Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller med sfärens medelpunkt. Om mn vill förflytt sig på sfären melln två v dess punkter, så är den kortste vägen lltid en storcirkelbåge. I den sfärisk trigonometrin studerr mn smbndet melln sidor och vinklr i sfärisk tringlr, dvs tringlr vilks sidor utgörs v storcirkelbågr på en sfär. ndr cirklr än storcirklr på sfären hr mindre rdier och klls därför småcirklr. Observer tt småcirkelbågr ldrig är sidor i sfärisk tringlr! Vi väljer en xelriktning uppåt i figuren och nvänder oss v ltitud och longitud för tt nge lägen på sfären. En viktig typ v cirklr är prllellcirklrn, dvs cirklr med konstnt ltitud. Endst ekvtorn är en storcirkel, övrig prllellcirklr är småcirklr. En meridin är en hlv storcirkel med konstnt longitud. Prllellcirklr Meridin Ekvtorn
Även om det troligen är beknt för läsren, summerr vi lite om ltitud och longitud. För en ort P ser vi hur dess vinklr refererr till läget för två fundmentl storcirklr: ekvtorn respektive nollmeridinen (genom Greenwich). Ltituden nges positiv norrut, negtiv söderut (eller så mrkerr mn med N eller S). Den vrierr därmed melln 90 och 90 (polern). Longituden nges positiv österut, negtiv västerut (eller så mrkerr mn med E eller W). Longituden vrierr melln 180 och 180. Nordpolen Longitud P (ort) Ltitud Longitud Ekvtorn P:s meridin Nollmeridinen När vi tlr om vinkeln melln två skärnde storcirklr menr vi vinkeln melln cirklrns tngenter i skärningspunkten. I figuren nedn mrkers en hörnvinkel i en sfärisk tringel. nm: Denn vinkel är också vinkeln melln de pln som de två storcirklrn ligger i. I denn kurs hr vi dock inte rbett med pln och ders inbördes vinklr och vi behöver inte gör det heller i fortsättningen. v Om sfärens rdie sätts till 1 och om vinkeln mäts i rdiner, så är storcirkelbågens längd lik med centrumvinkeln. Om mn istället räknr med vinkelenheten minut, där 1 (1 minut) =1/60 grd, så får mn direkt storcirkelbågens längd på jordsfären i nutisk mil (nutisk mil klls ju också för distnsminut!). I fortsättningen nger vi därför storcirkelbågen som en vinkel (se figuren nedn!), och kn då lätt tolk den som en distns: är t ex bågen 60 = 3600 så är distnsen längs storcirkeln 3600 M (= nutisk mil). O
I fortsättningen är det underförstått tt ll storcirkelbågr och sfärisk tringlr ligger på en sfär med rdien 1. Vi nvänder en stndrd för beteckningr motsvrnde den vi hde i den pln trigonometrin. Som frmgår v figuren nedn beteckns den sfärisk tringelns hörn och hörnvinklr med, och, medn de motstående sidorn beteckns, b och c - de uttrycks också med vinkelmått enligt föregående. Sfärens medelpunkt är O. b O b c Observer tt vinkelsummn i en sfärisk tringel lltid är större än 180! Den kn i själv verket närm sig 540. Om tringeln är mycket liten, är den nästn pln och vinkelsummn är då obetydligt mer än 180. Den vänstr figuren visr en sådn tringel, den högr visr en tringel vrs vinkelsumm är betydligt större än 180. En stor vinkelsumm svrr lltid mot en stor omkrets v den sfärisk tringeln. nmärkning: Det finns en enkel formel som ger oss den sfärisk tringelns re T (dvs ren v den sfärisk yt som begränss v den sfärisk tringeln), den s. k. Girrds formel: T = + + π Här måste vinklrn nges i rdiner (det går förstås med grder, men då blir formeln fulre). Om det gäller tt beräkn ren v en sådn tringel på en sfär v rdien R, behöver mn br multiplicer med R 2. Vi kommer knppst tt nvänd formeln i denn kurs, men för den intresserde finns beviset v Girrds formel i ppendix.
