ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten hndlr om nlytis funtioner, där vi i först hnd tr upp sådn företeelser som ligger när vetornlysen. Som tillämpningr visr vi hur oli generliserde integrler n beräns och ger ett elementärt bevis v lgebrns fundmentlsts. I de därefter följnde två vsnitten 6 och 7 definierr vi begreppet liformig onvergens för funtionsföljder och funtionsserier. Vi visr bl tt gränsvärdet v en liformigt onvergent följd v ontinuerlig funtioner lltid är ontinuerlig och tt gränsvärdet v integrlern v en liformig onvergent följd är li med integrlen v gränsvärdet. Som en intressnt tillämpning studerr vi i vsnitt 8 potensserier, och i vsnitt 9 visr vi sedn tt teorin för dess på ett mycet nturligt sätt hänger smmn med teorin för nlytis funtioner. Som en vslutnde tillämpning ger vi i vsnitt ett eempel på hur potensserier n nvänds för tt lös differentilevtioner som vi inte n lös på nnt sätt. I vsnitt finns övningr till mterilet. 2. Komple urvintegrler Vi hr tidigre studert vetornlys i plnet reltivt utförligt. Ett v de vitigste resultten är tt en urvintegrl P d + Qdy γ är oberoende v vägen i ett enelt smmnhängnde område om och endst om villoret (2.) Q = P y är uppfyllt. Vi n ocså säg tt villoret (2.) grnterr tt integrtionen är oberoende v vägen melln två punter så länge vi br gör ontinuerlig deformtioner v urvn inom området. I fortsättningen ommer vi tt tl om denn egensp som tt integrtionen är lolt oberoende v vägen. Vi s nu utvidg dett till omplevärd funtioner. Dett visr sig få häpndsväcnde onsevenser. Komple funtioner för vil integrtionen är (lolt) oberoende v vägen n tillämps långt utnför vetornlysen i vitt sild delr v både ren och tillämpd mtemti. Teorin blir mest nturlig om vi inte br låter P och Q vr omplevärd, utn även byter ut R 2 mot C. För punter i det omple plnet ommer

2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM vi omvälnde tt nvänd oordintern z = + iy och (, y) (iblnd även polär oordinter z = re iθ ). Definition 2.. Låt γ : z(t) = (t) + iy(t), α t β, vr en orienterd deriverbr urv i det omple plnet, och låt f(z) = u(z) + iv(z), där u(z), v(z) är reellvärd, vr en (omplevärd) funtion. Vi definierr då β β f(z) dz = f(z(t))d(z(t)) = f(z(t))z (t) dt. γ α Vi noterr ocså tt den omple definitionen n återförs på den reell genom tt vi sätter dz = d+idy, och utför multiplitionen (u+iv)(d+idy) = ud vdy+i(vd+udy), vilet leder till den lterntiv formuleringen (2.2) f(z) dz = ud vdy + i vd + udy. γ γ Läsren n lätt övertyg sig om tt de två synsätten är evivlent genom tt återför integrlern ovn på vnlig integrler genom prmetriseringen v urv. I mång tillämpningr är det nturligt tt utvidg definitionen v urvintegrl till urvor med hörn, det vill säg där urvn är en ändlig union v C -urvor. Denn generlisering är i stort sett helt oproblemtis och vi ommer tt nvänd den utn vidre ommentrer. dz Eempel 2.. Bestäm där γ är en cirel i C med rdie R och centrum i punten γ z, och som är orienterd moturs. Vi n prmetriser urvn som γ : z = + Re it, t 2π. Integrlen blir då dz 2π z = d( + Re it ) 2π + Re it = Rie it dt 2π Re it = i dt = 2πi. γ 3. Anlytis funtioner Vd är då motsvrigheten till villoret Q = P för tt integrtion s vr (lolt) y oberoende v vägen för omple urvintegrler? Enligt definitionen måste både reloch imginärdel i (2.2) vr oberoende v vägen, och båd måste därför uppfyll villoret (2.), vilet ger följnde evtioner: Cuchy-Riemnns evtioner: u = v y, α γ u y = v. Definition 3.. En funtion v lss C som uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner i en öppen mängd Ω C lls nlytis. Eempel 3.. Funtionen f(z) = e z är ett eempel på en nlytis funtion: enligt definitionen v den omple eponentilfuntionen gäller tt u(, y) = Re f(z) = e cos y och v(, y) = Im f(z) = e sin y, och vi verifierr lätt tt u = e cos y = v y, u y = e sin y = v.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 3 På linnde sätt inses tt cos z = 2 (eiz + e iz ) och sin z = 2i (eiz e iz ) är nlytis. I själv veret visr sig de flest v vår välbent funtioner från envribelnlysen vr restritioner till R v nlytis funtioner. Även omple polynom är nlytis, och omple rtionell funtioner (voter v polynom) är nlytis överllt där nämnrn är sild från noll. En tumregel är tt funtioner som är nturlig funtioner v z är nlytis, medn sådn som även innehåller z (t e f(z) = z (= (zz) /2 ) och f(z) = Re z (= 2 (z + z))), normlt inte är det. Följnde sts ger en nnn tolning v begreppet nlytis: Sts 3.. Låt f vr en funtion v lss C. Gränsvärdet f f(z + z) f(z) (z) = lim z z eisterr om och endst om rel- och imginärdelrn u och v till f uppfyller Cuchy- Riemnns evtioner. Anlytis betyder lltså omplet deriverbr. Det är inte svårt tt se tt de vnlig deriveringsreglern (t e produtregeln och edjeregeln) gäller för omple derivtion, och de reell bevisen n överförs ord för ord. För vnlig funtioner gäller ocså tt derivtorn ges v de vnlig väländ formlern, t e D(z n ) = nz n och D(sin z) = cos z. Men det är vitigt tt observer tt omple deriverbrhet är ett mycet strre rv än vnlig reell prtiell deriverbrhet, eftersom gränsvärdet i sts 3. måste eister längs ll ritningr genom punten z. Bevis för stsen. Vi visr först tt om gränsvärdet eisterr, så uppfyller u och v Cuchy-Riemnns evtioner. Argumentet bygger just på tt vi jämför derivtorn längs de reell och imginär ritningrn: I. z = R. f( +, y ) f(, y ) = u( +,y ) + iv( +, y ) u(, y ) iv(, y ) = u( +, y ) u(, y ) = + i v( +, y ) v(, y ) u (, y ) + i v (, y ) när. II. z = i y ir. f(, y + y) f(, y ) = i y u(, y + y) + iv(, y + y) u(, y ) iv(, y ) = i y v(, y + y) v(, y ) + u(, y + y) u(, y ) y i y v y (, y ) i u y (, y ) när y. =

