ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ð ÒÊÓÓ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½
Postadress: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uverstet 06 9 Stocholm Sverge Iteret: http://www.math.su.se/matstat
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ë ÔØ Ñ Ö¾¼½½ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ð ÒÊÓÓ ÓÐ Ø ÔÓÖØ Ð Ø ÐÐ ØØ ÒÒ ÐÐ ØÚÔÖÓ Ù Ø Öº ÓÐ ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ÓÖÖ Ð Ö ÖÑ Ú Ö Ò Ö ºÁ ØØ Ö Ø ÖÒ ÓÖ Ð Ö ÓÖ Ö ØØ Ö Ö Ò ÓÐ Ú ÖÚ Ú Ø ÙÖ Ö ØØ Ö Ò Ò ÑÑ ÒÐ Ó Ö Ø Ò Ú Ú ØØÒ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ú ØØÒ Ò Ò ÖÓÖ Ð Ö ÓÖ ÔÖ Ø ÓÒ Ò ØØ Ñ Ð Ú Ö Ø Ð Ö Ú ØØÒ Ò Ò Ö Ó¹ Ó ÔÖ Ø ÓÒ Ò ØØ Ñ Ð Ú Ö Ø ÐÔ ÖÔÖÓ Ù Øº ÒØÓØ Ð Î ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ØØØÖ Ò Ð ÖÒ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÖÙÒ ÒØ Ò Ò Ö Ò Ð Ø ÔÓÖØ Ð Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ØÓ ÒÓÑ ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ØØ ºÎ Ò Ø ÓÒ Ù Ø Ö ÖÚÖ ØÖ Ò ¹ Ð ÖÓ ØØ ÖØ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ ÒÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ºÎ Ò Ö¹ Ñ Ò Ø ÓÒ Ù Ø Ö Ò Òº Ñ ÙÒ Ö ÙÖÙÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ ÒÔÖÓ Ù Ø ÖÒ Ñ Ò Ö ÒºÖÓÓ ÓРѺ ºÀ Ò Ð Ö ÇÐ À Öº ÈÓ Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø ½¼ ½ ËÚ Ö º ¹ÔÓ Ø Ð¹
Abstract To calculate the total predcto error of clams reserve for a olfe surace compay we eed to ow how the dfferet products correlate wth each other. I ths wor the portfolo s lmted to cota oly two products. We chec that our tragles satsfy the basc assumptos of uderlyg the ha Ladder method. The we calculate a estmate of the predcto mea squared error ad the clams reserve for each product. The mea squared error of the total predcto for the whole portfolo wll be calculated usg Brau s method by estmatg the correlato betwee the products. We adust the tragles wth the flato ad the re-estmate the correlato betwee the products. We ca vestgate whether the correlato betwee the two products decreases wth the flato adustmet.
Iehållsförtecg. Förord...4. Iledg...5. Problem...5. Allmät om beräg av sadeavsättg...5 3. Teor...8 3. Thomas Macs ha Ladder...8 3. Kotroll av traglaras uppfyllad av Macs grudatagade...9 3.3 Osäerhete sattge...0 3.4 Brau...3 3.4 Iflatosusterg...6 4. Geomförade och resultat...7 4. ata...7 4. Utfall av otroll av traglara...7 4.. Atagade...7 4.. Atagade...9 4..3 Vsuell otroll av atagade och 3...9 4.3 Avsättg och osäerhet för e tragel... 4.4 Avsättg och osäerhet för två traglar...3 4.5 Utfall efter flatosusterg...6 5. Slutsatser...8 6. Refereslsta...8 7. Appedx...9 3
Förord ea rapport utgör ett examesarbete om 30 högsolepoäg och leder tll e magsterexame matemats statst vd Matematsa sttutoe på Stocholms uverstet. Jag vll taca m hadledare professor Ola Hösser för vägledg och goda råd uder arbetets gåg. Jag vll äve taca m hadledare Jesper Adersso på Folsam och ma övrga ollegor på atuareavdelge. 4
Iledg. Problem I ett saförsärgsbolag bedrver ma oftast versamhet om ola försärgsproduter. För att beräa försärgsbolagets totala avsättg för oreglerade sador adderas de respetve produteras avsättgar. etta ger oss ett putestmat av dess vätevärde. å detta putestmat saolt aldrg ommer att bl det sammalagda utbetalda beloppet framtde ger ett predtostervall för sattge oss ytterlgare formato om vår förvätade framtda ostad. I detta arbete begräsas bolagets portföl tll att edast ehålla två ola produter. V börar med att udersöa huruvda Macs modell går att tllämpa på sadetraglara för respetve produt. Avsättge för oreglerade sador beräas för båda produtera och predtos sattade medelvadratfel. Först atar v att de båda produtera är oberoede och beräar då de totala predtoes sattade medelvadratfel. I ästa steg så aväder v oss