För pln tringlr är det väl känt tt storleksordningen melln sidorn är densmm som melln de motstående vinklrn. Motsvrnde kn viss gäll även för sfärisk tringlr: < b < = b = En skillnd gentemot pln tringlr är värd tt nämn. Om mn känner ll sidorn i en pln tringel, kn mn bestämm ll tringelns vinklr (med cosinusstsen). Om mn däremot känner ll vinklrn, kn mn br bestämm förhållndet melln sidorn. Det finns då likformig tringlr som hr motsvrnde vinklr lik. För sfärisk tringlr däremot, kn mn både bestämm vinklrn när mn känner ll sidorn och bestämm sidorn när mn känner ll vinklrn. Det finns lltså inte två likformig sfärisk tringlr med ll motsvrnde vinklr lik men med olik stor sidor. Dett hänger förstås ihop med tt de sfärisk tringlrn ligger i en sfärisk yt med bestämd rdie. Om mn reser till månen, kn mn på dess yt hitt en sfärisk tringel som är likformig med en på jordytn men hr mindre sidor. I den sfärisk trigonometrin måste mn dock håll sig till smm sfärisk yt för tt kunn räkn på ett rimligt sätt, det nturlig vlet v rdie blir då 1 (som vi ju redn hr vlt). Någr exempel på problem som kn löss med sfärisk trigonometri: Mn färds på hvet längs storcirkeln melln två punkter och med givn ltituder och longituder. Hur långt är då vståndet melln och längs denn rutt? Vilken kurs sk mn strt i och vilken kurs håller mn då mn når? Vr på resn finns den nordligste eller sydligste punkten och på vilken ltitud? Ytterligre problemtyper kommer tt dyk upp i senre nvigtionskurser. För tt kunn lös dess och ndr problem, behöver vi ett pr stser. Dess motsvrr sinusoch cosinusstsern från den pln trigonometrin och liknr i viss mån dess. De ges här utn bevis, men åtföljd v exempel. evisen finns för den intresserde i ett ppendix. Det finns ytterligre en mängd formler och regler inom den sfärisk trigonometrin, men målet är här tt ge en grundläggnde förståelse. Vi nöjer oss därför med de sfärisk sinus- och cosinusstsern.
Sfärisk sinusstsen I vrje sfärisk tringel gäller tt sin sin = sin sin b = sin sin c Exempel 1: I en sfärisk tringel är = 95, = 38 och = 37. eräkn sidn b. c Lösning: Vi kn fstställ tt eftersom > så är även > b. Enlig sinusstsen hr vi sin b sin = sin sin b sin b = sin sin sin b 21, 8 Fllet b 180 21, 8 är inte möjligt, eftersom < b < = 37. Vi hr funnit tt sidn b 21, 8. Sfärisk cosinusstsen I vrje sfärisk tringel gäller tt cos c = cos cos b + sin sin b cos Specilfll: om vinkeln är rät, får mn cos c = cos cos b, vilket är den sfärisk motsvrigheten till Pythgors sts. Eftersom cosinus lltid ger entydigt besked om vinkeln, är sfärisk cosinusstsen tt föredr frmför sfärisk sinusstsen om det är möjligt. nmärkning: Det finns en närbesläktd formel, den s. k. dul cosinusstsen: cos = cos cos + sin sin cos c som är intressnt, eftersom den visr tt mn kn beräkn ll sidorn om mn vet ll vinklrn, vilket tidigre frmhållits som en skillnd gentemot situtionen för pln tringlr.
Exempel 2: () eräkn vståndet längs jordytn melln en ort med ltitud N23, longitud E65 och en nnn ort med ltitud N41, longitud E14. (b) eräkn kursen mn sk håll, dels vid vresn från och dels vid nkomsten till. Lösning: I dett och liknnde problem med storcirkelrutter bildr mn en nvändbr sfärisk tringel med hörn i strt och mål smt i nordpolen (figuren nedn till vänster). Observer också tt longituden för en ort blir lik med hörnvinkeln i nordpolen melln nollmeridinen och ortens meridin. Därmed blir vinkeln i hörnet lik med longituddifferensen melln ortern och. () Vi ritr upp situtionen, dels en figur med den nämnd sfärisk tringeln, dels en figur som belyser hur ltitud och longitud ger oss sidor och vinklr i tringeln. c b 90 41 14 65 90 23 41 23 Nollmeridinen Ekvtorn Då känner vi genom ltitudern sidorn = b = 90 23 = 67 och = = 90 41 = 49 smt genom longitudern vinkeln = 65 14 = 51 (se högr figuren!). osinusstsen ger nu cos c = cos cos b + sin sin b cos = = cos 49 cos 67 + sin 49 sin 67 cos 51 vilket ger c 46, 089 = 46, 089 60 2765, dvs vståndet är 2765 M. (b) De efterfrågde kursern blir nu (rit själv figurer!): 360 respektive + 180. För tt få vinkeln går det br tt nvänd sinusstsen, men mn får då vgör om det är det spetsig eller trubbig lösningslterntivet till sinusekvtionen som sk väljs. Observer också tt vi inte hr någon bestämd vinkelsumm tt utnyttj, och det kn fktiskt finns mer än en trubbig vinkel i den sfärisk tringeln! Därför tr vi istället cosinusstsen, som ger säkert besked: cos = cos b cos c + sin b sin c cos cos = cos cos b cos c sin b sin c 54, 5 cos b cos cos c cos b = cos cos c + sin sin c cos cos = 96, 8 sin sin c Därmed är kursen vid resns strt 360 305, 5 och vid dess mål + 180 277. Vi noterr även tt vinkelsummn i tringeln är 202, 3. Svr: vståndet är 2765 M, de sökt kursern är 305, 5 respektive 277.
