5. Ekla dyamiska sysem 5. Ekla dyamiska sysem I kapiel 3 härleddes modeller för e aal dyamiska sysem frå olika ekikområde. Gemesam för syseme var a de kude beskrivas med ordiära differeialekvaioer av låg ordig. I flera fall var differeialekvaioera olijära, me dessa ka lijäriseras krig e referesillsåd, valigvis e jämviksläge. I dea kapiel skall vi sudera egeskapera hos vissa yper av ekla, lijära, dyamiska sysem. Speciell härleds idssvare för sysemes usigaler för väldefiierade isigalförädrigar såsom impulser och seg. Aalys av sysemegeskaper med hjälp av dylika isigaler kallas rasieaalys. Ekla grafiska meoder för experimeell besämig av e modell ugåede frå sysemes segsvar geomgås också. Besämig av sysemegeskaper,.ex. överförigsfukioe, ugåede frå mäigar av i- och usigalera kallas sysemideifierig, eller hel ekel ideifierig. Reglerekik I Grudkurs (493) 5 5. Iegrerade sysem E massbalas krig behållare ger uder aagade av kosa desie (som ka förkoras bor) modelle d d V F F () Dea ekvaio är lijär och vi ka direk ersäa variablera med -variabler så a vi får d V F F d () Laplacerasformerig med beakade av a begyelsillsåde är oll ger () () () s V s F s F s V () s F () s F () s (3) s s eller Sysemes vå överförigsfukioer är V() s V() s och (4) F () s s F () s s som elig Laplacerasforme mosvaras av iegraler i idsplae. 5. Ekla dyamiska sysem 5 3 5. Ekla dyamiska sysem 5. Iegrerade sysem E iegrerade sysem är de eklase ype av dyamisk sysem som ka beskrivas med e differeialekvaio. De förmodlige mes ypiska processexemple på e iegrerade sysem är e väskebehållare. Exempel 5.. Väskebehållare. Beraka väskebehållare i figur 5.. V = volyme väska i behållare F = volymsrömme väska som illförs F = volymsrömme väska som srömmar u Märk a V är sysemes usigal (beroede variabel), meda F och F är isigaler (oberoede variabler). Se avsi.3. F V Figur 5.. Väskebehållare. F Reglerekik I Grudkurs (493) 5 5. Iegrerade sysem Allmä ka e lijär iegrerade sysem med isigale u och usigale y beskrivas med differeialekvaioe d y Ku d eller d y T u d (5.) Sysemes överförigsfukio är Y() s K Gs () U() s s Ts (5.) Övig 5.. Härled och skissera upp (a) impulssvare (b) segsvare (c) rampsvare för V () vid e förädrig i isrömme F ill väskebehållare i figur 5.. 5. Ekla dyamiska sysem 5 4
5. Ekla dyamiska sysem 5. Sysem av försa ordige E lijär sysem av försa ordige ka beskrivas med differeialekvaioe d y T y Ku d (5.3) där K är sysemes försärkig och T dess idskosa. Syseme har överförigsfukioe Gs () Y() s K U() s Ts (5.4) 5.. Trasiesvar Sysemes idssvar y () för e give isigal u () ka ekel besämmas geom ivers Laplacerasformerig med hjälp av e Laplacerasformabell. Två ofa berakade isigalfukioer är (se avsi 4.) impulsfukioe segfukioe Reglerekik I Grudkurs (493) 5 5 5.. Trasiesvar Segsvare Om isigale är e segförädrig av sorleke u seg, dvs u () u () seg där () är ehessege, gäller Ivers Laplacerasformerig av ger då segsvare U() s u / s seg Y() s G () s U() s Ku seg Ts s y () Ku e T seg (5.6) 5. Sysem av försa ordige 5 7 5.. Trasiesvar Impulssvare Om sysemes isigal är e impuls med idsiegrale ( area ) I, dvs u () I () där () är ehesimpulse (Diracs delafukio) gäller elig Laplacerasformabelle Ivers Laplacerasformerig av ger då impulssvare U() s I Y() s G () s U() s Ts KI KI y () e T T (5.5) 5. Sysem av försa ordige 5 6 5.. Trasiesvar KI/T y Ku seg y.63.37 T T 3T 4T T T 3T 4T Figur 5.. Impulssvare för e sysem av försa ordige. Figur 5.3. Segsvare för e sysem av försa ordige. Kurvoras begyelserikig (dvs deras derivaa) fås geom a dra e hjälplije mo puke T på sluvärdesasympoe (de ya jämviksläge). Svares avsåd ill sluvärdesasympoe vid ide T är /e,368 av oala usigalförädrige. I prakike ås y jämviksläge (iom %) vid ide 4 T (i eori dock låg id). 5. Sysem av försa ordige 5 8 / /