av Braus metod och sattar orrelatoe mella produtera och beräar det ya sattade medelvadratfelet. Beroede på hur våra produter orrelerar med varadra öar eller msar osäerhete för vårt bolag. Syftet med detta arbete är att vatfera orrelatoe mella ett atal utvalda produter samt att udersöa om orrelatoe a förlaras av flatoe.. Allmät om beräg av sadeavsättg Ett försärgsavtal som gås mella e ud och ett försärgsbolag ger upphov tll ett betalflöde. För bolaget börar betalflödet med betalgar av preme valgtvs ser detta med e egågsbetalg vd avtalets böra eller måadsvs va autogro. I de avtalsperoder där ude te drabbas av e sada tar betalflödet slut med premebetalge. I de fall där ude drabbas av e sada amäls dea tll bolaget. Bolaget hadlägger sada betalar ut ersättg samt avslutar sada. Sada a äve återöppas då försärgstagare ommer med ya rav på ersättg. å v här edast sattar rse sadeavsättge begräsar oss tll att ebart aväda det betalflöde som härrör frå sadehädelsera. Vd försärgsperodes slut som valgtvs är ett år eller vartal beräar atuare e avsättg för de sador som har träffat me te betalats ut. Ett exempel på hur dea avsättg beräas är fölade: V aggregerar data frå sadesystemet tll sadetraglar ehållade utbetalt belopp. Radera besrver året då sada träffade och olumera är utveclgsåre dvs det atal år som förflutt seda sada träffade. Låt B vara för sadeår det utbetalda beloppet uder utveclgsår. Tragel eda ehåller utbetalgara för äda data dvs då. 5
Utveclgsår Sadeår 3 - B B B 3.. B - B B B B 3.. B - 3 B 3 B 3 B 33.. : : : - B - B - B är det acumulerade utbetalda beloppet för sadeår tll och med utveclgsår dvs. B. e ce suggade tragel eda ehåller de acumulerade utbetalgara för äda data. Efter vår aggregerg av data vll v satta de slutgltga sadeostade för respetve sadeår. V gör ett förelat atagade om att ga betalgar ommer att se efter år. et ebär att v te behöver göra ågo svasuppsattg. ärmed har v reda de slutgltga sadeostade för sadeår och behöver edast beräa för. E valg modell för dea sattg är Macs modell äve äd som ha-ladder. Med Macs modell sattar v de oäda dele av tragel då > som eda är suggad och därmed äve de slutgltga sadeostade. Utveclgsår Sadeår 3-3 3 3 3 3 3 3.... 3 3.. : : :.. : : - 3 3.... å blr vår sattg av sadeavsättge för år : R och de sammalagda sadeavsättge för samtlga år sattas tll: R R. 6
etta är e väldgt förelad metod prate är det betydlgt mer omplcerat. Atuare a aväda sg av måga vertyg dels geom att fylla sadetraglara med adra uppgfter ä utbetalt belopp såsom atal sador saderegleraras uppsattade ostad för både frevessador och storsador och göra e sattg av ultmoostade respetve ultmo atalet sador. V a äve aväda oss av medelsada och sadefreves som stöd beräg av avsättge. Beräg av avsättg ser som oftast edbrutet på sademomet och adderas seda hop tll e sammalagd avsättg för produte. etta beror på att ola sademomet har ola betalmöster dels a produte både ehålla lågsvasade och ortsvasade sademomet me äve säsogsbetgade sademomet. e ola sademometes totala ostad a utveclas ola med tde och det a ebära att betalflödet för de aggregerade tragel förädras äve om de eslda mometes möster är tata. Sadebetalgara är regel postva betalgar tll ud eller leveratör. et a doc föreomma egatva betalgar form av regresser. Valgt föreommade regresser är trafegedom som ma a väla att föla upp separat. et fs adra mer slumpvs återommade sadehädelser som a föraleda regresser såsom ostader för översvämgssador där försärgsbolaget a räva ersättg av ommuer om dessa te uderhållt vatteavrge. å raftga översvämgssomrar är slumpvs återommade är dessa betalgar sälla ågot som sa applceras på de efterfölade sadeåre uta ma bör resa för detta modelle. et fs äve stora eslda sadehädelser som a påvera utbetalgsflödet raftgt. Ett exempel är storme Gudru som träffade 8-0 auar 005. 