Exempel 3: Vi ställer nu smm frågor som i föregående exempel då vi strtr i en ort med ltitud S32, longitud W 40 och nländer till en ort med ltitud N23, longitud E35. Lösning: När vi hr orter på olik sidor om nollmeridinen eller på olik sidor om ekvtorn får vi se upp med vinklrn. Mn kn räkn precis som i förr exemplet om sydlig ltituder och västlig longituder räkns negtiv. nnrs ser vi hur det blir om vi ritr figurer motsvrnde dem i exempel 2. b 40 35 90 90 23 23 c 32 Nollmeridinen Ekvtorn Vi betrktr den sfärisk tringeln med nordpolen och de två ortern och som hörn (figuren till vänster). Då får vi sidorn = = 90 23 = 67 och = b = 90 +32 = 122 smt vinkeln = 35 + 40 = 75 (se högr figuren!). osinusstsen ger nu cos c = cos cos b + sin sin b cos = = cos 67 cos 122 + sin 67 sin 122 cos 75 vilket ger c 90, 287 = 90, 287 60 5417, dvs vståndet är 5417 M. Vi beräknr nu vinklrn och för tt få kursern. Den här gången ser vi tt (rit igen!) strtkursen blir och målkursen blir 180. osinusstsen igen: cos = cos b cos c + sin b sin c cos cos = cos cos b cos c sin b sin c 62, 8 cos b cos cos c cos b = cos cos c + sin sin c cos cos = 125, 0 sin sin c Därmed är kursen vid resns strt 62, 8 och vid dess mål 180 55, 0. Svr: vståndet är 5417 M, de sökt kursern är 62, 8 respektive 55, 0.
Exempel 4: Två orter befinner sig på smm ltitud 50. Longituddifferensen melln ortern är 21. () Hur långt är det melln ortern längs prllellcirkeln melln dem? (b) Hur långt är det melln ortern längs storcirkeln melln dem? Dett är också minst vståndet längs jordytn. Lösning: () En minuts longitudsdifferens svrr inte mot smm sträck på prllellcirkeln med ltitid 50 som på ekvtorn. Vi tr red på förhållndet melln dess genom tt beräkn rdien i prllellcirkeln (ekvtorsrdien sätts till 1), se figuren! r 50 1 50 1 Vi ser då tt prllellcirkelns rdie måste vr r = cos 50, så dett är den fktor vi måste multiplicer longituddifferensens minuter med för tt få nutisk mil. Sträckn melln ortern längs prllellcirkeln blir lltså 21 60 cos 50 809, 91 M. (b) För tt få storcirkeldistnsen nvänder vi liksom i exempel 2 och 3 den sfärisk tringeln med ortern och nordpolen som hörn. 21 40 40 x Vi får nu med cosinusstsen cos x = cos 40 cos 40 + sin 40 sin 40 cos 21 x 807, 24 Svr: () 809,9 M, (b) 807,2 M.
Exempel 5: rlnd flygplts (RN) hr ltituden N59 39 och longituden E17 55, Los ngeles Interntionl irport (LX) hr koordintern N33 57 och longituden W118 24. () Hur lång är flygrutten melln ortern längs storcirkeln? Räkn på hvsnivån. (b) Om mn strtr i rlnd, vilken kurs sk mn flyg ut i? (c) Vr på storcirkelbågen melln flygpltsern finns den nordligste punkten? nge dess koordinter. Lösning: Drg storcirkelbågen melln nordligste punkten P och nordpolen. Vi får två sfärisk tringlr tt rbet med, och vinklrn vid P är rät, eftersom storcirkeln där tngerr en prllellcirkel (mrkerd i figuren). Nordpolen LX P RN Vi ser hur stor jorden är, Los ngeles är inte direkt på ndr sidn jorden! Vi sätter RN till, LX till och nordpolen till och vi gör en lite större figur med själv tringeln: e f D P c=d+e d b Med beteckningrn lt, long respektive lt, long för orterns koordinter hr vi = 90 lt, b = 90 lt, =long -long. Vd behöver vi beräkn? För tt svr på () vill vi vet sidn c, för (b) räcker det med vinkeln (kursen blir 360 ) och för (c) behöver vi sträckn f (ger oss lt P = 90 f) och vinkeln D (ger oss long P =long D). Observer tt västlig longitud räkns negtiv! Gör om minuter till decimlgrder, t ex 59 39 = (59 + 39/60).
