Symplektisk Geometri

Relevanta dokument
1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Massflödet genom en turbin följer approximativt det tidigare härledda sambandet: Med hjälp av allmänna gaslagen kan sambandet ovan omformas enligt:

Induktion LCB 2000/2001

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

1 av 12. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Repetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.

4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 16/8 2017

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

vara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)


Gör slag i saken! Frank Bach

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

Inversa matriser och determinanter.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Finaltävling den 20 november 2010

Sammanfattning, Dag 9

Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

9. Vektorrum (linjära rum)

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

13 Generaliserade dubbelintegraler

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

TENTAMEN HF0021 TEN1. Program: Examinator: Datum: Tid: :15-17:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

Internetförsäljning av graviditetstester

Exponentiella förändringar

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

RAPPORT. Kontroll av dricksvattenanläggningar 2009/2010. Tillsynsprojekt, Miljösamverkan Östergötland. DRICKSVATTEN

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

INTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

2 års garanti. Renuvo

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Komplexa tal. j 2 = 1

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

Rektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell)

Diskreta stokastiska variabler

F9: Elementär motorreglering (EMS-Kap 11) och Varvtalsreglering (PE-Kap 9)

Matris invers, invers linjär transformation.

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

14. MINSTAKVADRATMETODEN

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Föreläsning 7: Trigonometri

9. Bestämda integraler

Kan det vara möjligt att med endast

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Fysiktävlingen Lösningsförslag. Uppgift 1. Vi får anta att kinetisk energi övergår i lägesenergi, och att tyngdpunkten lyftes 6,5 m.

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

XIV. Elektriska strömmar

Sidor i boken

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

TATA42: Tips inför tentan

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

Det energieffektiva kylbatteriet

Opp, Amaryllis (Fredmans sång nr 31)

Ï x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Grundläggande matematisk statistik

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Repetition. Repetition. Repetition. X: slumpvariabel (s.v.) betraktas innan ett försök är genomfört. x: observerat värde efter försöket är genomfört.

Campingpolicy för Tanums kommun

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Transkript:

Symlets eometr Denn genomgång hndlr om tt omformler mltons etoner tll mtrsetoner stället och s l r som ställs å trnsformtonsmtrsen för tt trnsformtonen sll r nons. Dett lls den symlets formlerngen mltons etoner. Börr med tt defner fölnde olonetorer och mtrser: P P och är en x nollmtrs resete enhetsmtrs. denn notton n sr mltons rörelseetoner å fölnde sätt:?? Dett n ss för ett enelt fll med en frhetsgrd. För tt s ren å tt en trnsform är nons defnerr en nons trnsform och smt tt trnsformtonen dett fll är oeroende tden. Undersöer hr tdsdertn ser t för en contrrnt defnerd tensor nänder Enstens smmerngs onerson. Dett leder tll tt rörelseetonen ntr fölnde form: en ll h ett ttryc endst nnehållnde. Så mn srer om dertn å mltonnen en cornt defnerd tensor. ed dess etoner så får rörelseetonen det ny oordntsystemet.

en eftersom trnsformtonen är nons så gäller mltons rörelseetoner tn någon förändrng. Dett ger fölnde: Dett etyder tt om trnsformtonen är nons måste mtrsen fyll dett llor mn n ocså s genom tt änd ordnng å esstegen tt dett ocså är ett nödändgt llor för tt trnsformtonen tt r nons. Dett llor lls det symlets lloret för en nons trnsform och lls för en symlets mtrs. en d händer om trnsformtonen nnehåller ett exlct tdseroende? Då gäller smm llor å men en enel härlednng som gordes då trnsformen nte nnehöll något exlct tdseroende är då mölg. Den härlednng som görs här nänder mn rmetrsernngsformen för en nons trnsformton som nnehåller ett exlct tdseroende. Ant tt hr en nons trnsformton formen t där trnformtonen treder sg ontnerlgt från någon ntl ärde t. dett är ett seclfll som först stderdes Sohs Le där hn nände en fml rmetrr. Om trnsformtonen t är nons så måste trnsformtonen t r nons t smt t r nons där t står för en fx men goycg td. rnsformtonen t är lätt tt s tt den fyller det symlets lloret eftersom t är en fx td. t Smt tt om n t fyller det symlets lloret så föler det tt ocså trnsformtonen t fyller smm llor för tt s dett nför egreet nfntesml nons trnsformtonen C. Om t t är nons så sll mn s tt mtrsen fyller det symlets lloret så stderr ett seclfll. Ant tt d tden tt så är trnsformtonen enrt denttetstrnsformtonen och tt den senre är endst en rottonstrnsformton den eror r å de egn oordntern. Ett sätt tt esr dett som en C är: δ δ P δ Alltså en C ser sg de ny oordntern enrt med nfntesmler från det gml oordntern nänder endst nfntesmler först ordnngen. Från genertor formlsmen n gör ett ntgnde tt fölnde genererngs fnton esrer trnsformtonen. F ε P t? är någon nfntesml rmeter smt tt en goycg delt dfferenterr fnton med rler. Från trnsformtonsetonern för en F trnsformton och tt slnden melln P och är endst en nfntesml fås fölnde: F P ε δ ε F P ε P ε δ ε Dess tå etoner n smmnftts en enel eton med mtrsnottonen: δ ε

