Magiseruppsas Deparmen of Economics Lund Universiy P.O. Box 7082 SE-220 07 Lund SWEDEN Förfaare: Nikolaos Alexandris och Måns Näsman Tiel: Prognosisering av småbolagsindex Handledare: Thomas Elger och Birger Nilsson Absrac: Analysarbee av finansiella daa i samband med prognosisering blir snabb omfaande, både ur e eoreisk och ur e empirisk perspekiv. Prognoseorierna sår mo varandra. Är marknaden sark effekiv eller finns de prognosmöjligheer? A genomföra en empirisk prognossudie resulerar snabb i krävande beräkningsinensiva prognosmodeller. Då prognoser för flera idpunker behövs så måse beräkningarna upprepas och använda olika delmängder av idsserierna som beräkningsunderlag. Transakionskosnader uppsår i samband med handel och nedlag arbesid vid informaionshämning och analys. Om ransakionskosnaderna blir för sora försvinner möjligheen a unyja en evenuell prognossyrka. En sark effekiv finansiell marknad förhindrar prognosmöjligheer efersom all illgänglig informaion avspeglas i de akuella akiekurserna. Vi ifrågasäer syrkan i denna effekivie. Ny informaion kan nå olika segmen av marknaden olika snabb. Prisjuseringar sker då gradvis. Inernaionella sudier, ex Arbeer (2003) och Lo & MacKinlay (1990), lyfer fram size-komponenen som en förklarande variabel. Vi undersöker mosvarande prognosmöjligheer på den svenska finansiella marknaden. Big Cap är sora bolag med hög omsäning och Small Cap är små bolag. Vår hypoes är a ny informaion prisjuserar Big Cap snabbare än Small Cap. Vi använder iniial en bivaria VARmodell för a fånga upp evenuell korsauokorrelaion mellan akieslagen. Tidsserierna visade sig vara icke-saionära och uppvisade en långsikig gemensam rend. Vi kompleerade därför meoden med en bivaria modell med felkorrigeringserm. Engel och Grangers resula inom prognosisering, felkorrigering och koinegraion användes vid uvecklingen av denna andra prognosmodell. Som referensmodell valde vi en Random Walk prognosmodell. Modellerna uvärderades med hjälp av prognosuvärderingskrierierna ME, MAE och RMSE. Prognosuvärderingskrierierna visade på prognoskraf hos de bivariaa prognosmodellerna efersom de indikerade en bäre fi än för Random Walk prognoserna. Den ekonomiska signifikansen undersöke vi genom a göra en simulering som vi byggde upp med handelssraegier baserade på våra re prognosmodeller. Den ekonomiska signifikansen var sarkare för de bivariaa modellerna än för en passiv buy-and-hold sraegi i Small Cap. E rullande esimeringsfönser på 500 värden användes för a a fram prognoser. Då vår argumen bakom vale av sorleken på prognosfönsre var för svag så uppgraderade vi vår meod med möjligheen a variera prognosfönsres sorlek. Resulae illförde en dimension ill vår arbee, men oavse sorlek på fönsre så blev den huvudsakliga slusasen densamma. Size-komponenen har prognoskraf på den svenska marknaden och de kan finnas en gradvis informaionsspridning från svenska Big Cap ill Small Cap.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. INLEDNING...3 2. DATA & DATASTRÖMMAR...8 3. PROGNOSMODELL...11 3.1 Prognoseori...12 3.2 Seup av prognosmeod...14 3.3 Val av prognosmodeller...15 3.4 Prognosmodell 1 - VAR...16 3.5 Långsikiga samband...16 3.6 Prognosmodell 2 - VECM...18 3.7 Referensprognosmodell Random Walk...20 3.8 Val av ransformaion...20 3.9 Uvärdering 1 - Prognosuvärderingskrierier...22 3.10 Uvärdering 2 Simulering av handelssraegier...23 3.11 Övergripande bedömningskrierier...23 4. RESULTAT...24 4.1 Inledning...24 4.2 Grafer över prognoser i jämförelse med verklig ufall...25 4.3 Uvärdering 1 - Prognosuvärderingskrierier...28 4.4 Uvärdering 2 Simulering av handelssraegier...30 5. SLUTSATSER...32 6. BILAGOR...33 7. ORDLISTA...33 8. REFERENSER...34 BILAGA 1. Engel-Grangers 3-segsmeod (Enders version)...36 BILAGA 2. Programscrip för prognosmodell 1 - VAR...38 BILAGA 3. Programscrip för prognosmodell 2 - VECM...40 BILAGA 4. Programscrip som ar fram prognoser för en specifik samplingsperiod...42 2/42
1. INLEDNING Vi inleder med en diskussion om ransakionskosnader som kan uppså vid applicering av prognosmodeller. Vi går igenom vår sraegi för a inom uppsasens ramar minimera dem. Därefer diskuerar vi anagande om en sark effekiv marknad och vilka prognosmöjligheer som kan uppså vid ineffekivie. Vi granskar resulae av vår undersökning av idigare gjorda arbeen inom prognosisering och lyfer fram syfe med vår uppsas. Kapile avsluas med en genomgång av arbees disposiion. Transakionskosnader är e vanlig problem i samband med prognosisering. Om man kan påvisa prognoskraf så är de lä a snabb förklara bor den genom a lyfa fram ransakionskosnadsprobleme. Handelssraegier som bygger på prognoser är ofa ransakionsinensiva. Dea är en vikig punk efersom ransakionskosnaden kan minimeras om man lyfer upp dem som e cenral problem. Transakionskosnader kan vara relaerade ill handel men även ill den arbesid som går å för beräknings- och analysarbee. Vi anar a vi kan få låga avgifer för handel och a ransakionskosnaderna isälle har sin yngdpunk i arbesid. Vi anar a de idskrävande arbesmomenen på marknaden uppsår i samband med inhämning av informaion, prognosberäkning, analys och jusering av porföljvale. Vi anar också a de finansiella akörerna vill ha möjlighe a jusera sin posiion på kor varsel. T ex på inradag-daa. Vi ville redan från början minimera ransakionskosnaderna. För a öppna upp möjligheen så valde vi a genomföra vår prognossudie med hjälp av programrading-makro. Alernaive hade vari a bygga marisberäkningar i excelkalkylblad. Fördelarna med makro är ine uppenbara, men under arbees gång så fick vi flera fördelar pga vale av prognosberäkningssraegi. I uppsaren av vår uppsasarbee så var inenionen a vi skulle häma daa i realid via inerne. Anledningen var a vi med 100% sannolikhe ville säkersälla a våra prognoser ine använde sig av delar av idsserierna som ine skulle ingå i prognosen (framida värden). Vi kompromissade och valde isälle a uveckla makro som beräknade prognoser basera på hisorisk daa i kalkylblad. Beräkningarna är forfarande flexibla och minimerar vår arbesid med a 3/42
göra beräkningar, uvärderingar och jusera porföljer i samband med den simulering vi kommer a genomföra. Risken finns forfarande a egenskaper hos makrona eller hos excel resulerar i a för ny informaion används. En del finansiella akörer anar a marknaden är sark effekiv. All informaion är känd av alla. De gäller hisorisk daa, akuell daa, diskonerad daa och insiderinformaion. I e sådan sammanhang finns de inge urymme för prognosmodeller. Tros dea så finns de svenska och inernaionella sudier som påvisar prognoskraf. En uppenbar anledning är a marknaden är svag effekiv och a någon eller några av krierierna för sark marknad ine uppfylls. T ex anagande om a alla akörer får fram samma diskonerade värden för framida observaioner. Vi är inresserade av de eorier som anar a informaionsspridning sker gradvis mellan olika segmen av marknaden. Framför all användningen av size-komponenen. Om vi definierar informaion som nyheer och vi definierar parerna som privaa eller insiuionella placerare så kan vi ana a de illgångar som handlas mes frekven prisjuseras snabbas. Om en akie handlas mindre frekven så spelar de ingen roll om akörerna har illgång ill all informaion, prise kommer ine a juseras förrän handel genomförs. Vi änker oss sora föreag med akier med hög omsäning, Big Cap. Om de skulle vara så a små föreag med lägre omsäning får sina akierpriser juserade i en senare idpunk så öppnar sig möjligheen a marknaden ine är sark effekiv och a de finns en prognosiseringsmöjlighe. Vi undersöker möjligheen a prognosisera Small Cap avkasningar genom a använda oss av e poeniell samband över iden mellan Small Cap och Big Cap index. En naurlig början är a arbea med korsauokorrelaioner mellan Big Cap och Small Cap. Korsauokorrelaion därför a vi vill prognosisera e akieslag basera på informaionen om e anna akieslag i en idigare idpunk. De inernaionella sudierna vi granskade har baseras på lead-lag effek. Speciell Lo & MacKinlay (1990) bearbear lead-lag effeker. De fann lead-lag effek, speciell mellan sora och små bolag. Med hjälp av e korsauokorrelaionses demonsrerade de även 4/42
