Finns det en nturmetod i mtemtikundervisningen? Bengt Ulin är lektor vid högskoln för lärrutildning i Stockholm och mtemtiklärre vid Kristofferskoln i Bromm. Här ger hn motiv för och förslg till innehåll i en nturmetod för mtemtikundervisning. Som eknt finns det nturmetoder som med frmgång nvänds vid undervisning i främmnde språk. En metod för läsinlärning klls LTG: läsning på tlets grund, dvs en metod som vill ygg på rnets sätt tt tl, på tlets ntur. Finns det en nturmetod för oss som undervisr i mtemtik? Visst orde det finns en sådn! All undervisning ör först och främst utgå från rnets hel ntur. Det orde vr självklrt tt ll pedgogik skll h sin rötter i elevens utveckling, en process som pågår under hel skoltiden. Vi måste vr förtrogn med viktig utvecklingsskeden som puerteten. Inom rmen för den llmänn grund som en kunskp om människn skll ge ställer oss fckämnen inför specifik frågor. När en klss övr rättskrivning, ekvtionslösning, skriver uppsts eller skll komponer ffischer till en teterföreställning, rör det sig om ktiviteter v olikrtde slg. J, redn inom ett och smm ämne, exempelvis svensk eller mtemtik, ryms övningr som ktiverr elevern på helt olik sätt. För tt komm till en nturmetod i skolmtemtiken måste vi därför li förtrogn med mtemtikens egen ntur, lär känn de olikrtde kvliteter som präglr skild slg v mtemtisk prolemlösning. Mtemtik i skoln - prolemlösning Det finns mång som tänker på räkning när de hör ordet mtemtik. En mtemtiker är en person som räknr, som (ännu snävre etrktt) kn räkn ut någonting, ett vstånd eller en vinkel eller en kostnd. Men mtemtik hndlr om prolemlösning, och det ligger en djup snning i ett yttrnde v den frmstående mtemtikern Pul Hlmos: The computer is importnt, ut not to mthemtics. Prolemlösning inneär tt komm på en idé eller rent v fler idéer. Att kunn räkn är ett hjälpmedel för tt nå ett kvntittivt resultt eller för tt gör förundersökningr. Att komm på en idé måste mn fktiskt gör själv. Mn kn visserligen få hjälp v ndr, men den vgörnde tnkelixten måste ju slå ned i en själv. Den äst hjälpen är det egn sökndet, ens egen strävn. Genetisk undervisning Ju äldre elevern lir, desto strkre växer sig ett erättigt ehov v tt få klr v uppgifter på egen hnd. Att lös ett prolem med en h-upptäckt ereder en lldeles särskild glädje. För tt ge en grupp tonåringr riktigt r tillfällen till självständigt rete och egn upptäckter lät den tyske didktikprofessorn Mrtin Wgenschein elevern undersök om det finns hur stor primtl som helst. Efter en skolvecks kmp (en heltimme per dg) hde gruppen upptäckt tt svret är j, och den hde efter viss irrfärder funnit smm vckr evis som en gång Euklides. Någr månder senre skrev en v deltgrn i ett rev till lärren: Mtemtik hde för mig vrit inegreppet v långtråkighet och nu kunde jg knppt förstå tt denn härlig upplevelse också kunde het mtemtik... 122 Nämnren 100
Wgenschein kllr denn form v undervisning för genetisk undervisning: den föds i elevern själv i lektionerns nu. Vi skulle vr i en idelsitution om ll kunskper, förmågor och färdigheter kunde förvärvs på dett genetisk sätt. Men i motsts till primtlen är inte lektionern oegränst mång, och därtill kommer tt elevern retr i olik tkt och med strkt vriernde förutsättningr. Vidre måste en hel del kunskper övs in, övs och repeters och efästs, så tt de lir retsverktyg för nödvändig rutiner. Här lir vi medvetn om två poler i mtemtikundervisningen: å en sidn eleverns eget skpnde, å den ndr en lärrledd träning i rutiner. Den förr polen kn urrt i ett mycket egränst kunnnde, den senre kn ge elevern led vid lott tnken på räkning. Vid sidn v denn didktisk polritet finns en nnn, mtemtisk, nämligen tvåflden v ren mtemtik och tillämpd. I ren mtemtik frågr vi inte