Om ser den nfntesml nons trnsformtonen t t så är den nfntesml rmetern om mn sätter så får mn mltons rörelseetoner. Smt om trnsformtonen är ontnerlg så n mn ntegrer frm trnsformtonen d en goycg tdnt senre. med räcer det tt s tt t t fyller det symlets lloret. Enlgt defntonen conen fås fölnde mtrs som esrer nfntesml rottons trnsformtoner. är en symmetrs mtrs med elementen. enom tt är en ntsymmetrs mtrs ges trnsonten tll fölnde ttryc: enom tt erän så n s tt det symlets lloret håller äen för en sådn ty trnsform. den sst rden nänts tt och är en drts nfntesml som nte hr någon menng då mn ntegrerr. ed dett es sr tt oeroende om trnsformtonen exlct eror å tden så måste den fyll det symlets lloret. Posson Brcets Posson Brcets defners mtrsnottonen som föler: Lnelsen den nlg nottonen n ses med tt tec mtrsen nänder en frhetsgrd för enelhetens sl: Om mn estämmer Posson Brcets för de nons rlern säl fås: är olmnen och rden mtrsen det lr en enhetsmtrs. Om estämmer Posson Brcets för ett nnt nonst set rler P så fås fölnde:

Om n trnsformtonen melln dess system är nons så gäller det symlets lloret och Posson rceten lr l åd systemen. otstsen för dett gäller ocså så om så är trnsformtonen nons. ågr tg egenser som Posson rceten hr är fölnde gäller för nons trnsformtoner: 6 5 4 3 6 sr tt "mltltonen" nte är ssoct Posson Brcets och om fölnde relton gäller så ygger Posson Brcets en cessoct lger lld Lelger. c Börr med tt es : ed denn egens sr mn tt Posson Brcets är nrnt nder nons trnsformtoner dett är en mycet tg egens för tt om den ändrdes sle nget fysls t frmomm r Posson Brcets. V n n stry ndexet för let nons set rler mn nänder. Bes för 3: Eftersom det mn får t oertorn är ett tl så är trnsonten den l nänder dett tllsmmns med tt är totlt ntsymmetrs. Dett sr tt Posson Brcets är ntsymmetrs. Bes för : rlt och ommer r 3. Bes för 4: Dett sr tt det är en lnär oerton. Bes för 5:

Orsen tll dett srsätt är tt ommttorn ntmenen defners nedn så hr ordnngen etydelse. Beset för 6: Denn denttet lls co dentteten och dett es är längre. För tt nderlätt eset defners fölnde egre: ed denn notton n Posson rcets srs å fölnde sätt: enom tt nänd denn formlerng n mn sr termern 6 å fölnde sätt: 7 { l l l { { } { } l l l 8 { { } { } 9 l Eftersom ndexen n yts så n mn se tt om ndersöer den term med tå dertor å 7 och yter ndex å ndr termen 8 å fölnde sätt l l. Dett leder tll: l enom tnyttndet tt är ntsymmetrs och tt dererngen är symmetrs. Kn mn sr om tll tt r: l För re term 7 8 och 9 fnns en term som är l stor men med motstt tecen dett leder tll tt smmn dem är noll därmed är 6 esd. Dett st tt Posson Brcets nte är ssoct. Det fnns ett ntl oertorer lnnde Posson Brcets som hr smm egenser som on. Ett r exemel är dess: V [ ] [ ] Den först är med etorer och den ndr mest änd är ommttorn som nänds för mtrser och ntmens oertorer. En ntressnt s med ommttorn och Posson Brcets är tt men n ygg hel sss och ntmenen endst genom dess oertorer och oncetet med nons trnsformtoner dett r fllet för ntmenen secellt esenergs formlerng. En nnn tg egens med nons trnsformtoner är den tt olymselementer är l stort åd fsrmmen. Reltonen melln de ol olymselementen tå ol oordntsystem relters genom solteloet å determnnten conen. d s d enom tt t determnnten å det symlets lloret fås fölnde: ± Från dett ses tt storleen å olymselementet är l stort. Dett är en del ett llmänt es å Lolles teorem tt olymen fsrmmet nte ändrs med tden l l