a de är sorbolagen som leder småbolagen men ine de mosaa. Lead-lag effeker har även dokumeneras av andra förfaare så som ex Badrinah, Kale & Noe (1995) vilka går e seg längre och undersöker komplexieen i relaionen. Andra forskare såsom Jegadeesh & Timan (1995) har använ diverse olika conrarian rading sraegier, dvs de applicerar sraegier som bygger på a marknaden har e viss medelvärde och de köper de akier som falli och säljer de akier som har sigi. De kom fram ill a vinsmöjligheerna ill sor del beror på överreakion på marknaden och endas en mindre del på lead-lag effeker. De inressana för oss är a de hävdade a de finns lead-lag effeker. Mark Arbeer (2006) argumenerar i si arbee, Will Big Caps Back Down, a Big Cap är de som faller sis i en avmaande högkonjunkur. Om Arbeer har rä så finns de korsauokorrelaionsinformaion mellan Big Cap och Small Cap som kan användas i en korsauokorrelaionsmodell. Alay Erdinç (2004) undersöker korsauokorrelaion mellan Small Cap och Big Cap på de yska och urkiska marknaderna. Även Richardson Terry, Peersson David (1999) visar på samband i The cross-auocorrelaion for sizebased porfolio reurns is no an arefac of porfolio auocorrelaion. Mo dessa sår Speidell, Lawrence och Graves som påvisar a Small Cap ska ha en låg korrelaion mo Big Cap. A Small Cap och Big Cap har låg korrelaion kan bero på Arbeers eori a de beer sig olika i olika faser av konjunkurcykeln. De kan finnas en gemensam rend men samidig uppså avvikelser pga konjunkurrörelser. Vi har bara nämn en bråkdel av all den forskning som baseras på a de finns reakionsskillnader och fördröjningar mellan sora och små bolag och a marknaden behandlar dem olika. Vår syfe med uppsasen är a bedöma om de finns en gradvis informaionsspridning mellan Big Cap och Small Cap på den svenska akiemarknaden. Vi behöver idsserier som kan fungera som subsiu för indexen. Carnegie har e småbolagsindex och sockholmsbörsen har e sorbolagsindex. Vår meod baserar sig på prognoser. Vår hypoes är a Big Cap leder Small Cap och a vi därmed kan prognosisera småbolagsindexe med hjälp av hisorisk informaion om bl a sorbolagsindexe. Efersom vi har vå idserier så var de naurlig a använda bivariaa modeller. Då vi använder hisorisk och nuida informaion hos en idsserie för a prognosisera framida 5/42
informaion om en annan idsserie så använde vi oss av korsauokorrelaionssamband. Om våra prognoser uvärderas a ha prognoskraf så kan vi allså påvisa en gradvis informaionsspridning mellan sorbolag och småbolag. Vår disposiion av uppsasen är uppdelad i Daa (2), Prognosmeod (3), Resula (4), Slusas (5), Bilagor (6), Ordlisa (7) och Referenser (8). I Daa (2) så illusrerar vi de index som vi använ som subsiu för värde på svenska småbolag och svenska sorbolag. Vi ar upp problemaiken med likvidieen i småbolagsindex. Vi visar också hur vi använder oss av prognosiseringsfönser för a seg för seg a fram prognoser. Vi ar också upp hur realidsapplikaionen påverkar våra behov av daa och daasrömmar. Vi undersöker visuell om de verkar finnas en gemensam rend hos de vå idsserierna och vi avsluar med a a upp evenuella idsserier som exkluderas arbee. I Prognosmeod (3) så ar vi upp prognoseorin som för oss omfaar idsserieegenskaper, esimeringsfönser, in-sample och ou-of-sample prognoser, prognosmodellering, esimering av anale laggade variabler, prognosuvärdering med hjälp av ME, MAE och RMSE, sam prognosuvärdering med hjälp av simulerade handelssraegiresula. I kapile går vi även igenom den seup som krävs för a genomföra prognosmeoden. Vi går igenom prognosmodellerna som ingår sam de referensmodeller som vi jämför mo. De bakomliggande beräkningar gås igenom i dealj. Uvärderingsmeoderna gås igenom och kapile avsluas med a gå igenom de bedömningskrierie som vi val a använda för a bedöma om prognoskraf föreligger. Resula (4) illusrerar de prognoserna i grafer illsammans med de verkliga ufalle. Prognosuvärderingsresulaen redovisas och de bedöms enlig krierierna definierade i Prognosmeod (3). Slusas (5) sammanfaar inledningen (1), daa (2), prognosmeod (3) och Resula (4). Vale av arbesmodell kommeneras. 6/42
Bilagor (6) lisar de bilagor som vi val a bifoga uppsasen. Ordlisa (7) beskriver de ord och ermer som vi ansåg behövde en exra förklaring. Referenser (8) lisar de arbeen som vi har sudera i samband med uppsasarbee. 7/42
2. DATA & DATASTRÖMMAR 450,00 400,00 350,00 300,00 250,00 200,00 150,00 100,00 50,00 0,00 SMALL CAP OCH BIG CAP Small Cap Big Cap 1996-08-01 1996-11-01 1997-02-01 1997-05-01 1997-08-01 1997-11-01 1998-02-01 1998-05-01 INDEX 1998-08-01 1998-11-01 1999-02-01 1999-05-01 1999-08-01 1999-11-01 2000-02-01 2000-05-01 2000-08-01 2000-11-01 2001-02-01 2001-05-01 2001-08-01 2001-11-01 2002-02-01 2002-05-01 2002-08-01 2002-11-01 2003-02-01 2003-05-01 2003-08-01 2003-11-01 2004-02-01 2004-05-01 2004-08-01 2004-11-01 2005-02-01 2005-05-01 2005-08-01 Figur 1. Small Cap och Big Cap i nivå
I de forskningsrapporer som vi har sudera så har forskningen uförs mesadels på amerikansk och engelsk daa. Vi kommer a undersöka för lead-lag effek mellan sorbolag och småbolag på den svenska marknaden. Vi kommer a använda OMX30 index för a agera subsiu för sorbolagen. OMX30 är Sockholmsbörsen egna index för dess sorbolag. Sockholmsbörsen har inge rikig småbolagsindex, uan de referensindex som används av marknaden är sammansa av fondbolage Carnegie. De heer CSX (se figur 1). E problem med småbolag är a likvidieen kan vara begränsad och a index av den anledningen visar på förskjuningar i kursinformaion pga a de ine sker koninuerlig handel. Dea är dock ine falle för Carninge CSX. Idag så sker de dagsvis flera affärer även för de mindre bolagen. Små bolag har generell sämre likvidie än de sora. Dock sker de koninuerlig handel i näsa alla bolag på Sockholmsbörsen och de finns endas e fåal rikig småbolag som de förekommer en dag av icke-handel. Dessa fåale rikig små bolag kvalificerar sig dock ine a ingå i O-lisan (lisa för Sockholmsbörsens mindre bolag då vi började skriva arbee) uan de rikig små bolagen åerfinns på andra lisor såsom NGM-lisan och akieorge. De likvidiesproblem som finns för de mindre bolagen idag är begränsa ill a de är svår a köpa och sälja sörre poser. E anna vikig påpekande är a kurserna som vi använder är slukurser. Vi använder oss av e rullande esimeringsfönser på ex 500 dygn för a esimera en prognosiseringsmodell och lägga en prognos för de näskommande dygn (vi uvärderar även andra sorlekar på prognosfönser). Sedan flyar vi esimeringsfönsre e dygn framå i iden och gör om proceduren. Vi använder oss av excelmakro för prognosberäkningen. Excelmakro har illgång ill CSX och OMX30 i e kalkylblad. Vi ville egenligen läsa börsdaasrömmarna från inerne för a kunna beräkna prognoser i realid. En sådan lösning hade inneburi a vi ine haf den fasa daamängden på ca 2300 värden. Vi hade isälle koninuerlig få in informaion. Dea är anledningen ill a sorleken på ca 2300 värden ine är vikig för oss. Alla beräkningar baserar sig på rullande esimeringsfönser med olika sorlekar på samplingsinervalle.
