Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva öreläsningar i Mekanik (M0) Del: tatik och partikeldynamik Läsvecka öreläsning : Jämvikt jämviktsvillkor statiskt obestämda kraftsystem (/-/). Jämvikt: Rörelse och vila hos materiella kroppar beskrivs alltid i förhållande till en referensram. lla rörelse är relativ och måste beskrivas (mätas) i förhållande till något som vi betraktar som fixt t ex ett system av kroppar vilkas inbördes lägen vi bedömer som oföränderliga t ex golv väggar och tak i en lokal den fasta jordskopan ( terra firma ) en rymdstation solen eller de så-kallade fixstjärnorna. igur. Referensramar. Definition: n materiell kropp sägs vara i (mekanisk) jämvikt i förhållande till en given referensram om den befinner sig i permanent vila d v s förblir orörlig i förhållande till den givna referensramen. Det system av yttre krafter och moment som verkar på kroppen i jämvikt sägs hålla jämvikt på kroppen. n kropp som är i jämvikt i förhållande till en given referensram sägs också vara i jämvikt i förhållande till varje annan referensram som har likformig translations-hastighet i förhållande till den primärt givna ramen. Låt O vara en fix (orörlig) punkt i referensramen och i j k en i referensramen fix ON-bas. Om är en materiell punkt i kroppen så beskrivs läget av punkten av lägesvektorn
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva r = r () t = ix () t + j y () t + k z () t (.) där ( x y z ) är punktens koordinater och t betecknar tidvariabeln. unktens hastighet v relativt referensramen definieras av v = v () t = ix () t + j y () t + kz () t (.) där t ex x = x () t betecknar derivatan av koordinaten x = x () t med avseende på tiden d v s () dx () t x t = dt v k r O Referensram j i id jämvikt (relativt referensramen) gäller igur. astighet och referensram. v ( t ) = u (.) för alla tider t där u är en konstant (tidsoberoende) vektor t ex u= 0. Jämviktsvillkor: etrakta en kropp som påverkas av ett system av yttre punkkrafter och moment y : ( M ) ( M ) ( M ) (.4) n n n Låt och M O beteckna kraftsystemets kraftsumma och momentsumma respektive d v s n = i MO = ( ro ) i i + M i i= n i=
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva Momentpunkten O antas vara fix ligga stilla i förhållande till referensramen. Det finns nu en klass av referensramar så kallade inertialramar i vilka mekanikens grundekvationer i form av uler s rörelselagar gäller (Leonard uler 707-78). Dessa ges av ekvationerna = a dm M = r a dm O (.5) där a betecknar den materiella punktens acceleration relativt inertialramen d v s a = a () t = i x () t + j y () t + k z () t (.6) Dessa ekvationer antas gälla för alla materiella kroppar (fast kroppar fluider gaser) i alla rörelser relativt en inertialram. De utgör mekanikens axiom. a r dm i r i M i i O Inertialram = a dm M = r a dm O igur. uler s rörelselagar i en inertialram och uler själv. om sagt en inertialram är en referensram i vilken uler s rörelselagar gäller. Detta är en i grunden teoretisk konstruktion som har samband med Newton s föreställning om det absoluta rummet. I praktiken har man svårt att identifiera inertialramar och man får ofta nöja sig med referensramar som approximativt är inertialramar. Om approximationen duger kan endast avgöras genom experiment. ör rörelser inom solsystemet t ex jordens rörelse brukar man som approximativ inertialram välja en referensram som inte roterar i förhållande till fixstjärnorna och i vilken solsystemets masscentrum rör sig med konstant hastighet. ör rörelser hos kroppar i närheten av jordytan är det praktiskt att välja jorden som referensram. Denna är dock inte en inertialram detta på grund av jordens rotation i förhållande till den approximativa inertialramen för solsystemet. Detta kan man kompensera med att införa så kallade tröghetskrafter som beror på jordens rotationshastighet (ett varv per dygn) och på kropparnas rörelse relativt jorden. Dessa krafter är i allmänhet små i jämförelse med gravitationskraften och andra krafter som verkar på kroppen. ats: (Nödvändigt jämviktsvillkor) Om en materiell kropp befinner sig i jämvikt i förhållande till en inertialram så är systemet av yttre krafter och moment på kroppen ett nollsystem d v s M O (.7)
