" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Relevanta dokument
Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

" e n och Newtons 2:a lag

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

Inre krafters resultanter

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

Mer Friktion jämviktsvillkor

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

university-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

Mekanik Föreläsning 8

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinetik VT 2006

9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

Obs: Använd vektorstreck för att beteckna vektorstorheter. Motivera införda ekvationer!

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

KOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

9, 10. TFYA15 Fysikaliska modeller VT2019 Partikelkinetik-energi Magnus Johansson,IFM, LiU

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Andra EP-laborationen

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Introhäfte Fysik II. för. Teknisk bastermin ht 2018

Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

Övningar Arbete, Energi, Effekt och vridmoment

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

Repetition Mekanik, grundkurs

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

Tentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

TFYA16/TEN :00 13:00

Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan

7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: Tid:

Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A

Inlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B

Tentamen i Mekanik för D, TFYY68

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Repetition

Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs. Problemtentamen

INSTITUTIONEN FÖR FYSIK OCH ASTRONOMI. Mekanik baskurs, Laboration 2. Friktionskraft och snörkraft

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Solsystemet: Solen, Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, (Pluto) Solens massa är ca gånger jordmassan

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

mg F B cos θ + A y = 0 (1) A x F B sin θ = 0 (2) F B = mg(l 2 + l 3 ) l 2 cos θ

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

Möjliga lösningar till tentamen , TFYY97

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

m 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen , kl KTH Mekanik

Lösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse

Kapitel extra Tröghetsmoment

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

Biomekanik, 5 poäng Jämviktslära

Basala kunskapsmål i Mekanik

Lufttryck. Även i lufthavet finns ett tryck som kommer av atmosfären ovanför oss.

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

Transkript:

KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------ Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar Rak, uppbromsande rörelse: Svängningsrörelse:

Likformig cirkelrörelse: 2 Pendelrörelse: För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen a = v e t + v 2 " e n. -När farten (v) är konstant eller maximal (alternativt minimal) försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v = 0. -När farten är noll försvinner normalkomponenten.

Problemlösning: 3 Problem 1. Antag att rörelsen är rak och att accelerationen beror av läget. Ett exempel kan vara a = bx, där b är en konstant. För att bestämma hastigheten i ett läge x, kommer att behövas begynnelsevillkor. Red ut detta! Lösning: För att se detaljerna hur detta kommer sig utgår vi från definitionen: a = dv. Men tidsderivatan passar inte detta dt problem, utan vi måste byta tiden mot läget: dv dt = dv dx dx dt = v dv dx. Då får vi det matematiska problemet: Sök v från relationen v dv = bx! Vänster och högerled kan nu ses som derivator av en dx okänd ekvation, nämligen (primitiva funktioner): v 2 2 = b x 2 + C, där C kan vara vad som helst som är konstant. 2 Men det räcker att veta v i något läge, t. ex. då x=0. Låt detta värde vara v 0. Då får vi C = v 0 2. Sedan återstår endast att lösa v 2 som funktion av x. Man får: v = bx 2 + v 0 2.

Dynamik kraft-rörelse (orsak-verkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse. v = konstant vektor 2. ma = F 3. Krafter uppstår i par så att summan är noll. Inertialsystem koordinatsystem som inte roterar och inte accelererar. Där är Newtons lagar giltiga! 4 Det finns många inertialsystem Byte av inertialsystem innebär (från det högra koordinatsystemet till det vänstra): Ingen ändring i uppmätta accelerationer. a = a ' Konstant skillnad i uppmätta hastigheter. v = v ' +V, där V = R.

KRAFT-RÖRELSE och massans betydelse. (a) (b) 5 m Mg m=150 kg M=200 kg Problem: Bestäm den vertikala accelerationen för 150-kilos cylindern i de båda illustrerade fallen. Bortse ifrån friktionen och trissornas massor. Lösning: Fall a) Friläggning av båda cylindrarna tillsammans med Newtons 2:a lag. Kom ihåg att båda cylindrarnas rörelser hänger ihop med en otänjbar tråd. T (a) T x mg Mg " m x = T # mg " M x = Mg # T Summera ekvationerna: ( M + m) x = ( M " m)g Lös ut accelerationen: x = M " m M + m g.

