Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203

Transkript

1 Undervisningsplanering i Matematik KURS C (100 poäng) Kurskod: MA1203 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande som är över 20 år köper själva böcker. Räknare: TI 83 plus, grafritande räknare. De studerande köper själva sina räknare. INNEHÅLL Kursplan enligt skolverket sid 2 Betygskriterier för nivåerna G, VG och MVG sid 3 Kursinnehåll med exempel på betygskrav inom Algebra och derivator sid 4 Funktioner och kurvor sid 8 Matematikkursens syfte, karaktär och uppbyggnad enligt Skolverket. sid 9 Verifiering av betygskriterier och säkerhetskälla likvärdig bedömning sid 10 Säkerställa likvärdig bedömning sid 10 KOMVUX (10)

2 KURSINNEHÅLL MATEMATIK C 100 poäng Matematik C bygger vidare på Matematik B inom aritmetik, algebra och funktionslära. Den innehåller även differentialkalkyl. I kursen behandlas problem som gäller optimering, förändringar och extremvärden. Problemens innehåll skall så långt som möjligt ha anknytning till viktiga frågor inom de studerandes studieinriktning. Mål Mål som de studerande skall ha uppnått efter avslutad kurs Den studerande skall - kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser - kunna tolka och använda logaritmer och potenser med reella exponenter samt kunna tillämpa dessa vid problemlösning - kunna ställa upp, förenkla och använda uttryck med polynom samt beskriva och använda egenskaper hos några polynomfunktioner och potensfunktioner - kunna ställa upp, förenkla och använda rationella uttryck samt lösa polynomekvationer av högre grad genom faktorisering - kunna använda matematiska modeller av olika slag, däribland även sådana som bygger på summan av en geometrisk talföljd - känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang - kunna förklara, åskådliggöra och använda begreppen ändringskvot och derivata för en funktion samt använda dessa för att beskriva egenskaper hos funktionen och dess graf - kunna härleda deriveringsregler för några grundläggande potensfunktioner, summor av funktioner samt enkla exponentialfunktioner och i samband därmed beskriva varför och hur talet e införs - kunna dra slutsatser om en funktions derivata och uppskatta derivatans värde numeriskt då funktionen är given genom sin graf - kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel. KOMVUX (10)

3 Betygskriterier Kriterier för betyget Godkänd Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Den studerande genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Den studerande skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Den studerande deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Den studerande visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Den studerande ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Den studerande formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Den studerande analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Den studerande deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Den studerande värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Den studerande redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. KOMVUX (10)

4 ALGEBRA OCH DERIVATOR Följande moment behandlas Räkning med potenser. Räkning med rationella uttryck. Funktioner av första och andra graden. Kurvors lutning. Ändringskvoter. Derivata. Kurvkonstruktioner. Växande och avtagande. Extrempunkter. Tillämpningar. Grafitritande räknare för bestämning av rötter, maxima och minima, och derivator. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: - Lös ekvationer av typen (x + 2)(x 2) (x 6) 2 = 8 - Utveckla uttryck av typen (3x 4) 2 - Lös ekvationen t + 5 = - Bestäm f (1) om f (x) = 2x 2 - x Bestäm derivatan till f (x) = x x 2 9x Beräkna f (5) om f (x) = 3 x 4 2x Bestäm lutningen för tangenten till kurvan y = f (x) i punkten med x-koordinaten 3, om f (x) = 2x 3 5x - Ange en ekvation för tangenten i den punkt på kurvan y = x 2 som har x-koordinaten 2. Rita figur. - Den vägsträcka s m, som en kropp rätlinjigt rört sig på tiden t s har antecknats i värdetabellen till höger. Beräkna medelhastigheten i tidsintervallet från t 1 = 1,0 till t 2 = 2,5 s. - Grafen visar den vägsträcka s m, som en kropp rätlinjigt rört sig på tiden t s. Bestäm kroppens medelhastighet från t 1 = 2,0 till t 2 = 5,0 s. m s t/s s/m 0 0 0,5 0,21 1,0 0,83 1,5 1,87 2,0 3,32 2,5 5,19 3,0 7, t s KOMVUX (10)