4 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Om f är omplet deriverbr så måste gränsvärden i I och II vr li. Om vi jämför rel- och imginärdelr seprt så erhåller vi just Cuchy-Riemnns evtioner! Eftersom vi hr förutstt lss C så följer den ndr ritningen lätt v tt u och v är differentierbr. Vi får tt f(z + z) f(z) = u( +, y + y) + iv( +, y + y) u(, y) iv(, y) = ( ) ( ) u u v + y y v + i + y y + z ρ( z) = ( ) ( ) u v v y u + i + y + z ρ( z) = ( u + i v ) ( + i y) + z ρ( z), där vi i näst sist steget nvänt Cuchy-Riemnns evtioner. Om vi dividerr med z = + i y och låter z så följer tt f(z) är omplet deriverbr. Vi hr lltså sett tt villoret tt integrtion s vr (lolt) oberoende v vägen är evivlent med tt funtionen uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner. Det ftum tt integrtion är oberoende v vägen för nlytis funtioner brur smmnftts som Sts 3.2 (Cuchys sts). Låt Γ vr en sluten stycvis deriverbr urv i ett enelt smmnhängnde område Ω C, och ntg tt f(z) är nlytis i Ω. Då gäller tt f(z) dz =. Γ Följdsts 3.. Slutstsen gäller även om D Ω är en ompt mängd, f(z) är nlytis i Ω och rnden Γ till D består v ändligt mång urvor som ll är positivt (eller ll är negtivt) orienterde med vseende på D (här behöver vren D eller Ω vr enelt smmnhängnde). Dett följer ur Greens formel tillämpd på (2.2). 4. Cuchys integrlformel Integrtion v nlytis funtioner längs urvor i det omple plnet fungerr i mång vseenden både som integrtion v onservtiv vetorfält i vetornlysen och som vnlig reell integrtion. Om vi t e s berän integrlen v f(z) längs urvn Γ från punten till b och hr tillgång till en primitiv funtion (potentil) F (z) så tt F (z) = f(z), så gäller huvudstsen: (4.) b f(z) dz = F (b) F () (vis dett som övning). Andr integreringsregler gäller ocså med viss modifitioner. T e hr vi följnde vrint v prtilintegrtion: b [ ] b b (4.2) f(z)g(z) dz = F (z)g(z) F (z)g (z) dz.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 5 Speciellt gäller i fllet med en sluten urv tt (4.3) f(z)g(z) dz = Γ Γ F (z)g (z) dz, eftersom den först termen i (4.2) försvinner. Det är doc vitigt tt omm ihåg tt det, precis som i vetornlysen, inte lls är säert tt det finns någon primitiv funtion (potentil) i områden som inte är enelt smmnhängnde, trots tt villoret (2.) n vr uppfyllt. I fortsättningen ommer vi tt behöv följnde vrint v tringeloliheten för integrler: Lemm 4.. Låt Γ : z(t) = (t) + iy(t), α t β, vr en orienterd urv i C, och låt f(z) vr en ontinuerlig funtion längs Γ. Då gäller oliheten β f(z) dz f(z(t))z (t) dt. Γ Bevis. Dett är en diret tillämpning v den vnlig tringeloliheten för integrler : β f(z) dz = f(z(t))z β (t) dt f(z(t))z (t) dt. Γ α α Sts 4. (Cuchys integrlformel). Låt Γ vr den positivt orienterde rnden till det öppn enelt smmnhängnde området D. Om f(z) är nlytis i en omgivning till D så gäller för vrje z D: f(z) = f(ζ)dζ 2πi Γ ζ z. Denn formel är mycet nvändbr och bevis-idén är smtidigt mycet enel. Enligt följdsts 3. n Γ ersätts med en liten cirel Γ ε runt z, utn tt ändr integrlens värde (eftersom Γ Γ ε = ). Om f är nlytis (och speciellt v lss C ) så n vi sriv f(ζ) = f(z) + (ζ z)b(ζ), där B(ζ) är begränsd i en omgivning v z, vilet ger 2πi Γ f(ζ)dζ ζ z = 2πi f(z) 2πi f(ζ)dζ Γ ε ζ z = 2πi dζ ζ z + 2πi α (f(z) + (ζ z)b(ζ))dζ Γ ε ζ z B(ζ) dζ f(z), Γ ε Γ ε där vi nvänt E 2., och tt (med prmetriseringen ζ = z + εe it ) B(ζ) dζ 2πi 2π ε B(z + εe it ) dt εm, Γ ε 2π enligt Lemm 4., där M är störst värdet v B över någon liten cirelsiv som innehåller Γ ε för ll små ε. Observer tt integrlformeln visr tt värdet v f(z) i en godtyclig Den omple versionen v tringeloliheten för integrler är inte helt trivil men n viss på följnde sätt. Vi n nt tt b b g(t) dt och sätt θ = Arg b ( b ) g(t) dt =e iθ g(t) dt=re e iθ g(t) dt = Tän igenom nog vrför vrje steg gäller. b Re b g(t) dt. Då gäller tt ( ) e iθ g(t) dt b = ( ) b Re e iθ g(t) dt g(t) dt.