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva evis: Jämvikt v ( t ) = u där u är en konstant vektor a () t = u. v detta följer enligt uler s rörelselagar = a dm M = r a dm O vilket skulle bevisas. Observera att denna sats gäller för alla kroppar oavsett konstitution (fasta kroppar vätskor gaser). ör stela kroppar har vi även omvändningen till ovanstående sats: n stel kropp kan inte sättas i rörelse av ett system av yttre krafter och moment som utgör ett nollsystem. Om den är i vila så förblir den i vila så länge och M = O 0. Observera att detta inte gäller för alla kroppar t ex inte för en elastisk kropp. Om den obelastade fjädern i figur a) nedan befinner sig i vila och därefter belastas med ett nollsystem bestående av två punktkrafter så förblir inte fjädern i vila. Den kommer att sträckas d v s partiklarna i fjädern kommer i rörelse. v v a) b) igur.4 lastisk kropp belastad med nollsystem Jämviktsvillkoren (.7) består av två vektorekvationer. Detta är ekvivalent med sex skalära ekvationer. Med en ON-bas i j k gäller = ix + jy + k z MO= imx+ jmoy + k MOz och då är villkoren i (.7) är då ekvivalenta med ekvationssystemet x y z och Mx M y Mz (.8) i noterar också att jämviktsvillkoret (.7) medför att M d v s om kraftsumman är noll och momentsumma är noll med avseende på någon momentpunkt (t ex O) så är momentsumman noll med avseende på alla andra punkter också. Detta följer av (.7) och sambandformeln för moment M = MO + ro (.9) tatiskt bestämda och statiskt obestämda kraftsystem: I tredimensionella problem har vi tillgång till sex skalära jämviktsekvationer. Detta innebär att vi högst kan ha sex obekanta kraft- och moment-komponenter för en erhålla en entydig lösning. Om en entydig lösning existerar säger vi att jämviktsproblemet är statiskt bestämt. Om antalet obekanta är större än sex säger vi att jämviktsproblemet är statiskt obestämt (underbestämt ekvationssystem). ör plana (tvådimensionella 4
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva problem) har vi tillgång till tre skalära ekvationer vilket kräver högst tre obekanta kraft- och momentkomponenter för en entydig lösning. xempel.: tatiskt bestämt system: lanka på två stöd. n homogen planka med massan m och längden L vilar mot två stöd enligt nedanstående figur. estäm stödreaktionerna d v s krafterna från stöden på plankan! ml g igur.5 lanka på två stöd. rilägg plankan d v s ta bort stöden och inför stödreaktioner i form av normalkrafts-komponenter: N och N samt tyngdkraften på plankan mg som angriper i plankans masscentrum (mittpunkt). e figuren nedan! ystemet av yttre krafter på plankan ges av ntalet obekanta kraftkomponenter är här två nämligen y : ( jn ) ( j( mg) ) ( jn ) (.0) N och N. L j ( mg) j N j N j i Jämvikt medför att y är ett nollsystem: igur.6 rilagd planka. i kräver dessutom att (tilläggsvillkor) ad innebär dessa villkor fysikaliskt? L L ( ): N mg + N : N + N (.) N 0 N 0 (.) Observera att jämviktsvillkoret för kraftsumman i i -led är trivialt uppfyllt eftersom ( ): 0 5
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva mg kvationssystemet (.) har den entydiga lösningen N = N = > 0. Kraftsystemet (.0) är alltså statiskt bestämt. Observera att villkoren i (.) är uppfyllda. xempel.: tatiskt obestämt system: lanka på tre stöd. n homogen planka med massan m och längden L vilar mot tre stöd enligt nedanstående figur. Det tredje stödet placeras mitt under plankan. estäm stödreaktionerna! g igur.7 lanka på tre stöd. rilägg plankan d v s ta bort stöden och inför stödreaktioner i form av normalkrafts-komponenter: N N och N samt tyngdkraften på plankan mg. ystemet av yttre krafter på plankan ges av y : ( jn ) ( j( mg) ) ( jn ) ( jn ) (.) ntalet obekanta kraftkomponenter är här tre nämligen N N och N. L j ( mg) j N j N j N j i Jämvikt medför (se figur) igur.8 rilagd planka. i kräver dessutom att kvationssystemet (.4) medför att L L ( ): N + N mg + N : N + N (.4) N 0 N 0 N 0 N = N N = mg N 6
