samma sätt även skriva om kurvor på formen = a sin b cos Sammanfattning = a sin + b cos = a + b sin ( + v) = a sin b cos = a + b sin ( v) Då a > 0, b > 0, tan v = b, 0 < v < 90. a 76 Skriv om funktionen = 7 sin 4 cos på formen = c sin ( v) och ange funktionens största värde. c = 7 + 4 = 5 v = tan (4/7) 73,7 5 sin ( 73,7 ) = 5 är funktionens största värde. Kontrollera på din räknare att Y = 7 sin 4 cos och Y = 5 sin ( 73,7 ) ger samma graf och att det 00 största värdet är 5. 30 400 30 66. Trigonometriska kurvor

77 Bestäm grafiskt största värdet för. a) = 6 cos 3 b) = 5 4 sin ( + 35 ) c) = 33 sin + 56 cos d) = 65 sin 7 cos 78 Skriv om uttrcket på formen = c sin ( + v). Ange c eakt och v med en decimal. Kontrollera ditt svar grafiskt. a) = 6 sin + 8 cos b) = 0 sin + 4 cos c) = 8 sin 5 cos d) = 7 sin 9 cos 79 Vilket är det minsta värde som funktionen f () = 0 + 60 sin + cos kan anta? 84 Funktionen = a sin + (a + ) cos är given. a) Bestäm det positiva talet a så att funktionens största värde blir 9. b) Ange det minsta positiva -värde för vilket antar sitt största värde 9. 85 Lös ekvationen algebraiskt. Svara med hela grader. a) 3 sin + 4 cos = b) 0 sin + 4 cos = 7 c) sin cos = 86 Rita grafen till funktionen f ( ) = 3 sin + cos sin Resultatet antder att f ( ) kan skrivas på formen = c sin ( + v). Visa detta. 80 Förklara kortfattat varför största värdet för = 5 cos + 3 sin inte blir 5 + 3 = 8. 87 8 8 Lös grafiskt ekvationen sin + 3 cos = i intervallet 0 360. 8 Skriv summan av de två graferna nedan på formen = c sin ( + v). 360 70 0,3 360 70 Ange ekvationen till kurvan ovan på formen = a sin + b cos 88 Härled och visa i detalj hur man kan skriva om = a sin b cos (a > 0, b > 0) till en sinusfunktion. 83 Går funktionen = sin + cos att skriva på formen = c sin ( + v)? 89 Går det att skriva = a sin + b cos som en cosinusfunktion?. Trigonometriska kurvor 67

. Radianbegreppet Ett ntt vinkelmått Eempel ngrader, gon Indra undersöker derivatan av sin med sin smbolhanterande räknare. Räknaren, inställd på grader, ger att f () = sin har derivatan f () 0,07 453 9 cos Indra undrar om derivatan av sin verkligen måste vara så krånglig? Svaret är nej, men för att kunna hitta enklare samband måste vi använda oss av ett annat vinkelmått än grader. Det finns flera olika vinkelmått. grader När vi mäter med grader är ett varv 360. Grader användes redan av de babloniska astronomerna och förmodligen är det antalet dagar på ett år som är bakgrunden. radian Ett varv kan också sägas vara 400 ngrader, eller 400 gon. Vinkelmåttet används bl a inom lantmäteri för att underlätta beräkningar. Derivatan av sin blir inte enklare med ngrader. Ett helt annat sätt att mäta vinklar utgår från cirkelbågens längd. Om vi i enhetscirkeln markerar en båge med längden längdenhet, får vi en vinkel som kallas radian, vilket skrivs rad. Figuren visar några medelpunktsvinklar i radianer. v v v v Radie = Radie = Radie = Radie = Båge = Båge = Båge = Båge = π v = radian v = radianer v = radianer v = π radianer 68. Radianbegreppet

Definition En vinkel är radian om den i en cirkel ger en båge av radiens längd. r r radian Mellan grader och radianer får vi följande omvandlingsformler: Samband grader radianer Ett varv = 360 = π rad, d v s 80 = π rad π = rad 0,07 45 rad 80 rad = 80 57,3 π För radianer utelämnas ofta beteckningen helt. Skriver vi sin så ska detta tolkas som sinus för radianer. Menar vi sinus för grader måste vi skriva sin. De formler och samband som vi tidigare har visat för vinklar i grader gäller också för vinklar i radianer. På räknare brukar deg stå för grader, gra för ngrader och rad för radianer. Det är viktigt att du kan kontrollera och ändra räknarens inställning. 0 Omvandla a) 98, till radianer b) 6,07 radianer till grader. π a) Sambandet 80 = π ger att = π 80 98, = 98, 80,7 b) Sambandet 80 = π ger att rad = 80 π 6,07 = 6,07 80 π 347,8 0 Bestäm eakt sin π 3 80 = π ger direkt att π 3 = 80 3 = 60 sin π 3 =sin 60 = 3 Eakta värden finns i tabell och formelblad.. Radianbegreppet 69

