S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M U P P L A G A 2 - β F Ö R E L Ä S N I N G A R I M E K A N I K S TAT I K O C H PA R T I K E L D Y N A M I K

Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik Lindström, Stefan B. upplaga 2-β Copyright c 2016 Stefan B. Lindström Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder: Du har tillstånd: Att dela att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella ändamål. På följande villkor: Erkännande Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det sätt de anger. Inga bearbetningar Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga förutsättningar: Undantag Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public Domain Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas denna status inte på något sätt av licensen. Notera Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.

Innehåll I Statik 1 Inledning 9 1.1 Grundläggande begrepp 1.2 Newtons rörelselagar 1.3 Krafter i klassisk mekanik 2 Kraftsystem 13 2.1 Kraft 2.2 Moment 2.3 Kraftsystem 2.4 Plana kraftsystem 3 Statisk jämvikt 21 3.1 Jämviktsekvationer 3.2 Friläggning 3.3 Flerkroppsproblem 4 Masscentrum och tyngdpunkt 27 4.1 Densitet 4.2 Masscentrum 4.3 Masscentrum för tunna kroppar 4.4 Tyngdpunkt

4 5 Friktion 33 5.1 Ett friktionsexperiment 5.2 Coulombfriktion 5.3 Friktion i ett system av kroppar II Partikeldynamik 6 Plan kinematik 39 6.1 Rätlinjig rörelse 6.2 Kroklinjig rörelse 6.3 Kinematiska tvång 7 Kinetik 49 7.1 Newtons rörelselagar 7.2 Rörelseekvationer och problemlösning 8 Effekt, arbete och energi 53 8.1 Effekt 8.2 Arbete 8.3 Rörelseenergi 8.4 Konservativa krafter 8.5 Mekaniska energisatsen med potentialer 9 Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment 59 9.1 Rörelsemängd och impuls 9.2 Rörelsemängdsmoment 9.3 Partikelsystem 10 Stötar 65 10.1 Stötar mellan partiklar 10.2 Stötimpuls

5 11 Svängningsrörelse 69 11.1 Fria svängningar 11.2 Påtvingade svängningar Bilagor A Geometri 79 A.1 Plan geometri A.2 Trigonometri B Vektorer 83 B.1 Geometriska vektorer B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem B.3 Skalärprodukt B.4 Kryssprodukt B.5 Vektorvärda funktioner C Storhet, enhet och dimension 87 C.1 Dimension C.2 Enhet C.3 Mätetal C.4 Räkneregler för dimension C.5 Dimensionsriktighet D Differentialer 91 Litteraturförteckning 93 Sakregister 95

6 Förord Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära mekanikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas vid problemlösning, åläggs pedagogen. Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks dimensionsriktighet (bilaga C). För partikeldynamikdelen krävs därutöver att läsaren behärskar ordinära differentialekvationer och differentialnotation (bilaga D). Tack Ett varmt tack till tekn. dr Peter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2. Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i bilaga C.

Del I Statik

1 Inledning Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B) och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig framställningen. 1.1 Grundläggande begrepp Kropp och stelkropp En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara kontinuerligt utbredd inom kroppens område. Alla kroppar kan deformeras ändra sin form genom att lägena för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I många problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan kropp kallas stelkropp. Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant. Partikel En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat 1 för kroppar eller delkroppar: 2 Postulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan betraktas som en partikel. 1 postulat obevisat påstående med experimentellt stöd. 2 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2 Om man t.ex. analyserar Jordens rörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000 gång-

10 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik er större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt. Läge, hastighet och acceleration En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3. Vi definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som r = OP, där O betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med basvektorerna ē x, ē y och ē z. Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer lägesvektorn att bli en vektorvärd funktion (jfr bilaga B.5) 3 Benämns även ortsvektor. r(t) = x(t)ē x + y(t)ē y + z(t)ē z, (1.1) vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten hos punkten definieras som v(t) d r dt = ẋē x + ẏē y + żē z, (1.2) och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration ges av ā(t) d v dt = d2 r dt 2 = ẍē x + ÿē y + zē z, (1.3) och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen. Statik innefattar endast fallet ā = 0. Detta är liktydigt med att hastigheten är konstant, så att r(t) beskriver en rätlinjig bana om v 0 (fig. 1.1b), eller en fix punkt om v = 0. z z P y r(t) O x (a) P y v r(t) O x (b) v(t) Kraft När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan. För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges en precis innebörd i Newtons rörelselagar. Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs en bana r(t) med (a) varierande hastighet v(t), eller med (b) konstant hastighet v och accelerationen ā = 0. 1.2 Newtons rörelselagar Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna): 4 4 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN 91-40-60433-0