5. Sysem av försa ordige 5.. Ideifierig frå segsvar Av ovasåede är de uppebar a sysemes försärkig och idskosa ka ideifieras (dvs besämmas) frå rasiesvare, som ka geereras experimeell geom e lämplig förädrig av isigale. Härvid aväder ma sig valigvis av segförädrigar, bl.a. för a e väldefiierad impuls är svår a åsadkomma. Vid ideifierig geom segförsök fås sysemes försärkig elig K y / useg (5.7) u seg är sorleke av isigales segförädrig y = de oala usigalförädrige är. Olika meoder exiserar för besämig av sysemes idskosa och e ev. dödid (se avsi 5.4). I de följade geomgås ågra ekla grafiska meoder. 5. Ekla dyamiska sysem 5 9 5.. Ideifierig frå segsvar I prakike iehåller e sysem ofa e dödid,.ex. på grud av e rasporfördröjig. Segsvare fördröjs då med mosvarade id, vilke bör beakas vid ideifierige. y/y.63 L L+T Figur 5.4. Ideifierig av :a ordiges sysem via 63 % av oala förädrige. E försa ordiges sysem med e dödid L har överförigsfukioe Y() s Ke Gs () (5.8) U() s Ts och segsvare y ( L ) Ku e T (5.9) seg Ls E segförädrig vid ger e segsvar som sarar vid idpuke L och år 63, % av oala förädrige vid ide L T. Båda paramerara fås således frå samma segsvar. I figur 5.4 har segsvare ormeras geom divisio med y. 5. Sysem av försa ordige 5 5.. Ideifierig frå segsvar 63 % av oala förädrige För e försa ordiges syseme ka idskosae besämmas ugåede frå skärigspuke mella sluvärdesasympoe ( y Kuseg ) och agee (dvs derivaa) ill segsvare i de puk där förädrige börjar (se figur 5.3). Tidskoordiae för dea skärigspuk är lika med sysemes idskosa. I prakike är de dock svår a besämma agees rikig (dvs segsvares begyelsederivaa) med god oggrahe. Bäre är a uyja de puk där segsvare å 63, % av oala förädrige. Ma ka ekel visa a segsvare för e försa ordiges sysem år dea puk är e id lika med sysemes idskosa har förflui seda segsvares börja. Tidskosae ges med adra ord av idskoordiae för de puk där 63, % av oala förädrige ås. Allmä ka ma kalla idskosae som fås frå 63, % av oala förädrige för ekvivale idskosa äve om syseme ie är av försa ordige. 5. Sysem av försa ordige 5 5.. Ideifierig frå segsvar Tagemeode I prakike har ma kappas ågosi e perfek försa ordiges sysem (med eller ua dödid). Ofa har segsvare ie si braase luig geas i börja, vilke e sysem av försa ordige skulle ha. De beyder a syseme är av högre ordig ä försa ordige. Iblad vill ma ädå approximera syseme som e :a ordiges sysem med dödid. Figur 5.5 illusrerar e såda meod. Sysemes försärkig beräkas på ormal sä elig ekvaio (5.7). För dödide och idskosae dras e age geom segsvares iflekiospuk ( i, y i), dvs där luige är braas. Tagees skärigspuk med idsaxel ger dödide L, skärigspuke med sluvärdesasympoe har idskoordiae L T. y/y y i /y L i L+T Figur 5.5. Ideifierig av :a ordiges sysem med agemeode. 5. Sysem av försa ordige 5 /
5.. Ideifierig frå segsvar Såväl Ziegler-Nichols som vissa adra segsvarsbaserade rekommedaioer för isällig av PID-regulaorer (se avsi 7.5) ugår ifrå a modelles paramerar besäms elig agemeode. Såsom figur 5.5 visar ka modelles segsvar (de sreckade lije) dock avvika avsevär frå de verkliga segsvare. Efersom segsvare för e försa ordiges sysem har si braase luig i börja, där de är lika med de uppdraga agees luig, och därefer avar, är de lä a ise a modelles segsvar allid kommer a ligga uder de verkliga segsvare. De med agemeode besämda idskosae är med adra ord för sor. Dea hidrar ie a meode ka var ok för regulaorisällig, me de är relaiv dålig för modellideifierig. 5. Sysem av försa ordige 5 3 5.. Ideifierig frå segsvar Sudaresa-Krishaswamys meod Iflekiospuke och de puk där segsvare år 63, % av oala förädrige ligger ofa ära varadra. E bäre apassig ka förväas om ma aväder vå puker som ligger ågo lägre ifrå varadra. Elig Sudaresa och Krishaswamy (977) skall ma aväda de vå puker där de verkliga segsvare år 35 % resp. 85 % av de oala förädrige. Om idskoordiae för de vå pukera beeckas 35 resp. 85, ka ma med hjälp av ekvaio (5.9) härleda.85 y/y.35 35 85 Figur 5.7. Ideifierig av :a ordiges sysem frå 35% och 85% av förädrige. T,68( 85 35 ) (5.) L 35,43 T (5.) Försärkige K beräkas elig ekvaio (5.7). 5. Sysem av försa ordige 5 5 5.. Ideifierig frå segsvar Modifikaio av agemeode E beakasvärd modifikaio av ovaämda vå meoder erhålles om ma kombierar dem. Ma besämmer då dödide elig agemeode idskosae = de ekvivalea idskosae, dvs ide de ar för segsvare a å 63, % av hela förädrige. Dea förfarade ger e modell vars segsvar (de sreckade lije i figur 5.6) överessämmer beydlig bäre med de verkliga segsvare. Dea meod är också midre sörigskäslig efersom ma uyjar vå puker av segsvare för a besämma modelles paramerar. y i /y Elig ordiarie agemeode försöker besämma både dödide och idskosae ugåede frå segsvares egeskaper i e eda puk, iflekiospuke, som dessuom är svår a haera i prakike. y/y.63 L i L+T Figur 5.6. Ideifierig av :a ordiges sysem med modifierade agemeode. 