03 Lös följande trigonometriska ekvationer. Svara i radianer med två decimaler. a) sin = 0,93 c) tan =,9 b) cos = 0,54 d) sin + π 3 4 = 0,98 a) sin = 0,93 Om räknaren är ställd på grader (degree) så är sin (0,93) = 68,434... 68,4. Om räknaren är ställd på radianer så är sin (0,93) =,94...,9 radianer. Vi räknar i radianer. Perioden är 360 = π. 80 = π,9 + n π eller π,9 + n π,95 + n π b) cos = 0,54 ±,4 + n π ±,07 + n π c) tan =,9 Perioden är 80 = π,09 + n π d) sin 3 + π 4 = 0,98 3 + π 4,370 + n π eller 3 + π π,370 + n π 4 3 0,585 + n π 0,986 + n π 3,76 + n 6π,96 + n 6π Lösningar i radianer till grundekvationerna: Sammanfattning sin = k cos = k tan = k k k k godtckligt tal = v + n π = ± v + n π = v + n π eller = π v + n π där v = cos k där v = tan k där v = sin k 70. Radianbegreppet

04 Förklara hur du omvandlar från a) grader till radianer b) radianer till grader. 05 Omvandla till radianer. Svara med två decimaler. a) 34,3 b) 93,4 c) 698 06 Omvandla radiantalet till grader. Svara med en decimal. a) 0,8 b) 5,74 c) 0 07 Motivera varför a) 90 = π rad b) 4π rad = 70 08 Visa att a) 300 = 5π 3 π rad b) rad = 0 3 09 Beräkna med räknare a) sin b) sin 0 Varför ger räknaren ett större värde för sin () om den är inställd på radianer än om den är inställd på grader? Beräkna sin π + cos 5π utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare. Lös ekvationen fullständigt. Svara i radianer med två decimaler. a) sin = 0,4 c) sin = 0, b) cos = 0,9 d) tan = 5 3 Lös ekvationen fullständigt utan räknare. Använd enhetscirkeln. Svara i radianer a) sin = c) cos = b) sin = 0 d) cos = 0 4 Lös ekvationen fullständigt utan räknare. Svara eakt. a) sin = 0,5 c) cos ( π 4 ) = b) tan = d) tan ( + π 6 ) = 3 5 Beräkna utan räknare. a) tan ( 6 π) + cos 9 π 4 b) sin 3 4 π tan π 4 6 Finns det någon vinkel som har samma värde i radianer och grader? 7 Lös ekvationen i det angivna intervallet. Kontrollera ditt resultat grafiskt. π a) 0 3 cos t =, 0 t 4 b) sin ( π 4 t π ) + 0 = 30, 0 t 8 5 8 Är det någon skillnad om du skriver a) sin eller (sin ) b) tan eller (tan )? 9 Lös ekvationen a) sin sin = 0 sin cos b) = sin + cos 0 Två punkter P och Q på enhetscirkeln har -koordinaterna 0,4 och 0,5. Hur lång är cirkelbågen mellan P och Q? Låt f () = cos (cos ) a) Vad betder f () och vad bör det bli? b) Testa ditt svar i a) genom att beräkna f () för =,, 3, 4. c) Försök förklara resultatet i b).. Radianbegreppet 7

Cirkelsektorn och radianer Eempel Med radianer som vinkelmått får vi na enkla samband för cirkelsektorns båge och area. Cirkelbågens längd är (vinkelns andel av hela varvet) (hela cirkelns omkrets) Om medelpunktsvinkeln är 60 så är bågens längd = 60 hela cirkelns omkrets. 360 Om medelpunktsvinkeln är radianer så är bågens längd = hela cirkelns omkrets. π På motsvarande sätt kan vi härleda na formler för cirkelsektorn: r v cirkelbåge cirkelsektor medelpunktsvinkel Cirkelsektorns båge och area Cirkelbågens längd b Vinkeln v mäts i grader. Vinkeln v mäts i radianer. v b = 360 π r b = v π π r = v r Cirkelsektorns area A Vinkeln v mäts i grader. A = A = v 360 π r A = v 360 π r r = b r Vinkeln v mäts i radianer. v π π r = v A = v r r = b r r En cirkelsektor med radien,5 m har medelpunktsvinkeln 0,75 radianer. a) Bestäm cirkelbågens längd. b) Bestäm cirkelsektorns area. a) Bågen b = v r = 0,75,5 m,9 m b) Arean A = v r 0,75,5 = m,3 m Du kan också använda formeln A = b r 7. Radianbegreppet