6 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Figur punt z innnför urvn är helt och hållet bestämt v f:s värden på själv urvn. Att en funtion är nlytis är tydligen en mycet speciell egensp. Iblnd är det mer prtist tt h z som integrtionsvribel. Byter vi plts melln z och ζ i Cuchys integrlformel, får vi f(ζ) = f(z)dz 2πi z ζ. Eempel 4.. Berän urvintegrlen z 3 (z 3)(z 2 + ) dz, Γ där Γ är cireln z = 2 med orientering moturs. Integrnden är nlytis överllt innnför urvn utom i puntern ±i. Vi n därför, på smm sätt som i beviset för Cuchys integrlformel, nvänd följdsts 3. för tt ersätt Γ med två cirlr Γ och Γ 2 som genomlöps i positiv led och som båd hr rdie ρ, och centrum i i respetive i, där ρ är ett godtycligt tl som uppfyller < ρ < (se figur ). z 3 Vi ser nu enligt Cuchys integrlformel, med f(z) = (z 3)(z + i), tt (z 3)(z 2 + ) dz = Γ z 3 γ f(z)dz Γ z i z 3 = 2πif(i) = π ( + 3i). På smm sätt får vi, med g(z) = (z 3)(z i), z Γ2 3 (z 3)(z 2 + ) dz = g(z)dz = 2πig( i) = π ( + 3i). Γ 2 z + i Dett ger nu tt z 3 (z 3)(z 2 + ) Γ dz = z 3 (z 3)(z 2 + ) Γ2 dz + z 3 (z 3)(z 2 + ) dz = Γ

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 7 π ( + 3i) + π 3πi ( + 3i) = 5. Anmärning 4.. Integrlen i det föregående eemplet är hämtt från en omfttnde teori som lls residy-lyl. Grundidén i denn är tt värdet v en integrl över en sluten urv helt och hållet bestäms v hur funtionen beter sig i de punter innnför urvn där den inte är nlytis. Om vi i en sådn punt z innnför urvn n sriv f(z) = A z z + g(z), där g(z) är begränsd i en omgivning till z, så lls tlet A för f:s residy i z, och betecns oft med Res(f, z ). Vår tidigre nvändning v Cuchys integrlformel n nu smmnftts i formeln f(z) dz = 2πi Res(f, z ), Γ där summn ts över de (ändligt mång) punter innnför Γ där f inte är nlytis. Denn formel n även generlisers till situtioner där funtionen n h ett mer omplicert beteende än ovn, men för en systemtis genomgång v denn teori hänviss till högre urser eller speciliserd littertur. 5. Tillämpningr v omple integrler Det visr sig tt nlytis funtioner, ombinerde med idéer från den vnlig vetornlysen, n ge en effetiv metod tt rän ut generliserde integrler som är svår tt berän på nnt sätt. Eempel 5.. Berän den generliserde integrlen I = cos + 2 d = (Den sist liheten beror på tt imginärdelen sin + 2 d = e i + 2 d. v symmetrisäl.) I stället för tt ngrip den reell integrlen diret, integrerr vi den nlytis funtionen f(z) = e iz /( + z 2 ) över Γ R = I R C R där I R = [ R, R], R >, och C R = {z : z = Re it, t π}, med orientering i positiv led (se figur 2). Från lemm 4. tillsmmns med observtionen e iz + z 2 R 2 på C R (som följer v den omvänd tringeloliheten), ser vi nu tt (5.) + z 2 dz π CR e iz R 2 Rdt = πr R 2 när R. Smtidigt gäller, enligt v vd vi vet om bsolutonvergent generliserde integrler tt (5.2) IR e iz + z 2 dz = R R cos + 2 d I

8 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Figur 2 Figur 3 när R. (5.) och (5.2) ger tillsmmns tt Γ R e I = lim R ΓR iz + z 2 dz. Men integrlen över Γ R n även beräns genom tt nvänd Cuchys integrlformel blänges. Funtionen är nlytis innnför Γ R utom i punten i, och vi får e iz dz + z ΓR 2 = e iz z + i dz z i = f(z)dz = 2πif(i), Γ R z i där f(z) = eiz. Vi ser nu ocså tt integrlen ovn i själv veret är oberoende v R, z + i och tt därför I = 2πif(i) = 2πi e = π 2i e. Eempel 5.2. Vi n nu även berän den generliserde integrlen eller lterntivt I = sin d, sin d = 2 sin d.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 9 Metoden är återigen tt i stället betrt en omple urvintegrl: J = ΓR,ε e iz z dz, där Γ R,ε nu väljs som i figur 3. Här är integrnden nlytis innnför urvn, så enligt sts 3.2 blir J = för ll R > ε >, dvs (5.3) =. Γ 6 Γ + Γ 2 + Γ 3 + Vi visr först med hjälp v lemm 4. tt integrlern över Γ, Γ 2 och Γ 3 går mot noll då R : e Γ iz z dz R R dt = då R, R Γ 4 + Γ 5 + där vi nvänt tt e iz och z R på Γ. På linnde sätt fås e Γ3 iz z dz R R dt = då R. R För Γ 2 nvänder vi i stället tt e iz = e y+i = e R och z R där, vilet ger e Γ2 iz z dz R e R dt = 2 Re R då R. R Näst observtion är tt Γ4 e iz z dz + Γ6 e iz R z dz = ε R då R, ε +. Dett beror på tt ε R cos d + e i R d + e i ε d i sin d, R på grund v symmetrisäl, trots tt integrlen ε cos cos d d =, är divergent. Om vi därför låter ε +, R i (5.3), så ser tt det end som blir vr är (5.4) i sin e d + lim ε + Γ5 iz dz =. z Som i beviset för Cuchys integrlformel n vi nu berän den sist integrlen. Observer tt prmetrisering nedn går åt motstt håll mot Γ 5 i figuren, vilet ger ett etr minustecen. e Γ5 iz [ ] z = εe z dz = it π + O(ε) dz = iεe it = dt εe it iεe it dt = iπ + O(ε) iπ. Om vi jämför dett med (5.4) så n vi nu läs v tt sin d = π.

ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Noter tt ovnstående resonemng inte br ränr ut integrlen utn även ger ett bevis för tt den ftist är onvergent (jämför med motsvrnde resonemng i ompendiet om serier och generliserde integrler). Som vslutning på dett vsnitt visr vi även en v mtemtiens vitigste stser som vi hr nvänt mång gånger tidigre, men som vi inte hr unnt vis förrän nu. Sts 5. (Algebrns fundmentlsts). Vrje omplet polynom v grd hr ett omplet nollställe. Bevis. Det räcer tt betrt ett polynom p(z) = z n + n z n +... + z + och vi n nt tt (nnrs är ju z = ett nollställe). Vi ntr tt p(z) snr nollställen och s vis tt dett leder till en motsägelse. Om p(z) snr nollställen så är g(z) = /p(z) nlytis i hel C. Cuchys integrlformel, tillämpd på en cirel C R med rdie R och centrum i origo, ger då tt (5.5) = g() = g(z) dz. 2πi C R z Men med hjälp v Lemm 4. s vi nu vis tt högerledet går mot när R. Vi observerr först tt p(z) = z n + n z +... + z n + }{{ z n. } när z Gränsvärdesdefinitionen ger tt vi n finn R så tt z R = n z +... + z n + z n 2. Det följer tt det för z R gäller tt p(z) 2 zn, vilet i sin tur ger tt g(z) 2 z n. För R R följer nu från Lemm 4. tt g(z) dz 2πi C R z 2π g(re it ) 2π Re it ire it dt 2π 2 2π R n dt = 2 när R. Rn Dett motsäger (5.5), vilet visr stsen. 6. Liformig onvergens v funtionsföljder I tidigre nlysurser hr tlföljder och tlserier behndlts. I stället för en tlföljd ( ) n mn betrt en funtionsföljd (f ()) och liså n mn, i stället för en tlserie, betrt en funtionsserie f (). Här n f ntingen vr reellvärd funtioner v en reell vribel eller nlytis funtioner v en omple vribel. Vi ntr tills vidre tt f är reellvärd och definierde på ett intervll I, ändligt eller oändligt. Antg tt det för vrje I eisterr ett gränsvärde f() = lim f (). I så fll får vi en gränsfuntion f(). Vd n mn då säg om f? Om f är ontinuerlig, n mn förvänt sig tt f är ontinuerlig? Om f är integrerbr över I, n mn förvänt sig tt (6.) lim I f () d = I lim f () d = I f() d?

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER Eempel 6.. Låt f () = rctn() och låt. För = är gränsvärdet (eftersom f () = ), för vrje > är gränsvärdet π/2 (eftersom ) och för vrje < är gränsvärdet π/2. Så gränsfuntionen är f() = Uppenbrligen är f disontinuerlig. π/2 då > π/2 då < då =. Eempel 6.2. Låt g () =. Fierr mn ett och låter, är det + ( ) 2 uppenbrt tt g (), dvs. g() =. Här är lltså g ontinuerlig. Däremot gäller inte (6.), för g () d = d = [ = y] = dy = π, + ( ) 2 + y2 medn g() d = d =. Eempel 6.3. Om h () = ( + 2, så är det lätt tt se tt h() =, dvs. h är ) ontinuerlig, och tt (6.) gäller. Vi definierr nu begreppet liformig onvergens och visr tt under lämplig förutsättningr n inte situtionen i eemplen 6. och 6.2 uppstå för liformigt onvergent följder. Definition 6.. Betrt en funtionsföljd (f ()), I. (i) Följden onvergerr mot gränsfuntionen f puntvis i intervllet I om lim f () = f() för ll I. (ii) Låt M = sup f () f(). Följden onvergerr liformigt mot f i intervllet I om I M då. Enligt gränsvärdesdefinitionen ser mn ocså tt (i) n uttrycs på följnde sätt: Följden (f ) onvergerr mot f puntvis i intervllet I om det för vrje ε > och vrje I eisterr ett ω sådnt tt f () f() < ε för ll > ω. Det är mindre uppenbrt tt ett nnt sätt tt uttryc (ii) är: Följden (f ) onvergerr mot f liformigt i intervllet I om det för vrje ε > eisterr ett ω sådnt tt f () f() < ε för ll > ω och ll I. Observer sillnden: I (i) eisterr ett ω som n vr beroende v I (dvs. för oli n vi behöv välj oli ω), medn det i (ii) sll eister ett ω som duger för vrje I. För tt vis tt (ii) är evivlent med påståendet ovn ntr vi först tt (ii) gäller. För ett givet ε > väljer vi ω så tt om > ω, så är M < ε (dett är möjligt eftersom M ). Nu får vi f () f() M < ε för ll > ω och ll I. Å ndr sidn, om det för vrje ε > eisterr ett ω så tt f () f() < ε för ll > ω och ll I, så är M = sup I f () f() ε för ll > ω. Eftersom ε n väljs godtycligt litet, betyder det tt M.