efter ett prktiskt resultt, här hr vi l'rt pour l'rt. I den tillämpde mtemtiken ygger frågeställningen på en prktisk uppgift. Det rör sig inte om ett pr sttisk tvåflder. Tvärtom, det hndlr om duliteter som hr efruktt vrndr och ör gör det i hög grd i skolmtemtiken. Någr historisk perspektiv Den erömd Rhind-ppyren från 1800- tlet före Kristus vittnr om tt ren och tillämpd mtemtik lnddes i Fornegypten. Prolem 2, tt del 2 röd på 10 personer, vr en prktisk uppgift som krävde en ritmetisk lösning och Prolem 22, tt kompletter 2/3 + 1/30 till 1, vr en ren räkneuppgift som kunde dyk upp i vrdgen. Ännu fler århundrden efter tillkomsten v Ppyrus Rhind hde de egyptisk skrivrn och de tillhörde eliten möd med de fyr räknesätten, och dett redn i ehndlingen v hel tl. Ppyrus Rhind och likrtde dokument vr en smling ruksnvisningr när det gällde mtemtisk eräkningr. Dess recept vr okänd för folket, men skrivrn utilddes i konsten tt nvänd dem. Kunnndet reducerdes med tiden till en teknik, vrs utövre inte längre visste hur räknemetodern livit härledd, j inte ens kände till vilk formler de yggde på. Det är intressnt tt gör en jämförelse med elevern och ders skolsitution i dg. I åtminstone de tre lägst årskursern, men ej sälln högre upp, rotts vår elever precis som fornegyptern med heltl och räknesätt men med vårt överlägsn positionssystem till sitt förfognde. Under dess år och de närmst följnde skll elevern tillägn sig en rd räknerutiner och lär sig diverse regler. Det är en känslig process. Här och vr smyger sig felktig tnkeformer in, en del elever stelnr i ett efterhärmnde som medför tt de i en högre årskurs lir helt ställd redn vid en oetydlig vrition v en frågeställning. Därmed är vi tillk vid den didktisk polriteten melln eleverns egen ktivitet och lärrens demonstrtion. Hur fortstte det historisk perspektivet? Liksom i Fornegypten utgjorde mtemtikkunnig en elit även i Tvåflodslndet och sedermer i Greklnd. Men efter tt h lärt åtskilligt v egyptier och ylonier tog grekern mtemtiken i egn händer. De sökte sig frm till egn upptäckter och evis. De ville inte sätt tilltro till forn uktoriteter och utvecklde den självmedvetn tnkekrft som sedn dess präglt mtemtiken, den krft som ger oss säkerställd visshet: jg vet tt jg vet. I och med puerteten intensifierr ungdomrn den process som skll led till frigörelse från uktoritet och vuxeneroende. Individuell ktivitet och omdömesildning lir llt viktigre. I fortsättningen skll vi nu se på någr mtemtikuppgifter som kn vr ägnde tt möt elevern på hög- och gymnsiestdiern i ders sitution. Nämnren 100 123
Att gör en upptäckt Till de tidigre grekisk mtemtikern hörde Pythgors och hns elever. De enggerde sig strkt i heltl och heltlsförhållnden. De geometriserde tlen till figurerde tl, punktkvdrter, punktrektnglr, -tringlr, -femhörningr, etc. (Figur 1) Figur 1 Eftersom ilden, åskådningen, etydde så mycket för grekern, kom geometrin tt sätts högst. De studerde formförvndlingr och lev skicklig i tt omvndl en figur utn tt ändr dess ytinnehåll. Dett är ett tem än i dg, när det gäller tt härled formler för ren v cirkeln och en del månghörningr, exempelvis prllelltrpetset. Låt oss se på hur elevern kn t sig n det prolemet. D C Figur 2 A Figur 2 Figur 2c A D h E C B F B Figur 2d Figur 2e I fig 2-e ser vi fem förslg som elevern hittt, inte lltid i en och smm klss. I fig 2 är ren uppdeld på en rektngel och två tringlr, i fig 2 på prllellogrm + tringel. I fig 2c går EF prllellt med AD och delr BC på mitten. Tringeln nere till höger är flyttd, så tt trpetset förvndlts till en prllellogrm. I fig 2d är tringeln uppe vid vskuren och vriden ner till slinjen. Metoden i 2e är tt fördul trpetset till en prllellogrm. Hur kommer vi nu till en formel? I fllet 2 får vi förenkl h + ( ) h 2 till ett enklre uttryck; i fig 2c finner vi tt längden AE = DF är medelvärdet + 2 vrefter vägen är fri. I fig 2d kommer vi direkt till uttrycket ( + )h 2 och detsmm gäller fll 2e. Uppdelningen 2, som mång i örjn höll för tt vr särskilt lovnde, visde sig vr knepig tt omsätt i lger. All vägrn ledde inte lik lätt till Rom, men de flest v dem vr rätt frmkomlig och ledde till målet ( + )h 2 Någr elever fnn 2 vr det enklste sättet, ndr tyckte tt 2d vr elegntst och somlig tt 2e vr smrtst. 124 Nämnren 100