3 Beräkna längden av cirkelbågen samt cirkelsektorns area om radien är 6,5 m och medelpunktsvinkeln är a) 0,45 rad c),87 rad b) 8 d) 73 4 Bestäm vinkeln v i grader om a) r = 0 m och b = 3, m b) r = 0,47 m och b = 0,56 m 5 I en enhetscirkel har punkten P vinkeln v =,3 radianer. Hur lång är bågen b? v 6 En rund 6-bitars tårta har diametern 0 cm. Vilken omkrets har en bit? r P b v b 9 Förklara hur du med hjälp av definitionen av radian kan ange ett uttrck för cirkelbågens längd om radien är a cm och medelpunktsvinkeln är radianer. 30 Latituden för en punkt P definieras som vinkeln POE, där OE är radien, 6 370 km, P i ekvatorcirkeln och bågen PE är en del av meri- O dianen genom P. Sveriges E sdligaste punkt Smgehuk har latitud 55,3. a) Hur långt från ekvatorn ligger Sveriges sdligaste punkt? b) Sverige är cirka 57 mil långt. Vilken latitud har Sveriges nordligaste punkt? 3 En drivrem är spänd över två runda hjul med radierna 5 cm och 6 cm. a) Hur många radianer vrider sig det större hjulet när det mindre vridit sig ett varv? b) Drivremmen har hastigheten 5,0 m/s. Bestäm vinkelhastigheten i radianer per minut för de båda hjulen. 7 Sekundvisaren på en klocka är,3 cm. Hur långt rör sig visarspetsen på 0 s? 8 Från jorden ser vi månen under en vinkel av 0,5. Uppskatta månens diameter om avståndet till månen är 384 000 km. 3 Ange ett uttrck för cirkelsegmentets area (det färgade området). v r 33 Två cirklar med radien,0 m är placerade så att deras medelpunkter är,0 m ifrån varandra. Hur stor area täcker de tillsammans?. Radianbegreppet 73

.3 De trigonometriska funktionernas derivator Derivatan av sin och cos Vi ska nu bestämma derivatan av f() = sin då vinkeln anges i radianer. Om vi skissar hur grafens lutning varierar så verkar det troligt att derivatan är en cosinusfunktion, se figur intill. + 0 = sin 0 + Vi använder derivatans definition för f() = sin. f derivatans definition f () = lim ( + h ) f ( ) sin( + h) sin = lim h 0 h h 0 h differenskvot Vi använder additionssatsen för sinus och omformar differenskvoten sin( + h) sin sin = cos h + cos sin h sin = h h sin cos sin = h cos + sin h = sin cos h sin h + cos h h h h Eftersom sin och cos inte beror av h, bestäms derivatans värde av gränsvärdena: lim cos h 0 h h sin h och lim h 0 h Vi undersöker gränsvärdena numeriskt med räknaren inställd på radianer. h cos h h 0, 0,00 0,0000 0,049 958 35 0,0005 0,000005 sin h h 0,998 3347 0,99999983 gränsvärden Av tabellen är det rimligt att dra slutsatsen att lim cos h sin h = 0 och lim = h 0 h h 0 h 74.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Vi kan nu slutföra härledningen av derivatan till sin. sin( + h) sin f () = lim = h 0 h = sin lim cos h h h 0 + cos lim sin h 0 h f () = sin 0 + cos = cos h På liknande sätt kan vi visa att f () = cos har derivatan f () = sin. Sammanfattning Om anges i radianer får vi enkla derivator till sin och cos. f ( ) = sin har derivatan f ' ( ) = cos. f ( ) = cos har derivatan f ' ( ) = sin. 30 Bestäm f π f () = 3 sin cos då f() = 3 sin cos f () = 3 cos ( sin ) = 3 cos + sin f π = 3 cos π + sin π = 3 0 + = Svar: f π = 30 För vilka -värden har grafen till f () = sin en tangent med lutningen 0,5? Svara eakt. Vi söker -värden så att f () = 0,5. f () = sin f () = cos cos = 0,5 = ± π 3 + n π ger ekvationen Svar: Lutningen är 0,5 då = ± π 3 + n π.3 De trigonometriska funktionernas derivator 75

Bestäm f (). 303 a) f () = sin c) f () = 5 cos b) f () = 3 cos d) f () = 9 sin 304 a) f () = cos + 5 sin b) f () = cos +,3 sin c) f () = 3 0, sin d) f () = 3 cos 3 305 Vad krävs för att = sin ska ha den enkla derivatan = cos? 306 Bestäm a) f (0) då f () = sin + 3 b) h (π) då h (t) = 0,7 sin t, cos t c) s (,) då s (r) = 3, cos r + 0,3 r 3 307 a) Vilken lutning har tangenten till = sin i punkten (0, 0)? b) Bestäm ekvationen för tangenten till = sin i punkten (0, 0). 308 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan = cos då = π /. 309 a) För vilka vinklar i intervallet 0 π är derivatan till = sin negativ? b) Rita med grafräknaren derivatan till = sin. (t e Y = nderiv(sinx,,) ). och kontrollera ditt svar i a). Motivera! 30 Lös ekvationen f () = 0 om f () = sin. Tolka och kommentera ditt svar. 3 Vilket är det största värdet derivatan till f () =,5 sin kan ha? Motivera. 3 Funktionen f () = A sin + B cos är given. Ange talen A och B om f (0) = 4 och f (0) = 5. 33 Bestäm det eakta värdet av f ( π 4 ) om f () = sin cos 3 34 Bestäm för vilka -värden kurvan f () =0,3 + cos har en etrempunkt. 35 = sin har i origo tangenten =. För små -värden är därför sin. a) Undersök grafiskt och jämför sin med om = 0,. b) Gäller sambandet sin för små -värden, även för vinkelenheten grader? 36 Bestäm eakt ekvationen för två tangenter till = sin som har lutningen 0,5. 37 Med räknaren inställd på radianer fann vi att lim cos h = 0 och lim sin h h h = h 0 h 0 (se tabellen på s. 74) a) Undersök och bestäm på samma sätt gränsvärdena med räknaren inställd på grader. b) Vad blir derivatan av sin om anges i grader istället för radianer? 38 Härled derivatan till f () = cos. 39 Bestäm gränsvärdet sin( + h) sin ( h) lim h 0 h Kommentera ditt resultat. 30 Går det att bestämma talet a så att funktionen + a < 0 f () = cos 0 för = 0 får en a) sammanhängande graf b) tangent i punkten? 76.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Aktivitet Kedjeregeln Undersök Du kan derivera olika tper av funktioner, t e: = 4 + 3 + = 4 3 + 3 = 4 e = 4 e = 3 sin = 3 cos Nu ska du undersöka hur derivatan ser ut för så kallade sammansatta funktioner. De består av en ttre funktion och en inre funktion. Sammansatt funktion Yttre funktion Inre funktion = (e + ) 3 upphöjt till 3 e + = (sin + 3) 4 upphöjt till 4 sin + 3 Tudor undersöker tterligare en sammansatt funktion. Stämmer derivatan med det mönster du fann i uppgift? 3 Försök att fomulera en generell regel för hur man ska derivera en sammansatt funktion = f (g()). Denna regel kallas ofta kedjeregeln. = sin ( + ) sinus för + De sammansatta funktionerna kan skrivas på den generella formen = f ( g ()). Tudor undersöker derivatorna till de tre funktionerna ovan med en smbolhanterande räknare. Studera skärmbildens resultat och försök hitta ett mönster. Hur beror derivatan av den ttre respektive inre funktionen? Formulera ett samband med ord. En sammansatt funktion består av en ttre och en inre funktion..3 De trigonometriska funktionernas derivator 77