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva mg Lösningen är således inte entydig eftersom vi kan välja N godtyckligt i intervallet 0 N. i kan som lösning ha t ex N = mg N = N d v s plankan balanserar på mittenstödet utan mekanisk kontakt med de båda andra. Kraftsystemet (.) är alltså statiskt obestämt. ammanfattning (Jämvikt) y n kropp påverkas av ett system av yttre krafter. Då gäller uler s rörelselagar = a dm M = r a dm O Jämvikt medför ( a ) vilket är ekvivalent med M O x y z och MOx MOy MOz och innebär att y utgör ett nollsystem. iktiga speciella kraftsystem (som t ex är flitigt förekommande i övningsuppgifter i denna kurs) är ett nollsystem bestående av två eller tre punktkrafter. Givet ett kraftsystem bestående av två punktkrafter : ( ) ( ) som är ett nollsystem. Då gäller för kraftsumman och momentsumman v detta följer att = + d v s vi har den situation som visas i figuren nedan M = r + r O = och ( r r ) r 7
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva r igur.9 Nollsystem bestående av två punktkrafter. Givet ett kraftsystem bestående av tre punktkrafter ntag att är ett nollsystem. Då gäller att v detta följer att = + + : ( ) ( ) ( ) M = r + r + r O = + r ( ) = r + r och därmed kan vi sluta oss till att tvåkraftsystemet har kraftresultanten ( ). v detta följer att : ( ) ( ) ats: ör ett nollsystem bestående av tre punktkrafter gäller att krafternas verkningslinjer ligger i ett gemensamt plan antingen skär de varandra i en punkt eller också är de parallella. igur.0 Nollsystem bestående av tre punktkrafter. 8
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva riläggning: När man analyserar en mekanisk kropp (mekaniskt system) önskar man med utgångspunkt från givna förutsättningar besvara ett antal frågeställningar som kan handla om systemets jämviktstillstånd systemets rörelse krafter mellan kroppar i systemet eller krafter mellan kroppar i systemet och dess omgivning. nalysen kräver ett metodisk förfarande som väsentligen innehåller följande steg: (i) älj med hänsyn till aktuell frågeställning ut en delkropp (part) i den aktuella kroppen. (ii) rilägg den valda delkroppen d v s rita en så kallad frikroppsfigur (free body diagram) över denna. Detta innebär att - man ritar en geometriskt representativ bild av den valda kroppen där alla omgivande kroppar har tagits bort. - man inför de yttre kända anbringade krafterna (applied forces) som verkar på t ex tyngdkraften. - man inför reaktionskrafter (kontaktkrafter reactions) som verkar på från de borttagna omgivande kropparna. Dessa krafter är i allmänhet okända. täll upp eventuella restriktioner på kontaktkrafterna som ges av kontaktens natur t ex för normalkraft och friktionskraft. (iii) täll upp jämviktsekvationerna (.7) för. (iv) Lös jämviktsekvationerna för (om det är möjligt) d v s bestäm de obekanta storheterna. (v) Om antalet obekanta är för stort d v s om vi har fler obekanta än antalet ekvationer tvingas man frilägga ytterligare en delkropp som bör väljas så att är i mekanisk kontakt med. (vi) Genomför stegen (i)-(iv) för delkropp. (vii) Lös det ekvationssystem som ges av jämviktsekvationerna för och (om det är möjligt). (viii) Om antalet obekanta är för stort d v s om vi har fler obekanta än antalet ekvationer tvingas man frilägga ytterligare en kropp i det mekaniska systemet och så vidare! Det är viktigt att i varje steg kontrollera antalet obekanta och antalet ekvationer. Denna procedur upprepas och leder förhoppningsvis till ett ekvationssystem som ger en entydig lösning. I de fall där det inte fungerar har man att göra med statiskt obestämda kraftsystem. Det är då nödvändigt att införa antaganden om hur kropparna deformeras under belastning för att man skall kunna hitta en lösning. Detta behandlas t ex i kurserna i Kontinuumsmekanik och ållfasthetslära. igur. truktur i jämvikt. 9