I nivådiagramme kan vi se en ydlig rend. Vi ser också a de vå idsserierna är uppenbar individuell icke-saionära. A Small Cap skulle förlora värde snabbare än Big Cap i en börsnedgång kan vi ine se ecken på. Tvärom verkar Small Cap gå bäre på sik. Volailieen verkar vara sörre för Big Cap. En förklaring ill a Small Cap går bäre på sik kan vara a marknaden diskonerar en högre avkasningsfakor på mindre bolag. Sorleken på indexen besäms som summan av akiekurserna muliplicera med andel för respekive bolag i porföljen. Akiekurserna säs som de förvänade framida vinserna diskonerade med en specifik diskoneringsräna som varierar bolag mellan bransch. Informaionsflöde påverkar värderingen relaerad ill de framida förvänningarna vilke är vad vi kommer a undersöka. T ex så kan informaionen sprida sig med olika hasigheer ill de små och de sora bolagen. Den andra fakor som syr akiekursen föruom de förvänade framida vinserna är vilken diskoneringsräna som marknaden väljer a använda. En begränsning i vår daa är a vi har exkludera ränan. 10/42
3. PROGNOSMODELL Vi inleder dea kapiel med e prognoseoriavsni. Vi förklarar olika prognosbegrepp som ex esimeringsfönser (prognosfönser), in-sample-prognoser, ou-of-sample prognoser, vale av anale laggade förklarande variabler, univaria, bivaria, uvärderingskrierier och simulering. Därefer illusrerar vi vår val av seup för prognosexperimene. Prognosmodellerna gås igenom grundlig och de bakomliggande beräkningarna visas seg för seg. Uvärderingskrierierna som indikerar prognosmodellernas fi beskrivs. Prognosuvärdering görs även med hjälp av simulering av handelssraegier. Modellerna, hur de ska olkas och hur de ska uvärderas beskrivs. Som avsluning på kapile så definierar vi de övergripande krierierna som gäller för a vi ska kunna dra slusaser på om Big Cap leder Small Cap på den svenska marknaden. 11/42
3.1 Prognoseori Samplingsinervall Ou-of-sample prognos 60 s 50 40 30 20 Small Cap Big Cap 10 0 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141 148 Figur 2.Rullande samplingsinervall sam ou-of-sample prognoser Esimeringsfönser är den delmängd av de illgängliga idsserierna som används för a esimera modellerna. Andra namn på samma sak är prognosiseringsfönser och samplingsinervall (se figur 2). Inom prognosisering så beräknar vi fram prognoser för en idpunk å gången. Vid beräkningarna så används e anal observaioner. Man kan änka sig a de är som e fönser som successiv flyas fram över en idsseriegraf. E seg för varje prognos. Anag a vi har 10 000 observaioner. Vi vill bedöma hur bra prognosen för observaion 5001 är. Vi besämmer oss för a vi vill ha e prognosfönser på 500 observaioner. I vår esimering så använder vi oss av en sampleperiod på 500 värden som börjar vid observaion 4501 och sluar på observaion 5000. Vi beräknar prognosen för näsa idpunk och sedan kan vi jämföra med de verkliga ufalle för observaion 5001. Skillnaden mellan de verkliga ufalle och prognosen kallas prognosfel. I vår fall så arbear vi med ou-of-sample prognoser. De beyder a prognosen vi beräknar fram ine är inkluderad i sampleperioden. Vid in-sample- 12/42
prognoser så är de verkliga värde för observaionen i prognospunken inkludera i sampleperioden. Vi bedömde de som en onödig risk a använda oss av de verkliga värde när vi beräknade prognoserna och använde uesluande ou-of-sample prognoser. Vid val av lag så används normal Akaike informaions Crieria eller Swars. Vi valde dock godycklig en dags fördröjning. Vi anar a om de sker någon form av informaionsförskjuning så kommer vi även a se de på dags fördröjningen. Vi hade mycke väl kunna välja en modell med vå dagars lag, eller en modell där flera dagar har påverkan på resulae, eller i bäsa fall esa en rad av modeller och sedan val den bäsa. Vi ville dock ine a redovisa e bra resula give vår val av daa. Vi vill skapa en godycklig modell och se om den har prognosiseringssyrka. E allvarlig problem med a opimera den daa man har är a man hiar den modell som ger bäsa möjliga resula och drar slusaser därefer. Men slusaserna behöver ine vara korreka i e anna sammanhang efersom modellen var anpassad för jus den daa man hade. Därför är vi nöjda med a välja ej opimerade modeller med en godycklig lag på 1 dag. En univaria idsseriemodell kan användas för a modellera och göra prognoser på en finansiell variabel basera på dess hisoriska värde och de hisoriska värde på dess felerm. En idsseriemodell är en a-eoreisk modell, dvs ine baserad på en eoreisk modell för en variabel uan den försöker isälle a fånga empirisk relevana egenskaper hos observerade daa. En bivaria modell används då man har vå idsserier där egenskaper från den ena idsserien kan påverka den andra. Vi kommer a använda bivariaa modeller då vi har vå idsserier, Small Cap och Big Cap. Uvärderingskrierierna för en prognosmodell kan basera sig på ex prognosfel. Prognosfel är skillnaden mellan prognosisera värde och verklig ufall. E uvärderingskrierium är Mean Absolue Error (MAE). Man beräknar de som medelvärde på absolu-progosfelen i en idsserie av prognoser. Jus dea må ska vara så nära noll som möjlig. Om värde är noll så har man perfek fi enlig krierie. Fele mellan prognos och verklig ufall är med andra ord då i genomsni noll. 13/42
Prognosuvärdering kan även göras med simulering av handelssraegier. Dea gör man om man vill uvärdera den ekonomiska signifikansen hos en prognosmodell. T ex så kan man säa upp en handelssraegi som agerar på sign. Dvs vid posiiv prognos så köper man och vid negaiv prognos (eller noll) så säljer man. Gemensam för både prognosuvärderingsmeoderna ovan är a de krävs referensprognosmodeller. För MAE så är fi är e relaiv begrepp. Om fi är 0,25 så ve man ine om de är bra eller dålig. Om man har en referensprognosmodell som ger e MAE på 0,70 så ve man i alla fall a man har bäre fi på prognosmodellen än på referensprognosmodellen. För simulering med handelssraegier så kan man få en vins på 6 000 kr under en vald idsperiod. Men hur ve man om dea är bra eller dålig? Om man har en referensmodell som ger en vins på 4 500 kr på samma idsperiod så går de a dra slusaser. 3.2 Seup av prognosmeod Vi ger här en korfaad beskrivning hur vi saa upp prognosexperimene. Beskrivning är ämnad a ge en överblick på de komponener som behövs för genomförande. Komponenerna beskrivs individuell i de näskommande avsnien. Vi valde a använda oss av ou-of-sample prognoser och e rullande prognosiseringsfönser. Till en början så valde vi en fas fönsersorlek på 500 observaioner. En fullängdsesimering med fas sarpunk var ine akuell. De hade inneburi a idiga prognoser hade få värden baserade på färre observaioner än de nyare prognoserna. Dessuom så hade vi frångå iden om a uveckla makron vilka kan fungera i realidssammanhang där de ine finns en sar och e sopp för idsserierna. E för kor sample hade försämra kvalieen i den saisiska regressionen. E för lång sample hade försämra anale prognoser. Om vi ex hade använ 2000 sample så hade vi bara få 97 prognoser. E hel naurlig val i vår fall var a välja 500 sample. Då får vi över 1500 prognoser. 500 sample som mosvarar näsan 1,5 år är också en inressan samplesorlek efersom den följer konjunkuren. Den fångar aningen en uppgång, en nedgång, en del eller en opp. När man gör en prognos för näsa idpunk i en högkonjunkur så verkar de logisk a bara använda e prognossample för den ypen av 14/42