inledning 11 2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = mā, (1.4) där Σ F är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration. 3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare partikeln på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft. Dessa lagar kommer att behandlas utförligare i del II. Inom statik intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll. Inertialsystem Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar. 1.3 Krafter i klassisk mekanik Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller att z ỹ z y x x z y x Figur 1.2: Givet ett inertialsystem xyz där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar relativt inertialsystemet, t.ex. xỹ z, inte att vara några inertialsystem. Koordinatsystem vars origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex. x y z, är inte heller några inertialsystem. 1 N = 1 kg m/s 2. Gravitationskraft Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3). 5 I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö, 1986b. ISBN 91-40-60437-3 F g m 2 m 1 F Figur 1.3: Newtons gravitationslag g för partiklar tillämpad på Jordens r växelverkan med Månen.

12 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med massorna m P respektive m Q verkar en attraktiv kraft med beloppet F g = G g m P m Q r 2, (1.5) olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet g = 9,80665 N/kg vid problemlösning. 8 Kontaktkrafter Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot väggen, vilket kan representeras av en kraft F på väggen. Omvänt kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft F mot din hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan. där G g = 6,674 10 11 Nm 2 /kg 2 är gravitationskonstanten 6, och r 6 P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. betecknar avståndet mellan partiklarna. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41: En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid 043109, 2012 jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar, men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten. 7 I Sverige är g 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan 7 Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen. 8 Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units (SI). 8th edition, 2006 F F Figur 1.4: (a) En hand trycker mot en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora motriktade kontaktkrafter. (a) (b) Elastisk kraft k Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av någon kraft antar den sin naturliga längd l 0 (fig. 1.5a). Om motriktade krafter, vardera med beloppet F e, angriper vid fjäderns ändpunkter kommer fjädern att ändra sin längd till l (fig. 1.5b). För en så kallad linjär fjäder gäller då sambandet F e = k(l l 0 ), (1.6) F e l 0 (a) k l (b) F e där k benämns fjäderkonstanten. Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.

2 Kraftsystem 2.1 Kraft En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet. Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar i punkter på stelkroppen: Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F, som tillordnats en angreppspunkt P. kraftvektor verkningslinje angreppspunkt Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen. En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1). Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina komposanter (fig. 2.2) F = F x ē x + F y ē y + F z ē z, (2.1) eller som en skalär F gånger en riktningsvektor F = F ē F. (2.2) ē z ē y ē x F y P F z ē F F F x Figur 2.2: En kraft F angripande i punkten P. Pilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter. I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = F eller F = F. En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn ē λ kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av F λ = F ē λ = F cos ϕ, (2.3) F ϕ ē λ λ F λ = F ē λ där 0 ϕ 180 är vinkeln mellan F och ē λ (fig. 2.3). Figur 2.3: Kraftkomponenten för F m.a.p. en axel λ.

14 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik 2.2 Moment Kraftmoment Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas moment. Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F vara en kraft som angriper i punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn M A r F, (2.4) Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ kommer att ha en vridande verkan kring axeln. där r = AP. Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M A :s riktning av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Beloppet av vektorn M A är M A = r F = { ekv. (B.12) } = r F sin ϕ = d F, (2.5) där d = r sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r och F (fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn ē λ, definieras som F P r M A = r F A Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; kraftmomentvektorn M A ges då tummens riktning. M λ M B ē λ, (2.6) där B är en godtycklig punkt på axeln λ. F ϕ P r d A r F ϕ M A = r F Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F och angreppspunkt P ger ett kraftmoment MA m.a.p. A, som är vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Sats 2.3. Låt n krafter F 1,..., F n, verka i samma punkt P. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt A, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. A: n r F i = r i=1 där r = AP. n F i, (2.7) i=1