Derivatan av sammansatta funktioner sammansatt funktion ttre och inre funktion En funktion av tpen = sin 3 kan ses som sammansatt av två funktioner, en ttre funktion = sin u och en inre funktion u = 3. Vi börjar med att ge eempel på några sammansatta funktioner. Sammansatt funktion Yttre funktion Inre funktion = cos = cos u u = = () 3 = u 3 u = = ( + ) 4 = u 4 u = + = sin = (sin ) = u u = sin = f ( g ()) = f (u) u = g () I dessa eempel kan vi bestämma f (u) och g (). Vi vill nu undersöka om derivatan av den sammansatta funktionen = f ( g()) kan uttrckas med hjälp av f (u) och g (). Eempel Vilken derivata har den sammansatta funktionen = ( + 3 )? I detta fall kan vi utveckla parentesen och sedan derivera = ( + 3 ) = + 3 + 6 = 6 + 6 5 Kan vi få detta resultat med hjälp av den ttre och inre funktionens derivata? Den ttre funktionen = f (u) = u har derivatan f (u) = u = ( + 3 ). Den inre funktionen u = g () = + 3 har derivatan g () = 3 Produkten av f (u) och g () ger derivatan av den sammansatta funktionen: = f (u) g () = ( + 3 ) 3 = 6 ( + 3 ) = 6 + 6 5 allmänt Detta resultat kan också troliggöras med ett allmänt resonemang: g( + h) g( ) g () ger att g ( + h) g () + g () h h f ( g ( + h )) f ( g ( )) f( g( ) + g ( ) h) f( g( )) = h h = f ( u + k ) f ( u ) f( u) + f ( u) k f( u) Vi sätter g () = u = h h och g '() h = k f ( u) k f ( g( )) g ( ) h = = = f ( g ()) g () h h Deriveringsregeln vi funnit kallas kedjeregeln. Den kan skrivas: Kedjeregeln Om = f ( u ) och u = g ( ) så gäller för = f (g ( )) att ' = f ' (g ( )) g ' ( ) 78.3 De trigonometriska funktionernas derivator

3 Derivera a) = sin 5 c) = ( + sin ) 3 b) = 3 cos (π + 3) d) = sin 5 a) = sin 5 = cos 5 5 = 5 cos 5 Yttre: = sin u Inre: u = 5 ' = ttre derivata inre derivata b) = 3 cos ( π + 3) Yttre: = 3 sin u Inre: u = π + 3 = 3 sin (π + 3) π = 6π sin (π + 3) c) = ( + sin ) 3 Yttre: = u 3 Inre: u = + sin = 3( + sin ) cos d) = sin 5 = (sin ) 5 Yttre: = u 5 Inre: u = sin OBS sin är också en sammansatt = 5 sin 4 cos = 0 sin 4 cos funktion. 3 Ange först ttre och inre funktion och derivera sedan a) = sin c) = ( 3 + 4) 5 b) = cos (0,5 ) d) = cos Derivera 33 a) = sin 9 b) = cos 0,3 34 a) = 5 sin b) = 3 cos π 3 35 a) = sin (5 + ) b) = 4 cos ( π 3) 36 a) = sin b) = cos 3 37 Bestäm k så att kurvan = sin k har lutningen i origo. 38 Ange med hjälp av kedjeregeln en enkel deriveringsregel för funktioner av tpen = cos k där k är en konstant. 39 Vilka av nedanstående funktioner är inte sammansatta och går inte att derivera med kedjeregeln? A = sin cos C = ln B = cos (cos ) D = sin Derivera med avseende på. 330 a) = ( + cos ) 4 b) = sin ( + 3 ) 33 a) = sin 4 ( ) b) = sin (cos ) 33 a) = ( + sin a) n b) = A sin (b + c) + d 333 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan = 3 sin cos då = 3 π 4 334 Finn en funktion F som har derivatan a) F () = sin b) F () = cos 0,5 335 Bestäm d d om = sin = sin π 80 Tolka ditt resultat. 336 I den sammansatta funktionen F () = f ( g ()) är g () = cos och f ( ) =. Bestäm F (π). 337 Visa att kurvan = sin k + b har största lutningen k..3 De trigonometriska funktionernas derivator 79