konjunkur som man befinner sig i. Vi fann a vår argumenaion var värd a ifrågasäas. Vi adderade prognosinervall i hela skalan från 100 ill 2000 med seg om 100 observaioner. Vi fick upprepa hela vår prognosexperimen 20 gånger. Här fick vi nya av vår makro. Efer e par juseringar så fick vi fram prognoser för samliga valda längder på prognosfönsre. Om man gör sina prognoser med hjälp av e realidssysem med auomaiska köp- och sälj-scrip så finns möjlighe a låa makro löpande beräkna den opimala längden på esimeringsinervall basera på hisoriska prognosresula. Prognoser handlar om a använda alla medel illåna för a finna bäsa esima för näsa idpunks akiekurs. Vi valde vå bivariaa prognosmodeller. Den försa är en VAR modell som baserar sig på korsauokorrelaion mellan Big Cap och Small Cap. Den andra är en VECM-modell som baserar sig på samma samband fas med en inkluderad felkorrekionserm. Vi använde dygnsdaa. Prognosuvärderingarna genomfördes med dels de re krierierna ME, MAE och RMSE och dels med simulering av handelssraegier. För varje sorlek på prognosfönser så genomfördes samliga yper av uvärderingar. Vi valde referensmodeller som prognosmodellerna måse slå för a visa på prognoskraf. Till ME-, MAE- och RMSE-uvärderingen valdes en Random Walk prognosmodell. Till simuleringen valdes en passiv buy-and-hold sraegi med 100% placering i Small Cap. De övergripande uvärderingskrierie var a prognosuvärderingarna för de bivariaa prognosmodellerna skulle vara bäre än referensmodellerna. 3.3 Val av prognosmodeller Give a både sorbolag och små bolag är informaionssyrda så ska de röra sig å samma rikning vid samma yp av informaion. De vi vill undersöka är om de sker en fördröjning i informaions spridning ill småbolag. E sä a undersöka för fördröjning i informaionsspridning är a esa ifall småbolagen följer sorbolag. Då anar vi a småbolagen följer sorbolagen av den anledningen a förs reagerar sorbolagen på ny informaion, därefer reagerar småbolagen. Vi har val bivaraa modeller av den anledningen a vi har vå idserier, där prognosiseringen ska vara en funkion av bägge idsseriernas föregående värde. Den försa modellen är en bivaria VAR-modell som 15/42
kan fånga upp korsauokorrelaion mellan idsserierna. Den andra bivariaa prognosmodellen baserade vi på iden med den långsikiga renden och en felkorrigering på kor sik. Vi använder en enkel bruskorrigerare (ECM) lik den Engel Granger fick Nobelpris för. Den modell vi fick fram är en VECM (Vecor Error Correcion modell). 3.4 Prognosmodell 1 - VAR En VAR-modell (Vecor Auo Regressive) beskriver en uppsäning endogena variabler över en sample-period som en funkion av deras idigare uveckling (Enders 2003). Den kan skrivas i differensform och den kan vara bivaria. y = a + 10 + a11 y 1 ey (AR modell i differensform, univaria) y = a + 10 + a11 y 1 + a12 x 1 e y (Bivaria VAR Prognosmodell 1 - VAR) x = a + a y + a x + e 20 21 1 22 1 x Small Cap represeneras av y och Big Cap av x. Vi använder nivåvärdena på indexserierna för a få samma srukur på modellen som hos prognosmodell 2 (VECM). Differenser använder vi av samma anledning. Den bivariaa modellen har vå ekvaioner och vi använder den försa av dem för våra VAR prognoser. E exempel på en bivaria modell är den som uvecklades av Näsman i en idigare uppsas, Näsman (2003). I denna uppsas användes en vekor av branschindex (endogena variabler) för a prognosisera näsa idpunks index. 3.5 Långsikiga samband E anagande som vi har gjor är a efersom vi ine har en branschdiversifiering uan isälle en småbolags- och sorbolagsdiversifiering så kan man ana a indexen bör represenera den ekonomiska akivieen som helhe och ine en specifik bransch. Give dea anagande så bör småbolags- och sorbolagsindex ha e långsikig samband, vilke är logisk då posiiv informaion för ekonomin bör påverka både de små och de sora bolagen å samma rikning. 16/42
Teoreisk så har vi gjor anagande a de båda idserierna har e långsikig samband med varandra. Vi har gjor anagande a serierna är koinegrerade. Dvs de har en saionär relaion mo varandra eller har e långsikig samband med men är ej full u saionär. Dvs anagande är a de bägge idserierna ska (har) sarka koinegraions endenser. Två idsererier är koinegrerade då de exiserar e värde β där Y -βx = Z och Z är I(0) dvs saionär mo varandra som innebär a de är inegrerade av graden noll eller med andra ord a de bägge idsserierna följer en gemensam rend. I de fallen då båda idsserierna är inegrerade av försa graden och de bägge idsseriernaserierna är koinegrerade med varandra får man en konegraionsvekor (Z ) av ypen (1, -β). De är vikig a Z ine är I(1). I de falle som Z är I(1) adderar man visa paramerar för a slua producera Z. Syfe är a illsäa rä paramerar så a Z ine blir inegrerad av försa graden vilke skapar begränsningar för den långsikiga jämviken mellan de bägge idserierna. Förenkla kan man urycka a då man har e Z som är I(0) så är idserierna koinegrerade. I de falle som koinegraionskoeficienen konvergerar i en snabbare ak mo dess jämvik än mo andra konvenionella asympo kallar man koinegraionskoeficienen för superkonsisen. En superkonsisen koefficien underläar vid prognosisering, då sörre avvikelser från jämviken förvänas plana u forare. I dea arbee behandlar vi vå idsserier, småbolagsindex och sorbolagsindex. Dessa vå idsserier är bägge vå oberoende RW idsserier, dock så agerar de på samma informaion och de kan därför ses som a de har e långsikig samband, dea fenomen kallas Spurios regression, dvs man har vå obereoende idserier av ypen Y = Y -1 + ε 1 Y = Y -1 + ε 2 Där ε 1 och ε 2 har e förhållande med varandra. I vår fall har ε 1 och ε 2 efersom bägge reagerar på samma informaion men av olika grad beroende på ypen av informaionen. Logisk är a småbolagen reagerar sarkare 17/42
på föreagsspecifik informaion som gäller sorbolag än vad sorbolag reagerar på föreagsspecifik informaion för småbolag. En förklaring kan vara a småbolag kan vara underleveranörer ill sorbolagen och därav är de direk beroende av den informaion som rör sorbolagens uveckling medan sorbolag reagerar mindre på informaion från småbolag. 3.6 Prognosmodell 2 - VECM Vi anar a våra idsserier delade en gemensam långsikig rend. I de kora perspekive så skiljer sig Small Cap mycke från Big Cap. Om vår anagande om gradvis informaionsspridning sämmer så kan de finnas andra fakorer som påverkar e evenuell samband på kor sik. Vi blev inresserade av Engel och Grangers applikaion där de föreslår förklaringar på långsikiga gemensamma render och skillnader i de kora perspekive. Vi ugick från Engel och Grangers re segsmodell och uvecklade en bivaria prognosiseringsmodell som inkluderar en felkorrigeringserm. Engel och Grangers resegsmodell (Enders version) finns bifogad i bilaga 1. y = a + bx + e (Engel-Granger Seg 2) y = a + + + + 10 a yê 1 a11 y 1 a12 x 1 e y (Engel-Granger Seg 3) Engel-Granger Seg 3 använde som Prognosmodell 2 (VECM). För a kunna göra dea så krävdes de a vi og fram de esimerade residualerna med hjälp av Engel-Granger Seg 2 ovan. I vår applicering så är y Small Cap och x är Big Cap. Esimeringen av residualerna ger ê 1 vekorn som behövs för a beräkna prognoserna i Prognosmodell 2 (VECM) nedan. E = + + + (Prognosmodell 2 VECM) ( y ) a10 a yê 1 a11 y 1 a12 x 1 Vi är inresserade av om felkorrekionen ger en förbäring av prognoskrafen. Lyckas VECM bäre än VAR modellen så har vi även en indikaion på a en felkorrigeringskomponen ger e posiiv prognosiseringsillsko. 18/42
