KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------ Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar Rak, uppbromsande rörelse: Svängningsrörelse:
Likformig cirkelrörelse: 2 Pendelrörelse: För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen a = v e t + v 2 " e n. -När farten (v) är konstant eller maximal (alternativt minimal) försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v = 0. -När farten är noll försvinner normalkomponenten.
Problemlösning: 3 Problem 1. Antag att rörelsen är rak och att accelerationen beror av läget. Ett exempel kan vara a = bx, där b är en konstant. För att bestämma hastigheten i ett läge x, kommer att behövas begynnelsevillkor. Red ut detta! Lösning: För att se detaljerna hur detta kommer sig utgår vi från definitionen: a = dv. Men tidsderivatan passar inte detta dt problem, utan vi måste byta tiden mot läget: dv dt = dv dx dx dt = v dv dx. Då får vi det matematiska problemet: Sök v från relationen v dv = bx! Vänster och högerled kan nu ses som derivator av en dx okänd ekvation, nämligen (primitiva funktioner): v 2 2 = b x 2 + C, där C kan vara vad som helst som är konstant. 2 Men det räcker att veta v i något läge, t. ex. då x=0. Låt detta värde vara v 0. Då får vi C = v 0 2. Sedan återstår endast att lösa v 2 som funktion av x. Man får: v = bx 2 + v 0 2.
Dynamik kraft-rörelse (orsak-verkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse. v = konstant vektor 2. ma = F 3. Krafter uppstår i par så att summan är noll. Inertialsystem koordinatsystem som inte roterar och inte accelererar. Där är Newtons lagar giltiga! 4 Det finns många inertialsystem Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra): Ingen ändring i uppmätta accelerationer. a = a ' Konstant skillnad i uppmätta hastigheter. v = v ' +V, där V = R.
KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse. (a) (b) 5 m Mg m=150 kg M=200 kg Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen och trissornas massor. Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser hänger ihop med en otänjbar tråd. T (a) T x mg Mg " m x = T # mg " M x = Mg # T Summera ekvationerna: ( M + m) x = ( M " m)g Lös ut accelerationen: x = M " m M + m g.
6 Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda ekvation. Mg (b) x mg " m x = Mg # mg Lös ut accelerationen x = M " m m g Diskutera massans tröghet: En del av massans tyngdkraft går åt till massans egen acceleration.
Newtons 2:a lag för krokig rörelse 7 Problem 1. En pendelmassa m hänger vertikalt ner från innertaket på en bil som kör med konstant fart v över ett backkrön. Spännkraften T i tråden mäts och är känd på toppen av backkrönet. Bestäm backkrönets krökningsradie ". Lösning: Uppe på krönet gäller Newtons 2:a lag. Kraftbilden avslöjar att alla krafter är vertikala. I banans normalriktning gäller: m v2 = mg # T. (1) " Observera att accelerationen är helt i normalriktningen. a = v e t + v2 " e n = v 2 " e. n Löser ut krökningsradien ur (1): " = Vad händer om T=0? mv2 mg # T.
8 Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i den återstående vajern. Lösning: Före kapning har vi jämvikt. T 0 T 0!! mg " 2T 0 sin# $ mg = 0, dvs T 0 = mg 2sin". Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här: T 1 R!! mg sin! mg Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons 2:a lag i radiell riktning (polära koordinater): m R " R# 2 ( ) = "T 1 + mgsin$
Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså T 1 = mgsin" Förhållandet blir: k = T 1 = 2sin 2 ". Numeriskt: " k = 2$ 1% ' 2 T 0 # 2& = 1 2 9 Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m=10 ton, som färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet. Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen förenklas till en punkt. Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av a = v e t + v 2 " e n, men v = konstant " a = v 2 # e n Ur Newtons 2:a lag: e n : m v 2 $ 2 v ' = mg# N, dvs N = m& g " ) " % # (
KOMIHÅG 3: --------------------------------- Accelerationens riktningar för typiska rörelser Använd komponenter i Newton 2: a = v e t + v 2 " e, F = F e + F e. n t t n n ---------------------------------- Föreläsning 4: Fler tillämpningar av Newtons lagar 10 T 1 R!! mg sin! mg Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm vinkelaccelerationen i början av denna rörelse. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1. Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning (motsvarande vinkelökningen). Den riktningen är ortogonal mot tråden och trådkraften: ml " = mgcos". I början är " = #. Vinkelaccelerationen blir " = g cos#. (Svar) L
11 Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen. Lösning: Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons 2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: " 0 = N cos# $ mg. Horisontell cirkelrörelse: e r : m "Rsin#$ 2 ( ) = "Nsin#. Eliminera normalkraften: mr " 2 = mg, för sin" # 0 cos# Lös vinkeln: cos" = g R #. 2 eller sin" = 0.