5 - En vagn rör sig längs en rät linje. Vägsträckan s m som vagnen rört sig på t s ges av formeln s (t) = 33t - 4t 2 Beräkna och förklara i ord vad s (4) betyder. - I figuren är kurvan y = f (x) ritad. Ange tecknet för a) f (-2) b) f (0) c) f (2) d) f (7) - f (x) = x - 7x 2 Bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet 0 x 3. - I ett hörn där två murar möts avgränsas ett rektangulärt trädgårdsland av ett nät som är 28 m långt. a) Arean är y m 2. Bestäm y som funktion av x. b) Ange funktionens definitionsmängd. c) Vilken är den största arean som trädgårdslandet kan få. (m) 28-x x y m 2 Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven på VÄL GODKÄND nivån: - Lös ekvationen 4(3-3x)(8-2x 2 )= 0 - Låt f (x) = x 2 + 3x och förenkla f ( 2+ h ) f ( 2) h - Bestäm x så att f (x) = 0 om f (x) = 5x 2-30x Rita en enkel skiss av grafen till någon av de funktioner f som uppfyller följande villkor: f (3) = 1, f (3) = 0 och f (4) < 0 för alla x. - Derivera funktionen y = (3x-5) 2 - Följande kurvor har två extrempunkter. Bestäm deras koordinater och avgör om det är maximi- eller minimipunkter. a) y = x 3-12x b) y = x 3 /3 - x 2 - Härled derivatan till y = x En kran öppnas till en vattentank. Efter t h är vattenvolymen V(t) liter. Vad betyder det att a) V(0) = och V (0) = b) V(30) = V(0)/4 och V (30) = V (0)/2? - Figuren till höger återger grafiskt derivatan f (x) till funktionen f (x). a) För vilka värden på x växer funktionen f (x)? b) För vilket eller vilka vilka värden på x har funktionen lokalt maximum eller lokalt minimum? KOMVUX (10)

6 - Funktionen f (x) = x 3 - ax 2 har ett extremvärde för x = -2. Bestäm a och avgör om det är ett maximi- eller minimivärde. - Figuren till höger föreställer ett rektangulärt område som skall inhägnas på tre sidor med ett 72 m långt stängsel. Den fjärde sidan begränsas av ett vattendrag. Bestäm största möjliga area på inhägnaden. vatten - Temperaturen y C i en brandhärd ges av formeln y = 0,12t 2-0,00050t 3 + 0,025t + 10 där t är tiden i sekunder. Beräkna temperaturändringen per sekund, då temperaturen är 180 o C. - Av en plåt som är 36 cm bred ska man bocka en öppen ränna med rektangulärt tvärsnitt. Vilka mått ger största möjliga tvärsnittsarea. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven på MYCKET VÄL GODKÄND nivån: - Lös ekvationen (x 3-3x 2 ) - (2x - 6) = 0 - Låt f (x) = 6x + 1 och z = f (f (x)), bestäm x så att z (x) = 34 - Bestäm g (x), om g (x) = f (f (x)) och f (x) = 2x Bestäm ekvationen för den tangent till kurvan y = x 2 + 6x som är parallell med den räta linjen y = 2x F - Ur en stock med diametern 64 cm skall Enok såga en bjälke med rektangulärt tvärsnitt som tål största möjliga belastning. Enligt en bok i hållfasthetslära inträffar detta då produkten W = x h 2 /12 är maximal (se figur). Uttryck först W som funktion enbart av x och hjälp sedan Enok att bestämma bjälkens dimensioner. 64 x h - En plåtskiva har formen av en rektangel med sidorna 12,5 dm och 18,3 dm. Genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje hörn och sedan vika plåtskivan utefter de streckade linjerna kan vi tillverka en öppen låda. Hur stora skall sidorna i kvadraten vara om vi vill ha så stor volym som möjligt hos den öppna lådan? KOMVUX (10)

7 - I en regelbunden pyramid med kvadratisk basyta är sidokanterna 6,0 cm (se figur). Hur stor kan pyramidens volym högst vara? (cm) 6,0 FUNKTIONER OCH KURVOR Följande moment behandlas: Exponentialfunktioner Logaritmfunktioner Potensfunktioner. Aritmetiska och geometriska talföljder. Ekonomiska och naturvetenskapliga tillämpningar Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: - Ange ekvationen för den linje som i punkten (0,2) tangerar kurvan y= 5+ x 3 e x - Lös ekvationen 2 3 x = 5 - Lös ekvationen lg x = 5 - Bestäm x med tre värdesiffror: x 1,19 = 9,32 - Givet funktionen f (x) = e x - 0,5x 2-2x a) Bestäm derivatans positiva nollställe med tre decimaler med grafritande räknare. b) Avgör om detta nollställe ger ett maximi- eller minimivärde. - Hur stort blir ett kapital på 5000 kr om det förräntar sig med 10% årligen i 7 år. - Beräkna den aritmetiska summan Ange ytterligare 3 element i en geometrisk talföljd som börjar 9, Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Lös ekvationen lg 12 - lg x = lg 3 - I en geometrisk talföljd a 1, a 2, a 3,... är a 1 = 2187 och a 4 = 81. Bestäm talföljden. - I skinnet från en mammut som man funnit i Sibirien var halten av kol-14 bara 2,2% av den normala halten. För hur länge sedan dog mammuten? (Halveringstiden för kol-14 är 5730 år.) KOMVUX (10)