2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Anmärning 6.. Det är inte nödvändigt tt bestämm det et värdet v M. Vill mn vis liformig onvergens, är det iblnd enlre tt finn M så tt, och vill mn vis tt onvergensen inte är liformig, n det vr enlre tt bestämm b M så tt b och b. Eempel 6.4. Följdern (f ) och (g ) i de föregående eemplen onvergerr inte liformigt i R medn (h ) gör det. Betrt f först. Om vi väljer > så tt inte går mot oändligheten, ommer inte sillnden melln f ( ) och f( ) tt gå mot. Vi n t e välj = /. Då får vi M rctn( /) π/2 = π/4. Så M. För g är det lätt tt se tt M = g () =. Så igen, M. För h är M = /, dvs. h onvergerr liformigt mot h =. Eempel 6.5. Låt f () =,. Vi ser tt f () då för vrje [, [ och f (). Så f() = för < och f() =. Om ligger mycet när men är mindre än, så borde f ( ) vr när medn f( ) =, dvs. M borde vr (vis som övning tt så är fllet). Alterntivt n vi t = /, vilet ger M ( /) /e. Dett räcer för tt vis tt onvergensen inte är liformig. Betrtr vi smm följd på intervllet [, ] med <, så är onvergensen liformig där eftersom M =. Eempel 6.6. Låt f () = + 2 2, R. Det är lrt tt f () för ll. Genom tt deriver ser vi tt störst och minst värde för f nts då = ±/. Så M = /2 då. Alltså onvergerrr f liformigt mot i R. Nedn visr vi tre egensper v liformigt onvergent följder. Sts 6.. Om (f ) är en följd v ontinuerlig funtioner som onvergerr liformigt mot f i intervllet I, så är funtionen f ontinuerlig där. Bevis. Låt I och låt ε > vr givet. Genom tt nvänd tringeloliheten får vi f() f( ) = (f() f ()) + (f () f ( )) + (f ( ) f( )) f() f () + f () f ( ) + f ( ) f( ). Eftersom först och tredje termen i ndr rden ovn är M och M, n vi välj ett sådnt tt dess termer är mindre än ε/3. Eftersom f är ontinuerlig, n vi sedn välj δ > så tt även termen i mitten är, för dett, mindre än ε/3 då < δ. Det följer tt f() f( ) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε då < δ. Alltså är f ontinuerlig i punten. Sts 6.2. Låt (f ) vr en följd v ontinuerlig funtioner som onvergerr liformigt mot f på det begränsde intervllet [, b]. Då är lim b f () d = b lim f () d = b f() d.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 3 Bevis. Tringeloliheten för integrler ger b b b (6.2) f () d f() d f () f() d Påståendet följer eftersom M. b M d = M (b ). För generliserde integrler behöver inte stsen gäll men vi går inte närmre in på dett. Sts 6.3. Låt (f ) vr en följd v ontinuerligt deriverbr funtioner som onvergerr mot f i intervllet I. Om f onvergerr liformigt mot g på I, så är f deriverbr där och f = g. Med ndr ord, ( ) lim f () = lim f () = f (). Bevis. Låt I. Eftersom f g liformigt, får vi enligt sts 6.2 Eftersom lim f (t) dt = lim f (t) dt = f (t) dt = f () f ( ) och f f, får vi f() f( ) = g(t) dt. g(t) dt. Högerledet är deriverbrt, därför måste även vänsterledet vr det. Derivering ger f () = g(). Anmärning 6.2. Liformig onvergens n definiers på smm sätt för nlytis funtioner (intervllet I ersätts då med ett öppet område Ω i C). Sts 6. gäller då oförändrd, och med smm bevis. Sts 6.2 gäller med integrlen från till b erstt med en urvintegrl längs en urv γ Ω. I beviset nvänder mn tt β (f (z) f(z)) dz = (f (z(t)) f(z(t))z (t) dt, γ α och fortsätter sedn som i (6.2) med uppenbr ändringr. En motsvrighet till sts 6.3 är Sts 6.4. Låt (f ) vr en följd v nlytis funtioner som onvergerr mot f i ett öppet område Ω. Om f onvergerr liformigt mot g i Ω, så är f nlytis där och f = g. Bevis. Vi sissr resonemnget som linr det i sts 6.3. För ett givet z Ω n vi välj en punt z Ω och en öppen cirelsiv B med medelpunten i z så tt z B och B Ω. Eftersom B är enelt smmnhängnde, är integrlen v f från z till z oberoende v vägen i B. Så z z z lim f (ζ) dζ = lim f (ζ) dζ = g(ζ) dζ, z z z där högerledet är oberoende v vägen i B. Som i sts 6.3 är vänsterledet ovn li med f(z) f(z ). Ett linnde resonemng som i nlysens huvudsts visr tt högerledet

4 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM är omplet deriverbrt med derivt g(z) (i en v övningrn i vsnitt uppmns läsren tt genomför detljern). Alltså är f nlytis och f (z) = g(z). Eempel 6.7. Berän lim + d. Sätt f () =. Vi ser tt lim + f () = f(), där f() = om < och f() = /2. Eftersom f är disontinuerlig, är onvergensen inte liformig på [, ]. Å ndr sidn gäller, om < <, M = sup + = sup +. [,] [,] Följden onvergerr lltså liformigt på [, ] och vi n tillämp sts 6.2 där. Så lim = + d + lim d = lim d + lim + d = + lim + Låter vi, går den sist termen ovn mot eftersom Så det söt gränsvärdet är li med. + d + d. + d d =. 7. Liformig onvergens v funtionsserier Summn v tlserien definiers som bent som gränsvärdet v prtilsummorn s n = n. onvergens. För funtionsserien Definition 7.. Betrt serien f () definierr vi nedn puntvis och liformig f (), I, och sätt s n () = n f (). (i) Serien onvergerr mot s puntvis i intervllet I om lim n s n() = s() för ll I. (ii) Serien onvergerr liformigt mot s i intervllet I om s n onvergerr mot s liformigt där. Eftersom liformig onvergens v serier svrr mot liformig onvergens v följden (s n ), n stsern 6.-6.3 tillämps på (s n ). Vi återommer str till dett. Men först - hur vgör mn om en serie är liformigt onvergent? Att bestämm s() och berän supremum över I v s n () s() är sälln möjligt. Ett vnlig sätt tt vis liformig onvergens är tt uppstt funtionsserien med en onvergent tlserie. Sts 7. (Weierstrss mjorntsts). Om det finns en onvergent tlserie f () för ll och ll I, så onvergerr funtionsserien i intervllet I. sådn tt f () liformigt

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 5 Bevis. Betecn n:te prtilsummn och summn v Så n s n () s() = f () f () = =n+ = σ σ n. med σ n resp. σ. Vi får =n+ f () sup s n () s() σ σ n då n I eftersom σ n σ. Alltså onvergerr s n mot s liformigt. =n+ f () Eempel 7.. Vis tt serien + 2 onvergerr i intervllet [, [, där, 2 och tt onvergensen är liformig om > men ej om =. Betecn seriens termer med f (). Det är lrt tt serien onvergerr om = (f () = ). Om >, så är /( + 2 2 ) lim / 2 =. Eftersom 2 onvergerr, så onvergerr f () puntvis enligt ndr jämförelseriteriet för serier. Låt >. Genom tt deriver ser vi tt för stor ntr f sitt störst värde då =, med f () = /( + 2 2 ). Nu n vi nvänd Weierstrss mjorntsts med = /( + 2 2 ). Att onvergerr följer ur ndr jämförelseriteriet igen. Att vis tt onvergensen inte är liformig om = är betydligt nepigre: sup 2n =n+ s() s n () = sup =n+ + 2 2 [sätt = /n] =n+ /n + 2 /n 2 /n + 2 /n 2 = /n + (n + ) 2 /n 2 + + /n + 4n 2 /n 2 n /n + 4n 2 /n 2 = 5. Alltså går supremum ej mot då n. Nu formulerr vi motsvrigheter till stsern 6.-6.3. Sts 7.2. Om funtionern f är ontinuerlig och funtionsserien liformigt i intervllet I, så är seriens summ en ontinuerlig funtion där. f () onvergerr Bevis. Eftersom prtilsummn s n är ontinuerlig för vrje n, så är s() = lim s n() n en ontinuerlig funtion enligt sts 6..