Coulomb (torr) friktionskraft uppstår vid kontakt mellan två fasta kroppar: N F µ P 12 mg Friktionskraften F µ motverkar rörelse till en viss gräns: -Friktionstalet är en materialkonstant. Problem: En bil med massan m befinner sig med farten v på ett backkrön med krökningsradien R då föraren tvingas bromsa så att hjulen låses och bilen glider mot vägbanan. Bestäm den momentana fartändringen per tid om friktionstalet är µ. Lösning: Kraftanalys: Full friktion i tangentriktningen, Normalkraft och tyngdkraft i huvudnormalriktningen. Kinematik: momentan cirkelrörelse i vertikalplanet. e t : mv = "µn, e n : m v 2 R = mg" N Eliminera normalkraften på bilen: # dvs v = "µ g " v 2 & % (. $ R ' Vad kan hända här?? # m v = "µ mg " m v 2 & % (, $ R '
13 ENERGI-RÖRELSE Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras, medan rörelse kan observeras med ögonen. -Energibegrepp: -Kinetisk energi. T = 1 2 m v 2 -Kraftens effekt (momentant). P = F v Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor effekt har solens gravitation på jordens rörelse? Lösning: Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt. -Kraftens arbete. U 0"1 = t 1 # Pdt. t 0 Härledning av energisamband för rörelse och kraft: - Lagen om Effekten Def: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v v ( ) Tidsderivera: T = 1 2 m v v + v v ( ) = ma v = F v = P, ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma, samt def av effekten P. Alltså: T = P (Effektlagen) - Lagen om Arbetet
Def arbete: U 0!1 = t 1" t 0 Pdt 14 Använd Effektlagen: U 0!1 = t 1" T dt = T 1! T 0 t 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 " T 0 = U 0"1 (Arbetslagen) Problem: En bil med massan m körs med konstant horisontell hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa friktionskraften L = cv, där c är en känd, konstant storhet. - Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar. Svar: F=cv. - Bestäm drivkraftens effekt P. Svar: P = cv 2. - Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas? Svar: Ny fart v. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd. cv' 2 = 2cv 2 " v'= 2v. Farten ökar med "v = 2 #1 ( )v.
Arbete och lagrad (potentiell) energi 15 Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt, t 0 enl definition av effekten. Med definitionen av hastighet v = dr dt, fås t 0 ett alternativt uttryck: U 0"1 = r 1 # F dr. (kraftens arbete längs en väg i rummet). r 0 Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k konservativ kraft. Den kraften ger oss möjlighet att definiera energinivåer i rummet, s k lägesenergier! Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella energi! Definition: --Den konservativa kraftens potentiella energi: ( ) = " F dr V r r #, där r ref är en fix referenspunkt som kan väljas efter r ref behag! De viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft, gravitation och fjäderkraft. En konservativ krafts arbete kan beräknas med hjälp av potentiella energier enligt: U 0"1 = V ( r 0 ) #V ( r 1 ). Tyngdkraftens potentiella energi: ( ) = " "mge z V r r r ref ( ) dr # = mgz + konst. Fjäderkraftens potentiella energi: ( ) = " "k r " l V r r ( ) dr # ( )e r = k 2 ( r " l)2 + konst r ref
Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt. Energiprincipen (gäller inte alltid) - Mekanisk energi (definition): 16 E = T + V Om det inte finns någon friktion bevaras den mekaniska energin: (EP) T 1 + V 1 = T 0 + V 0 Bevis: För en konservativ kraft gäller arbetslagen: T 1 " T 0 = U 0"1. Definitionen av arbetet är en integral som kan delas upp i två delarmed hjälp av en godtyckligt vald punkt r ref. U 0"1 = r 1 r 0 r 1 # F dr = " # F dr + # F dr r 0 r ref r ref = V 0 "V 1, där definitionen av potentiell energi använts. Med denna omskrivning av arbetet fås T 1 " T 0 = V 0 "V 1, som i sin tur kan skrivas som energiprincipen (EP).