.4 Tillämpningar och problemlösning Vi kan för alla reella tal t finna värden på sin t och cos t. När vi ska beskriva periodiska förlopp med trigonometriska funktioner representerar talet t ofta tiden. För att få en enkel derivata använder vi radianer om inget annat anges. 40 En modell för hur vattentemperaturen C på den grekiska ön Naos varierar under året beskrivs med funktionen = 5 sin (0,07t,) + 9 där t är tiden i dgn räknat från årsskiftet. a) Bestäm funktionens period och amplitud. b) Vilken är den lägsta och den högsta vattentemperaturen under året? c) När kan man tidigast åka till Naos om man vill att vattentemperaturen ska vara minst 0 C? d) Beräkna () genom att algebraiskt derivera. Kontrollera med räknarens deriveringsfunktion. e) Tolka värdet av (). a) Funktionen = sin k har perioden π om är i radianer. k π Perioden = dgn = 365,30... 365 dgn. 0,07 Amplituden = 5 C. Svar: Perioden är 365 dgn och amplituden är 5 C. b) Det största värdet för sin (0,07t,) är och det minsta är. Högsta vattentemperaturen = (5 + 9) C = 4 C. Lägsta vattentemperaturen = (5 ( ) + 9) C = 4 C.

Problemlösningsstrategi. Förstå problemet c) Frågan När är = 0? ger ekvationen. Gör upp en plan 5 sin (0,07t,) + 9 = 0 där t ligger i intervallet 0 till 365. Vi kan välja att lösa ekvationen algebraiskt eller grafiskt. 3. Genomför planen Algebraiskt Grafiskt Vi skriver om ekvationen till 5 sin (0,07t,) = 0, vilket ger 0,07t, = 0,0 t 4 Det svarar mot den maj. eller (4, 0) (300, 0) 3 0 365 0,07t, = π 0,0 t 300 Det svarar mot den 7 oktober. 4. Värdera resulatet Den tidigaste tidpunkten är omkring 0 maj, vilket verkar rimligt. Svar: Man kan tidigast åka till Naos ca 0 maj. d) = 5 sin (0,07t,) + 9 = 5 cos (0,07t,) 0,07 () = 5 0,07 cos (0,07,) = 0,085 0, Med räknarfunktionen nderiv eller d/d får vi t e nderiv(5 sin (0,07t,) + 9, X, ) = 0,085 0, e) Att () = 0, betder att vid t =, d v s ca maj, stiger vattentemperaturen med hastigheten 0, C/dgn. Algebraiskt eller grafiskt? Ofta kan vi välja mellan att lösa en uppgift grafiskt eller algebraiskt. En algebraisk metod kan ge eakta svar, medan en grafisk ibland kan vara snabbare. Vissa uppgifter går bara att lösa algebraiskt, men ibland är det svårt eller t o m omöjligt att finna algebraiska metoder. Därför är det viktigt att behärska både algebraiska och grafiska metoder för att, t e vid problemlösning, kunna välja den lämpligaste metoden..4 Tillämpningar och problemlösning 8

40 I en väelströmskrets varierar strömmen A enligt funktionen = 0,70 sin 00π t där t är tiden i sekunder. a) Bestäm strömmens största värde. b) Ange väelströmmens period. 403 Vid en mätning varierar en persons blodtrck mmhg enligt funktionen = 00 + 0 sin 5,t där t är tiden i sekunder. a) Bestäm högsta och lägsta blodtrck. b) Bestäm amplitud och period. c) Beräkna och tolka (3) och (3). 407 Vilket är det största möjliga värdet på derivatan till funktionen = 4 cos 0,57? Motivera. 408 Sant eller falskt? Motivera! Om värdet på k i funktionen = A sin k är större än π, har funktionen en period som är mindre än. 409 404 Varför bör vi använda radianer när vi använder trigonometriska funktioner i matematiska modeller? 405 Ställ upp en funktion som har ett största värde 5 och ett minsta värde 3. 406 Temperaturen C utanför ett hus varierar under ett dgn enligt funktionen = 4,5 8,5 sin πt där t är tiden i timmar räknat från midnatt. a) Vad är temperaturen klockan 0.00? b) Bestäm grafiskt när under dgnet som temperaturen är lägst respektive högst. c) Beräkna (6) algebraiskt. Kontrollera med räknarens numeriska derivering. d) Vad betder (6) i detta fall? En biolog har under lång tid studerat antalet lodjur inom ett område. Hennes resultat visas i diagrammet. Antal 60 40 0 009 00 0 0 År a) Ställ upp en funktion som modell för hur antalet lodjur har varierat. b) Hur många lodjur finns det i slutet av år 05 om antalet fortsätter att variera enligt modellen?.4 Tillämpningar och problemlösning