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva xempel.: etrakta en kropp som består av fyra delkroppar och 4. Delkroppen påverkas av en yttre anbringad kraft ( G ). Delkropparna är i kontakt och delkroppen stöder mot ett fixt fundament 0 och delkropp 4 är kopplad till 0 via en axel genom punkten. rilägg delkropparna och ställ upp jämviktsvillkor för delkropp. G 4 g 0 igur. Kropp (mekaniskt system) rilägg delkropp d v s rita en figur över där övriga kroppar har tagits bort och kontaktkrafter mellan och och mellan och 4 införts enligt figuren nedan. G K 4 m g 4 K igur. rilagd delkropp. Det system av yttre krafter som verkar på kroppen Jämviktsvillkor för kroppen : y ( ) : ( G ) ( K ) ( K ) ( m g ) (.5) 4 4 = G+ K + K + m g 4 M = r G+ r K + r K + r m g (.6) O 4 4 0
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva där t ex vektorn K 4 representerar reaktionen från delkropp 4 på delkropp. Om vi frilägger övriga delkroppar så erhålles frikroppsfigurer enligt nedan G K 04 m g 4 K 4 4 K 4 K 4 K 4 m g K K K m g m g K 0 K igur.4 rilagda delkroppar. Det gäller att K = K K = K K4 = K 4 K4 = K 4 (.7) som ett uttryck för lagen om verkan och motverkan ( Newton s tredje lag ). i skall nu demonstrera metoden med friläggning på några problem där kraftsystemet är tvådimensionellt (plant). i kommer senare att studera tredimensionella problem. lana jämviktsproblem: ör ett plant kraftsystem parallellt med i - j -planet gäller per definition att z MOx = MOy och jämviktsvillkoret reduceras därmed till tre skalära ekvationer x y MOz (.8) lternativt för att plant kraftsystem kan vi använda de med (.8) ekvivalenta villkoren där och är (godtyckliga punkter) för vilka r 0 eller x M z Mz (.9) M z Mz Mz (.0)
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva där punkterna och ej ligger på samma räta linje. Detta följer av sambandsformeln (.9) där M= k M z MO= k M Oz r O = ix + j y r O = ix + j y och = ix + j y. Detta ger M z = MOz + x y y x Mz = MOz + x y y x (.) Implikationen (.8) (.9) är uppenbar. ntag nu att (.9) gäller då följer av (.) 0= M + x 0= M + x ( x x) Oz y Oz y y Men här gäller att x x 0 eftersom motsatsen skulle innebära att r = ( x x) y ( y y) x. lutsatsen blir då att y och därmed MOz. tt (.8) medför (.0) är uppenbart. Omvändningen följer om man betraktar ekvationssystemet 0= MOz + x y y x x 0= MOz + x y y x y 0= MOz + x y y x MOz (.) eftersom systemdeterminanten x y x y = ( x y x y ) 0 x y (.) i har nämligen antagit att punkterna och ej ligger på samma räta linje vilket innebär att r r = k( x y x y ) 0. xempel.4 Determine the reactions at and if = 500N. What is the maximum value which may have for static equilibrium? Neglect the weight of the structure compared with applied loads. igur.5 xempel.4 Lösning: rilägg strukturen. Knutpunkterna och är försedda med friktionsfria leder och därmed momentfria vilket innebär att reaktionen i dessa punkter ges av krafter. i inför reaktionskraftkomponenterna x y x y med referensriktningar enligt figuren nedan.
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva x y x y v igur.5 framgår att Detta ger igur.6 Lösning /0 y ( stödet vilar på rullar ) och att x 0. Jämvikt medför ( ) : + 4000sin 0 ( ) : + 000 cos 0 (.4) x x y : + 8 4 4000 cos 0 (.5) x x 4 4000 cos 0 8 = x = 4000 sin 0 x y = 4000 cos 0 (.6) Med Kravet = 500N erhålles x = 85N x = 4000 sin 0 x = 85N y x 0 medför enligt (.6) att = 964N 4 4000 cos 0 4 4000 cos 0 8 0 = 7N 8 öreläsning : Jämvikt för plana och tredimensionella problem (/-/4). xempel. Determine the force required to begin rolling the uniform cylinder of mass m over the obstruction of height h. g igur. xempel..