Engel och Granger inroducerade begreppe koinegraion 1987. De definierar i sin analys e long-run equlibrium error. En egenskap hos koinegrerade variabler är a deras idsserier räffas av avvikelse från long-run equilibrium. Om syseme ska åergå ill jämvik så måse åminsone några variabel reagera för a åersälla balansen. En modell baserad på denna dynamik kallas felkorrigeringsmodell och arbear med vå horisoner, de kora och de långa perspekive. På kor sik påverkas modellen av avvikelser från jämvik. På lång sik så har vi jämvik. y = a + + + + e 10 a y ( y 1 bx 1) a11 y 1 a12 x 1 x = a + + + + e 20 ax ( y 1 bx 1) a21 y 1 a22 x 1 y x Där a är rikningskoeficiener för dess förknippade par. Felermerna och differensermerna är saionära och den linjära kombinaionen av y bx ) måse ( 1 1 vara saionär. Vi får en bivaria VAR modell med försadifferenser som är försärk med en Error Correcion erm a y bx ) och mosvarande erm för den andra ekvaionen. a y och y ( 1 1 ax är speed of adjusmen ermer. Ju sörre de är deso sörre är svare på förra periodens avvikelse från long-erm equlibrium. Små ermer beyder a y och x ine reagerar på idigare periodens equilibrium error. Om dela y 1ska vara opåverkad av x 1 så måse a y och a 12 vara noll. En av de vå speed-ofadjusmen ermerna måse vara skild från noll. Annars får vi ine long run equilibirum sambande och vi får ine en felkorrigeringsmodell eller koinegraion. Om a y och a x är noll så har vi en radiionell VAR med försadifferenser. Ingen felkorrigering kan represeneras. y reagerar då ine på idigare avvikelse ifrån longrun equlibrium. Om en av ay och ax skiljer sig från noll så reagerar y på idigare periods avvikelse från jämvik. A använda en VAR modell hade resulera i felspecificering efersom y har en felkorrigeringsrepresenaion. 19/42
3.7 Referensprognosmodell Random Walk Vid prognosuvärdering 1 (Prognosuvärderingskrierier) så får vi fram prognosuvärderingskrierier i form av ME, MAE och RMSE. Dessa krierier anger prognosernas fi mo de verkliga ufalle. En bra fi indikerar prognoskraf. E enkel anagande är a krierierna för prognosmodellerna ska ha bäre fi än en Random Walk prognosmodell. Vi uvecklade en sådan referensmodell och denna använder vi för a jämför våra resula mo. Referensmodellen finns även med i uvärdering 2 (Simulering av handelssraegier). Där exkluderas den dock från analysen. En annan referensmodell används. E = (Random Walk referensprognosmodell) ( y ) y 1 Den försa ermen (V.L) är de förvänade värde av differensen i index för Small Cap. ( 1 Dvs E y y ) där y är Small Cap. Den andra ermen (H.L) är differensen i index för Small Cap för den föregående idpunken. Dvs de senas kända värde för differensen. Dea är allså en mycke enkel prognosmodell som anar a den bäsa förusägelsen av näsa idpunks differens i Small Cap är de idigare kända värde på samma differens. Anledningen ill a vi använder differenser är a vi vill ha samma srukur på modellen som den som uvecklas för prognosmodell 1 (VAR) och prognosmodell 2 (VECM) 3.8 Val av ransformaion Big Cap och Small Cap är indexidsserier. Tidsserierna normaliseras så a de i försa idpunken har värde 100. Vi valde mellan a arbea med avkasningar eller differenser. Engle och Grangers resegsmeod som vi använde som bas för a uveckla vår VECM prognosmodell använder sig nivåidsserier i seg 1. De bedömmer i seg 1 om idsserierna är I(1). I seg 2 så använder de samma idsserier (i nivå) för a a fram residualer. Residualerna används i seg 3 för a sälla upp en modell som lä kan skrivas om ill en prognosmodell. Se ekvaion 2 i bilaga 1. Vi gjorde därför vale a arbea med differenser på våra index. Då vi ar fram residualerna så använder vi oss av 20/42
index för Small Cap och Big Cap i nivå. Då vi går vidare och använder residualerna i Prognosekvaion 2 (VECM) så gör använder vi differenserna för Small Cap och Big Cap index. Vi arbear ine med procenuella avkasningar någonsans i arbee. Vi valde därför a ine arbea med logarimerade värden uan vi ugick isälle ifrån indexserierna. Om ine VECM hade vari vår huvudprognosmodell så hade vi val annorlunda. 21/42
3.9 Uvärdering 1 - Prognosuvärderingskrierier Må Beskrivning Syfe Beräkning Ufall ME MAE RMSE Mean Error (Må på överskaning/underskaning) Mean Absolue Error (Må på prognosfeles sorlek) Roo Mean Square Error (Må på prognosfeles sorlek) Tabell 1. Uvärderingskrierium Visar om modellen i genomsni över- eller underskaar avkasningar observerade Beräkning av den absolua skillnaden mellan prognos och observaion. En bra prognos med bra räff ger e värde nära 0. RMSE skiljer sig från MAE då sörre vik ges å de avvikelser som avviker mer än medelavvikelsen. 1 Neg. = underskaar N 1 N 1 N e e e 2 Pos. = överskaar Nära 0 = bra fi Nära 0 = bra fi De försa 500 observaionerna används för a beräkna de försa prognosvärde. Av ca 2300 observaioner så får vi u ca 1800 prognoser. Prognosvärdena uvärderas med hjälp av prognosuvärderingskrierierna ovan. Fele mellan ufall och prognos definieras som e. Definiionen av prognosuvärderingskrierierna finner ni i abellen ovan. Dessa kommer a användas vid uvärdering av vår huvudprognosmodell, VECM, sam uvärdering av våra vå referensmodeller, VAR och RW. Vi upprepar meoden för samliga sorlekar på prognosiseringsfönser. 22/42
3.10 Uvärdering 2 Simulering av handelssraegier Sraegi Beskrivning S0 Passiv placering av inveseringsbeloppen i Småbolagsfond. S1 Invesering i Småbolagsfond då VECM-prognos visar på en posiiv differens. Annars placering i riskfri illgång. S2 Invesering i Småbolagsfond då VAR-prognos visar på en posiiv differens. Annars placering i riskfri illgång. S3 Invesering i Småbolagsfond då RW-prognos visar på en posiiv differens. Annars placering i riskfri illgång. Tabell 2. Handelssraegier Uöver prognosuvärderingskrierier så använder vi oss av en simuleringsmeod för a uvärdera prognosmodellernas ekonomiska signifikans. Vi skapar fyra sycken handelssraegier (abell 2). De är de moneära ufalle av en inveserings som är inressan. Alla modellerna ugår från e porföljvärde på en godycklig summa. Vi valde 10 000 kr. Vi anog a ransakionskosnaden noll. Alla sraegierna är av samma slag. Vi anar a vi kan placera i småbolagsindex och a en riskfri illgång finns som vi kan handla med. Vi läser av prognosen av differensen i småbolagsindex E y ). Om den är posiiv så inveserar vi 100% av kapiale i småbolagsindex. Om den är negaiv så inveserar vi 100% av kapiale i den riskfria illgången (ränan anas vara 0%). Den försa handelssraegin är dock passiv. Dvs vi inveserar hela beloppe i småbolagsfonden och låer dem ligga kvar i den illgången. De övriga sraegierna prognosiserar alla Small Cap och samma eknik används. Dvs för VECM, VAR respekive RW. ( 3.11 Övergripande bedömningskrierier Prognoserna uvärderas mo referensmodeller. De bivariaa prognosmodeller ska ge bäre fi och bäre avkasning i simuleringen med handelssraegier. Om så är falle så kan vi påvisa prognoskraf vid prognosisering av Small Cap med hjälp av Big Cap. Vi kan därmed också dra slusasen a de finns ecken på en gradvis informaionsspridning mellan Big Cap och Small Cap. 23/42
4. RESULTAT 4.1 Inledning I graferna i avsni 4.2 så sammansäller vi prognoserns E y ) illsammans med de verklig ufalle ( y. De bivariaa prognosmodellerna genererar vars en graf. Graferna är bara exempel. De illusrerar bara en sekion av idsserien för en av sorlekarna på prognosfönser (de finns 20 olika). De re graferna olkas för a få en uppfaning om prognosförmågan hos VECM-prognosmodellen i jämförelse med VAR- och RWprognosmodellerna. Därefer använder vi oss av prognosuvärderingskrierierna i abellform. Även här är målsäningen a avgöra om de finns prognosiseringsförmåga hos de bivariaa prognosmodellerna i jämförelse med referensprognosmodellen. Den ekonomiska signifikansen analyseras genom en simulering. I respekive sraegi så placerar vi 10 000 kr 1998-08-04 (idpunken innan den försa prognosen vid prognosfönser på 500 observaioner). Vi använder sedan handelssraegierna lisade i abell 2. Sraegi 0 (S0) baserar sig ine på en prognosmodell. De är en referenssraegi där man låer pengarna sanna i småbolagsfonden genom hela simuleringsperioden. Tidpunken för den försa prognosen kom a skilja sig från den angivna daumen ovan i samband med a vi uökade meoden ill a uvärdera andra esimeringsfönser. Vi avslua kapile med a applicera bedömningskrierierna som definierades i slue av kapiel 3.