40 Enligt en prognos kommer ett företag att sälja enheter per månad enligt ekvationen = 4 000 + 000 cos (π t/6) där t är tiden i månader efter årsskiftet. Skissa grafen för ett år för hand, utan att använda räknaren. 4 När vi andas in och ut varierar luftströmmens hastighet med tiden. Vid en mätning på en person i vila gavs lufthastigheten v (t) liter/s efter t sekunder av v (t) = 0,85 sin (π t /3). a) Vad var den totala tiden för en inandning och en utandning? b) Bestäm och tolka vad v (t) beskriver i detta fall. c) Bestäm det största värdet för v (t). d) Hur förändras funktionen v (t) om personen istället joggar? 45 Dagens längd h i Stockholm varierar approimativt enligt sinusfunktionen = 49 4 + 5 π( 8) sin 4 365 där är tiden i dgn och = svarar mot januari. a) Hur lång är den längsta dagen? b) Hur lång är den kortaste dagen? c) Bestäm algebraiskt när dag och natt är lika långa, kontrollera grafiskt. d) Bestäm och tolka vad () beskriver. 46 Enligt en modell kan dagens längd h i Göteborg beräknas med funktionen = 5,5 sin (0,07 65,394) +,5 där är tiden i dgn räknat från årsskiftet. a) Bestäm funktionens period. b) Beräkna när dagens längd ökar som snabbast och hur fort den då ökar. 4 Lös ekvationen = sin. 43 Bestäm (π) om = e sin 44 Bestäm () om () = sin + cos. Förklara ditt resultat..4 Tillämpningar och problemlösning 83

47 Vattendjupet m vid en kaj ändras på grund av tidvattnet enligt ekvationen = 5,0 +,0 cos π( t ) 6 där t är tiden i timmar räknat från midnatt. a) När kan ett lastfartg som kräver 6,0 meters djup lägga till vid kajen? b) Bestäm när vattendjupet stiger respektive sjunker som snabbast samt hur fort djupet då ändras. 48 I en väelströmskrets är t tiden i s, spänningen är u = û sin (34t 0,5), û = 65 V, och strömmen är i = î sin 34t, î = 0,7 A. Ange strömmen vid den första tidpunkt (t > 0) då spänningen är 0 V. 49 Undersök och bestäm ett samband för skärningspunkterna mellan = sin + och =. 40 Vilken period har funktionen = 5 sin cos? Motivera! 4 C 7 8 3,8 9,8 Figuren visar dgnsmedeltemperaturen för en ort i södra Sverige. a) Bestäm en funktion = A sin (b + c) + d som ger denna graf. b) Beräkna och tolka (8). c) Beräkna och tolka (8). 4 Ställ upp en trigonometrisk funktion som uppfller + 9 = 0. mån 84.4 Tillämpningar och problemlösning

Aktivitet Laborera Finn en funktion Materiel: Fjäder, stativ, vikter, linjal, tidtagarur, grafräknare Häng en vikt i fjädern så den hänger stilla utan att svänga upp och ned. Detta är viktens jämviktsläge där läget i -led är 0. a) Sätt vikten i lätt svängning upp och ned. Mät tiden för 0 svängningar från viktens nedersta läge. Mät avståndet mellan viktens nedersta och översta läget. b) Bestäm med hjälp av dina mätvärden svängningens periodtid och amplitud. c) Ställ upp en funktion på formen = A sin kt som visar hur viktens läge i led varierar med tiden t s där k = π T Kontrollera din funktion med grafräknare. a) Sätt vikten i en n mindre svängning och bestäm svängningens periodtid, amplitud och funktion på formen = A sin kt. b) Jämför ditt resultat med tidigare svängning. Vilka likheter och skillnader ser du? Kontrollera gärna din slutsats med tterligare undersökningar. 3 Hur förändras svängningens periodtid om du upprepar försöket med en lite tngre eller lättare vikt? Gör först en hpotes och undersök sedan med mätningar. 4 Denna tp av svängning kallas harmonisk svängning. Teoretiskt kan man visa att svängningens periodtid är oberoende av svängningens amplitud och kan beräknas med formeln T = π m där m är viktens massa i kg k och k är en fjäderkonstant. Bestäm med hjälp av dina mätvärden fjäderkonstanten k. 5 Gör en klocka. a) Beräkna teoretiskt den vikt som ger svängningstiden s. b) Kontrollera med mätningar om din klocka går rätt..4 Tillämpningar och problemlösning 85