På lärrhögskoln i Stockholm hr mtemtikinstitutionen mottot Tänk rätt på fler sätt. Riktt till en hel klss i mtemtik lir dett motto ett utmärkt didktiskt ledmotiv. Andr r motiv är: Upptäck något! och Giss! Ingen ehöver li ledsen för tt giss fel en inkörsport till tt inte heller ett tnkefel ts så trgiskt. Att försök upptäck något eller tt giss något ppellerr till ll i klssen och särskilt glädjnde är det förstås tt upptäck den nyckel som öppnr prolemlösningslåset. Här ett exempel som skll vis tt mtemtik inte är räkning. Det erömd tornet i Hnoi Figuren ovn visr Hnois torn, välkänt från mång öcker om rolig mtemtik, mtemtikgåtor o.d. Ett torn med llt mindre rickor mot sin topp skll yggs upp på en nnn v de tre pinnrn, vrvid den tredje pinnen skll utnyttjs som hjälppinne. Vid vrje flyttning får mn t en rick, och en större rick får ldrig läggs på en mindre. Uppgiften är tt estämm minimintlet flyttningr som funktion v ntlet rickor. Ännu i årskurs 9 torde elevern vilj gå direkt till prktisk undersökningr. Men åtminstone på gymnsiet skulle vi kunn örj med tt fråg oss, om vi skulle kunn finn någr fser i överflyttningsprocessen. Det duger inte tt r räkn ntlet flyttningr, det gäller tt om möjligt finn en struktur i flyttningrn. (För det prktisk utförndet ehövs ing pinnr. Det räcker med exempelvis fyr krtongitr v olik storlekr och färger.) Så småningom märker vi det som strx förefller självklrt och därför knske oviktigt: ottenrickn måste flytts. Denn Nämnren 100 flyttning ildr ett slgs mitt: dessförinnn måste det närmst lägre tornet yggs upp, och efter det tt ottenrickn flyttts måste det lägre tornet yggs upp en ndr gång, nämligen på ottenrickn. J, därmed är lösningen i full gång! Vi kn nämligen formuler följnde resultt: Minimintlet flyttningr = 2 ggr (minimi-) ntlet flyttningr v det närmst lägre tornet plus 1. I mtemtisk text: A n = 2A n 1 + 1 och vi hr funnit en sk rekursionsformel, med vrs hjälp vi kn erhåll vilk ntl A n som helst: ur A 1 = 1 följer A 2 = 3, A 3 = 7, A 4 =15, etc. Men vilket jo tt räkn frm A 100 eller något ännu större tl, invänder någon. Måste mn steg för steg räkn sig frm till A 100? Finns det ingen direktformel? Någr hr upptäckt tt tlen 1, 3, 7 och 15 ligger 1 under fördulingstlen 2, 4, 8 och 16. Formeln måste vr A n = 2 n 1 hävdr de. De prövr med n = 5, 6 och 7 och får ekräftelse. Men är formeln säkrd? Nej, ränt rn skyr elden; de hr sett exempel på hur en regelundenhet kn spår ur... Men ett induktionsevis, rätt enkelt, grnterr tt formeln är riktig. Och nu är vi helt inne på en tredje dulitet i mtemtiken, den llr viktigste och med stor etydelse för skolmtemtiken: polriteten melln induktivt och deduktivt tänknde eller, enklre uttryckt, melln fntsi och logik. Fntsi och logik Prolemlösning omfttr en stor repertor v tnkeformer, lltifrån ningr och hugskott till logisk kedjor och tnkekontroll. För tt komm igång måste vi få tg på något uppslg, och för tt säkerställ ett resultt ehövs medveten kontroll, oft v logisk evisföring. Formeln A n = 2 n - 1 för Hnois torn är ett 125
