Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har här e allmä betydelse: Glödlampor: livslägdera av 50 stycke = fördeligsfuktio för alla glödlampor av dea sort Framställig av skruvor: 50 mätade diameter = medelvärde och varias för diametrara av alla skruvor som framställs av e viss maski Skattig / Iferes Vad är det som skattas? Om populatioes fördelig är okäd: Skattig av populatioes medelvärde, varias Om ma har e uppfattig om populatioes fördelig: Skattig av e parameter θ av dea fördelig Figur: Skattig: att dra slutsatser för e hel populatio pga ett stickprov
Skattig av e okäd parameter (tex µ, σ) utgåede frå ett (litet) stickprov Receptet för skattige Skattige för θ måste vara e fuktioe av mätvärdea: = θ (x 1, x 2, x ) Till exempel: = x = 1 x i = max (x 1, x 2, x ) = x (media) Figur: Stickprov och de sökte täthetsfuktioe, som beror av e eller era parametrar = 1/ x Frå stickprovet till stickprovsvariabel Observatioera för θ beror av slumpe Stickprov x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = x 1 213 210 205 211 214 211 2 220 211 222 216 210 216 3 231 221 224 217 215 222 Stickprov styrs av slumpe, adra stickprov ger adra resultat För att få mera realistiska resultat måste ma fudera på vad som kude ha hät umeriskt värde resultat av stickprovet matematisk modell stickprovsvariabel θ
Skattige för θ ses som utfall av e slumpvariabel Stickprov: = θ (x 1, x 2, x ) Exempel: opiiosudersökig = 1000 persoer, x = 350 svarade Ja (ervatio) Sökes: adele Ja-svarare i hela befolkige (populatio)? Stickprovsvariabel: θ = θ (X 1, X 2, X ) Stickprov: p = x/ = 035 Stickprovsvariable: p = X / där X Bi(, p) Observatioera x 1, x ses som utfall av oberoede sv X 1, X som atas ha samma fördelig V (p ) = V (X /) = 1 p (1 p) p (1 p) V (X ) = = 2 2 1/ Geom att beräka fördelige för θ och dess spridig ka ma få e uppfattig av skattiges osäkerhet Vilke skattig ska avädas? Vätevärdesriktig skattig: E (θ ) = θ Exempel: skattig som ite är vätevärdesriktigt Sökes: medelvikte av skar av e viss sort i Österjö Stickprov av 50 skar söm vägas medelvikt Har ätet för stora luckor blir stickprovsmedelvärdet för hög - ma fågar ju bara de stora skar och får därmed ett systematiskt fel
Exempel: opiiosudersökig Vätevärdesriktig skattig: E (θ ) = θ Vi hade X Bi (1000, p) Vilke skattig ska avädas? Kosistes: P ( θ θ > ɛ) 0 om Ju större, desto större saolikhete att skattige θ ligger i ärhete av det saa värdet θ E vätevärdesriktig skattig är kosistet om E (p ) = E (X /1000) = 1 1000 E (X ) = 1 1000 1000 p = p lim V (θ ) = 0 Me vilke skattig går sabbast mot oll? Vilke skattig ska avädas? Eektivitet: V (θ ) < V (ˆθ) Vilke skattig ska avädas? Eektivitet: V (θ ) < V (ˆθ) E skattig med e midre varias (för samma ) är bättre riske är midre att skattige ligger lågt ifrå det saa värdet Två skattigar ka jämföras geom att deera eektivitete: V 1 V 2 = variase av de bättre skattige variase av de sämre skattige < 1
