Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX. Exempel på definitioner, stser och bevis finns inkludert. Dessutom är bruket v literturhänvisningr och korsreferenser exemplifiert. Exempel på hur mn kn inkluder en eller fler bilder i figurer ges också. Själv texten är fiktiv och innehållet är, som oftst, mer eller mindre osmmnhängnde. 1 Inledning Rune Andrésson hr skpt mång seriefigurer genom sin krriär, se t.ex. Wikipedi-rtikeln [2], men hns mest älskde krktär är utn tvekn Bmse, se figur 2 och hns vänner Lille Skutt och Sklmn, figur 2b och 2c. Hur mn gör källhänvisningr till mteril på Wikipedi diskuters i en rtikel på Wikipedi [3]. Syftet med referencen till Overgrds rtikel [1] är endst tt vis hur mn skriver referensen till en vetenskplig rtikel. 2 Sklmn bevisr en fundmentl olikhet Sklmn tycker tt hns vänner sk lär sig lite fundmentl mtemtik. Hn lägger ut med Cuchy-Schwrz olikhet, som är båd väldigt enkel och väldigt viktig. Först behövs dock någr definitioner. Självklrt är Lille Skutt rädd för tt hn inte sk förstå vrken definitionen, stsen eller beviset! Definition 1. Sklärprodukten v två vektorer x = (x 1, x 2,..., x n ) och y = (y 1, y 2,..., y n ) i R n är det reell tlet x y som ges v formeln x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n. Lägg märke till tt x x 0, så tt följnde definition ger mening: Definition 2. Normen v en vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) R n är det ickenegtiv tlet = x x.
Figur 1: Rune Andrésson (1925 99) skpde Bmse i 1966, se figur 2. Bmse och hns vänner dök upp först gången i ett ntl kortre svrt-vit nimtionsfilmer och senre, 1973, i tidningsform. Bmse-tidningrn hr lltså 40-års jubileum i år! Sklärprodukten uppfyller följnde fundmentl olikhet, som är en självklrhet om mn nvänder den gängse geometrisk definitionen v sklärprodukten i två och tre dimensioner, men som blir ett icketrivilt resultt då mn betrkter vektorer i det n-dimensionell rummet R n. Olikheten tillskrivs Augustin Cuchy och Herrmnn A. Schwrz smt ryssen Victor Y. Bunykovski (se figur 3). Sts 1 (Cuchy-Schwrz). För vrje pr v vektorer x, y R n gäller det tt x y y. (1) Det gäller likhetstecken i olikheten om och endst om x och y är linjärt beroende. Bevis. Ifll båd x och y är nollvektorr gäller olikheten (och påståendet om likhet) trivilt. Antg därför tt åtminstone en v vektorern är nollskild, t.ex. tt x 0. För vrje vl v det reell tlet λ gäller det tt 0 y λ x 2 = y 2 2λ x y ( = λ x y + λ2 (2) ) 2 ( x y ) 2. + y 2
() Världens strkste björn (b) Världens modigste rädd knin (c) Världens mest regelbundn sköldpdd Figur 2: Denn figur innehåller fler delfigurer...så tt Bmes och hns närmst kompisr ll sk få plts. Väljer mn λ = (x y)/ i (2) får mn 0 y λ x 2 ( x y ) 2 = y 2 (3) Vrv följer tt (x y) 2 2 y 2. Tr mn kvdrtroten på ömse sidor ovn följer den önskde olikheten. För tt bevis påståendet i slutet v stsen behöver mn br tt observer tt om likhet gäller i (1), så följer det v (3) tt y λ(x/) = 0, lltså är y en multipel v x, som påstått. Stsen är därmed bevisd. ( Ush! säger Lille Skutt, som nu längtr hem till morotslndet. Bmse tycker tt det ändå gick br tt följ beviset men tt ärligt rbete i skogen är tt föredr.) () Augustin Cuchy (1789 1857) (b) Krl Herrmnn Amndus Schwrz (1843-1921) (c) Victor Y. Bunykovski (1804 1889) Figur 3: Dess personer hr lgt nmn till den känd olikheten och dess generliseringr.
Stsen gäller även för integrler; en generlisering som först formulerdes v ryssen Viktor Y. Bunykovski år 1859: b b b f (x)g(x) dx f (x) 2 dx g(x) 2 dx, där f och g är två funktioner, definierde och Riemnnintegrerbr på intervllet [, b]. En br referens för den som intresserr sig för den llmänn teorin för rum med inre produkt (eller sklär produkt) är kpitel III i Hlmos utomordentlig bok om ändligtdimensionell vektorrum [5], som är fullt läsbr för den som klrt först årskursen på LTH. Ett bevis för ett något mer generellt resultt (Hölders olikhet) ges i Rudins bok [4, s. 63].
Referenser [1] Overgrd, N. C.: Appliction of vritionl inequlities to the movingboundry problem in fluid model for biofilm growth. Nonliner Anlysis 70, 3658 3664, (2009). [2] Wikipedi: Rune Andrésson Wikipedi, http://sv.wikipedi.org/ w/index.php?title=rune_andr%c3%a9sson&oldid=15986424, [Online; hämtd 21-mrs-2012]. [3] Wikipedi: Wikipedi som käll Wikipedi, http://sv.wikipedi. org/w/index.php?title=wikipedi:wikipedi_som_k%c3% A4ll&oldid=14801455, [Online; hämtd 21-mrs-2012]. [4] Rudin, W. Rel nd Complex Anlysis, Third edition, McGrw-Hill Book Compny, New York, 1986. [5] Hlmos, Pul R. Finite-dimensionl Vector Spces, Second Edition, D. Vn Nostrnd Compny, Inc., Princeton, New Jersey, 1958.