5. Sysem av försa ordige 5 4 5.. Ideifierig frå segsvar Logarimmeode De fis e ekel sä a korollera hur väl e experimeell segsvar sämmer överes med segsvare för e försa ordiges sysem (med eller ua dödid) ua a egelige besämma modelles paramerar. Frå ekvaio (5.9) ka ma härleda sambade () l y y L y T, y Kuseg (5.) Om urycke ill väser i ekvaioe upprias som fukio av, fås för e sysem av försa ordige e rä lije som har luigskoefficiee /T och som skär idsaxel (dvs har värde oll) i puke L. Samma uryck ka beräkas och upprias för e godycklig experimeell segsvar. Om de erhålla sambade är illräcklig lijär är syseme av försa ordige. Samidig får ma sysemes idskosa ugåede frå de räa lijes luigskoefficie och dess eveuella dödid frå lijes skärigspuk med idsaxel. 5. Sysem av försa ordige 5 6
5.. Ideifierig frå segsvar Om sambade är målig olijär ka ma äka sig a besämma e approximaiv modell av försa ordige geom a apassa e rä lije ill sambade. De ligger ära ill hads a dra lije så a de asympoisk sammafaller med de uppriade experimeella sambade är går mo oädlighee. Dea ger dock e för sor dödid och för lie idskosa. Bör välja midre luig. z = l( y/y ) y/y z L L+T Figur 5.8. Ideifierig av :a ordiges sysem med logarimmeode. Figur 5.9. Segsvare för :a ordiges sysem ideifiera med logarimmeode. 5. Sysem av försa ordige 5 7 5. Ekla dyamiska sysem 5.3 Sysem av adra ordige E srik proper lijär sysem av adra ordige ka beskrivas med differeialekvaioe och överförigsfukioe d y dy du d d d Gs () a ay b bu (5.3) Y() s bs b U() s s as a Vi skall edas behadla sysem med b och i dea avsi edas fall där b, dvs sysem med överförigsfukioer som sakar ollsälle. (5.4) I avsi 5.5 behadlas fall med b. Reglerekik I Grudkurs (493) 5 9 5.. Ideifierig frå segsvar Sammafaigsvis ka ma säga a de modifierade agemeode meode föreslage av Sudaresa och Krishaswamy (pukera 35% och 85%) är säkerlige de bäsa av de här preseerade ekla grafiska meodera för ideifierig av e försa ordiges sysem med dödid. 5. Sysem av försa ordige 5 8 5.3 Sysem av adra ordige För a framhäva sysemes geerella egeskaper skrivs överförigsfukioe ofa på forme Gs () K s s (5.5) där K är sysemes försärkig, beämes relaiv dämpig och odämpad egefrekves eller aurlig frekves. Iblad aväds också forme Gs () K T s T s där T /. Någo allmä vederage beämig på T fis ie, både aurlig period och adra ordiges idskosa förekommer. Syseme sägs vara uderdämpa om, kriisk dämpa om och överdämpa om. Om är syseme isabil. (5.6) 5. Ekla dyamiska sysem 5
5.3 Sysem av adra ordige 5.3. Trasiesvar Trasiesvare ill e give isigalförädrig ka på ormal sä besämmas geom ivers Laplacerasformerig. Härvid bör ma beaka a lösiges form är olika beroede på om syseme är uderdämpa överdämpa kriisk dämpa Orsake är a e uderdämpa sysem ( ) har komplexa poler (dvs röera ill de karakerisiska ekvaioe är komplexa) e överdämpa sysem ( ) har reella poler e kriisk dämpa sysem ( ) har e reell dubbelpol 5. Ekla dyamiska sysem 5 5.3. Trasiesvar Överdämpa sysem Överförigsfukioe för e överdämpa adra ordiges sysem skrivs ofas i forme Gs () K Ts T s där T och T är relaerade ill och elig (aages T T ) (5.) T, T (5.), TT Syseme har impulssvare () KI e / T e / T y T T och segsvare / T () / T y Ku seg T e T e T T Svare fis avbildade i figur 5. och 5. ( ). T T (5.) TT (5.3) (5.4) 5.3 Sysem av adra ordige 5 3 5.3. Trasiesvar Kriisk dämpa sysem Överförigsfukioe för e kriisk dämpa sysem skrivs ofa på forme K Gs () Ts där T /. Impuls- och segsvare fås geom ivers Laplacerasformerig av urycke Y() s G() s U() s. För e impuls av sorleke I är U() s I, vilke ger impulssvare KI y () e T T (5.7) (5.8) För e segförädrig av sorleke u seg gäller U() s useg / s, vilke ger segsvare T Svare fis avbildade i figur 5. och 5. ( ). y () Ku seg ( / T )e (5.9) 5.3 Sysem av adra ordige 5 5.3. Trasiesvar Uderdämpa sysem De fakum a karakerisiska ekvaioe för e uderdämpa sysem har komplexa röer gör a de aalyiska urycke för sysemes rasiesvar iehåller rigoomeriska fukioer. För impulssvare fås där Segsvare blir där y KI (5.5) () e si( ), (5.6) y () Ku e si( ) seg (5.7) arccos( ), (5.8) Aleraiv ka segsvare med hjälp av rigoomeriska sambad (eller e aa form av Laplacerasforme) uryckas med si( ) och cos( ). Svare ses i figur 5. och 5. ( ). 5.3 Sysem av adra ordige 5 4 / /
