Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet 2.1 Ändringskvoter och begreppet derivata Ändringskvoter (sid 66-70) Om man tillryggalägger en viss sträcka Δs på en viss tid Δt så blir (såklart) medelhastigheten eller den genomsnittliga förändringshastigheter v = På samma sätt kan man tala om den genomsnittliga förändringshastigheten Δy Δx om y är en variabel som beror på x. Om funktionens graf är en rät linje känner ni igen ovanstående som linjens lutning (k-värde). Observera att denna blir samma överallt på en linje (men inte på kurvor/grafer i allmänhet). Om man slutligen tänker sig att y=f(x) så ges den genomsnittliga förändringshastigheten då x går från a till b av f(b) f(a) b a Tänk efter så ni inser att de tre formuleringarna "fångar" samma sak I uppgifterna nedan handlar det om att just räkna ut diverse förändringshastigheter. Värden kan man behöva räkna ut eller läsa av i graf eller tabell. Lös 2104, 2105, 2106, 2107, 2112, 2114 samt 2115, 2118 om man har lite högre ambition. Begreppet derivata (sid 71-76) Här handlar det om derivatans geometriska tolkning som lutning av tangent till kurva och fysikaliska som hastighet. Själva prim-beteckningen i f och namnet derivata lär ha myntas av Lagrange på 1700-talet.
Här är en illustration av sekanter som närmare sig tangentlinjen genom punkten (1,1) till kurvan f(x) = x Lös samtliga a-uppgifter och 2133, 2135, 2136, 2138, 2141. 2.2 Gränsvärde och derivatans definition Gränsvärde (sid 77-79) Här handlar det om "närmanden", och man studerar vad som händer med funktionsvärden när variabeln närmar sig ett givet värde. T.ex. kan man fråga sig vad "som händer" med f(x) = x då x närmar sig 2. Sätter man in värde på x som är allt närmre 2 ser man att x2 närmar sig 4. Denna observation skriver man lim x = 4 och man säger att gränsvärdet av x då x går mot 2 är 4. Observera att x aldrig blir 2 och att x aldrig blir 4. Vad man påstår är istället att x2 kan komma hur nära 4 som helst om bara värdet på x är tillräckligt nära 4. För att räkna ut gränsvärdet kan man dock i de flesta fall helt enkelt sätta in det tal som x närmar sig. Dock fungerar det inte om man, vid sådan insättning, skulle få noll i en nämnare. Då får man "se upp" och angripa problemet på något annat sätt, ofta genom en förenkling av det ursprungliga uttrycket. Lös samtliga a-uppgifter (2204 och 2205 med räknedosa) och 2206, 2207, 2208 (rita graferna på räknaren eller hellre med ), 2209. Derivatans definition (sid 80-82) För att bestämma lutningen i en punkt har vi tidigare studerat sekanter till en kurva. Genom att hålla en punkt fixerad och låta den andra närma sig den fixerade punkten "obegränsat" erhåller man tangentens lutning som gränsvärdet av sekanternas lutningar. Att formalisera detta (är h lika med 0 eller är det inte?) tog flera hundra år och inblandade de allra största matematikerna. Ideen är i vilket fall att definiera derivatan som gränsvärdet av differenskvoten då h går mot noll, dvs () Att det står := istället för enbart = betyder att det är fråga om en definition och alltså inget man kan räkna ut. När man sedan räknar i praktiken innebär det att man räknar på med h, förenklar (om det går) och när h väl är borta från nämnaren så sätter man det (h:et alltså) lika med noll. Man kan därmed lösa
många problem även om själva gränsvärdetsbegreppet får hänga i luften genom hela gymnasiet. Lös 2212, 2213, 2214abc (till man tröttnar), 2217, 2220. 2.3 Deriveringsregler I Derivatan av polynom (sid 83-89) Undersök vad ett polynom är, annars är risken att ni använder fel regler vid fel tillfällen. Överhuvudtaget så behandlas bevisen för räkneregler för derivator mycket sparsamt i gymnasiekursen, det handlar i princip om att motivera allmänna "regler" med enkla exempel. Framöver är det fritt fram att använda regler när ni deriverar, ni bör dock kunna härleda derivatan för andragradsfunktioner och eventuellt tredjegradsfunktioner (om det skulle efterfrågas). Lös a-uppgifter efter behov. Därefter ger ni i kast med b- och c-uppgifter. Lös även här efter behov/betygsmål Derivatan av potensfunktioner (93-95) En potensfunktion har formen f(x) = a där a är vilket tal som helst. Om a råkar vara ett positivt heltal får vi ett polynom och vi vet att derivatan då blir f (x) = a*x Det visar sig (men är ingalunda självklart) att samma deriveringsregel gäller även om a inte är ett heltal, dvs f(x) = x f (x) = a*x för alla värden på a. Observera att om a = får vi f(x) = x = x och om a=-1 får vi f(x) =, funktioner som vi nu alltså kan derivera. Den som siktar på högsta betyget kan sätta sig in i bevisen på sida 93, för övriga räcker det att kunna använda deriveringsregeln. Lös samtliga uppgifter, utom eventuellt c-uppgifterna. 