6 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Sts 7.3. Om funtionern f är ontinuerlig och funtionsserien liformigt i det begränsde intervllet [, b], så är b ( b ) f () d = f () d. Bevis. Eftersom funtionern f är ontinuerlig och n b ( b n ) f () d = f () d f () onvergerr (integrlen v summn är li med summn v integrlern), n vi tillämp sts 6.2, vilet ger n b ( ) b n lim f () d = lim f () d. Sts 7.4. Om funtionern f är ontinuerligt deriverbr, funtionsserien f () onvergerr och funtionsserien f () onvergerr liformigt i intervllet I, så är ( f () = f ()) för ll I. Beviset nvänder sts 6.3. Vi utelämnr detljern. Eempel på tillämpningr v stsern ovn finns i näst vsnitt eftersom de föreommer nturligt i smbnd med potensserier. Anmärning 7.. Även här n mn betrt serier v nlytis funtioner. Weierstrss mjorntsts gäller med et smm bevis och stsern 7.2, 7.3 gäller med de ändringr som frmgår v nmärning 8.2. Ocså sts 7.4 gäller, jämför med sts 6.4. Noter ocså tt mängden v punter där en omple potensserie onvergerr blir, enligt den omple versionen v sts 8., en cirelsiv z z < R (eventuellt tillsmmns med hel eller delr v cireln z z = R). Dett förlrr det tidigre införd nmnet onvergensrdie. 8. Potensserier Definition 8.. Låt vr ett reellt tl. En serie på formen potensserie. ( ) lls en I föregående vsnitt hr vi summert från =, men för potensserier är det oft bättre tt summer från =, t e börjr Mclurinutveclingr med en onstnt term. Eftersom substitutionen = ger smbndet ( ) =,

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 7 räcer det tt formuler ll resultt för =. mestdels serien (8.). Därför betrtr vi i fortsättningen Eftersom serien börjr med = är det rimligt tt tol dett så även för = (här hr vi egentligen det odefinierde uttrycet ). Om A = lim eisterr, så är lim = A. Enligt rotriteriet onvergerr serien bsolut för < /A om A och för ll om A =. För > /A divergerr serien. Om A =, divergerr serien för ll utom =. Motsvrnde gäller enligt votriteriet om B = lim + eisterr (det är lrt tt A = B om båd gränsvärden eisterr, vrför?). Mn n vis ett strre resultt. Sts 8.. För potensserien (8.) gäller ett v följnde påståenden: (i) Serien onvergerr enbrt för =. (ii) Det finns ett tl R > sådnt tt serien onvergerr bsolut och liformigt för ll < R och divergerr för ll > R. (iii) Serien onvergerr bsolut och liformigt för ll. Definition 8.2. Tlet R ovn lls potensseriens onvergensrdie. I fllet (i) sätter vi R = och i fllet (iii) R =. Vi noterr tt stsen inte säger någonting om fllet = R, och tt R = /A = /B, där A, B är som ovn. Oftst vgör mn seriens onvergensrdie just genom tt bestämm A eller B. Följdsts 8.. Om gränsvärden nedn eisterr (ändligt eller oändligt), så gäller R = lim och R = lim +. Om gränsvärdet är, så sll dett tols som R =, och om gränsvärdet är li med oändligheten, sll det tols som R =. Bevis för stsen. Låt (8.2) R = sup{ : serien (8.) onvergerr}. Vi sll vis tt dett är smm R som i stsen. Det är lrt tt R är väldefiniert och ntingen, positivt eller li med oändligheten. (i) Om R =, så divergerr serien för ll. (ii) Om R är ett positivt tl, så följer det diret ur definitionen v R tt serien divergerr för ll > R. Låt nu vr ett tl sådnt tt < R. Enligt definitionen v supremum finns det ett tl för vilet < R och serien onvergerr. Eftersom dett medför tt lim =, får vi = för ll och ll stor.