8 - En patient tar varje morgon medicin i form av en tablett på 20 mg. För varje dygn utsöndrar kroppen 50% av den ursprungliga mängden. Hur storstor mängd av medicinen har patienten i blodet efter n tabletter? - Adam har lovat att vid slutet av 2001 betala 8000 kr till Bertil. Men redan vid slutet av 1996, dvs fem år i förväg vill Adam göra sig fri från sitt åtagande. Hur mycket är nuvärdet av dessa 8000 kr om ränta på ränta beräknas efter 13%, d v s hur mycket bör A vid slutet av 1996 betala till B för att denne fem år senare med ränta på ränta ska ha 8000 kr? Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND nivån: - Förenkla så långt som möjligt 0,8 lg 10 a - lg 10-2a 3n/ 4 n+ 1 - Förenkla n/ 3 8 2x - Derivera a) f(x) = e ax /e bx 3 b) f(x) = 10 - År 1990 var världskonsumtionen av mineralolja ton. Den totala råoljereserven på jorden uppskattades då till ton. När tar råoljan slut, om förbrukningen a) ökar med 4% årligen b) minskar med 4% årligen? KOMVUX (10)

9 MATEMATIKÄMNETS SYFTE, KARAKTÄR OCH STRUKTUR SYFTE Utbildningen syftar till att ge kunskaper i matematik för studier inom vald studieinriktning och för fortsatta studier. Utbildningen skall leda till förmåga att kommunicera med matematikens språk och symboler, som är likartade över hela världen. Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor. Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik. KARAKTÄR OCH STRUKTUR I matematik arbetar man med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga. Resultaten av bevisen formuleras som satser eller samband, som visar hur begreppen kan användas. Nya begrepp införs som följd av frågeställningar i tillämpningsämnen eller av idéer inom matematiken som sådan. Problemlösning, kommunikation, användning av matematiska modeller och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som genomsyrar undervisningen. Tillgången till tekniska hjälpmedel har delvis förändrat matematikämnet. Såväl numeriska, grafiska som algebraiska metoder utnyttjas och nya typer av problem av mer sammansatt karaktär kan studeras i ämnet. De tekniska hjälpmedlen har dock begränsat värde utan kunskaper om begrepp och metoder. Förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser är grundläggande i gymnasieskolans matematikämne. En viktig del av problemlösningen är att utforma och använda matematiska modeller och på olika sätt kommunicera om de matematiska idéerna och tankegångarna. Både i vardagsliv och yrkesliv behöver allt fler kunna förstå innebörden av och kommunicera om frågor med matematiskt innehåll. Matematikens kraft som verktyg för förståelse och modellering av verkligheten blir tydlig om ämnet tillämpas på områden som är välbekanta för eleverna. Kunskaper i matematik är ofta en förutsättning för att målen för många av karaktärsämnena skall uppnås. Matematikämnet i gymnasieskolan är uppbyggt av flera områden: aritmetik, algebra, geometri, sannolikhetslära, statistik, funktionslära, trigonometri samt differential- och integralkalkyl med differentialekvationer. Vissa av dessa områden behandlas i olika omfattning i grundskolans matematikkurs och fördjupas och utvecklas i gymnasieskolan. Nya områden införs, fördjupas och breddas successivt i gymnasieskolan. I ämnet matematik ingår fem kurser, Matematik A-E, som bygger på varandra. KOMVUX (10)

10 Säkerställa likvärdig bedömning För att säkerställa betygsättningen använder vi oss av skolverkets nationella prov. Några av dessa är frisläppta och kan därför användas för att diskutera proven i förhållande till kursplanerna Ett flertal grupper med lärare och lärarutbildare är involverade i problemkonstruktion, utprövning och kravgränser av de nationellt fastställda kursproven. Dessa personer är också med i diskussioner om poängsättning och helhetsbedömning. Provens och bedömningsanvisningarnas utformning och innehåll bygger på utprövningar samt erfarenheter och synpunkter från lärarenkäter. För att ytterligare säkerställa tolkningen av skolverkets nationella prov för vi en kontinuerlig dialog med Nils Ericsonsgymnasiets matematiklärare. KOMVUX (10)