5.3. Trasiesvar Normerade rasiesvar Figur 5. visar impulssvare och figur 5. segsvare för olika sysem av adra ordige ua ollsälle. När svare och ide ormeras såsom i figurera besäms svare eydig av dämpigsfakor. Trasiesvare för e uderdämpa sysem är oscillerade, meda de för e kriisk dämpa och e överdämpa sysem är moooa. y KIω 5. ζ =..3.5.5.6. y Ku seg ζ =..3.6..5.5 5. 5 ω 5 ω Figur 5.. Impulssvar för sysem av adra ordige ua ollsälle. Figur 5.. Segsvar för sysem av adra ordige ua ollsälle. 5.3 Sysem av adra ordige 5 5 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Modifierad Harrios meod Harrio (964) har uveckla e relaiv ekel grafisk meod för besämig av överförigsfukioer av ype (5.9) ugåede frå segsvar. Efersom umeriska beräkigar av de yp som ligger ill grud för meode ie ugör ågo problem uföride, skall vi här preseera e ågo förbärad versio av Harrios meod. Pricipiell beskrivig Alla sysem av ype (5.9) har e segsvar som år 7 % av sluliga oala förädrige vid e idpuk L, 5( T T). Om ma förs uppskaar dödide L får ma ekel summa av idskosaera frå segsvare vid dea idpuk. Segsvare för sysem med olika värde på parameer z T / T är väl separerade vid idpuke L,5( T T). Parameer z ger e god karakerisik av sysemes egeskaper efersom e försa ordiges sysem har z, e kriisk dämpa :a ordiges sysem har z, för e överdämpa :a ordiges sysem gäller z. 5.3 Sysem av adra ordige 5 7 5.3 Sysem av adra ordige 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Här beskrivs e ekel meod för ideifierig av e överdämpa adra ordiges sysem ua ollsälle ugåede frå dess segsvar. Sysemes överförigsfukio ges av ekvaio (5.), eller ifall e dödid L ikluderas, Ls K e Gs () (5.9) Ts T s Liksom idigare besäms sysemes försärkig K elig ekvaio (5.7). E eveuell dödid ges av de id som segsvares iiialrespos är fördröjd i förhållade ill segförädrige. Huvudprobleme är således a besämma sysemes idskosaer T och T. I de följade aas a T T. Som gräsfall ka syseme vara kriisk dämpa ( T T ), av försa ordige ( T ). 5. Ekla dyamiska sysem 5 6 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Figur 5. visar segsvare för e försa ordiges sysem, e kriisk dämpa adra ordiges sysem sam e överdämpa adra ordiges sysem med z,. Segsvare är ormerade så a usigale y divideras med sluliga förädrige y och ide ages med variabel ( L) ( T T). Segsvare år 7 % av oala förädrige vid 7, 5 och de är väl separerade vid z, 5. Tidskosaeras summa T ka uppskaas ugåede frå idpuke 7 och segsvares värde vid z ka avädas för e uppskaig av parameer z elig diagramme i figur 5.3. När T T T och Figur 5.. Segsvar för överdämpade sysem med olika värde på z. z T / T är käda ka idskosaera T och T beräkas. z T T L T T 5.3 Sysem av adra ordige 5 8
5.3. Ideifierig av överdämpa sysem De är ack vare idsaxels ormerig i figur 5. som segsvare år 7 % vid samma ormerade idpuk 7 sam har de goda separerige vid e aa ormerad idpuk z. Dea ormerig förusäer a ma käer idskosaeras summa sam de eveuella dödide, vilke ma dock ie gör är ma skall ideifiera syseme. Kokre arbesgåg Lyckligvis ka procedure omformas så a de ka avädas med de verkliga idsvariabel. Harrios ursprugliga meod ka dessuom aige förbäras geom a uföra beräkigara i e aa ordigsföljd.. Besäm de saiska försärkige K elig ekvaio (5.7).. Besäm dödide L visuell frå segsvare. Valigvis väljer ma e dödid som är aige sörre ä ide för de försa urskiljbara förädrige av usigale, me midre ä vad agemeode skulle ge. 3. Avläs ur segsvare hur läge de ar a å 7 % av oala förädrige y och beecka de ide 7. 5.3 Sysem av adra ordige 5 9 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Aleraiv ka ma mauell (i) öka L om yz y,7, (ii) miska L om yz y,4, och forsäa frå puk 4. 