007 så uppsattades de totala ostade för de fyra stora saförsärgsbolage tll 3965 mr vlet svarar för drygt 0 % av de totala uppsattade sadeostade för hem och vlla företag och fastghet samt motorfordo. å e såda stor hädelse träffar tdgt på året får v ett aat utbetalgsflöde för det atuella sadeåret. et fs äve adra förädrgar av sadeostader som v behöver ta beatade. essa a omma geom ega vllorsförädrgar me äve samhällsförädrgar såsom trafförsärgsreforme och ädrade susrvgsregler. essa förädrgar ebär att v får ya ostader eller att vssa ostader försver. et saola är att de ya ostadera te föler samma betalmöster som de tdgare därmed a v te applcera det hstorsa betalmöstret som vår modell geererar. V behöver därför göra e ege sattg över de ommade dagoalera eller för sadeåret efter föradet. V gör äve ett förelade atagade att alla betalgar ser om år detta arbete. För ortsvasade momet ser utbetalgara om 5-0 år. För de lågsvasade momete föreommer det betalgar 0 år efter sadas träffade. Väler v ett lågt ommer v att bortse frå e mägd utbetalgar. Med ovaståede ommetarer a ma udra vad ytta av de modell som arbetet besrver är om v ädå te tllämpar de verlghete. E stats modell är bra att aväda sg av dels som otrollvertyg för våra ega mauellt orrgerade modeller me äve ommuatoe med revsoer. När det gäller de usape v får av orrelatoe ger det oss e bättre förståelse över de rs försärgsbolaget är utsatt för. States offetlga utredgar 007: Sverge för lmatförädrgar hot och mölgheter Fasspetoes årsblaett blad H per 006--3 7
3 Teor 3. Thomas Macs ha Ladder ha ladder är de populäraste reservsättgsmetode detta på grud av att de är eel fördelgsfr och väldgt tutv. e ger e äsla av att metode te bygger på ågra som helst atagade me det stämmer te eftersom de grudar sg på fölade tre grudatagade: Atagade : E [... ] * f 3.. et förvätade acumulerade utbetalda beloppet för ästommade år a sattas geom att multplcera utbetalt belopp httlls med e sattg av utveclgsfator f. et oäda värdet har e slumpmässg fördelg med vätevärde * f f är sattad av all tllgäglg data geom där f * för 3.. Vår sattg är därmed ett vtat medelvärde av de sattade utveclgsfatorera för vare sadeår och te de mest tutva asatse att ta ett ovtat medelvärde. et ebär att sattge tar häsy tll volyme för respetve sadeår. Med e reursv metod a v härleda vätevärdet för de slutgltga sadeostade för respetve sadeår med: [... ] * f *... f E *. å atagade är betgat på är dea e ostat vlet leder tll att v eelt a srva om evato.. tll fölade: E... f 3..3 etta ebär att de sattade utveclgsfatorera a atas vara vätevärdesrtga. Atagade Vetorera { } och { }...... är oberoede om. 8
Atagade 3 e framtda varase erhålls geom: Var[... ] * σ 3..4 där vår sattg av σ blr fölade gvet att ovaståede tre atagade är uppfyllda: σ f för. 3..5 3. Kotroll av traglaras uppfyllad av Macs grudatagade et fs flera ola sätt att otrollera om våra traglar uppfyller Macs grudatagade. Några exempel på detta är: Kotroll av atagade I Mac 994 appedx G besrvs ett förfarade där det testas om sattgara F av utveclgsfatorera är oorrelerade för ola utveclgsår. etta är e aturlg hypotes gvet evato 3..3. Testet går tll så att alla fatorer F per utveclgsår raas storlesordg. Seda ämförs rage för F med fator F för. Är sllade rag för stor ebär detta att e hög fator föls av e låg eller vce versa. För testet aväds Spearmas ra orrelatostest då v har samma vätevärde me ola varas för våra fatorer. Mac atar att Spearmas teststatsta T för hela tragel är ormalfördelad och väler att otrollera traglara på ofdesgrade 50 %. Ha motverar det hela med att det dels är e approxmato och att ha vll ua upptäca orrelatoer på delar av tragel. Kofdestervallet är väldgt sävt och 50 % av falle ommer att förastas felatgt. V ommer därför att aväda oss av e högre ofdesgrad. V har tllgåg tll åtta sadetraglar där v a täa oss att e av traglara förastas geomstt. Låt N vara atalet traglar som förastas och N beroede på om testet för tragel förastas eller e 0. 0 å fås 8 E N E N 8*α ärα väls så att EN dvs E N α 8 8 å får v α 0065 0 9375 vlet svarar mot vatle z 53 för stadardormalfördelge och e sgfasvå på 5 % per tragel. 9
