Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR RÄTA LINJER OCH PLAN Räa linje och plan Räa linje i D-umme: Lå L vaa den äa linjen genom punken P x, y, om ä paallell med vekon v v, v, v ) 0. Räa linjen ekvaion på paameefom kan man ange på vekofom elle med e kaläa ekvaione. Räa linjen ekvaion på paameefom advekofom) x, y, x, y, z ) v, v, ) v Vi kan kiva vekoe om kolonne. Räa linjen ekvaion på paameefom kolonnvekofom) x x v y y v z z v Om vi idenifiea koodinae i ovanående ekvaion få vi: Räa linjen ekvaione på paameefom kaläa ekvaione) x x v y y v *) z z v P v ------------------------------------------------------------------------ Om alla koodinae i linjen ikningveko v v, v, ) ä kilda fån 0 dv v v, v 0 och v 0 kan vi eliminea paamee [fån vaje ekv i *)] och få 0 x x v. y y v z z v Dämed kan vi kiva linjen ekvaion på följande ä x x y y z z **) v v v dä P x, y, ä en punk på linjen och v v, v, v ) ä en veko paallell med linjen. Vi uppepa a fomen **) få använda enda om v, v 0 och v 0, anna bli nämnaen 0. 0 Anmäkning. Va och en av likheea i **)
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räa linje och plan x x y y y y z z dv och v v v v ä ekvaionen fö e plan Π epekive Π. Dämed kan linjen given på fomen **) uppfaa om käningen mellan vå plan Π och Π. ------------------------------------------------------------- Räa linje i xy-plane Räa linjen ekvaion i xy- plane ge ofa på en av följande fom y kx n explici fom [ dv fomen y f x) ] ax by c 0 implici fom [ dv fomen F x, y) 0 ] Linjen i xy-plane kan, lika om i D-umme ange på paameefom. Fö a kiva en linje på paameefom om linjen ä given på explici elle implici fom beeckna vi en vaiabel x elle y) med och löe u den anda vaiabel. Exempel. Ange linjen x y 0 i xy-plane på paameefom. Löning: Vi välje en vaiabel. ex. x och beeckna x. Fån x y 0 y 0 y ) /. Dämed bli linjen ekvaione ekvaione i xy-plane) på paameefom: x y / Anmäkning. I xy-plane, dv D- umme, ä ax by c 0 en ekvaion fö en ä linje. Om vi beaka D umme med xyz-koodinayem då amma ekvaion ax by c 0 bekive e plan med en nomalveko N a, b, 0). Efeom z akna i ekvaionen ä plane paallell med z axeln ) Samma eonemang gälle fö ekvaionen y kx n : I xy-plane bekive y kx n en ä linje. I xyz-koodinayem bekive y kx n e plan paallell med z-axel. Plan: N P Lå π vaa plane genom punken P x, y, ) om ha nomalvekon N A, B, C) 0. z
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räa linje och plan Plane ekvaion ä A x x ) B y y) C z 0 Efe föenkling ha vi plane ekvaion på allmän fom: Ax By Cz D 0 ÖVNINGAR: Uppgif. En ä linje gå genom punkena A,,) och B,,0). Beäm linjen ekvaion. Löning: v AB,,) ä en ikningveko. Linjen ekvaion på paameefom : x,y,,,),,) x y z Sva: x,y,,,),,) Uppgif. En ä linje gå genom punkena A,,) och B,,). Beäm linjen ekvaion på a) paameefom x, y, x, y, z ) v, v, ) v x x y y z z b) på fomen om möjlig) v v v Löning: v AB,, ) ä en ikningveko. a) Linjen ekvaion på paameefom ä x,y,,,),,) b) Linjen ekvaion på fomen x x y y z z v v v ä x y z. Uppgif. En ä linje gå genom punken P,,) och ha ikningveko v, 0, 5). a) Ange linjen ekvaion på paameefom x, y, x, y, v, v, v ). x x y y z z b) Kan man ange linjen ekvaion på fomen v v v Sva: a) x, y,,,), 0, 5) ä linjen ekv. på paameefom. b) Nej, efeom v 0 uycke ä ine definiead om nämnaen ä 0)