Eektivitet av två skattigar Radioaktivt söderfall Atalet partikler per tidsitervall mätades: Vi har 5 mätigar x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Vi aser dessa värde som utfall av de 5 sv X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 Vi vet att X i Po (θ), oberoede me vi käer ite till θ Eektivitet av två skattigara De två skattigar: θ = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) /5 och ˆθ = X 1 Vätevärdet av de båda stickprovsvariablera: Jämför skattigara = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) /5 och ˆθ = x 1 E (θ ) = 1 5 E (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) = 1 5 5θ = θ E(ˆθ) = E (X 1 ) = θ Båda skattigara är vätevärdesriktiga Eektivitet av två skattigara De två skattigar: θ = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) /5 och ˆθ = X 1 Variase av de båda stickprovsvariablera: Skattig av vätevärde och varias Det ka häda att vi har ige uppfattig om de uderliggade fördelige som vara mätvärde kommer ifrå Vi ka ädå skatta medelvärdet och variase V (θ ) = 1 25 V (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 ) = 1 25 5θ = 1 5 θ V (ˆθ) = V (X 1 ) = θ Skattige är robust - beror ite på ågo (förmodad) fördelig Eektivitäte hos θ relativt ˆθ är 1/5
Skattig av medelvärdet µ Skattig av variase σ 2 (om äve µ är okäd) µ = x = 1 x i = µ = X = 1 X i ( ) σ 2 = s2 = 1 1 (x i x) 2 = ( σ 2) = 1 1 ( ) 2 Xi X Vätevärdet av stickprovsvariabel µ : ( ) E (µ 1 ) = E X i = 1 E (X i ) = 1 µ = µ Varias av stickprovsvariabel µ : V (µ ) = V ( 1 ) X i = 1 2 V (X i ) = 1 2 σ2 = σ 2 / Skattige är vätevärdesriktigt och kosistet Vätevärdet av stickprovsvariabel ( σ 2) : [ (σ 2 E ) ] [ ] 1 ( ) 2 = E Xi X = σ 2 1 Skattige är vätevärdesriktigt - beakta att det delas med ( 1) Stadardavvikelse: σ = s = 1 1 (x i x) 2 (ite exakt vätevärdesriktigt) Hur får ma ett recept för e skattig? Hur får ma ett recept för e skattig? Det s olika metoder för att hitta ett uttryck för e skattig: Mometmetode Mista-kvadrat-metode Maximum-likelihood-metode Metodera behadlas i kurse Iferes Figur: Maximum-likelihood-skattig: Välj parametrara så att mätvärdea blir mest plausibla
Maximum-Likelihood-Skattig p X (x 1 ) p X (x 2 ) p X (x ) L (θ) = f X (x 1 ) f X (x 2 ) f X (x ) Exempel ormalfördelig: L(µ, σ 2 ) = 1 2πσ e (x i µ) 2 /2σ 2 = Hitta µ, σ som gör L maximalt: L µ = 0 L σ = 2 0 diskret kotiuerlig 1 (xi µ) (2πσ 2 e 2 /2σ 2 ) /2 Parametriska puktskattigar Fördelig Par Skattig Metod Referes N(µ, σ) µ µ = X ML Blom, s265 N(µ, σ) σ 2 S 2 = 1 1 S XX ML Blom, s265 N(µ, σ) σ S = S 2 ML Blom, s252 Po(µ) µ µ = X ML Blom, s270 Bi(, p) p p = X / ML Blom, s268 Exp (1/θ) θ θ = X ML Blom, s257 U(0, θ) θ θ = +1 i(x i ) ML Blom, s258 Weibull(b, c) b b = ML Blom, s258 X N(µ 1, σ) µ 1 µ 1 = X ML Blom, s266 Y N(µ 2, σ) µ 2 µ 2 = Ȳ ML Blom, s266 σ 2 S 2 = S XX +S YY (1 1)+(2 1) ML Blom, s266 X = 1 X i S XX = ( ) 2 X i X X c i Medelfelet Opiiosudersökig - e gåg till Varias för skattige p : = 1000 persoer, x = 350 svarade Ja (ervatio) Sökes: adele Ja-svarare i hela befolkige (populatio)? Stickprov: p = x/ = 035 V (p ) = D (p ) = p (1 p) p (1 p) (stadardavvikelse) Stickprovsvariable: p = X / där X Bi(, p) V (p ) = V (X /) = 1 p (1 p) p (1 p) V (X ) = = 2 2 Problem: Vi ka ite räka ut ett umeriskt värde för V (p ) för att vi har ite p!! Skattig av osäkerhete: p = p d (p ) = ( ) p 1 p 035(1 035) = 15% 1000 Vi skattar alltså adele Ja-svarare i befolkige med 35 ± 15% Resultatet ka dock förbättras (det är bara e 68% kodesitervall) - se ästa föreläsig!
Normalfördelig, medelfelet för skattig av µ Skattig för µ: µ = x = µ = X X i N(µ, σ) = X N (µ, ) σ D(µ ) = σ = d(µ ) = s där s = 1 1 (x i x) 2 Sammafattig Stickprov / stickprovsvariabel Vätevärdesriktigt och kosistet skattig Relativ eektivitet av två skattigar Skattig av E och V är fördelige okäd Parametriska skattigar (tabell) Medelfelet Istället för σ aväds dess skattig s som beräkas ur stickprovet