CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e d kn inte beräkns ekt, eftersom det inte finns någon nvändbr formel för primitiv funktion till integrnden. Utgående från definitionen v Riemnnsummn kommer vi beskriv någr olik sätt tt pproimer integrler. I senre studio-övningr skll vi nvänd liknnde resonemng för tt konstruer primitiv funktion och lös differentilekvtioner. Riemnnsumm I Adms kpitel definiers (konstruers) integrlen f() d med hjälp v Riemnnsummn där vi hr gjort en prtition v intervllet f(c i )h i i= P : = < < < < i < i < < n = b med steg h i = i = i i och där c i är en godtycklig punkt i intervllet [ i, i ]. Integrlen är det unik gränsvärdet f() d = lim n m h f(c i )h i Att det är unikt innebär tt mn får smm gränsvärde oberoende v hur mn väljer prtitionern och hur mn väljer c i. i= Rektngelregeln Riemnnsummn är lltså en numerisk pproimtion v integrlen. Att beräkn integrlen numeriskt klls numerisk kvdrtur (numericl qudrture) och en metod för numerisk kvdrtur brukr klls kvdrturregel (qudrture rule). Nmnet kvdrtur syftr på reberäkning, dvs. tt finn en kvdrt som hr smm re som en given yt i plnet.
Riemnnsummn klls även rektngelregeln därför tt vrje term i summn är ren v en rektngel med bsen h i och höjden f(c i ), räknd med tecken. Antg tt vi väljer c i som den vänstr ändpunkten v det ktuell intervllet, dvs. c i = i, och tr konstnt steg h i = h, då får vi vänster rektngelregel i f() d = f() d h f( i ) i i= i= Om vi väljer c i som den högr ändpunkten, dvs. c i = i, så får vi höger rektngelregel f() d h f( i ) i= Tr vi istället c i som mittpukten i intervllet, dvs. = i + i, så får vi mittpunktsregeln (Midpoint Rule) ( ) i + i f() d M n = h f i=
Om vi slutligen bildr medelvärdet v vänster och höger rektngelregel får vi trpetsregeln (Trpezoid Rule) h f() d T n = (f( i ) + f( i )) i= Läs gärn om mittpunkts- och trpetsregeln i Adms kpitel.. Progrm i Mtlb Antg tt vi vill beräkn sin() d med vänster rektngelregel med n =. Vi skulle kunn gör så här >> n=; >> =; b=; >> f=@().*sin(); >> h=(b-)/n >> q=; >> for i=:n- =+i*h; q=q+h*f(); end I stället för tt nvänd en for-sts genererr vi hellre en vektor v ll funktionsvärden f( i ) och sedn summerr dess med sum enligt >> n=; >> =; b=; >> f=@().*sin(); >> =linspce(,b,n+); >> h=(b-)/n; >> q=sum(h*f((:n))); Dett sätt tt orgniser en beräkning klls tt vektoriser den, dvs. mn genererr först en eller fler vektorer och utför sedn den önskde beräkningen på dem. De komponentvis opertionern.*./.^ är eempel på vektoriserde opertioner. Uppgift. Beräkn i Mtlb en pproimtion v integrlen sin() d med vänster och höger rektngelregel smt mittpunkts- och trpetsreglern. Använd sum.
Uppgift. Skriv ett progrm min_integrl med nropet q=min_integrl(f,i,n,k) som beräknr integrlen pproimtivt. Du skll nvänd progrmsklet min_integrl.m (se studiohemsidn). In- och ut-vriblern förklrs i progrmsklet. Vribeln k skll nvänds för tt välj metod enligt:, rektngelregeln vänster, rektngelregeln höger k =, mittpunktsregeln, trpetsregeln Uppgift. Test ditt progrm min_integrl på följnde integrler. Vrier n och k, dvs. ntl delintervll respektive metod som nvänds. (). e d (b). d (c). + tn( ) d Konvergens För de metoder vi hr tittt på gäller tt smtlig är konvergent, dvs. låter vi ntl delintervll n gå mot oändligheten så går pproimtionern mot integrlens värde. Vi ser på någr bilder för vänster rektngelregel där n blir llt större n = n = n = n = Vi ser tt vi llt bättre täcker upp ytn under grfen med llt fler och smlre stplr. Nu räcker det i prktiken inte med konvergens. Vi måste få en br pproimtion på en kort tid, dvs. inte behöv t n lltför stort. För vänster och höger rektngelregel gäller tt om vi fördubblr ntl delintervll så hlvers felet i pproimtionen v integrlen. För mittpunktsoch trpetsreglern gäller vid smm fördubbling tt felet dels med fyr.
Uppgift. Vi ser på integrlen sin() d igen. Beräkn integrlen ekt (för hnd). Jämför ekt värde med de pproimtioner vi får med metodern ovn för olik ntl delintervll n. Hur stort blir felet? Tg t.e först n = och sedn n =, beräkn felen i pproimtionern och se efter hur felen förändrs. Kvdrturprogrm i Mtlb I Mtlb finns bl.. qudl för beräkning v integrler. Ett nrop v qudl kn se ut så här: >> q=qudl(@()sin(),,) vilket integrerr funktionen f() = sin() över intervllet. För tt slipp problem, t för vn tt beskriv integrnden som om du skulle rit dess funktionsgrf, dvs. tänk på som en vektor och nvänd komponentvis opertioner. Uppgift. Gör uppgift 7 i Adms.7. Ledning: Se först på eempel i Adms sid. Uppgift. Beräkn ren v det slutn området melln grfern till funktionern g() = e och h() = +. Använd fzero och qudl. 7 Redovisning Denn veck skll uppgiftern - redoviss för hndledren. 8 Inför näst vecks studio-övning Inför näst vecks studio-övning, då vi skll se på lite tillämpning v integrler, är det viktigt tt mn i förväg läser igenom teten för studio-övningen.