kraftsystem 15 Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. A ges av n r F i = r ( F 1 + F 2 + + F n ) = { ekv. (B.14b) } i=1 = r F 1 + r ( F 2 + + F n ) = { upprepa (B.14b) } = r F 1 + r F 2 + + r F n n = r F i i=1 P r F F y ē y P r F x ē x Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter (fig. 2.7). Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive moment (sats 2.3). A A Figur 2.7: Momentet från en kraft är lika med summan av momenten från dess komposanter: r F = r F xē x + r F xē y (2D). Kraftparsmoment Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, F P med angreppspunkt P och F Q med angreppspunkt Q, sådana att F Q = F Q (fig. 2.8). En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma är F P + F Q = 0, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är vridande. Q F Q = F P P F P Figur 2.8: Kraftpar. Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt A. Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F med angreppspunkt P och F med angreppspunkt Q (fig. 2.9), är kraftparsmomentet C = r F, (2.8) där r = QP. Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A är C = AP F + AQ ( F ) = AP F AQ F = { ekv. (B.14b) } = (AP AQ) F = (QA + AP) F = { parallellogramlagen } = QP F = r F A F Q Figur 2.9: Kraftpar som bildar kraftparsmomentet C = r F. r P F Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.8). Det finns två kontaktpunkter, P och Q, mellan skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på

16 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning, kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.10). F Q P F Q P C = QP F Figur 2.10: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen. 2.3 Kraftsystem Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar tillsammans ett kraftsystem. Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n 0 krafter F 1, F 2,..., F n med givna angreppspunkter P 1, P 2,..., P n, samt att antal m 0 kraftparsmoment C 1, C 2,..., C m (fig. 2.11). C 1 F 2 P 1 P 2 C m C2 Fn Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stelkropp. P n F 1 Kraft- och momentsumma Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn Σ F n F i. (2.9) i=1 Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt. Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en godtycklig punkt A vektorn Σ M A n AP i F m i + C i. (2.10) i=1 i=1

kraftsystem 17 Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt A erhåller man alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. A och alla systemets kraftparsmoment. Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller Σ M B = Σ M A + BA Σ F, (2.11) där Σ M A och Σ M B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och Σ F är systemets kraftsumma. Bevis. Definition 2.9 ger Σ M n B = BP i F m i + C i = { parallellogramlagen } = = i=1 i=1 i=1 n ( ) m BA + APi Fi + C i = { ekv. (B.14b) } n BA F i + i=1 i=1 = BA Σ F + Σ M A. i=1 n AP i F m i + C i = { sats (2.3) } i=1 } {{ } =Σ M A Reducerade kraftsystem Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet Γ A till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt A, består av Γ:s kraftsumma Σ F verkande i A samt ett kraftparsmoment Σ M A, som är Γ:s momentsumma m.a.p. A. C 1 F 2 F 1 P 1 P 2 P n F n C m C 2 Σ F Σ M A A Figur 2.12: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt reducerade kraftsystem Γ A m.a.p. en godtycklig punkt A. Det reducerade kraftsystemet Γ A är ekvivalent med Γ ur kraft- och momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela kropp varpå Γ verkar. Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman Σ F = 0 och momentsumman Σ M A = 0 m.a.p. någon punkt A, sägs kraftsystemet vara ett nollsystem. Sats 2.13. Om ett kraftsystem är ett nollsystem så är dess momentsumma Σ M B = 0 för varje godtycklig punkt B.