Kotroll av atagade I Mac 994 appedx H fs ett test som otrollerar om sadeåre är oberoede. e främsta orsae tll att traglar te uppfyller detta atagade är är det ser e alederårsvs förädrg. Några exempel på detta är stora förädrgar av sadereglerge eller yttre fatorer som flato domstolsbeslut och förädrgar frå försärgsassa. E alederårsvs förädrg påverar både de atuella dagoale me äve fatorera för de atuella dagoale och de efterfölade. Testet går tll så att alla fatorer per utveclgsår delas upp små respetve stora fatorer medae tas bort. Atalet små fatorer på dagoal A { F F 3... F } är L som atas vara bomalfördelat elgt Br/ där r är atalet lassade värde på dagoale. Samma atagade gäller för atalet stora fatorer S. För att mäta evetuell avvelse sapas e y varabel Z m L S. Om Z är sgfat mdre ä L S så är tragel påverad av e alederårsvs tred. Testet utförs på hela tragel där teststatsta Z Z approxmeras med ormalfördelge och otrolleras med 5 % sgfas. Vsuell otroll av atagade och 3 et är äve mölgt att göra e vsuell otroll geom att plotta mot samt resdualera per respetve utveclgsår. I plotte över mot läggs äve de räta le y f * x 0 för att vsuellt avgöra om atagade är rmlgt dvs om ma a se att våra mätvärde är slumpvst fördelade lägs de räta le. För resdualera / ser plottg mot och här söer v e slumpvs fördelg av mätvärdea rg oll som te beror på värdet av för att otrollera atagade 3. 3.3 Osäerhete sattge Vår sattg av sadeostade för sadeår är sadeavsättge R * f *..* f och då blr. e totala sadeostade för hela tragel blr då och de totala sadeavsättge R R. R a ses som e predto av sadeavsättge R som erhålls geom att deftoe av R ersätta alla med de saa me oäda värdea. V övergår u tll beräg av osäerhete och börar med att beräa de för ett sadeår: 0
Ett sadeår Osäerhete beräas geom medelvadratfelet: mse E T Geom förhålladet mella avsättge och vår slutgltga ostad som är får v att: R mse R E R R T E T E T mse och motsvarade sattg av medelvadratfelet är: s. e. R mse R mse s. e. där för av alla äda värde vår tragel upp tll utveclgsår. För att förela otatoe framöver så ommer betgge att vara uderförstådd. et ebär att alla uttryc såsom E T respetve Var T betecas med E och Var. etsamma gäller för våra sattgar. T är mägde { } I Mac 994 preseteras e formel för sattgsfelet av de slutgltga sadeostade per respetve sadeår. I Mac 999 vsas att ma a srva om det tll e mer lättprogrammerad reursv formel. e seare varate är de som Brau 004 har avät sg av och det ommer äve v att göra. I Brau 004 a ma tydlgt föla hur medelvadratfelet approxmeras med summa av ett stoastst fel och ett sattgsfel. mse R mse Var T Var T 3.3. Brau härleder e reursv formel för respetve term högerledet och är ha lägger hop dem får ha fölade sattg: mse f mse σ där startvärdet vår reursva sattg är: mse 0 σ 3.3. Idexet <> betecar de ssta dagoale med äda värde vår tragel. agoale och de tdgare dagoalera är ostater och har därmed medelvadratfelet 0. V sattar σ geom evato 3..5 för. För får v htta e aa sattg då detta utveclgsår edast ehåller e observato. Om f och v te tror att det ommer ågra fler betalgar så a v sätta σ. I aat fall terpolerar v vlet leder tll att vår sattg blr:
σ 4 σ m σ m σ σ Hela tragel å v är tresserade av avsättge för hela tragel behöver v äve dess osäerhet. V har ledge begräsat oss tll att alla betalgar ser tll och med år. Sadeostade för sadeår är därmed reda äd och de totala avsättge beräas geom R R... R. Sattge av de slutgltga sadeostade för respetve år för är e oberoede eftersom att de alla beror på sattgar av samma fatorer f. ärför a v te addera varasera som v gör med avsättge. V vll beräa e sattg av vårt totala predtosfel mse. På lade sätt som för ett sadeår fås sattge geom fölade reursva formel: mse mse 3 * f σ * σ < 3.3.3 där: < startvärdet är: mse 0. Summatoe av medelvadratfelet börar på. etta beror på att v vll böra summera över de första oäda värdea. e äda värdea tragel begräsas av <> vlet ger det första oäda värdet för sadeåret gvet respetve utveclgsår. Reursoe ger oss det totala medelvadratfelet för hela tragle. Predtostervall För att beräa ett predtostervall för vår sattg av sadeavsättge för sadeår så måste v böra med att ata e fördelgsfuto för R. E mölghet är att ata e ormalfördelg. oc är fördelge valgtvs svevare ä de symmetrsa ormalfördelge detta specellt om Var R > 50% * R. I dessa fall passar logormalfördelg med parametrara µ och σ bättre dvs
3 exp exp / exp R Var R E σ σ µ σ µ etta leder tll sattgara: / l /. l R R R s e σ µ σ Predtostervallet för vår sadeavsättg för år blr då: / * *exp R σ σ ±λ där λ är e vatl för e stadard ormalfördelg svarade mot de valda ofdesgrade. Predtostervallet för hela avsättge beräas exat som ova för det eslda sadeåret med R stället för R. 3.4 Brau Modell för orrelatoe mella två sadetraglar Med Braus modell beräar v orrelatoe mella två traglar. V atar te att orrelatoe sa vara e förutbestämd ostat över alla årgågar uta de beräas per utveclgsår. Här eda föler de atagade v har för de båda traglar med de acumulerade betalgara och som v vll udersöa: Tragel Tragel f g F G T F Var σ T G Var τ V atar att orrelatoe är ett eelt parvs sambad mella och. V geeralserar varasevatoera ova tll: f σ g τ
ov F G T ρ 3.4. där. För att föla atagade två utveclar v oberoedet mella sadeår tll att omfatta båda portfölera. V får därför att: T är mägde { } ov F G T 0 då. På samma sätt som v sattadeσ och τ sattar v ρ. e eda sllade blr ämare / w stället för /. etta beror på att v vll ha e vätevärdesrtg sattg ρ * * F f G g 3.4. w där : w. < < Med auchy Schwarz olhet a v vsa att 0 w. Geom att aväda deftoe av orrelatosoeffcete får v fram att orrelatoe ρ mella F och G ges av. σ τ Estmerg av predtosfelet för de båda traglara för ett sadeår V börar som tdgare med att beräa predtosfelet för det eslda sadeåret. Medelvadratfelet för approxmeras med det stoastsa felet och sattgsfelet: mse Var T Var T 3.4.3 där det stoastsa felet delas upp : Var Var ov Var 3.4.4 och sattgsfelet : Var Var ov Var 3.4.5 Geom formel 3.4.3 3.4.4 3.4.5 och 3.3. får v fram fölade sattg av medelvadratfelet för ett sadeår: 4
5 ov ov mse mse ov ov Var Var Var Var ov Var Var ov Var Var mse där de första termera är medelvadratfelet för de eslda traglara som sattas geom 3.3.3. e respetve ovarasera sattas med edaståede reursva formler: g f ov ov ρ < < g f ov ov ρ med startvärde: 0. ov 0. ov Estmerg av predtosfelet för de båda traglara Tllvägagågssättet för hela tragel är detsamma som för ett sadeår. Här får v att approxmatoe av medelvadratfelet blr: T ov Var Var ov Var Var mse m ess sattg blr då: ov ov mse mse mse där de första två termera hämtas frå reursoe för totala medelvadratfelet för e tragel 3.3.3 och ovarasera sattas geom dessa två edaståede evatoer: g f ov ov 3 3 ρ startvärde och 3 < < g f ov ov ρ med startvärde -m.
Utfrå våra sattgar av ovarasera a v beräa de totala orrelatoe mella de båda traglara geom evatoe: Var X Y Var X Var Y ρ X Y Var X Y Var X Var Y ρ X Y Var X Var Y Var X Var Y är X och Y svarar mot predtosfelet för respetve tragel. Geom att ersätta VarXY med vårt sattade medelvadratfel för båda traglara och VarX och VarY med de eslda traglaras sattade medelvadratfel a v beräa orrelatoe mella traglara. etta görs på både eslda sadeår och för hela traglara. 3.5 Iflatosusterg Elgt Brau och tese detta arbete borde orrelatoe msa om ma flatosusterar traglara. Iflatosusterg ebär att v räar om tragel tll pegvärdet för det seast äda året. V utgår frå de remetella traglara. e ssta äda dagoale är de där. e sadeutbetalgar som har gorts uder år är B. Vår dextabell: År Idex a a : : : : a a a - - e remetella flatosusterade betalgara betecas med L där: L B * a / a. För att få våra acumulerade betalgar adderas tragel upp som ledge. 6