6. Avläs 7 frå figur 5.4 eller beräka parameer (approximaiv) elig,8z 7, 73, 7 z 8 z (5.33) 7. Beräka idskosaeras summa elig T ( 7 L)/ 7 (5.34) 8. Beräka idskosaera elig T T ( z), T T T (5.35) 5.3 Sysem av adra ordige 5 3 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem 4. Beräka ide z elig z,4 7,6 L (5.3) 5. Avläs segsvares värde y yz vid ide z och beräka förhållade yz y. (a) Om förhållade ligger i iervalle,7 yz y,4 (5.3) avläses z frå diagramme i figur 5.3. Aleraiv ka z beräkas elig formel z,67l yz y, 687,85 yz y (5.3) (b) Om y z y ie ligger i iervalle (5.3), ka segsvare vid ide z ie erhållas med e modell av ype (5.9) med de valda dödide L. Om ma ädå vill besämma e såda modell, ka ma förfara elig följade: (i) Om yz y, 7, väljes z. Tide z avläses frå segsvare vid y,7 y. (ii) Om yz y,4, väljes z. Tide z avläses frå segsvare vid y,4 y. I båda falle beräkas e y dödid L frå ekvaio (5.3). Tide 7 ädras ie. 5.3 Sysem av adra ordige 5 3 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Figur 5.3. y z som fukio av z. Figur 5.4. 7 som fukio av z. 5.3 Sysem av adra ordige 5 3
5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Exempel 5.. Approximaiv ideifierig med :a och :a ordiges sysem. Vi skall ugåede frå ehessegsvare för e sysem som beskrivs av överförigsfukioe besämma Gs () 6s 4s s a) e approximaiv modell av försa ordige med dödid elig modifierade agemeode; b) e approximaiv modell av adra ordige med ev. dödid elig Harrios modifierade meod. () För jämförelses skull skall vi också besämma opimal apassade modeller av försa och adra ordige sam jämföra de olika modelleras segsvar med de exaka segsvare. I e verklig siuaio mäer vi hur usigale varierar är isigale är e segförädrig. Här skall vi dock för illusraioes skull förs beräka segsvare för syseme. För ekelhes skull räkar vi med dimesioslös id (dvs vi aväder ige ehe). 5.3 Sysem av adra ordige 5 33 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem För både a)- och b)-falle behövs sysemes försärkig K..95.9.85 Ehessegsvar för syseme För e ehesseg är u seg och elig figur 5.5 är y. Ekvaio (5.7) ger då försärkige K..8.75.7.65.6.55.5.45.4.35.3.5. Figur 5.5. Ehessegsvare för syseme Gs. ().5..5 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 3 34 36 38 4 4 44 46 48 5 5.3 Sysem av adra ordige 5 35 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Isigale u är e ehesseg, dvs U() s / s. Vi får då ehessegsvare Y() s G () s U() s (6 s )(4 s)( s) s Dea uryck fis ie i vår Laplacerasformabell, vilke iebär a vi behöver göra e parialbråksuppdelig. Vi förbigår dealjera och kosaerar a iversrasformerig av de allmäa urycke ger idsfukioe Fs () Ts Ts Ts s 3 T / T T / T T 3 3 3 3 3 f () ( )( ) e ( )( ) e T T T T T T T T ( T T )( T T ) e då T T T 3. I vår fall får vi med T 6, T 4 och T 3 segsvare y som fis uppria i figur 5.5. () 9 e 4e e /6 /4 / (5) T 3 () (3) (4) 5.3 Sysem av adra ordige 5 34 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem a) Vi skall besämma e modell av försa ordige med dödid elig modifierade agemeode. Vi börjar med a dra e age geom de puk där segsvare har si braase luig och avläser var agee skär idsaxel. Skärigspuke har idskoordiae, 5, vilke ger dödide L,5. Vid 63 % av oala förädrige y är y y63,63 y,63. Dea värde uppås vid,5 (mycke approximaiv), vilke beyder a L T,5. Vi har besäm e sysem av försa ordige med K, T och L,5, dvs e sysem med överförigsfukioe G () s e s Ehessege U() s / s sam iversrasformerig av Y () s G () s U() s ger ehessegsvare,5 s / (,5) e y (7) (6) Figur 5.6 visar dea segsvar illsammas med de verkliga sysemes segsvar. 5.3 Sysem av adra ordige 5 36 / y()
5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Ma ka äve besämma modellparamerara umerisk geom miimerig av kvadrasumma av skillade mella modelles och de verkliga sysemes segsvar i e aal puker. E såda opimerig ger K,, T 9,5 och L 3,83. De är klar a opimerige gör för sor dödid. a) Apassa försa ordiges sysem Opimera försa ordiges sysem.9.9.8.8.7.7.6.6.5.5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 5.3 Sysem av adra ordige 5 37 y().4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 y() Figur 5.6. Ehessegsvare för Gs () (heldrage lije) och G () s (sreckad). Figur 5.7. Ehessegsvare för Gs () och opimerad apassig (sreckad lije). 