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva Lösning: rilägg cylindern! Inför den anbringade kraften i punkten. Inför tyngdkraften mg angripande i punkten på cylinderns symmetriaxel. Inför reaktionskrafter N f från den horisontella ytan i punkten och N från hörnet i punkten D. mg N f D r h h d igur. Lösning.. Jämvikt medför: ( ): f ( ): N mg + D : ( r h) + ( mg N) d f h (.) där d = r ( r h). Obekanta reaktionskrafter: N f d v s fyra till antalet. i har enligt (.) bara tre ekvationer och problemet är således statiskt obestämt. Nu gällde problemet att bestämma det som krävs för att cylindern skall börja rulla över kanten. I det läget upphör kontakten i punkten och vi kan sätta N = f. Då gäller enligt (.) mgd mg r ( r h) ( r h) + mgd = = r h r h vilket är den efterfrågade kraften. i kan nu även beräkna reaktionen i punkten D. v (.) följer mg + mg r ( r h) = = r h = mg xempel. n kran består av en arm D med massan 00 kg som är infäst i en plattform. rmen är friktionsfritt lagrad i plattformen med en horisontell axel genom. rmens mass-centrum G befinner sig i det aktuella läget på det (horisontella) avståndet 0m. från armens infästning i. ydraulcylindern påverkar armen med en kraft som är riktad längs. Kranen lyfter en låda med massan 800kg. estäm vid jämvikt i det aktuella läget se figur nedan a) ylinderkraftens belopp 4
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva b) Reaktionskraften R= i + j från plattformen på armen i. Tyngdaccelerationen g = 9. 8 ms. ehandla problemet som ett plant problem! rm D.0 m g = j ( g) G j lattform i igur. xempel.. Lösning: rilägg den kropp som består av kranarmen D lyftkrok och låda! Inför tyngdkrafterna ma g och ml g där ma = 00 kg är armens massa och ml = 800 kg är lådans massa. Inför kraften från cylindern = och reaktionskraften R= i + j från plattformen. ystemet av yttre krafter på den frilagda kroppen ges då av y : ( R ) ( m g G) ( ) ( m g ) a l.0 m D mg a G α mg l j i igur.4 rilagd kranarm. Jämvikt medför: ( ) : m g+ sina mg ( ) : + cosα a l (.) 5
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva : m g. 4 cosa + sina 7 m g a l Geometrin ger att sinα = cosα. Detta insatt i (.) ger ekvationen m a+ 7m l mag+ 46. cosa 7 mg l cosa = g= 46. 00 + 7 800 9. 8.. 8kN 46. och därmed sin α = 5. 6kN. Detta ger cylinderkraftens belopp v (.) följer att = (. 8) + ( 5. 6) kn = 8. 6kN = ( m + m ) g sin a 00 9. 8N 5. 6kN = 5. 8kN = cos α =. 8kN a l och således R= i(. 8kN) + j ( 5. 8kN). var: a) = 8. 6kN b) R= i(. 8kN) + j ( 5. 8kN). Tredimensionella jämviktsproblem: Jämviktsvillkoren ges av (.7) M O Detta är ekvivalent med villkoren M M M (.) under förutsättning att r r 0 d v s att punkterna och ej ligger på en rät linje. örflyttningssatsen för moment ger nämligen M = MO + ro M = MO + ro M = MO + ro (.4) och därmed är det klart att (.7) medför (.). Omvänt om (.) gäller så följer av (.4) att r = r eftersom r r 0. v (.4) följer då att M. O 6
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva roblem /77 uniform steel ring 600mm in diameter has a mass of 50kg and is lifted by the three cables each 500mm long attached at points and as shown. ompute the tension in each cable. igur.5 roblem /77. Lösning: rilägg ringen. Inför spännkrafterna i linorna ( ) ( ) ( ) samt tyngdkraften ( mg G) angripande i ringens masscentrum G. Dessa utgör det system av yttre krafter som verkar på ringen. Jämvikt medför: + + + mg (.5) O h G G 0 j k i mg igur.6 Lösning /77. 0. v figuren framgår att ro = i0. + k h ro = j0. + k h ro = i( 0. ) + j( ) + k h där h5. 0. 4.. i kan skriva = n O = n O = n O där vi har tilläggsvillkoren 0 och 7