8 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Den geometris serien onvergerr (voten är < ), så för onvergerr serien (8.) bsolut enligt jämförelseriteriet för tlserier och liformigt enligt Weierstrss riterium. Eftersom n väljs godtycligt när R, är onvergensen bsolut och liformig för ll < R. (iii) Det återstående fllet är R =. Låt vr ett godtycligt tl. Eftersom supremum i (8.2) är li med oändligheten, finner vi igen ett sådnt tt < och serien onvergerr. Nu fortsätter vi som i fll (ii). Eempel 8.. För vil onvergerr följnde serier? 2 (i). Eftersom + / = 2/(+) 2, onvergerr serien för < /2 och divergerr för > /2. Om = /2, får vi den divergent serien, och om = /2, får vi serien ( ) som onvergerr enligt Leibniz riterium. Alltså onvergerr potensserien för /2 < /2. (ii) ( ) + 2. Här hr vi = ( ) +, så serien onvergerr för < e och divergerr för e > e. Att bestämm vd som händer då = e är svårre. Absolutbeloppet v seriens :te term är då ( ) e e ( ) + 2 = ( ) + ( eftersom + ) < e för ll. Alltså går inte termern mot, så serien divergerr och vår potensserie onvergerr för e < < e. (iii)!. Här hr vi + / =!/( + )! = /( + ). Alltså onvergerr potensserien för ll. Det här är ingen överrsning eftersom det är änt tt seriens summ är li med e för ll. (iv)!. Nu är + / = +, så serien divergerr för ll. Anmärning 8.. I stället för tt bestämm /R som vi gjorde ovn n mn välj tt nvänd rot- eller votriteriet på hel uttrycet. Till eempel i (i) ovn sulle det innebär följnde beräning: + + / = 2 /( + ) 2. Nu ser mn tt serien onvergerr om 2 <, dvs. < /2 och divergerr då > /2.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 9 Sts 8.2. Summn v potensserien (8.) är en ontinuerlig funtion för ll < R. Beviset följer omedelbrt ur stsern 7.2 och 8.. Nedn sll vi vis tt potensseriern får integrers och derivers termvis. Men först behöver vi ett hjälpresultt. Lemm 8.. Potensseriern som (8.). + + och hr smm onvergensrdie Observer tt den först och ndr serien får mn genom tt integrer respetive deriver (8.) termvis. Bevis. Betecn onvergensrdien för den termvis integrerde serien med R. Eftersom /( + ), är det lrt tt R R. För tt vis tt R R nvänder vi ett linnde rgument som i sts 8.. Välj ett sådnt tt < R och sedn med < < R. Då gäller: = ( + ) + + för ll stor eftersom / <, så (+) /. Då < R, onvergerr serien +, och därmed även. Det följer tt om < R, så onvergerr serien (8.), dvs. R R. Om mn integrerr den ndr serien i lemmt termvis, så får mn serien (8.). Alltså följer ndr delen v lemmt ur den först. Sts 8.3. För ll < R gäller ( ) t dt = + + och ( ) =. Bevis följer omedelbrt ur stern 7.3 och 7.4. Om en funtion är oändligt mång gånger deriverbr, säger vi tt den är v lss C. Eftersom smm sts n tillämps på den deriverde serien, får vi följnde Följdsts 8.2. Seriens summ är v lss C för < R. Anmärning 8.2. På smm sätt som (8.) n mn betrt omple potensserier (8.3) z, eller mer llmänt, (z z ), där, z, z C. Resultten ovn gäller för sådn serier, med et smm bevis. Integrlen sll beräns från till z, respetive från z till z (noter tt den är oberoende v vägen). Noter ocså tt enligt sts 3. är seriens summ en nlytis funtion för z z < R. Avslutningsvis ger vi någr eempel på nvändning v resultten ovn.

2 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Eempel 8.2. (i) Berän summn v serien 2 för < R. Det här är smm serie som i eempel 8.(i) och vi vet redn tt R = /2. Betecn seriens summ med s(). Deriverr vi termvis, får vi en geometris serie som vi n summer: s () = 2 = [sätt m = ] = 2 (2) m = 2 2. Så s() = ln( 2) + C och eftersom s() =, är C =, dvs. s() = ln( 2). (ii) Smm uppgift för serien. m= Det är lätt tt se tt R = här. Vi gör omsrivningen s() = = ( + ) = s (). Vidre hr vi s (t) dt = = och slutligen s() = ( ) 2 = ( ) 2. (iii) Smm uppgift för serien +. ( ), så s () = = ( ) 2, Även här är det lätt tt se tt R =. Vi observerr tt + = + + + = +, så + = + = +. Sedn får vi, för < <, + = + + = ln( ) + ( ) t dt = t Seriens summ är lltså för < < och för =. Uppgiften n även löss på ett nnt sätt. Vi utgår från formeln integrerr serien, vilet ger Nu ger derivering + + = ln( ) och + ( ) ln( ) + =, ) dt = ln(. ) = ln(. = och

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 2 så + = ( ln( ) ) = ln( ) +. 9. Potensserier och nlytis funtioner Det visr sig tt det finns ett mycet när smbnd melln omple potensserier och nlytis funtioner. Sts 9.. En potensserie f(z) = (z z ) är en nlytis funtion v z i potensseries onvergenssiv. Dessutom fås den omple derivtn genom tt deriver termvis. Bevis. Dett är en diret onsevens v sts 6.4 och nmärning 8.2. Ovnstående sts är inte på något sätt onstig: vi vet ju tt polynom är nlytis och potensserier är just en sorts generliserde polynom. Vd som är betydligt märligre är tt även omvändningen gäller: Sts 9.2. Om f(z) är nlytis i en öppen mångd Ω C så n f(z) uttrycs som en onvergent potensserie i en omgivning till vrje punt i Ω. Bevis. Dett bygger på Cuchys integrlformel. Potensserieutveclingen erhålles på följnde sätt: Låt γ vr rnden till en cirelsiv med centrum i z, i en omgivning till vilen f är nlytis. För z innnför γ får vi f(z) = f(ζ)dζ 2πi γ ζ z = f(ζ)dζ 2πi γ (ζ z ) (z z ) = f(ζ)dζ f(ζ) ( ) z z 2πi γ ζ z z z = dζ. 2πi γ ζ z ζ z ζ z Eftersom z z < ζ z, är onvergensen liformig, så vi n enligt sts 7.3 och nmärning 7. st om ordningen melln integrtionen och summtionen: (9.) f(z) = (z z ) där = f(ζ)dζ 2πi (ζ z ) +. Men vi n ocså gå ytterligre ett steg längre: om vi nvänder prtilintegrtionsformeln (4.3) på uttrycet för i (9.) så ser vi tt = f(ζ)dζ 2πi (ζ z ) + = f (ζ)dζ 2πi (ζ z ) =... = f () (ζ)dζ = f () (z ),! 2πi ζ z! γ där sist steget följer v Cuchys integrlformel. Vi hr därmed även vist: γ Följdsts 9.. Serieutveclingen v en nlytis funtion ges v den lssis Tylorserien: f () (z ) f(z) = (z z ).! γ γ