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem Vi har besäm e sysem av adra ordige med överförigsfukioe G () s e (6, 4 s)(4, s) som har ehessegsvare /6,4 /4, y (,5),4 6,4e 4,e (9),5 Dea segsvar fis avbilda i figur 5.8 illsammas med de verkliga sysemes segsvar. Elig figure förefaller apassige mycke god. s (8) E opimerig av paramerara för e adra ordiges sysem med dödid geom apassig ill de verkliga segsvare ger K,, T T 5,35 och L, 38. Figur 5.9 visar segsvare för dea sysem och segsvare för de verkliga syseme. Apassige är edas margiell bäre ä de som erhölls med Harrios modifierade meod. 5.3 Sysem av adra ordige 5 39 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem b) Vi skall besämma e modell av adra ordige med Harrios modifierade meod. Vi börjar med a besämma de idpuk då syseme å 7 % av de oala förädrige. Elig figur 5.5 får vi 7 5. Elig segsvare ser de u som om de skulle behövas e dödid L. I allmähe får ma dock som helhe e bäre apassig geom a välja e dödid som är aige sörre ä de verkliga, vilke äve framgår av a)-falle. Lå oss därför välja L, 5. Elig ekvaio (5.3) får vi då 6,9 z. Näsa seg är a avläsa y yz vid 6,9. Segsvare i figur 5.5 ger y y z.75. Efersom y, ger figur 5.3 z,6 (,6 elig ekv. (5.3)). För dea värde på z ger figur 5.4 7, 67 (ekv. (5.33) ger,63), som elig ekvaio (5.34) ger T,69. Ekvaio (5.35) ger idskosaera T 6,4 och T 4,. 5.3 Sysem av adra ordige 5 38 5.3. Ideifierig av överdämpa sysem b) Apassa adra ordiges sysem Opimera adra ordiges sysem.9.9.8.8.7.7.6.6.5.5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 5.3 Sysem av adra ordige 5 4 y().4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 y() Figur 5.8. Ehessegsvare för Gs () Figur 5.9. Ehessegsvare för Gs () (heldrage lije) och G () s (sreckad). och opimerad apassig (sreckad lije).
5.3 Sysem av adra ordige 5.3.3 Ideifierig av uderdämpa sysem Såsom framgår av figur 5. karakeriseras e segsvar av e uderdämpa sysem ( ) av oscillaio. Uppebarlige ka svägigaras ampliud och frekves uyjas för ideifierig av e adra ordiges uderdämpa sysem. Sysem med oscillerade segsvar ka karakeriseras med hjälp av olika paramerar som ka uläsas ur segsvare. E aal dylika paramerar fis umärka i figur 5.. För a uderläa de verbala parameerdefiiioera aar vi a usigales iiialvärde är oll (dvs vi aväder avvikelsevariabler) segsvares sluvärde är posiiv (dvs e isigalförädrig så a usigale ökar) Märk a y och y max ager förädrigar (dvs avvikelser) frå iiialvärde som rådde före segförädrige. 5. Ekla dyamiska sysem 5 4 5.3.3 Ideifierig av uderdämpa sysem Ugåede frå de aalyiska lösige av sysemes segsvar ka ma härleda uryck som relaerar dessa paramerar ill paramerara i sysemes överförigsfukio Gs () K s s, (5.36) Med avädig av beeckige fås för maximala relaiva översläge: för periodide: för sigide ills usigale passerar y : r (5.37) M P y y max e (5.38) y (5.39) arca( / ) (5.4) Dessa uryck är exak härledda. För isvägigside gäller approximaiv l( ), M (5.4) 5.3 Sysem av adra ordige 5 43 5.3.3 Ideifierig av uderdämpa sysem y Usigales sluliga värde (>). y max Usigales sörsa värde, dvs försa översläges max-värde. M Maximal relaiv översläg, M ( ymax y)/ y. P Svägigaras periodid (speciell de försa periode). r Sigid = ide ills usigale försa gåge passerar y. Iblad def. sigide som de id de ar a försa gåge komma y max y ( δ) y y ( δ) frå % ill 9 % av y. Figur 5.. Segsvar för e uderdämpa sysem. Isvägigsid, som är de id de ar ills usigale i forsäige hålls mella ( ) y och ( ) y r, dvs ills ( ) y y( ) ( ) y,, gäller. Valigvis aväds, 5 5 % eller, P %. δ 5.3 Sysem av adra ordige 5 4 5.3.3 Ideifierig av uderdämpa sysem Ideifierig De är eklas, och i pricip illräcklig, a mäa M och P. Sysemes relaiva dämpig ka besämmas ur ekvaioera (5.37) och (5.38). De odämpade egefrekvese fås ur ekvaio (5.39). Sigide och ekvaio (5.4) ka äve avädas i sälle för (5.38) eller (5.39). Sysemes försärkig K besäms på ormal sä elig ekvaio (5.7). Segsvare för e krafig uderdämpa sysem är i allmähe käslig för sörigar, parameervariaioer och avvikelser frå ideala sysemaagade. påverkar främs sysemes iiialrespos och därmed de försa översläge bäre resula om ma baserar e ideifierig på flera svägigar Vi beeckar de :e översläges maximivärde med y max, och de :e udersläges miimivärde med y mi,. Ugåede frå ekvaio (5.7) ka ma härleda ymax, k y y ymi, k k k / M R e (5.4) ymax, y y ymi, k där M R beeckar kvoe mella +k:e och :e relaiva översläge (el. udersläge). 5.3 Sysem av adra ordige 5 44 /