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva ro i0. + kh no = = = i06. + k08. r 05. O ro j0. + kh no = = = j06. + k08. r 05. 0. r i( 0. ) + j( ) + kh O n O = = = i( 0. ) + j( 0. ) + k08. r 05. O O v (.5) följer då att ( i06. + k08. ) + ( j06. + k08. ) + ( i( 0. ) + j( 0. ) + k08. ) + k ( mg) = i(. 06 0. ) + j(. 06 0. ) + k(.( 08 + + ) mg) vilket är ekvivalent med ekvationssystemet mg = = 4N 08. ( + ) 06. 0. mg 06. 0. = = 96N. 08. ( ) 0. 8( ) mg 0 + + + = mg = = 59N 04. ( + ) xempel.: (Tentamen 0 Uppgift ) Den horisontella bommen O är upphängd i linor och D och stöder i O via en glatt fix kulled mot en vertikal vägg. ommen belastas enligt figuren med en vertikal kraft på avståndet a (0 < a < 6m) från O. estäm vid jämvikt spännkrafterna i linorna och D som funktion av och a. örsumma linornas massa samt bommens och krokens egentyngd. a igur.7 xempel.. 8
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva Lösning: rilägg bommen O! nitta linorna och inför spännkrafterna och D. rilägg bommen från väggen och inför reaktionskraften R från väggen på bommen. Observera att vektorn R är godtyckligt inritad i igur.4 då den i detta läge är okänd. elastningen på kroken ges av kraften k ( ). ystemet av yttre krafter på bommen ges då av y : ( ) ( ) ( R O) ( k( ) ) D R k ( ) a D igur.8 rilagd bom. Jämvikt medför = + + R+ k( ) M = r + r + r k( ) (.6) pännkrafterna ges av D O D = n D = nd D där n och n D är riktningsvektorer för spännkrafterna. v geometrin framgår att n r ( 6 ) = = = ( 6 ) r ( 6) + ( ) + 7 n D rd ( 40 ) = = = ( 40 ) r D ( ) + 4 + 0 5 där vi uttryckt lägesvektorerna r och r D i komponentform i basen ( i jk ). idare gäller att Detta tillsammans med (.6) ger villkoret r = i 6 r = i r = ia+ k ( e) (m) 9
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva r + r + r k ( ) = 6 0 0 + 0 0 + D i j k i j k 6 4 D D 0 7 7 7 5 5 i j k 4 a 0 e = ( 6)( j k( )) + ( )( k( D )) + ( a) j ( ) = 7 7 5 0 0 8 + a 8 7 j( + a) + k( + D ) 7 7 5 + D 7 5 Detta ekvationssystem har lösningen 7a = D 8 5a = 8 Detta ger lösningen på problemet. Observera att vi inte har använt ekvation (.6)! Denna ekvation kan användas för att beräkna reaktionskraften R. v (.6) följer nämligen att 7a R= k D = k n nd D = ( 00) ( 6 ) 7 8 ( 40 ) 5a = ( ) a= i a + j( a )+ k ( a ) 5 8 9 6 9 6 7a 5a var: = D =. 8 8 0
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva ammanfattning (riläggning) ilken är frågeställningen? rilägg en för frågeställningen lämplig delkropp och rita en frikroppsfigur. eskriv det system av yttre krafter och moment som verkar på delkroppen. täll upp jämviktsvillkoren. Kontrollera antalet ekvationer och antalet obekanta. Lös ekvationssystemet om möjligt. Om antalet obekanta är fler än antalet ekvationer tvingas man frilägga ytterligare en delkropp. älj en ny delkropp. Detta bör vara en kropp som står i mekanisk kontakt med den förra. Genomför ovanstående punkter för denna delkropp. Om nu antalet obekanta och antalet ekvationer överensstämmer kan ekvationssystemet ha en entydig lösning. Om inte så fortsätter man proceduren enligt ovan! Observera att man under ovanstående process kan komma fram till att de kraftsystem som uppträder är statiskt obestämda. roblemet har då ingen entydig lösning!
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva öreläsning : trukturer; fackverk och ramar (4/-4/6). tt fackverk (a truss) är en mekanisk struktur som består av stela raka och lätta stänger som förenas i sina ändpunkter med friktionsfria (glatta) leder. ackverket bildar ett sorts skelett som kan ta upp stora laster och på grund av sin utformning kan detta ske med förhållandevis lätta konstruktioner. ackverk byggs upp av följande element igur. ackverksstrukturer. (i) Raka stångelement som karakteriseras av sin längd. Man försummar stångelementets massa. (ii) Knutpunkter som betraktas som punktformiga. (iii) I knutpunkterna kopplas stångelementen ihop via glatta leder. elastningen på ett fackverk ges av ett system av yttre krafter bestående av (iv) unktkrafter som angriper i fackverkets knutpunkter. Inga yttre krafter verkar på stångelementen. D j tillåten kraft L igur. ackverk.