4.2 Grafer över prognoser i jämförelse med verklig ufall VECM-PROGNOSER (100 ST) 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 1998-08-05 1998-08-12 1998-08-19 1998-08-26 1998-09-02 1998-09-09 1998-09-16 1998-09-23 1998-09-30 1998-10-07 1998-10-14 1998-10-21 1998-10-28 1998-11-04 1998-11-11 1998-11-18 1998-11-25 1998-12-02 1998-12-09 1998-12-16-2,00-4,00-6,00 DIFFERENS I INDEX -8,00-10,00 DY E(DY) Figur 3. VECM-Prognoser, E(DY), sam verklig ufall, DY, för idsperioden 1998-08-05 ill 1998-12-16 och e prognosfönser på 500 sample
VAR-PROGNOSER (100 ST) 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00-2,00-4,00-6,00-8,00-10,00 DY E(DY) 1998-08-05 1998-08-12 1998-08-19 1998-08-26 1998-09-02 1998-09-09 1998-09-16 1998-09-23 1998-09-30 1998-10-07 1998-10-14 1998-10-21 1998-10-28 1998-11-04 1998-11-11 1998-11-18 1998-11-25 1998-12-02 1998-12-09 1998-12-16 Figur 4 VAR-Prognoser, E(DY), sam verklig ufall, DY, för idsperioden 1998-08-05 ill 1998-12-16 och e prognosfönser på 500 sample 26/42 DIFFERENS I INDEX
RW-PROGNOSER (100 ST) DIFFERENS I INDEX 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00-2,00-4,00 1998-08-05-6,00-8,00-10,00 1998-08-12 1998-08-19 1998-08-26 1998-09-02 1998-09-09 1998-09-16 1998-09-23 1998-09-30 1998-10-07 1998-10-14 1998-10-21 1998-10-28 1998-11-04 1998-11-11 1998-11-18 1998-11-25 1998-12-02 1998-12-09 1998-12-16 DY E(DY) Figur 5. RW-Prognoser, E(DY), sam verklig ufall, DY, för idsperioden 1998-08-05 ill 1998-12-16 och e prognosfönser på 500 sample VECM-prognoserna är mycke lika VAR-prognoserna. Prognosvärdena ligger genomgående lägre för VECM. RW-prognoserna ser u som förväna. Prognosen E( y ) får här värde av y i föregående idpunk. I delar av grafen så är prognoserna bra, men de är svår a avgöra prognosförmågan bara genom a granska figurerna. 27/42
4.3 Uvärdering 1 - Prognosuvärderingskrierier Window VECM VAR RW ME MAE RMSE ME MAE RMSE ME MAE RMSE 100-0,02 1,11 2,97 0,00 1,09 2,91 0,00 1,38 4,66 200 0,00 1,15 3,07 0,00 1,13 3,02 0,00 1,44 4,88 300 0,00 1,21 3,22 0,01 1,19 3,17 0,00 1,52 5,12 400 0,02 1,26 3,34 0,01 1,25 3,32 0,00 1,60 5,39 500 0,02 1,33 3,51 0,01 1,32 3,48 0,00 1,68 5,69 600 0,07 1,30 3,31 0,04 1,29 3,30 0,00 1,65 5,52 700 0,08 1,33 3,45 0,04 1,33 3,44 0,00 1,70 5,76 800 0,09 1,37 3,59 0,05 1,36 3,59 0,00 1,74 6,02 900 0,06 1,31 3,20 0,00 1,30 3,19 0,00 1,68 5,60 1000 0,10 1,19 2,52 0,04 1,18 2,51 0,00 1,52 4,31 1100 0,14 1,12 2,26 0,06 1,11 2,25 0,00 1,43 3,81 1200 0,15 1,06 1,98 0,07 1,05 1,96 0,00 1,35 3,35 1300 0,20 1,03 1,83 0,10 1,02 1,81 0,00 1,32 3,12 1400 0,18 1,02 1,79 0,08 1,00 1,77 0,00 1,28 2,97 1500 0,22 0,97 1,57 0,12 0,95 1,53 0,00 1,22 2,55 1600 0,25 0,92 1,39 0,15 0,89 1,34 0,00 1,15 2,29 1700 0,30 0,93 1,42 0,18 0,90 1,35 0,00 1,16 2,36 1800 0,29 0,95 1,48 0,17 0,92 1,42 0,00 1,20 2,53 1900 0,23 0,95 1,55 0,15 0,94 1,53 0,01 1,25 2,75 2000 0,28 0,93 1,46 0,23 0,92 1,43 0,00 1,17 2,28 Tabell 3. Prognosuvärdering i abellform för VECM-, VAR-, och RW-prognoser för samliga prognosfönsersorlekar I abellen ovan så har vi prognosfönsres sorlek i kolumnen längs ill vänser. Fele mellan prognos och verklig ufall, e, sam anale prognoser ger prognoskarakärisiken för var och en av modellerna. Se beräkningsuppsällningar i abell 1 sam beskrivningarna nedan. Mean Error (ME) RW-prognos skaar varken över eller under de verkliga värde. Värde verkar ligga i genomsni på noll. Huruvida denna är sor eller ine är svår a säga. Både VAR- och VECM-prognosmodellerna överskaar de verkliga ufalle någo.