5.3.3 Ideifierig av uderdämpa sysem Exempel 5.3. Ideifierig av uderdämpa adra ordiges sysem. Vi skall ideifiera e uderdämpa adra ordiges sysem på base av segsvare i figur 5.. Tidsaxel i figure går frå ill sekuder och usigalaxel frå ill,5. Ur figure erhåller vi ymax y,7, 5 M, 447 och P 9,75 3,5 6,5 y, 5 Ekvaio (5.37) och (5.38) ka lösas med avseede på, vilke ger l( M ) l ( M ) Numerisk fås,485. För de odämpade egefrekvese ger ekvaio (5.39),998. Försärkige K ka ie besämmas, efersom isigales segsorlek ie är give. De korreka är, 5 och. () 5.3 Sysem av adra ordige 5 45 5.4 Sysem med dödid Dea ayds av a dödider illhör gruppe icke-miimumfassysem (se kapiel 8). Därill ger dödider ofa, speciell i kombiaio med adra sysemeleme, aalysoch beräkigsmässiga problem. Orsake är a överförigsfukioera för adra yper av sysemeleme är raioella fukioer, meda dödides överförigsfukio är e irraioell fukio. Därför har ma ofa aledig a aväda raioella approximaioer av (5.44). Ekla raioella approximaioer ka härledas frå Taylorserieuvecklige av e Ls, dvs 3 Ls ( Ls ) ( Ls ) e Ls (5.45)! 3! De vå försa ermera ger de ekla me relaiv ooggraa approximaioe Ls e Ls (5.46) Om fler ermer medas fås e bäre approximaio, me haerige av urycke blir i prakike också besvärligare är polyomes gradal siger. 5. Ekla dyamiska sysem 5 47 5. Ekla dyamiska sysem 5.4 Sysem med dödid Med dödid avses e fördröjig. Usigale frå e sysem besåede ebar av e dödid L ser exak u som isigale, me de är fördröjd med L idseheer. Om usigale beeckas y () och isigale u () gäller således för e re dödid y ( L) u ( ) (5.43) I prakike beror e dödid ofa på rasporfördröjig. E ypisk exempel är e rasporbad. Äve vid väske- och gassrömig i e rörledig uppsår dödider beräffade de srömmade medies egeskaper såsom emperaur och koceraio. Mäisrume ka iblad medföra e dödid,.ex. vid aalys av mäsampel. Överförigsfukioe för e dödid av sorleke L är Gs () e Ls (5.44) Dea fukio är i pricip ekel, me som beka medför dödider reglerekiska problem. Reglerekik I Grudkurs (493) 5 46 5.4 Sysem med dödid E aa möjlighe är a uyja omskrivige och serieuvecklige e Ls Ls 3 e ( Ls ) ( Ls ) Ls! 3! (5.47) Om edas de vå försa ermera i ämare beakas fås approximaioe Ls e (5.48) Ls vilke iebär a dödide L approximeras som e försa ordiges sysem med idskosae L. Om fler ermer medas fås approximaioer med sysem av högre ordig. 5. Ekla dyamiska sysem 5 48
5.4 Sysem med dödid Ma ka kombiera meodera på olika sä. E sä är a uyja omskrivige Ls Ls e e (5.49) Ls e och Taylorserieuveckligara av äljare och ämare. Om edas de vå försa ermera av Taylorserieuveckligara medas fås Ls Ls e Ls Ls dvs e proper, me ie srik proper, försa ordiges sysem, som har gaska speciella egeskaper, vilke framgår av lede lägs ill höger. (5.5) 5. Ekla dyamiska sysem 5 49 5.4 Sysem med dödid Yerligare e approximaiosmöjlighe ligger ära ill hads. Expoeialfukioe e x ka ämlige defiieras med hjälp av gräsvärde x x e lim (5.5) Ls Ls Om ma uyjar omskrivige e /e fås då approximaioe e Ls Ls dvs e :e ordiges sysem där ma själv ka välja ordige. Ordige ger samma approximaio som (5.48). Högre ordig ger givevis bäre approximaio. (5.53) 5. Ekla dyamiska sysem 5 5 5.4 Sysem med dödid Padé-approximaioer är e aa yp av approximaioer, som är härledda uder vissa opimerade beigelser. Försa ordiges Padé-approximaio är ideisk med (5.5) meda adra ordiges Padé-approximaio är Ls Ls ( Ls ) e (5.5) Ls ( Ls ) Observera a (5.5) ie erhålls ugåede frå avklippa Taylorserier. Padé-approximaioera de fis också approximaioer av högre ordig är härledda så, a deras frekvessvar (se kapiel 8) likar dödides frekvessvar (båda har försärkige vid alla frekveser), meda idssvare avviker mer. 5. Ekla dyamiska sysem 5 5 5. Ekla dyamiska sysem 5.5 Sysem med iverssvar Sysem med iverssvar uppvisar segsvar vars rikig ädrar e eller flera gåger i börja av segsvare. Dea skall ie förväxlas med svägigar för uderdämpade sysem, vars segsvar sväger krig de värde usigale ärmar sig med ide. Sysem med iverssvar illhör de grupp av sysem som kallas icke-miimumfassysem (se kapiel 8). Sysem med iverssvar är ie ovaliga. E ekel exempel är kvicksilverermomeer. Vid höjig av omgiviges emperaur uvidgar sig förs glasröre, vilke får kvicksilverpelare a sjuka. Iom kor börjar äve kvicksilvre a uvidga sig (desiee avar) så a ivåförädrige börjar gå i rä rikig. E aa exempel på samma yp av beeede är väskeivå i e ågpaa vid ökig av maarvaeillförsel. Reglerekik I Grudkurs (493) 5 5