18 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7, som är ett nollsystem gäller att Σ F = 0 samt att Σ M A = 0 för någon punkt A. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från A till B ger Σ M B = Σ M A + BA Σ F = 0 + BA 0 = 0. Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende av valet av momentpunkt. 2.4 Plana kraftsystem Definition 2.14 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan, benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter P i, i = 1,..., n ligger i referensplanet, och sådant att F i ē n, i = 1,..., n, Ci ē n, i = 1,..., m, där ē n är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.13). F 1 C 1 F 2 P 2 C 2 ē n Fn P 1 P n C m Figur 2.13: Plant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen ē n. För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en momentpunkt A i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ±ē n -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning. I fig. 2.14 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten C 1,..., C m i referensplanet. Sats 2.15. För en kraft F med angreppspunkt P i ett plant kraftsystem ges kraftmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A i referensplanet av F 1 ē z F 2 ē y P 1 ē x P 2 C 1 C 2 P n C m F n Figur 2.14: Ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Systemets kraftparsmoment kan därmed skrivas som skalärer. M A = ±d F, (2.12) där F är kraftens belopp och d kallas hävarm och är vinkelräta avståndet från A till kraftens verkningslinje.

kraftsystem 19 Bevis. Vi har att M A = ± M A = { def. 2.2 } = ± AP F = { ekv. (B.12) } = ± AP F sin ϕ, där ϕ är vinkeln mellan AP och F (fig. 2.15). Eftersom avståndet från A till kraftens verkningslinje är d = AP sin ϕ följer det att M A = ±d F. F ϕ ē z ē y P ē x AP d = AP sin ϕ A Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig. 2.15 är riktat i ē z - riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ē n = ē z kommer kraftmomentet M A, och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle välja ē n = ē z. Figur 2.15: Geometri för kraftmoment i ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Hävarmen betecknas d.

3 Statisk jämvikt 3.1 Jämviktsekvationer Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En stelkropp är i statisk jämvikt om varje punkt på kroppen har accelerationen noll relativt ett givet inertialsystem. Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet. v Eftersom en stelkropp inte kan deformeras, följer det att alla punkter på en stelkropp i statisk jämvikt rör sig med samma konstanta hastighet v. Punkterna på kroppen färdas därför längs räta parallella banor, så kallad translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila inne- bär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts så att v = 0. Statisk jämvikt definieras utifrån stelkroppens rörelse, inte utifrån vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt krävs ett postulat. v v Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är ett nollsystem Σ F = 0 (3.1a) Σ M A = 0, (3.1b) där Σ F är kraftsystemets kraftsumma, och Σ M A är kraftsystemets momentsumma m.a.p. en godtycklig punkt A. Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt. Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt. Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv. (B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära ekvationer ΣF x = 0 ΣM Ax = 0 ΣF y = 0 ΣM Ay = 0 (3.2) ΣF z = 0 ΣM Az = 0, vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.

22 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Jämvikt i två dimensioner För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.14), så att ē n = ē z i def. 2.14, erhåller vi F i ē z F iz = 0 ΣF z = 0. Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen så att ΣM Ax = ΣM Ay = 0, där A betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår endast tre icketriviala jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM Az = 0. (3.3) 3.2 Friläggning Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system. Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är: 1. Bestäm vilken kropp som ska friläggas, här inom streckad linje. g G 2. Rita ett diagram, som endast innehåller den frilagda kroppen. G 3. Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. G Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex. tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.

statisk jämvikt 23 Tyngdkraft g ē z Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2). Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten. Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4. Tvångskrafter och -moment Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter eller tvångsmoment uppstå vid kontakten. Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω 1 och Ω 2. Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P. Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F 1 verkande i P på kroppen Ω 1, samt ett kraftparsmoment C 1 på Ω 1. Kontakten ger också upphov till en kraft F 2 verkande i P på kroppen Ω 2, samt ett kraftparsmoment C 2 på Ω 2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen gäller G mgē z ē x ē y Figur 3.2: En stelkropp på vilken tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G. F 2 = F 1, C2 = C 1. Ω 2 P F 1 P C 2 C 1 P F 2 Figur 3.3: Två kroppar, Ω 1 och Ω 2, med en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F 2 = F 1; C 2 = C 1. Ω 1 Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn, lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter och -moment, enligt följande två principer: 1. Om en infästning medger att Ω 1 kan förskjutas fritt relativt Ω 2 i en riktning ē λ, gäller F 1 ē λ = F 2 ē λ = 0. Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d. 2. Om en infästning medger att Ω 1 kan vridas fritt relativt Ω 2 kring en axel med riktningsvektorn ē λ genom P, gäller C 1 ē λ = C 2 ē λ = 0. Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b.