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva i analys av fackverk beräknar man de krafter som verkar på stångelementen. Dessa krafter bildar ett underlag för dimensionering av stångelementen d v s val av material och val av tvärsnittsgeometri. Krafterna i stängerna skall med viss säkerhetsmarginal understiga vissa kritiska värden för att undvika att fackverket kollapsar på grund av t ex knäckning. Mer om detta i kursen i ållfasthetslära. Krafterna i varje stång måste då beräknas vilket för stora och komplicerade fackverk kan bli ganska omfattande. Räkne-processen kan dock lätt anpassas för att kunna lösas med hjälp av dator. xempel. tt fackverk består av sju likadana stänger (stångelement) vardera med längden L. ackverket stöder mot ett fundament enligt nedanstående figur. ackverket belastas med punktkrafterna ( e y ( ) D) och ( e y ( ) ). estäm krafterna i stängerna och. D L igur. ackverk. Lösning: i börjar med att frilägga hela fackverket för att beräkna stödreaktionerna. Inför stödreaktionerna och enligt figur nedan. Observera att då upplaget vid är glatt (illustrerat i figuren med de små rullarna). D L igur.4 rilagt fackverk. Jämvikt medför
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva ( ): ( ): + L L : + L Detta ekvationssystem ger stödreaktionerna 5 = 4 7 = 4 rilägg en av stängerna t ex stång. å denna verkar ett system av yttre krafter som består av två punktkrafter angripande i stångens ändpunkter: ( ) ( ). Observera att vi försummar tyngdkraften på stången! Detta är en god approximation eftersom stångkraften i allmänhet är väsentligt större än tyngdkraften d v s mg där m är massan hos stången. id jämvikt måste ( ) ( ) utgöra ett nollsystem. ör ett nollsystem bestående av två punktkrafter gäller enligt vad vi tidigare konstaterat (se igur.9) att punktkrafterna har samma verkningslinje och = (.) i har således en situation som beskrivs i nedanstående figur. Observera att om vi inte kan försumma tyngkraften så blir problemet väsentligt mera komplicerat. tångkrafterna kan nu inte längre vara parallella med stången. e igur.4 c) nedan! Om vi introducerar enhetsvektorn n = r riktad längs stången kan stångkraften då skriva L = n ( ) = n ( ) (.) mg mg n a) b) c) igur.5 tångelement i jämvikt. 4
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva tångkraften sägs vara tryckande om att < 0 och dragande om > 0. v (.) och (.) följer n ( ) = n ( ) = n ( ) = (.) rilägg nu knutpunkten. De krafter som verkar på knutpunkten är ( ) = ( n ) ( ) = ( n ). Rita in kraftkomponenterna och i frikroppsdiagrammet. örutom dessa krafter verkar stödreaktionen på knutpunkten. e nedanstående figur. 60 igur.6 rilagd knutpunkt. Jämvikt medför ( ) : + cos60 ( ) : + sin60 (.4) Observera att momentekvationen är uppfylld. Med ekvationssystemet (.4) 5 = erhålles som lösning till 4 5 = 4 5 = åledes om > 0 så är kraften i stången dragande och kraften i tryckande. rilägg nu knutpunkten. i sätter nu ut referensriktningar för stångkrafterna. Observera att kraftkomponenten i igur.7 måste vara motriktad kraftkomponenten i igur.6 enligt lagen om verkan och motverkan. De båda övriga komponenternas riktningar ( D och ) kan väljas godtyckligt se nedanstående figur. Med dessa referensriktningar betyder t ex D > 0 tryckande och < 0 dragande. 0 D igur.7 rilagd knutpunkt. Jämvikt medför: 5
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva ( ) : sin 0 sin 0 ( ) : cos 0 + cos 0 D D D Detta ger med 5 = 5 = D = ( + ) 4 4 åledes om > 0 så är kraften i stången dragande och kraften i D tryckande. Den metod för beräkning av stångkrafterna som utnyttjats ovan brukar kallas knutpunktsmetoden då metoden innebär att man frilägger knutpunkterna. Man kan beräkna samtliga stångkrafter i ett fackverk genom att systematiskt ställa upp jämviktsvillkor för samtliga knutpunkter. Om fackverket är stort med många knutpunkter resulterar detta i ett ekvationssystem med många ekvationer och obekanta. i skall nu demonstrera en annan metod som ibland kan vara att föredra. Den kan för vissa problem snabbt leda till en lösning. Denna metod kallas snittmetoden. xempel.: (Tenta 05084 Uppgift ). tt fackverk belastas enligt nedanstående figur. bestäm krafterna i stängerna D GD och G. tängerna egentyngd kan försummas. igur.8 elastat fackverk. Lösning: i börjar med att frilägga hela fackverket. Inför stödreaktionerna Observera att då upplaget vid är glatt (försett med rullar). och. igur.9 rilagt fackverk. 6