Tema Radiovågor En antenn kan sedan fånga upp radiovågorna till en mottagare, som sorterar bort bärvågen och överför variationerna till högtalaren. Där blir de ljud igen som vi kan uppfatta. Den första radiosändningen över Atlanten genom fördes 90 av italienaren Marconi. I Sverige startade utsändningarna av radio 93 och TV 956. T A = amplitud a = π t T = π f O T = periodtid, s Bärvåg: = A sin at f = frekvens, Hz Mast med antenner för radio, tv, tele och data. All modern kommunikationsteknik som radio, tv, mobiltelefoni etc bgger på våra kunskaper om elektromagnetiska vågor. På 860-talet lckades fsikern James Clerk Mawell formulera de ekvationer som beskriver vågornas utbredning. En elektromagnetisk våg, som t e radiovågor, utbreder sig med ljusets hastighet, ca 3 0 8 m/s. Radiovågor har hög frekvens. Med frekvens menar vi antal perioder per sekund, vilket mäts i enheten Hertz, Hz. Sambandet mellan en vågs frekvens, f, och dess periodtid, T s, är Eempel på moduleringar om ljudet som ska överföras har signalen = m sin bt. O AM-våg: = A m sin bt sin at Amplituden moduleras. t f = T eller T = f Varje radiostation sänder ut en sinusformad bärvåg med hög frekvens. På olika sätt kan vi sedan modulera bärvågen så att den bär med sig informationen om ljudet den ska överföra. Vi kan t e variera bärvågens amplitud, AM (amplitudmodulering) eller frekvensen, FM (frekvensmodulering). O FM-våg: = A sin (at + m sin bt ). Frekvensen moduleras. t 86.4 Tillämpningar och problemlösning

Eempel En radiostation sänder på en bärvåg med frekvensen 06,4 MHz. Varje sekund svänger då vågen 06,4 0 6 perioder vilket ger Periodtid, T = f = 06,4 0 9,40 6 0 9 s Om bärvågens amplitud är ger det att bärvågen kan skrivas = A sin at = A sin π T t = A sin π f = sin (π 06,4 06 t) En radiokanal sänder på bärvågen 99,7 MHz. a) Hur många perioder svänger bärvågen varje sekund? b) Beräkna bärvågens period. c) Hur lång tid tar det för radiosignalen att färdas 00 mil? Ett ungt mänskligt öra uppfattar ljud mellan 0 0 000 Hz. Vilka periodtider har de ljudvågor örat kan uppfatta? 3 En mobiltelefon tar emot signaler med periodtiden ns = 0 9 s. Vilken frekvens har denna signal? 4 En våglängd är den längd en våg färdas under en period, dvs (vågens hastighet) (vågens periodtid). Vilken våglängd har en bärvåg med frekvensen 00 MHz? 5 Ange en bärvåg på formen = A sin at som har frekvensen 00 MHz och amplituden 5. 6 En bärvåg = 3 sin 4t ska överföra signalen = sin t. Använd din grafräknare och bestäm största och minsta värde för a) AM-vågen: = 3 sin t sin 4t b) FM-vågen: = 3 sin (4t + sin t) 7 Undersök med din räknare för några olika värden på a funktionen = sin a sin 6. Kan vi få en ren sinuskurva? 8 Undersök med din räknare för några olika värden på a funktionen = sin (6 + sin a). Vad händer när a > 6?.4 Tillämpningar och problemlösning 87

Aktivitet Diskutera Sant eller falskt? Diskutera i par eller grupp. Arbeta utan räknare. Sant eller falskt? Motivera svaret. Perioden för = sin är 70 Differensen mellan största och minsta värdet för en sinusfunktion kallas amplitud. 3 π 9 rad är en större vinkel än 8. 4 sin 4 är mindre än noll. 5 Funktionen = cos 3 har minimivärdet 0. 6 Det finns två -värden i intervallet 0 π för vilka tan inte är definierad. 7 I en cirkelsektor med radien 3 cm och medelpunktsvinkeln 3 rad är bågens längd 6 cm. 8 Ekvationen cos v = 0,5 saknar lösningar i intervallet π π 9 Ekvationen tan = a har alltid en lösning, oavsett värdet på a. 0 Det finns tangenter till kurvan =, 5cos ( π ) som har lutningen. 3 Kurvan = cos ( 60 ) och kurvan = cos skär varandra tre gånger i intervallet 0 360 sin cos Om f () = π så är f ( ) = 4 Ekvationen sin = cos har lösningen = π + n π 4 88 Trigonometri och grafer

Sammanfattning Trigonometriska kurvor Sinus- och cosinuskurvor = A sin k Period: 360 /k Amplitud: A = sin, amplitud = = sin 90 = sin, period = 80 = sin ( + v) + d är från sin förskjuten uppåt om d > 0, nedåt om d < 0 åt höger om v < 0 och åt vänster om v > 0. Cosinuskurvor förskjuts på samma sätt. = cos ( + 60 ) = cos ( 30 ) 360 = cos 60 60 80 40 300 360 Kurvan = tan = tan = sin /cos Period =80 Kurvan närmar sig linjerna = 90 och = 90 där den ej är definierad. 90 Kurvan = a sin + b cos = a sin + b cos = a + b sin ( + v) = a sin b cos = a + b sin ( v) där a > 0, b > 0, tan v = b/a, 0 < v < 90 90 Radianbegreppet Ett varv = 360 = π rad, dvs 80 = π rad π = rad 0,00745 rad 80 rad = 80 π 57,3 För en cirkelbåge ger v i radianer b = v r Bågen b = v r v r Arean A = v r = b r Grundekvationerna i radianer sin = k ( k ) = v + n π eller = (π v) + n π där v = sin k cos = k ( k ) =± v + n π där v = cos k tan = k (k godtckligt tal) = v + n π där v = tan k De trigonometriska funktionernas derivator i radianer ger att = sin har derivatan = cos = cos har derivatan = sin Kedjeregeln En sammansatt funktion = f ( g ()) har = f (g()) g () ttre derivatan inre derivatan Eempel: = sin 5 = cos 5 5 = 5 cos 5 = sin = (sin ) = sin cos Tillämpningar och problemlösning I de flesta tillämpningar använder vi radianer för att få en enklare derivata. Allmän problemlösningsstrategi. Förstå problemet 3. Genomför planen. Gör upp en plan 4. Värdera resultatet Trigonometri och grafer 89