Mean Absolue Error (MAE) VAR-prognosmodellen ger de MAE-värde som ligger närmas 0, dvs den har bäs fi. VECM ger e liknande resula men är sämre. RW-modellen visar upp säms fi. Roo Mean Square Error (RMSE) För VAR-prognos så får vi ungefär samma fi som för VECM-prognos. VARprognoserna har dock bäre fi. RW-prognos ger e mycke sämre värde. RMSE ger sörre vik ill ueliggande prognoser. Om vi granskar grafen för RW-prognoser mo verklig ufall så ser vi a ampliuden för dessa prognoser ligger i nivå med verklig ufall. När e fel inräffar så blir de sor. A RW-modellen får en dålig fi kan på så sä förklaras. RW-prognosmodellen skiljer sig från VECM- och VAR-modellerna då den ine beräknas med regression. Prognosuvärdering VAR-modellen ser u a kunna prognosisera bäre än VECM-modellen. RW-modellen som är referensmodell ger e sämre fi. 29/42
4.4 Uvärdering 2 Simulering av handelssraegier Win VECM VAR RW ME MAE RMSE Sim ME MAE RMSE Sim ME MAE RMSE Sim Sim 100-0,02 1,11 2,97 28024 0,00 1,09 2,91 29720 0,00 1,38 4,66 92753 23124 200 0,00 1,15 3,07 26864 0,00 1,13 3,02 26880 0,00 1,44 4,88 88307 20474 300 0,00 1,21 3,22 15149 0,01 1,19 3,17 19962 0,00 1,52 5,12 78723 17398 400 0,02 1,26 3,34 19252 0,01 1,25 3,32 22098 0,00 1,60 5,39 76145 17484 500 0,02 1,33 3,51 26890 0,01 1,32 3,48 20667 0,00 1,68 5,69 69324 17213 600 0,07 1,30 3,31 23484 0,04 1,29 3,30 24150 0,00 1,65 5,52 59849 22238 700 0,08 1,33 3,45 21505 0,04 1,33 3,44 20392 0,00 1,70 5,76 52549 19309 800 0,09 1,37 3,59 18504 0,05 1,36 3,59 19593 0,00 1,74 6,02 53301 18210 900 0,06 1,31 3,20 16231 0,00 1,30 3,19 15685 0,00 1,68 5,60 32717 12198 1000 0,10 1,19 2,52 17863 0,04 1,18 2,51 16798 0,00 1,52 4,31 33402 13628 1100 0,14 1,12 2,26 20980 0,06 1,11 2,25 17056 0,00 1,43 3,81 33883 15048 1200 0,15 1,06 1,98 19533 0,07 1,05 1,96 18119 0,00 1,35 3,35 31087 15937 1300 0,20 1,03 1,83 19134 0,10 1,02 1,81 18151 0,00 1,32 3,12 28757 20740 1400 0,18 1,02 1,79 16994 0,08 1,00 1,77 15955 0,00 1,28 2,97 26035 16250 1500 0,22 0,97 1,57 16377 0,12 0,95 1,53 18672 0,00 1,22 2,55 26976 19378 1600 0,25 0,92 1,39 14725 0,15 0,89 1,34 18072 0,00 1,15 2,29 22030 19878 1700 0,30 0,93 1,42 14333 0,18 0,90 1,35 16893 0,00 1,16 2,36 19801 20899 1800 0,29 0,95 1,48 13273 0,17 0,92 1,42 15213 0,00 1,20 2,53 16123 17556 1900 0,23 0,95 1,55 13256 0,15 0,94 1,53 13306 0,01 1,25 2,75 13807 14322 2000 0,28 0,93 1,46 13072 0,23 0,92 1,43 13806 0,00 1,17 2,28 13543 15043 Buy- Hold Tabell 4. Simuleringsresula
Vi analyserar ufalle av de fyra handelssraegierna. Vi sarar med fyra porföljer med 10 000 kr i vardera. Tidpunken är 1998-08-04. Den är 500 dagar efer den försa dagen i idsserierna, 1996-08-01. De försa 500 observaionerna används för a a fram prognoserna för observaion 501. Sraegierna är definierade idigare i uppsasen. För a rekapiulera så beskriver vi dem korfaa igen. Vi anar a vi kan placera i en småbolagsfond eller i en riskfri illgång. Sraegi S0 går u på a sasa hela kapiale i småbolagsfonden och sanna i placeringen genom hela simuleringen (Buy-Hold i abell 4). Sraegi S1 använder sig av VECM-prognoser, dvs den ar hänsyn ill felkorrigeringsermen. Vi använder bara eckne på prognosvärde. När den prognosiserade differensen på index är posiiv så går vi in med 100% i småbolagsfonden. När den prognosiserade differensen är negaiv så placerar vi 100% av kapiale i den riskfria illgången. På samma sä agerar vi för S2 och S3. Skillnaden är a vi använder VAR-prognoser respekive RW-prognoser för a esimera E y ). ( De grå cellerna i abellen anger de bäsa värde. Vi ser a prognosmodellerna får e bäre ufall för alla prognosfönsersorlekar upp ill 1300. Härifrån så är buy-and-hold sraegin mera fördelakig. De kan förklaras med a härifrån så siger Small Cap konsan. De är svår a slå buy-and-hold sraegi i en sådan konjunkur. Vi är primär inresserade av de prognossorlekarna som ligger run 500. Dvs en sorlek som mosvarar en yp av konjunkuryp. Vi kan se a VECM-modellen preserar bäre än VAR-prognosmodellen för prognosfönser som ligger mellan 500 och 1400 sample. De är e ecken på a vår ursprungliga gissning på prognosfönser passade modellen bra. RW-prognosmodellen som exkluderas simuleringsuvärderingen preserar mycke bra. Vi kommer ine a gå vidare med analys av RW-resulae.