4 Geomförade och resultat 4. ata V har avät oss av data frå flera produter per produtgre. V har valt produter som är gasa stabla storle frå år tll år. Fölade är produtera: Hem och Vlla Hemförsärg Frtdshusförsärg Vllahemförsärg Motor Traf perso Traf egedom Su och olycsfall Idvduell vuxeolycsfall Kolletv barförsärg Idvduell barförsärg För att ua presetera det datamateral som har aväts så har v räat om traglara tll e ege valuta. et ebär att alla fatorer och relatoer är rtga doc blr te de totala avsättge och predtosfelet det. V aväder oss av de totala sadetraglara för produtera. V får därför göra ett förelade atagade om att traglara är homogea. 4. Utfall av otroll av traglar 4.. Atagade Kotroll av oorrelerade utveclgsfatorer. För de atuella sadetraglar får v fram fölade teststorhet av Spearmas test-statsta är v aväder oss av sgfasvå.5 % per tragel. Aalyse har gorts på traglar med 8 0 respetve 4 års hstor. e suggade fälte derar att teststorhete lgger utaför det rtsa området så att ollhypotese oorrelerade fatorer te förastas. Produt 8 år 0 år 4 år Vllahem 0396 047 036 Frtdshus 054 044 009 Hem 0030 0077 0370 Traf Perso 0006 057 0370 Traf Egedom 056 0 0007 Id. Bar -08 0075 07 Id. Vuxe -0354 0004-058 Koll. Bar 0038 006 079 7
e rtsa områdea utgörs av de värde som lgger utaför för 8 år -0395 0395 för 0 år utaför -089 089 samt för 4 år utaför -088 088. V får alltså förasta hypotese för två respetve tre av traglara med 0 respetve 4 sadeår. För traglara med 8 år förastas edast e tragel. V gör e lte dupdyg de sadetragel där ollhypotese förastades för samtlga år vllaförsärg. Vlla utgör e väldgt ortsvasad affär. Med det mear ma att tde frå sadas träffade tll att ude har fått all ersättg är ort. Reda tre år efter sadeåret så har över 95 % av utbetalgara reda lämat bolaget. e höga teststorhete geereras av de två första åre meda de ommade sadeåre är slumpmässgt fördelade som de borde vara. et är alltså te ågo slump som har geererat dea höga teststorhet. Geom att flatosustera data udersöer v om det bl ågo sllad. ET Atal år Raa data Iflatosusterat M 5 % sgfas Max 5 % sgfas 8 år 0396 0396-0395 0395 0 år 047 047-089 089 4 år 036 044-088 088 Förädrge av teststorheteras värde är edast margell. Ytterlgare e asats tll att få fram e lämplg tragel som ma a applcera Macs modell på görs geom att dela upp tragel de största sademomete. Vlla a grovt delas upp /3 Brad /3 Vatte och /3 övrga sadeostader. Testet geomförs ge med de tre uppdelgara. För tragel med 0 år fås fölade resultat: ET Sademomet Raa data Iflatosusterat M 5 % sgfas 8 Max 5 % sgfas Brad 06 0067-089 089 Vatte 0077 0047-089 089 Övrgt 096 039-089 089 Med dea uppdelg hamar både Brad och Vatte utaför det rtsa området. När det gäller övrgt så består de av måga mdre sademomet där e omfördelg av ostadsmassa mella de ola momete är förlarge tll att de blr sgfat. e flatosusterade traglara för brad och vatte lgger äve om Macs sävare 50 % ofdestervall. Som uppmärsammats ledge är det svårt att aväda sg av traglar på totalvå då ma har ola betalflöde om ola delmomet vars adel av de totala sadeostade a varera över tde. ärmed fs det e rs för att de sammaslaga tragel derar på orrelato mella de ästommade utveclgsfatorera är de egetlga orsae är förädrg totala sademassa mella de ola sademomete. Trots att både traf perso och vlla blev sgfat slda frå ollhypotese att ge orrelato mella efterfölade fatorer fs så väler v att gå vdare med traglara på 0 år. V sulle å ett bättre resultat testet om v mometuppdelade sadetraglara me målet
