Symlets eometr Denn genomgång hndlr om tt omformler mltons etoner tll mtrsetoner stället och s l r som ställs å trnsformtonsmtrsen för tt trnsformtonen sll r nons. Dett lls den symlets formlerngen mltons etoner. Börr med tt defner fölnde olonetorer och mtrser: P P och är en x nollmtrs resete enhetsmtrs. denn notton n sr mltons rörelseetoner å fölnde sätt:?? Dett n ss för ett enelt fll med en frhetsgrd. För tt s ren å tt en trnsform är nons defnerr en nons trnsform och smt tt trnsformtonen dett fll är oeroende tden. Undersöer hr tdsdertn ser t för en contrrnt defnerd tensor nänder Enstens smmerngs onerson. Dett leder tll tt rörelseetonen ntr fölnde form: en ll h ett ttryc endst nnehållnde. Så mn srer om dertn å mltonnen en cornt defnerd tensor. ed dess etoner så får rörelseetonen det ny oordntsystemet.
en eftersom trnsformtonen är nons så gäller mltons rörelseetoner tn någon förändrng. Dett ger fölnde: Dett etyder tt om trnsformtonen är nons måste mtrsen fyll dett llor mn n ocså s genom tt änd ordnng å esstegen tt dett ocså är ett nödändgt llor för tt trnsformtonen tt r nons. Dett llor lls det symlets lloret för en nons trnsform och lls för en symlets mtrs. en d händer om trnsformtonen nnehåller ett exlct tdseroende? Då gäller smm llor å men en enel härlednng som gordes då trnsformen nte nnehöll något exlct tdseroende är då mölg. Den härlednng som görs här nänder mn rmetrsernngsformen för en nons trnsformton som nnehåller ett exlct tdseroende. Ant tt hr en nons trnsformton formen t där trnformtonen treder sg ontnerlgt från någon ntl ärde t. dett är ett seclfll som först stderdes Sohs Le där hn nände en fml rmetrr. Om trnsformtonen t är nons så måste trnsformtonen t r nons t smt t r nons där t står för en fx men goycg td. rnsformtonen t är lätt tt s tt den fyller det symlets lloret eftersom t är en fx td. t Smt tt om n t fyller det symlets lloret så föler det tt ocså trnsformtonen t fyller smm llor för tt s dett nför egreet nfntesml nons trnsformtonen C. Om t t är nons så sll mn s tt mtrsen fyller det symlets lloret så stderr ett seclfll. Ant tt d tden tt så är trnsformtonen enrt denttetstrnsformtonen och tt den senre är endst en rottonstrnsformton den eror r å de egn oordntern. Ett sätt tt esr dett som en C är: δ δ P δ Alltså en C ser sg de ny oordntern enrt med nfntesmler från det gml oordntern nänder endst nfntesmler först ordnngen. Från genertor formlsmen n gör ett ntgnde tt fölnde genererngs fnton esrer trnsformtonen. F ε P t? är någon nfntesml rmeter smt tt en goycg delt dfferenterr fnton med rler. Från trnsformtonsetonern för en F trnsformton och tt slnden melln P och är endst en nfntesml fås fölnde: F P ε δ ε F P ε P ε δ ε Dess tå etoner n smmnftts en enel eton med mtrsnottonen: δ ε
Om ser den nfntesml nons trnsformtonen t t så är den nfntesml rmetern om mn sätter så får mn mltons rörelseetoner. Smt om trnsformtonen är ontnerlg så n mn ntegrer frm trnsformtonen d en goycg tdnt senre. med räcer det tt s tt t t fyller det symlets lloret. Enlgt defntonen conen fås fölnde mtrs som esrer nfntesml rottons trnsformtoner. är en symmetrs mtrs med elementen. enom tt är en ntsymmetrs mtrs ges trnsonten tll fölnde ttryc: enom tt erän så n s tt det symlets lloret håller äen för en sådn ty trnsform. den sst rden nänts tt och är en drts nfntesml som nte hr någon menng då mn ntegrerr. ed dett es sr tt oeroende om trnsformtonen exlct eror å tden så måste den fyll det symlets lloret. Posson Brcets Posson Brcets defners mtrsnottonen som föler: Lnelsen den nlg nottonen n ses med tt tec mtrsen nänder en frhetsgrd för enelhetens sl: Om mn estämmer Posson Brcets för de nons rlern säl fås: är olmnen och rden mtrsen det lr en enhetsmtrs. Om estämmer Posson Brcets för ett nnt nonst set rler P så fås fölnde:
Om n trnsformtonen melln dess system är nons så gäller det symlets lloret och Posson rceten lr l åd systemen. otstsen för dett gäller ocså så om så är trnsformtonen nons. ågr tg egenser som Posson rceten hr är fölnde gäller för nons trnsformtoner: 6 5 4 3 6 sr tt "mltltonen" nte är ssoct Posson Brcets och om fölnde relton gäller så ygger Posson Brcets en cessoct lger lld Lelger. c Börr med tt es : ed denn egens sr mn tt Posson Brcets är nrnt nder nons trnsformtoner dett är en mycet tg egens för tt om den ändrdes sle nget fysls t frmomm r Posson Brcets. V n n stry ndexet för let nons set rler mn nänder. Bes för 3: Eftersom det mn får t oertorn är ett tl så är trnsonten den l nänder dett tllsmmns med tt är totlt ntsymmetrs. Dett sr tt Posson Brcets är ntsymmetrs. Bes för : rlt och ommer r 3. Bes för 4: Dett sr tt det är en lnär oerton. Bes för 5:
Orsen tll dett srsätt är tt ommttorn ntmenen defners nedn så hr ordnngen etydelse. Beset för 6: Denn denttet lls co dentteten och dett es är längre. För tt nderlätt eset defners fölnde egre: ed denn notton n Posson rcets srs å fölnde sätt: enom tt nänd denn formlerng n mn sr termern 6 å fölnde sätt: 7 { l l l { { } { } l l l 8 { { } { } 9 l Eftersom ndexen n yts så n mn se tt om ndersöer den term med tå dertor å 7 och yter ndex å ndr termen 8 å fölnde sätt l l. Dett leder tll: l enom tnyttndet tt är ntsymmetrs och tt dererngen är symmetrs. Kn mn sr om tll tt r: l För re term 7 8 och 9 fnns en term som är l stor men med motstt tecen dett leder tll tt smmn dem är noll därmed är 6 esd. Dett st tt Posson Brcets nte är ssoct. Det fnns ett ntl oertorer lnnde Posson Brcets som hr smm egenser som on. Ett r exemel är dess: V [ ] [ ] Den först är med etorer och den ndr mest änd är ommttorn som nänds för mtrser och ntmens oertorer. En ntressnt s med ommttorn och Posson Brcets är tt men n ygg hel sss och ntmenen endst genom dess oertorer och oncetet med nons trnsformtoner dett r fllet för ntmenen secellt esenergs formlerng. En nnn tg egens med nons trnsformtoner är den tt olymselementer är l stort åd fsrmmen. Reltonen melln de ol olymselementen tå ol oordntsystem relters genom solteloet å determnnten conen. d s d enom tt t determnnten å det symlets lloret fås fölnde: ± Från dett ses tt storleen å olymselementet är l stort. Dett är en del ett llmänt es å Lolles teorem tt olymen fsrmmet nte ändrs med tden l l