6 Fall b) Friläggning av den enda cylindern resulterar i en enda ekvation. Mg (b) x mg " m x = Mg # mg Lös ut accelerationen x = M " m m g Diskutera massans tröghet: En del av massans tyngdkraft går åt till massans egen acceleration.

Newtons 2:a lag för krokig rörelse 7 Problem 1. En pendelmassa m hänger vertikalt ner från innertaket på en bil som kör med konstant fart v över ett backkrön. Spännkraften T i tråden mäts och är känd på toppen av backkrönet. Bestäm backkrönets krökningsradie ". Lösning: Uppe på krönet gäller Newtons 2:a lag. Kraftbilden avslöjar att alla krafter är vertikala. I banans normalriktning gäller: m v2 = mg # T. (1) " Observera att accelerationen är helt i normalriktningen. a = v e t + v2 " e n = v 2 " e. n Löser ut krökningsradien ur (1): " = Vad händer om T=0? mv2 mg # T.

8 Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i två vajrar. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i den återstående vajern. Lösning: Före kapning har vi jämvikt. T 0 T 0!! mg " 2T 0 sin# $ mg = 0, dvs T 0 = mg 2sin". Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här: T 1 R!! mg sin! mg Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse. Sätt upp Newtons 2:a lag i radiell riktning (polära koordinater): m R " R# 2 ( ) = "T 1 + mgsin$

Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså T 1 = mgsin" Förhållandet blir: k = T 1 = 2sin 2 ". Numeriskt: " k = 2$ 1% ' 2 T 0 # 2& = 1 2 9 Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m=10 ton, som färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet. Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen förenklas till en punkt. Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av a = v e t + v 2 " e n, men v = konstant " a = v 2 # e n Ur Newtons 2:a lag: e n : m v 2 $ 2 v ' = mg# N, dvs N = m& g " ) " % # (

KOMIHÅG 3: --------------------------------- Accelerationens riktningar för typiska rörelser Använd komponenter i Newton 2: a = v e t + v 2 " e, F = F e + F e. n t t n n ---------------------------------- Föreläsning 4: Fler tillämpningar av Newtons lagar 10 T 1 R!! mg sin! mg Problem 2: En liten kula med massa m är fäst i en sträckt tråd med längd L. Kulan släpps från ett läge som beskrivs av vinkeln " = #, och en pendelrörelse påbörjas. Bestäm vinkelaccelerationen i början av denna rörelse. Lösning: Kraftbilden är som i Problem 1. Sätt upp Newtons 2:a lag i transversell rörelseriktning (motsvarande vinkelökningen). Den riktningen är ortogonal mot tråden och trådkraften: ml " = mgcos". I början är " = #. Vinkelaccelerationen blir " = g cos#. (Svar) L

11 Problem: En kula med massan m kan glida utan friktion längs en cirkelbåge med radien R. Cirkelbågen roterar med konstant vinkelhastighet " kring en fix vertikal axel. Bestäm den vinkel " för vilken kulan är i vila relativt cirkelbågen. Lösning: Kraftanalys: Tyngdkraft och normalkraft från bågen, Kinematik: Horisontell cirkelbana, konstant vinkelhastighet. Newtons 2:a lag: Ingen rörelse i vertikal riktning: " 0 = N cos# $ mg. Horisontell cirkelrörelse: e r : m "Rsin#$ 2 ( ) = "Nsin#. Eliminera normalkraften: mr " 2 = mg, för sin" # 0 cos# Lös vinkeln: cos" = g R #. 2 eller sin" = 0.