för detta arbete är att otrollera orrelatoe mella de ola traglara så därmed är v acceptera med att 6 av 8 traglar föll väl ut testet. 4.. Atagade Vd otroll av oberoede mella sadeår eller alederårsvs oberoede för tragel med 0 år fer ag fölade: Produt Z M 5% sgfas Max 5% sgfas Vlla 30 88 65 Frtdshus 40 89 66 Hem 00 90 66 Traf Perso 90 88 6 Traf Egedom 30 89 6 Id. Bar 0 90 69 Id. Vuxe 0 88 6 Koll. Bar 00 89 6 För alla traglar lgger teststorhete utaför det rtsa området. V a därmed te förasta att sadeåre är oberoede. 4..3 Vsuell otroll av atagade och 3 Av utrymmessäl har v valt att te otroller alla utveclgsfator och resdualer för alla traglar. E otroll av detta sulle ebära 6 plottar för vardera av våra 8 traglar och därmed 8 plottar totalt. Neda föler ett exempel för traf egedom: V börar med att plotta det acumulerade utbetalda beloppet tll och med år två mot utbetalgara för år ett. Elgt atagade förvätar v oss att se e slumpmässg fördelg lägs le 0 y f * x vlet v ocså gör. å de stadardserade resdualera för utveclgsår två / plottas mot får v fölade utfall: 9
äve här ser det relatvt slumpmässgt ut. et som försvårar aalyse är att de acumulerade betalgara för år ett är relatvt stabla. Med e större sprdg av dem hade det vart lättare att ursla avvade möster. V väler att gå vdare med våra traglar trots att de tdgare testera te fullt vsat att haladder metode är tllämpbar. et är ett för raftgt atagade att ata att de totala traglara per produt är homogea. et fs äve e tedes tll att fatorera är orrelerade för vssa produter. V har doc apassat storlee på traglara för att mmera detta och få så bra uderlag som mölgt. 0
4.3 Avsättg och osäerhet för e tragel V börar med e sadetragel för traf egedom. Geom att göra e graf av de acumulerade betalgara a v otrollera våra data. Y-axel betecar det acumulerade utbetalda beloppet x-axel utveclgsåre och grafera sadeåre. Alla grafer har e lade form och v a tydlgt se att de plaar av efter utveclgsår fyra. etta a v äve se tabelle över de sattade utveclgsfatorer eda där t.ex. fator för utveclgsår fem är sattad tll 00 och för utveclgsår åtta är de 000. ärmed uppfyller traf egedom vårt atagade om att alla utbetalgar sa se om 0 år. Sadeavsättg ÅR tr Medelfel Utveclgsår σ 000 0 0 56 054 00 36 7 3 04 47 00 48 0 4 008 8 003 67 7 5 00 004 599 4 6 00 03 005 70 463 7 00 00 006 9 958 8 000 00 007 5 656 336 9 000 00 008 4 568 9 0 000 00 009 7 776 8 478 Totalt 97 440 8 74 Fatorera avtar stablt över tde som de bör. Ett 90 % predtostervall för totala avsättge uder atagade av logormal fördelg beräas tll 68 00 9 693.
För vår adra tragel som är frtdshus där beloppet får v fram fölade: betecar det acumulerade utbetalda Här har v e betydlgt större sprdg mella sadeårgågara. etta beror på att frtdshus är e mdre produt ä traf egedom. Utfallet blr därmed mer slumpmässgt. V a ädå se att de ola sadeårgågara föler samma möster. Efter utveclgsår sex är fatorera så pass små att ett atagade om att betalgara ser om 0 år är rmlgt. Sade- ÅR avsättg Medelfel Utveclgsår τ 000 0 0 79 35000 00 93 83 3 067 69 00 78 55 4 04 74 003 380 88 5 008 30 004 65 630 6 009 368 005 66 66 7 004 3 006 580 370 8 00 0 007 4 36 669 9 00 03 008 9 57 870 0 00 0 009 48 8 5 58 Totalt 68 66 7 40 Här beräas vårt 90 % predtostervall för logormal tll 44 44 99 788. V delar upp produtera mella två separata försärgsbolag där bolage edast bedrver versamhet e av produtera. Försärgsbolag A med traf egedom behöver avsätta 974 mr avsättg för oreglerade sador och ytterlgare 97-97433 mr extra aptal för att ua täca ostade 9 av 0 fall. Försärgsbolag B med frtdshus behöver avsätta 686 mr avsättg för oreglerade sador och ytterlgare 3 mr extra aptal.