24 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik z C z z C z F z F z x y F x C x F y C y x y F x F y C y (a) (b) x z y F x N F y x z y F x N (c) (d) Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad. Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.4. När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång. Snören och trissor Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre belastas av två krafter S och S, som verkar i vardera änden och är parallella med snöret (fig. 3.5a). När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b). Figur 3.4: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband och limförband, där krafter och kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en sprint vridning kring x-axeln, varför C x = 0. (c) Friktionskontakt med rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att C x = C y = 0. Utan friktionsmoment kring normalaxeln har vi C z = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, F y = 0, och vridning medges kring varje axel, C x = C y = C z = 0. S S 1 S 2 r A S 1 S 2 Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter, parallella med snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt för trissan kring A visar att S 1 = S 2. S (a) (b) S 1 = S 2

statisk jämvikt 25 Tvåkraftsystem Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp. Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två nollskilda krafter verkar på en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6). Q P F P Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F P med angreppspunkt P och F Q med angreppspunkt Q, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger F P + F Q = 0, så att F P = F Q och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed är också deras verkningslinjer parallella. Momentjämvikt m.a.p. P ger (fig. 3.7) PP F P + PQ F Q = 0 PQ F Q = 0 { ekv. (B.12) } PQ F Q sin ϕ = 0 { FQ 0 } PQ sin ϕ = 0, F Q = F P Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller. F Q Q PQ d ϕ P FP Figur 3.7: Geometri för beviset till sats 3.3. där ϕ är vinkeln mellan PQ och F Q. Enligt fig. 3.7 är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna just d = PQ sin ϕ = 0, så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla. Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8). Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man utnyttjar denna egenskap. Figur 3.8: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och tryck. Även masslösa snören är tvåkraftsystem. 3.3 Flerkroppsproblem När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt, måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem. Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och kraftparsmoment.

26 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a. Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen rör krafter mellan konstruktionens delar. A B D G1 C (a) E G 2 g N D m 1 g (b) m 2 g N E Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G 1 och massan m 1, en masslös hydraulcylinder och ett schaktblad på balk med masscentrum G 2 och massan m 2. (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel. F Ay F h F h F Ax F Ax F h F Ay N D m 1 g N E F h m 2 g (c) Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel, varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.

4 Masscentrum och tyngdpunkt 4.1 Densitet Densiteten ϱ hos ett material är ett mått på materialets täthet, och definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m 3. Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen upptar i rummet, och således varierar även densiteten: ϱ = ϱ( r). En kropp Ω har därmed massan m = Ω dm = Ω ϱ( r)dv, (4.1) där dv är ett infinitesimalt volymselement, dm = ϱdv är ett masselement och r är integrationsvariabeln (fig. 4.1). Ω dv r z y x 4.2 Masscentrum Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett snöre anslutet till en punkt P 1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om förfarandet upprepas för flera olika punkter, P 1, P 2,..., på kroppens yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer med god noggrannhet skär en gemensam kroppsfix punkt, som kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2). Figur 4.1: Geometri för definition av massa. g P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 P 1 tyngdpunkt Figur 4.2: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter P 1, P 2,... på kroppen skär en gemensam punkt benämnd tyngdpunkten. I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G, och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.

28 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten ϱ( r) definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn r G 1 rdm = 1 rϱ( r)dv, (4.2) m m Ω där m betecknar kroppens massa. Ω Detta betyder att om r G = x G ē x + y G ē y + z G ē z så ges masscentrums x-koordinat av x G = 1 xϱ(x, y, z)dxdydz, (4.3) m Ω med analoga uttryck för y G och z G. Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω med massan m är sammansatt av n delkroppar Ω 1,..., Ω n, ges den sammansatta kroppens masscentrum av r G = 1 n m i r Gi, (4.4) m i=1 där m i är massan och r Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te delkroppen (fig. 4.3). Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi r G = 1 rdm = { En integral för varje delområde } m Ω = 1 [ ] rdm + + rdm m Ω 1 Ω n = 1 [ ] 1 1 m 1 rdm + + m n rdm m m 1 Ω }{{ 1 m n Ω }}{{ n } = r G1 = r Gn = 1 n m i r Gi. m i=1 m 1 r G1 z r Gn y m n Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar Ω i, i = 1,..., n, vardera med massan m i och masscentrum G i. x Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn r C 1 rdv, (4.5) V Ω där V betecknar kroppens volym. Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. ϱ är konstant. I sådana fall är kroppens massa m = ϱdv = ϱ dv = ϱv. Ω Ω Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2), r G = 1 rϱdv = 1 m ϱv ϱ rdv = 1 rdv = r C. V Ω Ω Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum. Ω