exempel på hur en (knske turrtd) upptäckt i ett siffermteril lir strtlocket för lösningen. Men mn är i mål först sedn formeln evists, först sedn vi säkerställt formeln med logiskt tänknde. Kn fntsin övs på redre front än för gissningr och upptäckter? J visst. Låt oss se på följnde nästn leketonde uppgift: Vi skriver exempelvis 4 nturlig tl i redd, säg 7 12 5 1. Vi dderr nu ngränsnde tl två och två och skriver summorn på rden nednför. Dett uppreps två gånger tills vi lndr på ett sist tl, ett ottentl. I exemplet här får vi resulttet 59. 7 12 5 1 19 17 6 36 23 59 Frågn är nu: kn mn på något enkelt sätt förutsäg om ottentlet lir udd eller jämnt? Utredningen kn gärn örj med 4 givn tl, sedn fortsätt med 5 tl. Därefter kommer mång elever utn nmning tt vilj t steget ut till full generlisering. I en rtikel med titeln En ritmetikuppgift med mång utlickr i Nämnren nr1 82/ 83 hr jg närmre skildrt klssens rete med dett prolem. Jg egränsr mig här till följnde spekt. Elevern måste örj med tt sml ett siffermteril, de måste välj egn exempel. Frågn lir då: hur skll exemplen väljs, dvs hur skll vi välj utgångstlen? Här gäller det tt komm på idéer hur mn med fördel skll vrier exemplen så tt det skll li möjligt tt komm på någon teori ur det smlde siffermterilet. Här kommer fntsin till sin rätt, inte en vild fntsi utn en som npsss till uppgiften. Elevern förstår tt vritionen från exempel till exempel ör görs så liten som möjligt. Mn kn yt ut ett v utgångstlen eller låt två utgångstl yt plts. På så vis lir mtemtisk metod mönsterildnde för nturvetenskp, medicin, m fl forskningsfält. Hur kn vi då trän det logisk tänkndet? Det kn och ör görs på olik sätt. Emellnåt hndlr det om tt presenter ett evis. Det gäller då tt undvik en guidertd demonstrtion; snrre kn en sokrtisk dilog med frågor li fruktr. När en klss en gång fick se ett evis för tt ll tringlr är likent flög två elever upp och egärde med eftertryck tt få gå ut ur rummet för tt i lugn och ro kross det edrägeri som de måste h vrit med om, men som de inte omedelrt kunde genomskåd. På senre år hr mtemtikundervisningen fått ett utmärkt mteril när det gäller logisk träning - och jg tänker då på gymnsiestdiet. I Högskoleprovet, som ges två gånger per år för söknde till universitet och högskol, ingår ett delprov, NOG, där det hndlr om logiskt tänknde. Det gäller tt edöm, huruvid nog med informtion givits för tt mn skll kunn lös en mtemtiskt formulerd uppgift entydigt. Ett exempel: I en elmätre finns en skiv som snurrr fortre och fortre, ju fler energikrävnde pprter som koppls in. På skivn finns ett märke så tt mn sk se hur fort den snurrr. Skivn snurrr 120 vrv per kilowttimme. Hur stort vr effektuttget vid ett tillfälle då skivn snurrde med konstnt frt? (1) Skivn snurrde 10 vrv på 10 sekunder. (2)Skivn snurrde så tt märket på dess knt rörde sig med en frt v 0,11mpersekund. Tillräcklig informtion för lösningen erhålls A i (1) men ej i (2) B i (2) men ej i (1) C i (1) tillsmmns med (2) D i (1) och (2) vr för sig E ej genom de åd påståenden. Det gäller lltså inte tt eräkn effektuttget utn tt kryss för vilket v de fem svrslterntiven A-E som är snt eträffnde tillräcklig informtion utöver den som ges i uppgiftspresenttionen. 126 Nämnren 100
Det äst med denn typ v uppgifter är tt det rör sig om ett centrlt område för mtemtiskt tänknde: hr jg tt gör med tillräcklig förutsättningr eller enrt nödvändig? Att undersök förutsättningr för lösning v ett prolem är verkligen v störst etydelse i mtemtiken. Trots dett ägns lldeles för litet uppmärksmhet, om ens någon, åt undersöknde rete v sådnt slg i gymnsiet. Den uppgift som här citerts hr även en nnn god egenskp. Den är i princip en uppgift i tillämpd mtemtik och knyter n till något som vi känner till i vrdgen. I klssrummet ehöver ingen tidspress råd som under provets genomförnde. Tvärtom, mn kn med fördel ygg ut uppgiftern så