" e n och Newtons 2:a lag

KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar t Problem: Antag att en liten kula sitter fast i ett snöre vars ena ände är fast och kulan kan röra sig runt i en cirkelbana i vertikalplanet. Undersök hur snörspänningen T varierar i olika lägen. Undersök speciellt skillnaden mellan det största och minsta spänningen i snöret. Lösning: ita krafter, finns det friktion? Nej! Bara konservativa krafter!! Naturliga systemet: a = v e t + v 2 " e n och Newtons 2:a lag säger: m v 2 = T + mgsin" och m v = "mgcos#. I första ekvationen finner vi snörkraften. Den är tydligen: T = m v 2 " mgsin#. Vi vet inte hur farten varierar i olika lägen. Energiprincipen med nedersta läget som referens: 1 2 mv 2 +V = 1 2 mv 2 +V. Om vi betraktar en kula som i nedersta läget har en viss fart v och en potentiell energi V =, erhålls

1 2 mv 2 + mgz = 1 2 mv 2, där z = sin" +. " v 2 % Dvs vi har: $ # & ' = " v 2 % $ ' ( 2g( 1+ sin) ). Sätter vi den nya # & informationen om farten i uttrycket för snörspänningen får vi: "" T = m v 2 % % $ $ ' ( 2g( 1+ sin) )' ( mgsin) eller ## & & " T = m v 2 % $ ' ( 2mg ( 3mgsin). # & Det minsta värdet fås i översta läget: " T min = m v 2 % $ ' ( 5mg>. # & Om v är tillräckligt stor skall allt gå bra. Vi har slutligen det största värdet " T max = m v 2 % $ ' + mg # & som ger T max " T min = 6mg. 2

3 A B v Problem: Två lika partiklar är förbundna med en lätt stång i figuren. Antag att de släpps i sin ursprungs-position och får glida (i ett vertikalplan) på det glatta underlaget. Beräkna sedan partiklarnas fart då partikel A når ursprungsläget för partikel B. Lösning: Ingen friktion innebär att den totala mekaniska energin bevaras. T + V = T 1 + V 1. I ursprungsläget har vi bara potentiell energi hos partikel A. T + V " + mg. I slutläget har den lägesenergin förvandlats till en gemensam rörelse med energin: T 1 + V 1 " 2# m 2 v 2 +. Att energin har bevarats innebär att: mv 2 = mg, dvs v = g.

4 A k m B Problem: En hylsa med massan m släpps i läget A och glider friktionsfritt längs den kvartscirkelformade ledstången i ett vertikalplan. Bestäm farten hos hylsan när den nått läget B i figuren. Beräkna även den maximala deformationen x av fjädern på grund av hylsans fortsatta rörelse. Lösning: På grund av att tyngdkraftens potentiella energi helt övergår i rörelseenergi, har vi: 1 2 mv 2 = mg, dvs farten i läget B blir: v = 2g. I den fortsatta rörelsen kommer hela den kinetiska energin att bromsas upp av den konservativa fjäderkraften, så att dess potentiella energi 1 blir lika stor (som den ursprungliga lägesenergin): 2 kx 2 = mg. Den maximala deformationen blir alltså: x = 2mg k.

5 Problem: Antag att ett flygplan med massa m kan manövreras i en vertikal cirkulär loop att hålla konstant fart v. Den vertikala banans radie är. Flygplanets effektiva aerodynamiska dragkraft (skillnaden mellan motorns dragkraft och luftmotståndet) betecknas T och är parallell med rörelseriktningen. Dess lyftkraft (vinkelrätt mot rörelseriktningen) betecknas L. a) Bestäm T och L som funktioner av vinkeln ". b) Bestäm krafternas totala mekaniska effekt, samt dessas arbete för en hel loop. Lösning: Krafterna på planet:! L T mg v a) Newtons 2:a lag: normalriktning: m v 2 = L " mgcos#, dvs L = mgcos" # m v 2. Newtons 2:a lag:tangentriktning: = T " mgsin#, ty v =, dvs T = mgsin". b) Bara kraften T har mekanisk effekt, ty inte ortogonal mot hastighetsvektorn. Effekten blir vinkelberoende P = mgv sin". Arbetet blir U "2# = mg % sin$ d$ =. ettvarv

KOMIHÅG 5: --------------------------------- Energistorheter: P = F v, U "1 = Momentlag ---------------------------------- Föreläsning 6: Flera lagar t 1 # t Pdt, V r Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment?? örelsemängden definieras som en vektor: p = mv. Newtons 2:a lag kan då skrivas som p = F. Om den lagen (N2) är sann, så är det också sant att: r " p = r " F (1) r #. ( ) = " F dr r ref 6 Men: d( r " p ) = v " p + r " p = r " p, ty v och p är parallella. dt Definiera som en ny storhet: örelsemängdsmoment: H O = r " p Vi kan nu skriva ekvation (1) som en ny lag. Momentlag, momentekvationen H O = M O där vi inför kraftmomentet enligt definitionen: M O = r " F. OBS: Förväxla inte momentekvationen med definitionen av kraftmoment!

7 Krafter som inte vrider: Kraftmoment M O = Trådkraft på partikel. Glatt, horisontellt underlag. Teorifråga: Hur ser uttrycket för accelerationen ut för partikeln i figuren? Hur stor är kraften? F Teorifråga: Kraften på jorden är utritad i figuren. Hur stor är kraften på solen? örelsemängdsmomentet ('rotationsmängden') kommer att bevaras. Enligt momentlagen gäller ju H O = " H O = konstant vektor

8 Övning: Bestäm uttrycket för H O med hjälp av cylinderkomponenter. Lösning: Partikeln rör sig i ett plan som vi kan ge höjdkoordinaten z =. Med origo i planet där kraftens verkningslinje hela tiden går igenom (hålet, solen ) fås: r = re r, p = m( r e r + r" e " ) p = m( r e r + r" e " ). Insättning i definitionen av rörelsemängdsmomentet: H O = r " p = mr r ( e r " e r ) 14 24 3 + mr2 #( e r " e # ) 14 24 3 = = mr 2 # e z Svar: H O = mr 2 " e z. e z Övning: Beskriv en rörelse sådan att H O är konstant. Lösning: örelsen sker kring en fix axel genom ett fixt origo så att r 2 " är konstant. Vinkelhastigheten anpassas efter avståndet r så att produkten r 2 " är konstant, dvs på större avstånd är vinkelhastigheten mindre än på små avstånd.

Exempel 9 Ställ upp ett samband mellan vinkelaccelerationen och vinkeln för en pendel med maxutslag " max = #. Lösning: ita krafterna på partikeln. Kraftmomentet med avseende på trådfästet blir: M O = r " T + r " mg = r " mg, ty trådkraften är parallell med ortsvektorn från trådfästet. Med figurens hjälp fås: M O = "Lmgsin#e z. Momentlagens e z -komponent med avseende på trådfästet: ml 2 " = #mglsin", eller förenklat " = # g L sin". Tröghetsmoment Definition: En partikels tröghetsmoment med avseende på en z-axel: I z = mr 2 = m x 2 + y 2 ( ). För en stel rotation är r det konstanta avståndet till z-axeln. Momentlagen för stel rotation kring en z-axel: I z " = M z. Jämför med en rak rörelse längs en x-axel: m x = F x.