masscentrum och tyngdpunkt 29 4.3 Masscentrum för tunna kroppar För ett tunt skal definieras ytdensiteten ϱ A som skalets massa per areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver ϱ A = ϱ A ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna den yta i rymden, som skalet upptar. Låt da vara ett infinitesimalt ytelement på Ω. Motsvarande masselement blir dm = ϱ A da, så att lägesvektorn för skalets masscentrum G blir r G = 1 rdm = 1 rϱ A da, (4.6) m m Ω Ω enligt ekv. (4.2) (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5) för geometriskt centrum till r C = 1 rda, (4.7) A Ω där A = da är skalets area. Ω För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P till Q, definieras linjedensiteten ϱ l som stångens massa per längdenhet. Låt ds beteckna ett infinitesimalt längdelement på kurvan K, så att motsvarande masselement är dm = ϱ l ds. Stångens masscentrum G ges då av r G = 1 m K rdm = 1 m K rϱ l ds, (4.8) enligt ekv. (4.2) (fig. 4.5). Ekvation (4.5) generaliseras här till r C 1 rds, (4.9) l K där l = ds betecknar kurvan K:s längd. K z y Ω x r da Figur 4.4: Geometri för definition av masscentrum för ett tunt skal Ω. P z K y r x ds Q Figur 4.5: Geometri för definition av masscentrum för en tunn stång längs kurvan K. 4.4 Tyngdpunkt Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten ϱ = ϱ( r). Kroppen påverkas då av en volymskraft, f g ( r) = ϱ( r)ḡ( r), där ḡ betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet ḡ( r) = ḡ är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område. Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp Ω med massan m och densiteten ϱ = ϱ( r) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält ḡ ges kraftsumman av volymskraften ϱ( r)ḡ av tyngdkraften F g = mḡ, (4.10) och momentsumman för ϱ( r)ḡ m.a.p. kroppens masscentrum G är Σ M G = 0.

30 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dv med massan dm = ϱdv och lägesvektorn r. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6) d F = ḡdm. Kraftsumman över alla volymselement ges av F g = d F Ω = ḡdm = { ḡ konstant } Ω [ ] = dm ḡ Ω }{{} =m = mḡ. z y ḡ r G x r G Ω dv z y x r G r r G d F = ḡdm Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning av ett volymselement. Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dm antas vara 0. 9 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av Σ M G = ( r r G ) d F Ω = ( r r G ) ḡdm = { ḡ konstant } Ω [ ] = ( r r G )dm ḡ Ω [ ] = rdm r G dm ḡ = { r G konstant } Ω Ω [ = m 1 ] rdm r G dm ḡ m Ω Ω }{{}}{{} = r G =m = (m r G r G m) ḡ = 0 ḡ = 0. 9 Detta är i sig ett postulat. Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft mḡ som verkar i kroppens masscentrum.

masscentrum och tyngdpunkt 31 Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är ḡ = gē z, finns avbildat i fig. 4.7. I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften mḡ anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, ḡ = ḡ( r), existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam skärningspunkt. ē x ḡ = gē z ē z ē y m G mgē z Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.