tt elevern skll motiver vlet v svrslterntiv och föreslå kompletteringr v känd dt i de fll då en v uppgiftern (1) och (2) är otillräcklig och då inte ens åd uppgiftern räcker till. Det vore önskvärt tt ordentligt med tid kunde ägns åt nlys v mtemtisk påståenden v typen Om A gäller, så gäller B och v typen Om och endst om C gäller, så gäller D. I det förr fllet är A ett tillräckligt villkor men i regel inte nödvändigt. I de fll då ett villkor är åde nödvändigt och tillräckligt (C i den senre versionen) nvänds formuleringen om och endst om. Att skilj melln nödvändig och tillräcklig villkor är inte så lätt, och dess åd typer förväxls ilnd i offentlig detter. Prktisk prolem och etnomtemtik Till en nturmetod i mtemtikundervisningen hör givetvis uppgifter som hämts ur vrdgens prktisk smmnhng, ur etnomtemtiken, som det rukr het. Även på dett område kn Högskoleprovet, närmre estämt dess DTK-del, ge oss ett utmärkt prolemmteril, vrvid uppgiftern hndlr om tt ur dt, teller och kurvor erhåll upplysningr som möjliggör svr på ställd frågor. Det fin med uppgiftern är tt de hr en utentisk prägel Nämnren 100 i motsts till en del gängse prolem som förefller vr skrivordsprodukter, fjärrn från livet. I den tillämpde mtemtiken, ett område som är speciellt viktigt under eleverns puertetsår, ör prolemen vr äkt och ktuell, helst hämtde ur nuets ktulitet, Dgspress, rdio och TV, speciellt nyhetssändningrn, ger vrje dg mteril v intresse, som t ex följnde, som (nästn i skrivnde stund) kunde hämts ur en TTsändning den 6 juli 1991: Där hette det, tt vr tredje grvid kvinn i Sverige är rökre och tt endst vr tionde v dess förmår gör uppehåll i rökningen under grviditeten. Mn kn då - osökt - fråg: hur stor råkdel v kvinnorn röker ej under grviditeten? En något knepigre uppgift (från Godmorgon världen, P1 19.8.1990): Där sdes tt "1/8 v världens muslimer är rer" och tt "10% v rern är ickemuslimer." Ungefär i stil med Högskoleprovet kn vi här fråg om det går tt räkn ut förhållndet melln ntlet rer och ntlet muslimer. De flest mediuppgiftern leder till prolem rörnde procent. Ju mer omväxlnde etnomtemtiken i skoln kn li, desto ättre. Till sist rörnde dett kursområde: Det måste omftt hel skoltiden. Det går tt ställ trevlig prolem redn i årskurs 1, åde i ren och tillämpd mtemtik. Innn vi återgår till frågn om nturmetod vill jg på det återstående rtikelutrymmet t upp någr spekter på mtemtik, ntur och konst. Mtemtik, ntur och konst Vi lever i en tredimensionell omgivning, prägld v den rät vinkeln. Från ett husygge kn vi hämt mång r geometriprolem, som ger elevern tillfälle tt nvänd sin kunskper om likformighet, Pythgors sts etc. Sedn örjn v 60- tlet hr jg sprt Hedström Öije Mtemtisk uppgifter i relexmen vt 107 127
vt 1961. Liksom Högskoleprovet innehåller denn prolemsmling en rd relistisk uppgifter. I geometrivsnitten förekommer en vill som skll isolers, en pump som skll försörj ett trädgårdslnd med vtten, ett frtyg som efinner sig på spning i öppen sjö och en häftig snöstorm som hr vållt isildning på telegrfledningen utefter Riksgränsnn. En relism lik strk som hos Bellmn och Tue, men givetvis utn poesin hos dess trudurer. Det finns dock åtskillig områden v tillvron där mtemtik är smmnvävd med åde skönhet och relism. Verkligheten överträffr dikten, rukr det het. Besnns inte dett när vi ser på en genomskuren Nutilus-snäck, en solros eller ett välformt lomkålshuvud? (Fig 4-6) Blomkålen visr en rkitektur, där vrje spirl själv innehåller lomkålshuvuden i mindre skl, dess visr i sin tur spirler v ännu mindre huvuden osv, änd tills ögt inte längre kn urskilj detljern. Även i solrosens korgr är spirlern logritmisk och där finns två system v spirler, ett medsols och ett motsols. Figur 6 Figur 