5. SLUTSATSER Vi behövde uveckla verkyg för a genomföra analysen och prognosmeoden. Teorin för prognosisering är omsridd. Beräkningarna säller sora krav på bl a illgång ill informaion och låga ransakionskosnader. Vi har anagi a couage är noll och vi valde isälle a minimera ransakionskosnaderna som härrör sig ill arbesid med beräkningar. Vi uvecklade makro som kan modifieras för användning inom program rading i realid. Vi hade nya av dea då vi gick en sorlek på prognosinervall ill a hanera 20 olika sorlekar. Inernaionella arbeen av bl a Arbeer (2003) påvisar prognoskraf hos sizekomponenen. Vi uvecklade en bivaria korsauokorrelaionsmodell i form av en VARmodell. När vi kom på idén a använda den gemensamma renden så hiade vi Engel- Grangers ariklar och vi uvecklade yerligare en bivaria korsauokorrelaionsmodell som inkluderade en felkorrigeringserm. Prognosmodellerna uvärderade vi med ME, MAE och RMSE. Krierie för prognoskraf var a prognosmodellerna skulle presera bäre än en RW-modell som uvecklas med samma differenssrukur som de övriga vå modellerna. Prognosmodellerna bedömdes ha bäre fi än referensmodellen. Vi gjorde även en uvärdering med hjälp av simulering av handelssraegier. Referensmodellen var här en passiv buy-and-hold sraegi i Small Cap. Prognosmodellerna preserade bäre än referensmodellen med undanag för prognosfönsersorlek på 1300 sample och uppå. Dea kan ses som e undanag på Small Cap gick konsan uppå för denna period i kombinaion med a vi egenligen var inresserade av prognosfönser med sorlek run 500 sample. VECM kunde ine påvisa varken bäre fi eller bäre simuleringsresula än VAR-prognosmodellen. Felkorrigeringsermen bedöms som inressan vid vår esimering av småbolagsindex. De övergripande bedömningskrierierna som definierades i slue av kapiel 3 bedömdes uppfyllda. Prognosmodellerna hade bäre fi än Random Walk referensmodellen och de hade bäre ekonomisk signifikans än buy-and-hold referensmodellen. Efersom de bivariaa prognosmodellerna båda vå bedömdes ha prognoskraf så kan vi dra slusasen
a de är sannolik a marknaden ine är sark effekiv och a de sker en gradvis informaionsspridning från Big Cap ill Small Cap. Slusasen med avseende på vår arbesmeod är a vi gjorde rä i a välja makroberäkningar för a minimera iden för beräkning. När vi gick över ill 20 olika sorlekar på prognosinervall så hade normala excelberäkningar ine vari hanerbara och dessuom mycke idskrävande a hanera. Vi lärde oss mycke ankesäe vid prognosiseringsanalyser och vi har med oss erfarenheen ill framida analyser. 6. BILAGOR BILAGA 1. Engel-Grangers 3-segsmeod (Enders version) BILAGA 2. Programscrip för prognosmodell 1 VAR BILAGA 3. Programscrip för prognosmodell 2 VECM BILAGA 4. Programscrip som ar fram prognoser för en specifik samplingsperiod 7. ORDLISTA Makro/Scrip Small Cap Big Cap Korsauokorrelaion Auokorrelaion Spurious Regression Subsiu Program-Trading En namngiven sekvens av kommando som kan exekveras på en daor genom anrop. Små bolag Sora bolag med akier som handlas frekven E samband mellan en idsserie och idigare värden av en annan idsserie E samband mellan en idsserie och idigare värden av samma idsserie Se definiion i exen Ersäning. T ex så använder vi e subsiu för småbolag då en sådan akie ine finns. Handel som uförs med auomaik av en sofware. 33/42
8. REFERENSER Binner Jane M, Elger Thomas, Nilson Birger och Jonahan A Tepper (2004), Tools for nonlinear ime series forecasing in economcs- an empirical comparsion of regime swiching vecpr auoregressive models and recurren neural neworks, Applicaion of arificial inelligence in Finance and Economics, Advances in Economerics, Volume 19, page 71-92. Eugene F. Fama, Random walks in sock marke prices, Financial Analyss Journal, 1995, Volume 51, Issue 1, Pages 75-81 (Reprin of 1965 aricle) Eugene F. Fama, Efficien Capial Markes: A Review of heory and Empirical Work, The Journal of Finance, Vol.25, No.2, 1970 Eugene F. Fama, Marke efficiency, long-erm reurns, and behavioral finance, Journal of Financial Economics, 1998, Vol.49, Issue 3, Pages 283-306 Waler Enders. Applied Economeric Time Series 2nd Ediion, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0 Waler Enders,. Ras Handbook for economeric ime series,, John Wiley & Sons 1996, ISBN 0-471-14894-6 Granger, C.W.J., Forecasing sock marke prices: Lessons for forecasers, 1992, Volume 8, Issue 1, Pages 3-13 Rober F. Engle; C. W. J. Granger, Co-inegraion and Error Correcion: Represenaion, Esimaion and Tesing, Economerica 55 (1987): 251-276. Louis Bachelier; G. U. Y., Le Jeu, la Chance e le Hasard, Journal of he Royal Saisical Sociey, 1914, Volume 77, Issue 8, Pages 867-868 Buron G. Malkiel, A Random Walk Down Wall Sree: Compleely Revised and Updaed Eighh Ediion, (April 2003) ISBN: 0393057828 Hulber, Mark, A schizophrenic walk down Wall Sree., Forbes, Year 1996, Volume 158, Issue 10, Pages 318-319 Chan Louis K C; Jegadeesh Narasimhan; Lakonishok Josef, Momenum sraegies, The Journal of Finance, Year 1996, Volume 51, Issue 5, Pages 1681-1713 K. Geer Rouwenhors, Inernaional Momenum Sraegies, Journal of Finance, Year 1998, Volume 53, Issue 1, Pages 267-284 Narasimhan Jegadeesh; Sheridan Timan, Profiabiliy of Momenum Sraegies: An Evaluaion of Alernaive Explanaions, Journal of Finance, Year 2001, Volume 56, Issue 2, Pages 699-720 34/42