5 Friktion Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning. 10 Betrakta två kroppar Ω 1 och Ω 2, som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till kropparna, med normalvektorn ē n. På kropp Ω 1 verkar en normalkraft N = Nē n och en friktionskraft F f ē n. På kropp Ω 2 verkar N och F f enligt reaktionslagen. 10 Även kraftparsmoment kan uppstå för att motverka vridning kring en normal genom kontaktytan. Ω 1 Ω 1 P P N F f tangentplan Ω 2 normal ē n Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten P. Tangentplanet för kontakten har indikerats. Kroppen Ω 1 har frilagts, med friktionskraften F f i tangentplanet, och normalkraften N i planets normalriktning. Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning, sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är friktionskraften F f = 0. Med en friktionsfri yta, 11 menas att alla ytans kontaktställen är friktionsfria. 11 Benämningen glatt yta förekommer också. 5.1 Ett friktionsexperiment Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2. En låda vilar mot en plan vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats av en anordning som mäter beloppet F f av den horisontella kraften på vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2. Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp F f som uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp. I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan, därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen; den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår råder kraftjämvikt, vilket ger F f = P. När man ökat P tillräckligt

34 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik P G m g P mg N F f Figur 5.2: Experimentuppställning för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med dubbelcirkelsymbol. börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även µ s N om vi ökar P ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). Friktionskraften vid µ k N glidning benämns kinetisk friktion. 1 Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt, partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen. 5.2 Coulombfriktion F f 1 statisk kinetisk Figur 5.3: Friktionskraft ritad som funktion av pålagd kraft P för experimentet i fig. 5.2. P Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant temperatur, gäller följande empiriska samband 12 approximativt. Empiriskt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning föreligger vid ett kontaktställe gäller 12 empiriskt samband ekvation eller lag som påvisats experimentellt. F f = µ k N. (5.1) Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge F f N < µ s. (5.2) Här är F f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µ k den kinetiska friktionskoefficienten och µ s den statiska friktionskoefficienten, där 0 µ k µ s. Vid glidning verkar F f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar Coulombfriktion. Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften till det instabila gränsfall där glidning är förestående: F f = µ s N. (5.3) Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.3. Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b), för att bestämma friktionskraftens belopp F f och normalkraftens belopp N. Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1).

friktion 35 5.3 Friktion i ett system av kroppar Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe. Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna P och Q, är följande fall tänkbara: Ingen glidning vid något av kontaktställena P eller Q. Glidning vid P men ej vid Q. Glidning vid Q men ej vid P. Glidning vid både P och Q. Dessa fall är avbildade i fig. 5.4. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2 n tänkbara kombinationer av glidning och statisk friktion. F P Q (a) m 1 m 2 m 1 F Q (b) m 1 v 1 P F v F m 1 v 1 P P m 2 v m2 Q Q m 2 v 2 Figur 5.4: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast glidning vid P, (c) endast glidning vid Q, och (d) glidning vid både P och Q. Det sista fallet kan åstadkommas genom att, efter att glidning uppstått vid Q, hastigt öka F. (c) (d) Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall: antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid något kontaktställe. Figur 5.5: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess kontaktställen.

Del II Partikeldynamik

6 Plan kinematik Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till denna rörelse beaktas. Detta kapitel ägnas åt studier av partikelrörelse begränsad till ett plan, så kallad plan rörelse. Framställningen använder sig av differentialer, som beskrivs formellt i bilaga D. 6.1 Rätlinjig rörelse Om en partikel P rör sig längs en rät linje i rummet sägs partikeln utföra rätlinjig rörelse. För att beskriva partikelns läge inför vi en lägeskoordinat x(t) relativt en rumsfix punkt O på linjen (fig. 6.1). Koordinaten x(t) beskriver läget vid tiden t och tillåts anta negativa värden. Om partikeln vid en annan tid t + t befinner sig vid punkten P med koordinaten x(t + t), definierar vi partikelns momentana 13 hastighet genom gränsvärdet 13 momentan som råder i ögonblicket. x(t + t) x(t) v(t) lim = dx t 0 t dt, (6.1) vilket vi känner igen som tidsderivatan av läget x(t). För rätlinjig rörelse definieras partikelns fart som v. O x P v x + x P v + v Figur 6.1: En partikel P:s rörelse längs en rät linje relativt en fix referenspunkt O. På motsvarande sätt definieras partikelns momentana acceleration som hastighetens tidsderivata: v(t + t) v(t) a(t) lim = dv t 0 t dt. (6.2) Definitionerna för hastighet och acceleration kan även skrivas med differentialnotation (bilaga D). Genom att tillämpa ekv. (D.2) på ekv. (6.1) respektive (6.2) får vi dx = vdt (6.3a) dv = adt. (6.3b)