Coulomb (torr) friktionskraft uppstår vid kontakt mellan två fasta kroppar: N F µ P 12 mg Friktionskraften F µ motverkar rörelse till en viss gräns: -Friktionstalet är en materialkonstant. Problem: En bil med massan m befinner sig med farten v på ett backkrön med krökningsradien R då föraren tvingas bromsa så att hjulen låses och bilen glider mot vägbanan. Bestäm den momentana fartändringen per tid om friktionstalet är µ. Lösning: Kraftanalys: Full friktion i tangentriktningen, Normalkraft och tyngdkraft i huvudnormalriktningen. Kinematik: momentan cirkelrörelse i vertikalplanet. e t : mv = "µn, e n : m v 2 R = mg" N Eliminera normalkraften på bilen: # dvs v = "µ g " v 2 & % (. $ R ' Vad kan hända här?? # m v = "µ mg " m v 2 & % (, $ R '

13 ENERGI-RÖRELSE Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras, medan rörelse kan observeras med ögonen. -Energibegrepp: -Kinetisk energi. T = 1 2 m v 2 -Kraftens effekt (momentant). P = F v Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor effekt har solens gravitation på jordens rörelse? Lösning: Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen effekt. -Kraftens arbete. U 0"1 = t 1 # Pdt. t 0 Härledning av energisamband för rörelse och kraft: - Lagen om Effekten Def: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v v ( ) Tidsderivera: T = 1 2 m v v + v v ( ) = ma v = F v = P, ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma, samt def av effekten P. Alltså: T = P (Effektlagen) - Lagen om Arbetet

Def arbete: U 0!1 = t 1" t 0 Pdt 14 Använd Effektlagen: U 0!1 = t 1" T dt = T 1! T 0 t 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 " T 0 = U 0"1 (Arbetslagen) Problem: En bil med massan m körs med konstant horisontell hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa friktionskraften L = cv, där c är en känd, konstant storhet. - Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar. Svar: F=cv. - Bestäm drivkraftens effekt P. Svar: P = cv 2. - Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas? Svar: Ny fart v. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd. cv' 2 = 2cv 2 " v'= 2v. Farten ökar med "v = 2 #1 ( )v.

Arbete och lagrad (potentiell) energi 15 Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt, t 0 enl definition av effekten. Med definitionen av hastighet v = dr dt, fås t 0 ett alternativt uttryck: U 0"1 = r 1 # F dr. (kraftens arbete längs en väg i rummet). r 0 Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k konservativ kraft. Den kraften ger oss möjlighet att definiera energinivåer i rummet, s k lägesenergier! Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella energi! Definition: --Den konservativa kraftens potentiella energi: ( ) = " F dr V r r #, där r ref är en fix referenspunkt som kan väljas efter r ref behag! De viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft, gravitation och fjäderkraft. En konservativ krafts arbete kan beräknas med hjälp av potentiella energier enligt: U 0"1 = V ( r 0 ) #V ( r 1 ). Tyngdkraftens potentiella energi: ( ) = " "mge z V r r r ref ( ) dr # = mgz + konst. Fjäderkraftens potentiella energi: ( ) = " "k r " l V r r ( ) dr # ( )e r = k 2 ( r " l)2 + konst r ref

Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt. Energiprincipen (gäller inte alltid) - Mekanisk energi (definition): 16 E = T + V Om det inte finns någon friktion bevaras den mekaniska energin: (EP) T 1 + V 1 = T 0 + V 0 Bevis: För en konservativ kraft gäller arbetslagen: T 1 " T 0 = U 0"1. Definitionen av arbetet är en integral som kan delas upp i två delarmed hjälp av en godtyckligt vald punkt r ref. U 0"1 = r 1 r 0 r 1 # F dr = " # F dr + # F dr r 0 r ref r ref = V 0 "V 1, där definitionen av potentiell energi använts. Med denna omskrivning av arbetet fås T 1 " T 0 = V 0 "V 1, som i sin tur kan skrivas som energiprincipen (EP).