() osinusstsen ger: cos c = cos cos b + sin sin b cos c 79, 70 Därmed är vståndet c 60 M = c 60 1, 852 km 8856 km. Vill mn t hänsyn till flyghöjden h får mn dder c 2πh, vilket för h = 11km blir c 15 km. 360 (b) osinusstsen ger oss nu även vinkeln : cos = cos b cos c + sin b sin c cos cos = cos cos b cos c sin b sin c 35, 61 Eftersom är meridinen genom RN, så blir kursen vid strt 360 324. (c) Tringeln P hr rät vinkel vid P. Sinusstsen ger då sin f sin = sin b sin 90 = sin b 1 sin f = sin sin f 17, 11 osinusstsen med rät vinkel (dvs Pythgors sts för sfärisk tringel) ger cos b = cos f cos d cos d = cos b cos f d 25, 45 och sinusstsen igen: sin D sin d = sin 90 sin b = 1 sin b sin D = sin d sin b f 58, 28 Nu hr vi lt P = 90 f 72, 89 och long P =long D 40, 36. Uttryckt i grder och minuter får vi slutligen tt orten P hr ltitud 72 53 N och longitud 40 22 W. Denn punkt ligger mitt i den grönländsk inlndsisen. Svr: () 8856 km. (b) 324. (c) 72 53 N, 40 22 W.
Övningr Större delen v dess övningr är hämtde från kompendiet Sfärisk trigonometri v Kjell örjesson, 1986. 1. Lös ut det som efterfrågs i repektive tringel. () = 34, 44, = 61, 55, = 24, 46. eräkn b. (b) b = 68, 90, c = 56, 85, = 45, 23. eräkn. (c) = 31, 15, b = 84, 32, = 8, 45. eräkn. (d) c = 28, 44, = 138, 25, = 18, 57. eräkn. (e) = 55, 16, c = 73, 68, = 47, 40. eräkn. 2. Lös ut det som efterfrågs i respektive tringel. () = 40, 67, b = 118, 32, = 161, 38. eräkn c. (b) = 69, 75, c = 54, 53, = 16, 48. eräkn b. (c) = 107, 35, b = 76, 19, c = 57, 83. eräkn. (d) = 79, 30, b = 100, 20, c = 113, 27. eräkn. (e) = 43, 58, b = 44, 17, c = 58, 38. eräkn. (f) = 87, 73, c = 126, 16, = 103, 48. eräkn b,,. (g) = 41, 17, b = 118, 93, = 163, 12. eräkn c,,. (h) = 136, 82, b = 102, 15, c = 60, 15. eräkn,,. (i) = 95, 60, b = 116, 87, c = 90, 00. eräkn,,. 3. I följnde tringlr är = 90. eräkn återstående sidor och vinklr. () = 39, 16, b = 41, 25. (b) = 57, 21, b = 49, 69. (c) b = 121, 73, c = 93, 17. 4. Melln två frtyg som båd befinner sig på ltituden S35 är longitudsskillnden 60. Frtygen styr mot vrndr längs den gemensmm storcirkeln och :s frt är hälften v :s. eräkn den distns frtyg hr tillrygglgt när de möts. 5. eräkn storcirkelvståndet melln en ort på ekvtorn med longitud E45 och en ort med ltitud 45 och longitud 0, dvs på Greenwichmeridinen. (Här kn du nvänd en rätvinklig tringel!) 6. Melln två orter på ltitud 55 är vståndet 1274 M längs prllellcirkeln. eräkn det kortste vståndet längs jordytn melln ortern. 7. () eräkn storcirkeldistns och utseglingskurs från N35 20, W74 36 till N49 10, W5 14. (b) eräkn ltitud och longitud för storcirkelns nordligste punkt.
Fcit 1. () b 15, 45 (b) 52, 29 eller 127, 71 (c) 4, 38 (d) 84, 73 eller 95, 27 (e) 59, 40 eller 120, 60 2. () c 154, 62 (b) b 21, 01 (c) 121, 16 (d) 96, 60 (e) 89, 44 (f) b 102, 21, 96, 20, 126, 56 (g) c 156, 27, 28, 37, 39, 17 (h) 137, 43, 75, 11, 59, 03 (i) 96, 28, 117, 01, 92, 85 3. () c 54, 34, 51, 01, 54, 24 (b) c 69, 49, 63, 84, 54, 50. (c) 83, 96, 84, 86, 121, 59. 4. 967 M 5. 3600 M 6. 1259 M 7. () 3077 M, 51,7 (b) N 50 13, W 20 46