5.5 Sysem med iverssvar Sysem med iverssvar är besvärliga a reglera, efersom ma iblad får vilseledade iformaio. Dylika sysem karakeriseras av e överförigsfukio med (e eller flera) posiiva ollsälle, vilke är ekvivale med egaiva idskosaer i dess äljare..8.6.4...4 G G G 3 4 5 /T G G G T T s,5 s,5 T T T s s s 3 T T s,5 s,5 T T T s s s G() 3 T T s,5 s,5 T T T s s s 3 Figur 5.. Segsvar med olika aal egaiva äljaridkosaer. 5. Ekla dyamiska sysem 5 53 5. Ekla dyamiska sysem 5.6 Sysem i serie Vid aalys av seriekopplade sysem är de vikig a vea om syseme är ierfererade eller icke-ierfererade: vid ierfererade sysem påverkas e delsysem av eferföljade delsysem i serie vid icke-ierfererade sysem påverkas varje delsysem edas av idigare delsysem i serie Om ma.ex. seriekopplar vå exemplar av lågpassfilre i Ex. 3., så kommer de a ierferera, efersom de eferföljade krese belasar de förra. Om ma däremo förser de försa filre med e försärkare på ugågssida, kommer de ie a ierferera med varadra. Reglerekik I Grudkurs (493) 5 55 5.5 Sysem med iverssvar Såsom de ämda exemple ayder ka sysem med iverssvar uppså är ma parallellkopplar vå delsysem vars försärkigar har olika ecke. Övig 5.. Två sysem med överförigsfukioera G K Ts och G K Ts parallellkopplas så a e sysem med överförigsfukioe G G G erhålles. Aag a T T och visa a G är e icke-miimumfassysem om T K T K. 5. Ekla dyamiska sysem 5 54 5.6 Sysem i serie E likade siuaio ka erhållas om ma seriekopplar vå väskebehållare, där usrömige sker med självryck (jfr exempel 3.5). Om usrömme frå de försa behållare rier fri i i de adra exiserar ige ierferes. Om behållara är kopplade så, a usrömme frå de försa behållare srömmar geom e rör ill edre dele av de adra behållare, uppsår ierferes pga de moryck som väskeivå i de adra behållare uövar på isrömme. Sammafaigsvis ka sägas om sysem i serie: Icke-ierfererade delsysem i serie är ekla a haera. Deras överförigsfukioer ka härledas skil för sig och sammaslås geom muliplikaio såsom visas i avsi 4.3.3. Ierfererade delsysem är besvärligare a haera, efersom de eskilda delsysemes egeskaper modifieras av ierferese. I dylika fall måse ma ofa modellera och behadla delsyseme som e helhe. 5. Ekla dyamiska sysem 5 56
5.6 Sysem i serie Exempel 5.4. Icke-ierfererade väskebehållare. Vidsåede väskebehållare ka beskrivas med modelle (se Exempel 3.5) d h ( ) A F() F(), d F där F () srömmar fri u geom självryck pga väskeivå h (). Behållares värarea A och parameer är kosaa. Lijäriserig vid ivå h h sam elimierig av h med hjälp av F ger överförigsfukioe F () h () () h F F () s Gs () F () s Ts, A h T () 5. Ekla dyamiska sysem 5 57 5.6 Sysem i serie Exempel 5.5. Ierfererade väskebehållare. Väskebehållara ill höger är ierfererade efersom F beror av både h och h. Därmed påverkar de eferföljade behållare de föregåede. Behållare ummer beskrivs av modelle d h ( ) A F () F () d F h, F () h(), () F h F som efer lijäriserig ger överförigsfukioe F () s A h G () s F () s Ts, T () precis som i falle med icke-ierfererade behållare. 5. Ekla dyamiska sysem 5 59 5.6 Sysem i serie De vå seriekopplade väskebehållara ill höger med värareora A resp. A har överförigsfukioera med G () s T Ts A h,, G () s T Ts A h (3) (4) Överförigsfukio frå F ill F är F () s Gs () G () sg () s F () s ( Ts)( T s) F h F h F (5) 5. Ekla dyamiska sysem 5 58 5.6 Sysem i serie Efersom (aages h h ) F () h () h () (3) blir överförigsfukioe för behållare dock aorluda. Lijäriserig av modelle för behållare och elimierig av h och h ger efer e del härledigar F () s K G () s F () s Ts, K ( A A) h A h, A h h (4) T K För behållare ädras således både försärkige och idskosae. Överförigsfukioe frå F ill F ges av samma uryck (5) som i föregåede exempel (me G är olika). 5. Ekla dyamiska sysem 5 6