4 I Nutilus-snäckn möter vi den logritmisk spirlens rkitektur, genomförd med ytterst precision. Figur 5 Vi hr räknt ntlet spirler hos skolträdgårdens solrosor och funnit 21 spirler motsols och 34 medsols. Hos ännu större solrosor lir dess tl 34 resp 55 eller 55 resp 89. Ser inte dett märkligt ut? Jättestor exemplr hr 89 resp 144 spirler och världsrekordet lyder på 144 resp 233. Dess tl ingår i den erömd tlföljden 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Tlen lnserdes v mtemtikern Fioncci (1200-tlet) och klls efter honom Fioncci-tl. Vrje tl fr o m det tredje är summn v de närmst föregående två tlen. Åtskillig ndr exempel kunde nförs, exempel som vittnr om hur tlen, heltlen, kn vr konstitutionellt invävd i nturen. På ett förluffnde sätt dök kvdrttlen upp då schweizren J.J. Blmer undersökte proportionern melln de våglängder som vår lndsmn Anders Jens Ångström uppmätt hos fyr vätespektrllinjer, nämligen värden H = 6562,10 Å H = 4860,47 Å H c = 4340,1 Å H d = 4101,2 Å 128 Nämnren 100
Blmer fnn tt H : H : H c : H d = 3 2 4 2 5 2 6 2 3 2 2 2 4 2 2 2 5 2 2 2 6 2 2 2 Därmed är vi tillk hos pythgoreern, som ju höll heltlen för tt vr konstituernde i tillvron. När elevern i en klss efter sex, sju timmrs rete med stereometrisk konstruktioner får t kristller i olik färger i hnden och med egn ögon se den geometri som de förut utvecklt, infinner sig en välgörnde tmosfär v häpnd, en pythgoreisk stämning! Det är snnolikt tt Pythgors vr den förste i historien tt spår upp tl i musikens värld, då hn knäppte på sitt monokord och lyssnde till tonintervllern. Det visde sig tt de fem först heltlen, 1,2,3,4 och 5 ygger upp den ditonisk skln från grundtonen till dess högre oktv. Oktven svrr mot förhållndet 2:1, kvinten mot 3:2, kvrten mot 4:3, etc. Septimens förhållnde är 15 8 = 3 5 Den är rätt dissonnt. 2 4 Strkt dissonnt, som en mulnssignl, är djävulsintervllet tritonus, steget om tre heltoner från exempelvis c till fiss. Dett intervll är irrtionellt (roten ur 2), dvs outtlrt med heltl. Denn kvdrtrot som först uppträdde i smnd med kvdrtdigonlen, kom tt skk pythgoreerns filosofi. En kris som lev särskilt fruktr under de senste 200 åren v mtemtik och fysik. Vd ör ingå i en nturmetod? En nturmetod ör t hänsyn till och ge rättvis åt 1. människns ntur, dvs eleverns utvecklingsehov 2. mtemtikens ntur 3. tl och former i nturen 4. tl och former i det som människn skpt, även i konsten Punkt 1 och 2 motiverr skolmtemtikens huvudkrktär tt vr övningsämne. Det som främst ör övs är tnkeförmågn, förmågn tt lös prolem. Punkt 1 och 4 kräver tt vi ger ordentligt utrymme åt tillämpd mtemtik. Punkt 3 och 4, slutligen, förnleder oss tt etrkt skolmtemtiken även som något v ett orienteringsämne. Och med orientering sk då inte mens en mer eller mindre färglös informtion utn något som är ägnt tt ge liv åt undervisningen och öppn fönster för elevern ut i världen. Till punkt 1 ör vi också räkn glimtr ur mtemtikens histori, glimtr om mtemtiker och ders idrg till utvecklingen v åtminstone västerländsk etrktelsesätt. Sådn glimtr lir vitminer som ökr eleverns ptit och förättrr tmosfären i lektionsretet. Den genetisk metoden för tt t ännu en ild kn emellnåt ge oss uppvindr i retet och ge elevern upplevelser som stimulerr dem tt med större positivitet t sig n de mindre hisnnde rutinövningr som tillhör skolvrdgen. Någr litterturtips SIGMA, En mtemtikens kulturhistori (FORUM) Kline, M. (1968) Mtemtiken i den västerländsk kulturen. Prism. Onstd, T. Fioncci-tllene. Normt, Nordisk mtemtisk tidskrift, nr 1, 1991. Midonick, H. The Tresure of Mthemtics, del 1 och 2 (Pelicn Books) Ulin, B. Att finn ett spår. Utildningsförlget. Dhl, K. (1991) Den fntstisk mtemtiken. Fischer & Co. Nämnren 100 129