2.4 Deriveringsregler II Derivatan av exponentialfunktionen (sid 98-101) Exponentialfunktioner har formen f(x) = C*a där C och a är konstanter. Blanda inte ihop dessa med potensfunktionerna, de har bland annat olika "regler" vid derivering. Man kan tänka sig många olika värden på basen a och kan tycka att a =10 är mest naturligt då man får f(x) = C 10, vilken hänger ihop med 10-logaritmen lg som vi stött på tidigare. Det visar sig dock att talet
e 2.718282828459045 faktiskt är enklare att arbeta med. Det viktigaste skälet (just nu) är att f(x) = e f (x) = e dvs med basen e blir exponentialfunktionen sin egen derivata Boken noterar också (utan bevis) att: f(x)=ekx f (x)=kex f(x) = e " f (x) = k*e " vilket alltså betyder att om man har konstant gånger x i exponenten så kommer konstanten ner som faktor medan exponenten blir oförändrad. Talet e dyker upp i många en del andra sammanhang som dock ligger utanför kursens ramar. Lös a-uppgifter tills deriveringsregeln sitter. Därefter kan man roa sig med 2413, 2415 och 2416. Resten struntar vi i. Naturliga logaritmer (sid 102-104) Eftersom derivatan av e blir särskilt enkel så kan det vara lämpligt att arbeta med basen i som någon sorts "standardbas". När man väl bestämt sig för detta är det lika naturligt att arbeta med logaritmer i basen e (som i basen 10). En sådan skrivs logaritm skrivs ln a, där ln a alltså är det tal som e ska upphöjas med för att man ska få a. Om basen e är naturlig så är det lika bra att kalla ln för den naturliga logaritmen. Logaritmlagarna (och bevisen av dem) är oberoende av bas, och alltså gäller ln(a b) = ln a + ln b ln(a/b) = ln a ln b lnap = p*ln a Lös a-uppgifter efter behov, därefter b- och c-uppgifterna, Man kan gott kika igenom samtliga om man har högre betygsambitioner. Derivatan av exponentialfunktionen y = a x Denna derivata kommer man åt med en omskrivning (som kanske känns långsökt men som faktiskt är användbar i många sammanhang) och derivatan med e i basen. Vi gör följande omskrivning ax=elnax=exlna a = e " = e " Här är ln a en konstant och kan tänkas på som k = ln a. Man använder sedan deriveringsregeln från sida 99 och får sammantaget
D(a ) = D(e " ) = ln a e " = ln a * a där man i sista steget skriver om på basen a igen. Deriverar man alltså en exponentialfunktion med annan bas än e kommer man förutom funktionen själv få med en faktor ln a (som alltså är en konstant). Lös a-uppgifterna och 2247c, 2448b, 2449 och 2452. Tillämpningar och problemlösning (sid 107-110) Här laser man texter, översätter till matematik och tillämpar gamla kunskaper. Lös 2457, 2458, 2461, 2463, 2465, 2467, 2468, 2471 och eventuellt 2472, 2473 och 2474. 2.5 Grafisk och numerisk derivering Olika differenskvoter (sid 111-113) I derivatans definition fixerar man den punkt man söker derivatan i och bestämmer sekantlutningar till punkter i "närheten" på kurvan. Oftast illustrerar man detta genom att välja en punkt h enheter till höger på kurvan. Det finns emellertid inget som hindrar att man väljer punkten h enhet till vänster. Man får då () Observera ordningen i täljaren. Ett annat sätt att angripa problem med lutningen i en punkt på en kurva är att betrakta ett intervall symmetriskt kring den aktuella punkten och successivt minska detta intervall. Man får () " Observera att skillnaden mellan x+h och x-h är 2h, därav nämnaren. Om det är fråga om att göra numeriska approximationer av derivatan är ofta den sistnämnda symmetriska varianten bäst. Lös 2503, 2504, 2506 samt eventuellt 2510, 2513. Grafritande räknare och derivators värde (114-116) Undersök så att ni kan "derivera" på grafritaren, både med inbyggd funktion och direkt i en graf. Givetvis är ett mycket bättre verktyg. Lös 2515, 2517, 2519cd och eventuellt 2522.