Predtostervall för båda traglara vd oberoede. Bolag A och B geomgår e sammaslagg och därmed vll v beräa predtostervallet för hela bolagets ya portföl dvs. båda produtera. V börar med att ata att de är oberoede. För att beräa predtostervallet för oberoede traglar så gör v fölade: e totala avsättgara är för Frtdshus respetve Traf egedom: 0 0 R 0 6866 R 0 0 0 97440. R är de sammalagda avsättge och v har att: R R 6866 97440 66065. För varase får v fölade: Var R R Var R R ov R R R R Om avsättgara är oberoede så blr ovarase 0. et ebär att v får mse R mse R 740 874 5398 < å blr ett 90 % predtostervall för logormal 6 454 309 78 för våra båda traglar. etta ebär att avsättge för oreglerade sador är desamma me geom att gå hop msar de det ytterlgare aptalravet frå 333634 tll 3098-66437 mr. 4.4 Avsättg och osäerhet för två traglar Braus exempel: I Braus ompedum avslutar ha med ett exempel med data frå Resurace Assocato of Amerca. För vår programmerade modell så får v samma värde som Brau preseterar tabellera på sadeavsättg medelfel och orrelato. I de löpade texte ager ha ett 90 % predtostervall med atage logormal fördelg för avsättge tll 7 459 480 9 57 8. Med samma atagade v får fram predtostervallet 7 409 66 9 08 03 där beräg är avstämd med exempel frå Mac 994. Både de udre och övre gräse av Braus tervall är högre ä det tervall som v har beräat. Återopplar v tll de beräg av predtostervallet som preseterades aptel 3. ges de yttre gräsera för tervallet av: R*exp ±λ * σ σ / V atar att de yttre gräsera av tervallet samt sattge av avsättg och medelfelet är orreta och beräar λ vatle e stadard ormalfördelg svarade mot de valda 3
ofdesgrade. V får då fram 54 för de lägre gräse predtostervallet och 78 för de högre. För ett 90 predtostervall är λ 64 för både de övre och udre gräse. ärmed har Brau utgått frå e aa sattg av sadeavsättge för beräg av predtostervallet. Två traglar: V fortsätter med frtshus och traf egedom. Istället för att ata att traglara är oberoede beräar v dess orrelato geom Braus modell och får fram fölade: Frtdshus Traf Egedom Brau ÅR g τ f σ w ρ / σ τ 79 3 5000 56 054 0989 03 3 067 69 04 47 0996-070 4 04 74 008 8 0995-0500 5 008 30 00 0994-0500 6 009 368 00 03 0994 043 7 004 3 00 00 0999-05 8 00 0 000 00 0999 0770 9 00 03 000 00 000-000 0 00 0 000 00 000 w V ser att är väldgt ära så e god approxamto av första dele av evato.3.8 är således. w Sattge av orrelatoe ρ / σ τ mella utveclgsåre varerar raftgt mella åre. V har e postv orrelato för år 68 och resterade orrelatoer är egatva. etta beror dels på ett ltet atal observatoer för de seare åre att satta orrelatoe med me detta fall beror det främst på att v ämför två styce väldgt ortsvasade affärer. För traf egedom varstår ca % av betalgara efter år 3 och för Frtdshus är det ca 4 %. et ebär att det te är tressat att ttta på orrelatoe för de seare utveclgsåre slumpe har för stor vera. Om v stället ämför två lågsvasade affärer där utbetalgsflödet är betydlgt lägre får v e betydlgt stablare orrelato över utveclgsåre. 4
Neda föler medelfelet och orrelatoe för frtdshus och traf egedom både eslt och sammaslaget. Frtdshus Traf egedom Totalt Sadeår Avsättg Medelfel Avsättg Medelfel Avsättg Medelfel Korrelato 000 0 0 0 0 0 0 000 00 93 83 36 7 9 96 000 00 78 55 48 0 45 7-055 003 380 88 67 7 646 94-07 004 65 630 599 4 4 576-04 005 66 66 70 463 3 437 834 030 006 580 370 9 958 4 799 580 003 007 4 36 669 5 656 336 9 98 839-0 008 9 57 870 4 568 9 3 75 3 7-04 009 48 8 5 58 7 776 8 478 597 6 695 0 Totalt 68 66 7 40 97 440 8 74 66 065 7 780 00 V ser att orrelatoe för hela traglara blr 00. e beror tll största dele på de orrelato som v såg för utveclgsår två vle edast påverar sadeår 009. Hade v ämfört två lågsvasade traglara hade v äve här fått e stablare orrelato över sadeåre. V får vår sattg av stadardavvelse tll att bl 7 780 mot 5 398 är v aptel 4.3 atog oberoede. ärmed öar osäerhete ågot. V väler äve att ttta på stadardavvelse då v atar att traglara är fullt postvt respetve fullt egatv och får därmed fölade utfall: Korrelato Medelfelet ρ 35 883 ρ 00 7 780 ρ 0 5 398 ρ 60 Att traglara är postvt orrelerade ebär e öad rs för oss. Om v avsätter för lte pegar för frtdshus fs det e rs att v har gort detsamma för traf egedom. Om v återopplar tll vårt tdgare predtostervall så får v fölade ytterlgare aptalrav för produtera vd ola orrelato. V ser att 90 % predtostervall Korrelato Udre Övre Ytterlgare aptalrav 00 49 38 839 6 774 00 97 34 065 47 999 000 6 454 309 78 43 77-00 63 438 68 709 644 et ytterlgare aptalravet går frå 3 mr vd fullstädg egatv orrelato tll 63 mr vd fullstädg postv orrelato. Ett predtostervall med e postv orrelato är bredare ä om det hade vart oorrelerat och smalast är de predtostervall där traglara är egatvt orrelerade. 5