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räa linje och plan Uppgif. Vi beaka linjen L: x,y,0,,),,0) Beäm a) en ikningveko, dv en veko bland ändlig många) paallell med linjen b) en enheveko paallell med linjen de finn vå ådana enhevekoe) c) punke bland oändlig många) om ligge på linjen L. Löning: a) En ikningveko ä v,, 0) Noea a vaje veko av yp k v k, 0), k 0 ä ockå linjen ikningveko. T ex 0, 0, 0) elle 0, 0, 0) ockå ä linjen ikningvekoe. b) En enhe veko paallell med linjen ä e v,,0 ). v 5 [ Den anda ä e v,,0 ) ] v 5 c) Te punke fö vi om vi ubiuea e väden vilka om hel) på paameen i ekvaionen x, y, x, y, v, v, v) : T ex. 0 x,y,0,,)0,,0) 0,,) x,y,0,,),,0),,) 0 x,y,0,,)0,,0) 0,,) Sva: a) En ikningveko ä v,,0). b) En enhe veko paallell med linjen ä e v,,0 ). v 5 c) Te punke 0,,),,,) och 0,,). Uppgif 5. Linjen L ä given på följande fom x y z. a) Ange linjen ekvaion på paameefom. b) Beäm en ikningveko och e punke på linjen L c) Beäm punke bland ändlig många) om ligge på linjen L. Löning: a) Vi beeckna de e lika uyck med x y z
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 5 Räa linje och plan och däefe löe x, y, z. Vi ha x x y y z z Allå x,y,,, ),,) ä linjen ekvaion på paameefom x Alenaiv kivä y z b) En ikningveko ä ä v,,). c) Vi ubiuea e -väden, ex 0, och och få e punke A,, ), B, 0, ) och C 5, ) Uppgif 6. Beäm vilka av följande punke A,0, ), B,, ), C, 8, ) ligge på linjen L: x,y,0,,),,0). Löning: i) Punken A,0, ) ligge på linjen x,y,0,,),,0) om och enda om de finn e väde på paameen å a,0, ) 0,,),,0) dv om de finn e -väde å a alla e kaläa ekvaione 0 0 0 amidig ä uppfyllda. Fån föa ekvaionen ha vi. Samma aifiea ockå anda och edje ekvaionen och dämed ligge punken A på linjen L punken vaa mo ) ii) Fö punken B,, ) ha vi följande vekoekvaion,, ) 0,,),,0) om ä ekvivalen med de e kaläa ekvaionena 0
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 Räa linje och plan 0 Föa ekvaionen ge. Dämed, om de finn en löning på fö alla e ekvaionen då ä ). Vi kolla om aifiea de kvaående ekvaione. Subiuionen i anda ekvaionen ge OK) men inäning i den edje ekvaionen ge om ä ine an. Punken B ligge allå ine på linjen L. iii) Med amma meod ine vi a punken C få u ekvaionen om, dv C ligge på linjen L Sva. A och C ligge på L medan B ine ligge på linjen L. Uppgif. D umme) Vi beaka den äa linje i xy-plane dimenionella umme ) om ha ekvaionen L: x y 0. a) Beäm linjen ekvaion på explici fom y kx n b) Ange linjen på paameefom c) Beäm en veko paallell med linjen L d) Beäm vå enhevekoe paallella med linjen. e) Beäm en veko i xy-plane om ä vinkelä mo linjen L Löning: a) Vi löe u y u ekvaionen x y 0, x x y 0 y y x explici fom) b) Vi beeckna x och få enkel fån explici fom) linjen på paamee fom x y x Vi kan ockå kiva x, y), ) elle. y / / c) Vi kan välja vå punke på linjen genom a välja väden på x elle på i paameefom) och beäkna y. Vi kan ex välja följande punke A0, / ) och B, /) och beäkna AB, / ). Vaje veko paallell med AB ä ockå paallell med linjen. Vi kan även använda paameefom och diek välja vekon, / ) ) Som en ikningveko bland oändlig många) kan vi ange v AB, ) med helalkoodinae. d) De finn vå enhevekoe om ä paallella med linjen L e, ± v ±, ) v e) En veko n a, b) ä vinkelä mo linjen L om och enda om) den ä vinkelä mo linjen ikningveko v, ) och däfö ä kaläpoduken n v 0.