Kan du det här? Moment Begrepp som du ska kunna använda och beskriva Du ska ha strategier för att kunna Trigonometriska kurvor Sinuskurva Cosinuskurva Period Amplitud Kurvan = tan Kurvan = a sin + b cos bestämma kurvors period och amplitud skissa och bestämma sinus- och cosinuskurvor med olika förskjutningar lösa trigonometriska ekvationer och olikheter grafiskt lösa ekvationer av tpen tan a = k bestämma amplitud och förskjutning för = a sin + b cos Radianbegreppet Radian omvandla mellan grader och radianer beräkna värden och lösa ekvationer med radianer beräkna cirkelsektors båge och area. De trigonometriska funktionernas derivator Derivatan till sin och cos Sammansatt funktion Kedjeregeln bestämma derivator för sin, cos och sammansatta funktioner. Tillämpningar och problemlösning lösa olika matematiska problem och tillämpningar. 90 Trigonometri och grafer

Diagnos Trigonometriska kurvor Bestäm period och amplitud för kurvan. 0 00 Låt = 4 sin 3 a) Ange period och amplitud. b) Skissa kurvan i stora drag. c) Undersök grafiskt för vilka i intervallet 0 < < 70 som 4 sin 3 > 3 Sant eller falskt? Motivera. Funktionerna = sin och =,5 cos har lika många lösningar till ekvationen = i intervallet 0 < < π. 4 Bestäm de positiva talen A, b, c och d så att funktionen = A sin b ( + c ) + d ger grafen 00 60 5 Ekvationen tan a = har lösningen =,5 + n 90. Bestäm a. Radianbegreppet 6 Omvandla a) 0 till radianer b) 4 radianer till grader. 7 Lös ekvationen fullständigt. Svara i radianer med två decimaler. a) cos = 0,8 c) tan ( 0,5) = b) sin = 0,77 d) sin (8,) = 0, 8 Visa hur formeln för en cirkelsektors båge förändras om medelpunktsvinkeln ges i radianer istället för grader. De trigonometriska funktionernas derivator 9 Derivera a) = 5 cos 3 sin b) = 3 4 cos 0 Vilken lutning har tangenten till kurvan = 3 cos sin i den punkt där = π /? Derivera a) f(t) = 5 sin t b) = 3 cos ( + ) För vilka i intervallet 0 < < π har = cos en negativ derivata? Tillämpningar och problemlösning 3 En jordbävning till havs skapar en stor våg. Vattendjupet d m i en hamn som nås av vågen ges av d(t) = sin πt 5 0 t T där t är tiden i min och T perioden. a) Bestäm vågens period. b) Mellan vilka tidpunkter är hamnen torrlagd? 4 Nils påstår att för = 0,5 sin 3 är funktionens största värde större än derivatans största värde. Har han rätt? Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan. Trigonometri och grafer 9

Blandade övningar kapitel Del I Utan räknare Ange period och amplitud för 8 Figuren visar grafen till funktionen = A sin k + b Ange konstanterna A, k och b. (NP) a) = 3 sin b) = + 4 cos 0,5 Derivera a) = sin 5 3 cos 3 b) = ( + ) 3 3 Omvandla 7π 3 till grader. 60 30 60 0 80 4 Bestäm längden av cirkelsektorns båge. (cm) 9 Skriv i storleksordning med den minsta först. Motivera ditt svar.,0 radianer sin 5 cos π 5 4 tan π 3 4,3 5 Ange samtliga lösningar, i radianer, till ekvationen sin 3 = 0,5. 6 Bestäm det positiva talet C så att funktionen f () = C sin 5 + 8 a) får maimivärdet b) uppfller villkoret f (π/6) = 0. 7 Vilken eller vilka av nedanstående ekvationer har två lösningar i intervallet 0 π? A cos = 0,3 B sin = 0,8 (NP) 0 Derivatan till funktionen f () = sin har ett nollställe i intervallet π/ < < π Ange detta nollställe. Svara i radianer. Bestäm lutningen för tangenten till kurvan = sin i den punkt där = π/6. Vilket är det största värdet som funktionen = 6 sin + 8 cos kan anta? 3 Ge en funktion på formen = A sin k för vilken (π) =. 4 Lös ekvationen sin = sin ( + π /3) i intervallet 0 < < π 9 Trigonometri och grafer