40 föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik Sats 6.1. För en partikel i rätlinjig rörelse, med lägeskoordinaten x(t), hastigheten v(t) och accelerationen a(t) gäller vdv = adx. (6.4) Bevis. Från ekv. (6.3b) får vi dv = adt { multiplicera med v } vdv = avdt { ekv. (6.3a) } vdv = adx. Vid problemlösning utgår man lämpligen från ett eller flera av differentialsambanden (6.3a), (6.3b) och (6.4). Därefter tillämpar man satserna D.2 eller D.3 för att bilda en skalär ekvation. 6.2 Kroklinjig rörelse Det tidsberoende läget för en partikel eller punkt i rummet betecknas r(t). Utifrån denna lägesvektor definieras sedan hastighet och acceleration som gränsvärden. Definition 6.2 (Hastighet). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r(t) definieras (fig. 6.2) r(t + t) r(t) r v(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d r dt. (6.5) r(t+ t) z Hastighet är en vektorstorhet och dess riktning är parallell med tangenten för den bana som beskrivs av r(t) (fig. x y 6.2). t+ t r r(t) v t Definition 6.3 (Acceleration). Accelerationen för en partikel med hastigheten v(t) definieras (fig. 6.3) v(t + t) v(t) v ā(t) lim = lim t 0 t t 0 t = d v dt. (6.6) Accelerationen är en vektorstorhet vars riktning inte behöver vara parallell med tangenten till banan r(t). Rektangulära koordinater En partikels läge i ett rektangulärt koordinatsystem med basen {ē x, ē y, ē z } skrivs r(t) = x(t)ē x + y(t)ē y + z(t)ē z. (6.7) Denna situation illustreras i fig. 6.4. När det framgår av kontexten vilka storheter som är tidberoende utelämnar man ofta parametern t och skriver r = xē x + yē y + zē z. Figur 6.2: Geometri för gränsvärdesdefinition av hastighet. x z v(t+ t) t+ t y t v(t) v(t+ t) v t v v(t) Figur 6.3: Geometri för gränsvärdesdefinition av acceleration. Sats 6.4 (Hastighet på rektangulär form). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r = xē x + yē y + zē z ges på rektangulär form av v = ẋē x + ẏē y + żē z. (6.8)

plan kinematik 41 y ē y r ā P v Figur 6.4: En partikel P:s rörelse i rummet relativt ett rektangulärt koordinatsystem. z ē z ē x x Bevis. Enligt definition 6.2 för hastighet gäller v = d r dt = d dt (xē x + yē y + zē z ) = { produktregeln } = ẋē x + x dē x dt + ẏē y + y dē y dt + żē z + z dē z dt = { ē x, ē y, ē z konst. } = ẋē x + ẏē y + żē z. Basvektorernas tidsderivator blir noll eftersom de är konstanter för rektangulära koordinatsystem. Sats 6.5 (Acceleration på rektangulär form). Accelerationen för en partikel med lägesvektorn r = xē x + yē y + zē z ges på rektangulär form av ā = ẍē x + ÿē y + zē z. (6.9) Bevis. Definition 6.3 för acceleration ger ā = d v dt = { sats 6.4 } = d dt (ẋē x + ẏē y + żē z ) = { produktregeln } = ẍē x + ẋ dē x dt + ÿē y + ẏ dē y dt + zē z + ż dē z dt = { ē x, ē y, ē z konst. } = ẍē x + ÿē y + zē z. Precis som för rätlinjig rörelse är det önskvärt att skriva om uttrycken för hastighet och acceleration till differentialsamband, så att partikelrörelser kan bestämmas genom integration. Sats 6.6. Om en partikelbana ges av r = xē x + yē y + zē z, hastigheten betecknas v = v x ē x + v y ē y + v z ē z och accelerationen betecknas ā = a x ē x + a y ē y + a z ē z gäller differentialsambanden dx = v x dt dy = v y dt dz = v z dt dv x = a x dt dv y = a y dt dv z = a z dt (6.10) v x dv x = a x dx v y dv y = a y dy v z dv z = a z dz.