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva Jämvikt medför ( ): ( ): 60 80 0 + (.5) : 60 4 80 8 0 + 6 Detta ekvationssystem ger stödreaktionerna: = 90kN = 70kN. i frilägger nu höger del av fackverket genom att snitta stängerna D GD och G d v s just de stänger vars stångkrafter efterfrågas. Inför stångkrafterna D GD och G. D GD G igur.0 rilagd höger del av fackverket. Jämvikt medför ( ) : + cos 45 + ( ) : 0 + + sin 45 = 0 G GD D D: G 4+ 4 GD (.6) där = 70kN. Detta ekvationssystem ger stödreaktionerna GD = 70. 7kN G = 70kN D = 0kN v detta framgår att krafterna i stängerna GD och G är dragande och att kraften i D är tryckande. ammanfattning fackverk tt fackverk består av raka lätta stångelement som kopplas samman i sina ändpunkter via friktionsfria leder (knutpunkter). ackverket belastas med yttre krafter som angriper i knutpunkterna. tt fackverk kan analyseras med a) Knutpunktsmetoden som innebär (i) riläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna. (ii) riläggning av lämplig knutpunkt (knutpunkter) för bestämning av efterfrågade stångkrafter. b) nittmetoden som innebär (i) riläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna. (ii) riläggning av en del av fackverket genom att snitta lämpliga stänger. 7
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva al av kraftkomponenter När man vid friläggning skall välja referensriktningar för kraftkomponenter så är valfriheten ganska stor. Dock skall man beakta följande: Yttre anbringade krafter bör få samma referensriktningar som anges i förutsättningarna för problemet. Reaktionskraftkomponenter kan ges godtyckliga referensriktningar dock bör man vid kontakter med friktion välja normalkraftkomponenten vinkelrät mot kontaktytan och friktionskraftkomponenten vinkelrät mot normalkraften. Om två kroppar och är i kontakt och man frilägger och inför reaktionskraften från på. Om man därefter frilägger så skall man införa reaktionskraften från på enligt lagen om verkan och motverkan. n ett ramverk (a frame) är en mekanisk struktur som består av stela lätta ej nödvändigtvis raka balkelement som förenas med friktionsfria (glatta) leder. öreningen behöver ej ske i balkarnas ändpunkter och den yttre lasten är ej nödvändigtvis anbringad i balkarnas ändpunkter. n balk i ett ramverk kan således till skillnad från en stång i ett fackverk belastas inne på balkelementet. tt ramverk är således en något mera komplicerad struktur än ett fackverk. xempel.: tt ramverk enligt nedanstående figur belastas med en tyngd med massan. Det antas att hjulen vid D och är friktionsfritt lagrat på sina axlar. julet vid har radien. estäm de krafter som verkar mellan balkelementen i punkterna D och. Tyngdaccelerationen. igur. elastat ramverk. Lösning: i börjar med att frilägga hela ramverket för bestämning av stödreaktionerna i punkterna och D. In för tyngdkraften och stödreaktionerna stödreaktionerna: och. i frilägger samtidigt hjulet vid D för att bestämma kraftkomponenten. Denna analys ger en förklaring till varför tangentiella kraftkomponenter vid hjulförsedda stöd kan sättas till noll. 8
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva D D mg D D D D D Jämvikt för hjulet medför (a är hjulets radie) igur. rilagt ramverk. D: Da D Jämvikt för ramverket (med D D 0): ( ): + D ( ): mg : D 5 mg5. 5 Detta ekvationssystem har lösningen D = 4. kn = 4. kn =. 9kN i frilägger nu ramverkets fem delar. och. e figur nedan! 4 5 4 D 5 mg igur. rilagda delar i ramverket. 9
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva i inför reaktionskrafter (med 0). Jämvikt för delkropp medför: och spännkraften i linan och. ( ): + + + + D ( ): + + : + 5. 05. = 0 D Jämvikt för delkropp medför: ( ): + ( ): + : 5. + = 0 Jämvikt för delkropp medför: ( ): ( ): : = 0 Jämvikt för delkropp medför: 4 ( ): + ( ): : 05. 05. Jämvikt för delkropp medför: 5 ( ): mg De båda övriga jämviktsekvationerna är identisk uppfyllda för denna delkropp. ammanfattningsvis har vi således tio obekanta och hela tretton ekvationer. Om vi använder ekvationerna som hör till friläggningen av delkropparna och så erhåller man ett ekvationssystem med 0 4 5 ekvationer. Detta har en entydig lösning nämligen: = 9. 5kN =. 6kN =. 08kN = 6. 54kN =. 08kN = 6. 54kN =. 9kN =. 9kN och = =. 9kN Man kan nu använda ekvationerna för kropp som ett test på att man räknat rätt. Man kontrollerar att med ovanstående lösning så är jämviktsekvationerna för kropp uppfyllda. 0
Mekanik Del tatik- och artikeldynamik 05 Utgåva ammanfattning ramverk n ett ramverk består av stela lätta ej nödvändigtvis raka balkelement som förenas med friktionsfria (glatta) leder. öreningen behöver ej ske i balkarnas ändpunkter och den yttre lasten är ej nödvändigtvis anbringad i balkarnas ändpunkter. tt ramverk analyseras genom (i) (ii) (iii) (iv) riläggning av hela fackverket för bestämning av stödreaktionerna. riläggning av delkroppar för bestämning av inre reaktionskrafter. Lösning av jämviktsekvationerna. Kontroll av lösningen till ekvationssystemet. Utförs på den sista delkroppen.