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räa linje och plan Allå a b 0 a b /. Vi öke en vinkelä veko bland oändlig många ådana vekoe) å a vi kan välja b, ex kan vi a b och få a. Dämed bli n, ) en veko vinkelä mo L. Noea a vaje veko paallell med n, ) ockå ä vinkelä mo L. Uppgif 8. E plan gå genom punken A,,). Plane ä paallell med vekoena u,,) och v,, ). Beäm plane ekvaion a) på paameefom N b) på fomen Ax By Cz D 0. Löning: v a) x,y,,,),,),,) b) N u v,, ). u Plane ekvaion: A x x) B y y) C z 0 x ) y ) z ) 0 x y z 0 Sva: Plane ekvaion: x y z 0 Uppgif 9. E plan gå genom punkena A,, ) och B,5,) och C,0,). Beäm plane ekvaion. Löning: N AB AC 0,6, 6) Vi kan använda punken A och vekon N 0,8, ) om ä paallell med N ). A x x ) B y y ) C z z ) 0 0 x ) 8 y ) z ) 0 0x 8y z 0 Sva: Plane ekvaion: 0 x 8y z 0 Uppgif 0. E plan gå genom punkena A,,) och B,,). Plane ä paallell med linjen x, y,,,5),,) Beäm plane ekvaion. Löning: Vekoena u AB 0,, ) och linjen ikningveko v,, ) Beäm plane ekvaion. N u v 0,, ). Plane ekvaion: ä paallella med plane
Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR A x x ) B y y ) C z z ) 0 0 x ) y ) z ) 0 y z 0 Sva: Plane ekvaion: y z 0 8 Räa linje och plan Uppgif. En ä linje gå genom punken A,,0). Linjen ä oogonal vinkelä) mo plane x y z 0. Beäm linjen ekvaion. Löning: Plane nomal v,, ) ä en ä en ikningveko. Linjen ekvaion på paameefåm : x,y,,,0),,) Sva: x,y,,,0),,) Uppgif. En ä linje gå genom punken A,,0). Linjen ä paallell med käninglinjen mellan planen x y z 0 och x y z 0 Beäm linjen ekvaion. Löning: Vi löe yeme med Gaumeoden: x y z 0 x y z 0 x y z 0 y z 0 En fi vaiabel z. y x y z x dv x y z Allå ha käning linje ekvaion x,y,,,0),,) Den öka linjen ha amma ikning veko men gå genom punken A. Däfö: x,y,,,0),,) Sva: Linjen ekvaion ä x,y,,,0),,) Uppgif. Beäm evenuella käningpunke mellan linjen x,y,,0,0),,) och följande plan: a) x y z 0 b) x y z 0 c) x y z 0 Sva: a) x 0, y, z b) Ingen löning c) Linjen ligge i plane. Uppgif. Beäm evenuella käningpunke mellan följande linje
9 Amin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Räa linje och plan x,y,,,),,) och x,y,,5,),,). Löning: Linjena ekvaione kan kiva om z y x L :, z y x L 5 : Vi löe yeme: 5 Häav x, y och z Sva: Skäningpunken ä P,,). Uppgif 5. Vi beaka vå ymdfakoe i e lämplig vald koodinayem. En ymdfako ö ig läng banan x, y,,, ) dv fakoen befinne ig i punken x,y, vid idpunken. En annan ymdfako ö ig länga banan x,y,,6, ). a) Kocka fakoena? Moiveing käv!) b) Skä fakoena bano vaanda? Moiveing käv!) Löning: a) Sva: Fakoena kollidea ej efeom yeme 6 akna löninga b) Både fakoena ö ig läng äa linje. Dea bano ha följande ekvaione: L:,, ) L:,6, ) Vi öke käningen mellan linjena och få ekvaionyeme 6 om ha löningen,. Sva: Banona kä vaanda. Fako ä i käningpunke vid idpunken idenhee; fako ä i amma punk vid idpunken idenhee.