22 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM Smmnfttningsvis n vi nu onstter tt vi hr fyr evivlent villor på en funtion för tt den s vr nlytis: Sts 9.3. Om f(z) är v lss C i en öppen mängd Ω C så är följnde villor evivlent: () f(z) är omplet deriverbr. (2) f(z) uppfyller Cuchy-Riemnns evtioner. (3) Integrtion är (lolt) oberoende v vägen. (4) I en omgivning till vrje punt ges f(z) v en onvergent potensserie. En vitig onsevens är: Om f är nlytis, så är den lltid v lss C. Dett i motsts till det reellvärd fllet, där det finns funtioner som är v lss C men ej C 2.. Potensserier och differentilevtioner Potensserieutvecling är en vitig metod, både i ren mtemti och i tillämpningr. Speciellt inom fysien n mn nppst överstt den betydelse som metoden hr hft. Orsen är främst tt mång v de vitigste differentilevtionern som mn studerr inte går tt lös et med hjälp v elementär funtioner och integreringsmetoder. Som regel n mn inte ens lös enl ndr ordningens linjär ordinär differentilevtioner. Potensserier erbjuder då oft ett br lterntiv; å en sidn får mn en lösningsformel som ftist är et, å ndr sidn n denn nvänds för tt gör numeris beräningr med god ontroll över det fel mn gör. Metoden bygger på tt mn med hjälp v evtionen bestämmer derivtor v högre och högre ordning i en given punt och dess bestämmer ju sedn potensserien entydigt; den n:te derivtn v funtionen f() = c i origo är li med n!c n. Eempel.. Betrt differentilevtionen (.) f () f() = f() = och f () =. Vi nsätter nu lösningen som en potensserie runt origo. Eftersom nollte och först ordningens derivtor redn är givn så n denn srivs (.2) f() = + c. =2 Om vi deriverr med hjälp v sts 9. så erhålles f () = + c, f () = f () = =2 ( )c 2, =2 ( )c = =2 ( + )c +.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 23 Insättning i evtionen ger nu ( + )c + = + c. Eftersom en potensserie bestämmer sin oefficienter entydigt så får vi genom tt jämför höger- och vänsterleden: c 2 2 = c 3 3 2 = c 2 c 4 4 3 = c 3 c 5 5 4 = c 4 =2 vilet i sin tur ger. c 2 = 2 c 3 = 2 2 3 c 4 = 2 2 3 3 4 c 5 = 2 2 3 3 4 4 5 och llmänt c =!( )!. Vi är därmed frmme vid den llmänn lösningsformeln (.3) f() = +. =2!( )!. Enligt följdsts 8. får vi för onvergensrdien R = lim c = lim ( + ) =. c + Formeln (.3) ger därmed en lösning för ll R. Dett är doc mer än mn n hopps på i de flest fll.

24 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Övningr. Avgör vil v följnde funtioner som är nlytis i C: : f(z) = 2y + i( 2 y 2 ) b: f(z) = 2y + + i(y 2 + y 2 ) c: f(z) = 2 y 2 + i( 2 + y 2 ) d: f(z) = e sin y + e cos y 2. Berän ze z2 dz där Γ är urvn z(t) = t + i sin t, t π. Γ dz 3. Berän Γ z där Γ är ellipsen 2 + 2y + 2y 2 =, genomlupen i positiv led. 3z 2 4. Berän Γ z 2 z dz, när ) Γ är cireln z = 2, b) när Γ är cireln z = 2, (I båd fllen är cirlrn orienterde moturs,) z 2 e z 5. Berän dz där Γ är cireln z =, orienterd medurs. Γ 2z + i cos z 6. Berän dz där Γ är cireln z = 2, orienterd moturs. 7. Berän Γ Γ z 3 + 9z dz z 2 + då Γ, =, 2, är urvorn i figuren. 8. Berän den generliserde integrlen 9. Berän den generliserde integrlen d ( 2 + )( 2 + 4). d 4 + 4. cos d. Berän den generliserde integrlen ( 2 + )( 2 + 4).. Vis tt följnde funtionsföljder resp. funtionsserier onvergerr liformigt i R: sin ), b) ( ) rctn cos sin 2 (/) c) 2, d) 3/2. 2. Undersö om funtionsföljden nedn onvergerr liformigt i det ngivn intervllet: ) ( ),, b) +,, c) +, >, d),, e) e e, >, f) ( ),, g) ( ),, där ], [. 3. Vis tt följnde serier onvergerr i R och tt onvergensen är liformig i vrje intervll [, ]: ) 2 + 2 2, b) + sin + 2.

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER 25 2 4. Vis tt serien onvergerr liformigt i intervllet [, ]. ( + ) 2 5. 2 Vis tt serien inte är liformigt onvergent i R. 2 6. Utvecl f() = som en potensserie i origo. För vil onvergerr serien? 2 7. Utvecl f() = 3 som en potensserie i origo. För vil onvergerr serien? 22 8. Berän ( + ). För vil onvergerr serien? 9. Berän 2 2 och ( + i) 2 2. 2. Berän. För vil onvergerr serien? + 3 2. Vis tt om g är en ontinuerlig funtion v en omple vribel i en öppen enelt smmnhängnde mängd Ω C som innehåller z, så är S(z) = deriverbr och S (z) = g(z) i Ω. z z g(ζ) dζ omplet 22. Vis tt om f(z) = u(, y) + iv(, y) är en nlytis funtion, så är 2 u 2 + 2 u y 2 = och 2 v 2 + 2 v y 2 =. 23. ) Bestäm en nlytis funtion f(z) som hr reldelen li med 2y eller vis tt ingen sådn nlytis funtion eisterr. b) Bestäm en nlytis funtion f(z) som hr imginärdelen li med 2 + y 2 eller vis tt ingen sådn nlytis funtion eisterr. Ledning till de sist två uppgiftern: Tän på definitionen v en nlytis funtion.

26 ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM 2. Svr. b) ( och d) är ) nlytis, ) och c) är inte nlytis. e π2. 2. 2 3. 2πi. 4. ) 4πi, b) 6πi. πi 5. 4 e i/2. 2πi 6. 9 7. Γ : π, Γ 2 : 2π. π 8. 6. π 9. 4. (2e )π. 6e 2. 2. ), c), e), f) nej, b), d), g) j. 6., 2 < < 2. 2 + 7. 2 2+3, 2 < < 2. 2 8.. Konvergerr för <. ( ) 3 9. 6, 3 i. 2. ln( ) 3 2 2 3, <. 23. ) f(z) = iz 2, b) ingen nlytis funtion.