Digital signalbehandling Föreläsningsanteckningar Bilagor

Bilaa Istitutio ör data- och lktrotkik Bilaor -3-8 U ma U ma U ma Varias (kvatisrisbrusts kt) 3 σ P() d 3 d 3 3 4 4 Altrativt, kvatisrislts kt τ är d tid som sial lir iom kvatisrisstt Bil.vsd Flt är ästa liärt CALMERS LINDOLMEN Sida Istitutio ör data- och lktrotkik Sv Kutsso Bo 8873 4 7 Götbor Bsöksdrss: örslå 4 Tlo: 3-77 57 7 Fa: 3-77 57 3 E-mail: svk@chl.chalmrs.s Wb: www.chl.chalmrs.s/ svk

Sida τ τ τ t t q 3 4 3 3 τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ t dt t dt t dt P q q Sialkt U ma P s Sial/brusörhållad ( ) ( ) () 76, 6,,76 lo lo,5 lo,5 6 6 ma ma ma U U U P P SQNR q s Otast räkar ma på sialamplitud och år ör bipolär omvadlar ( ) () lt amplitud SQNR 6 6,,3 lo lo ma

Bilaa Tcka kvatio som ralisrar sial md ölad utsd [] - Vi ka aturlitvis bya upp sial som sri viktad impulsr [] δ [],5δ [ ] δ [ ] δ [ 3] δ [ 4],5 δ [ 5] δ [ 6] δ [ 7] δ [ 8],75δ [ 9],5 δ [ ],5δ [ ] δ [ ],75δ [ 3],5δ [ 4],5δ [ 5] Dt blir rätt klumpit så vi ösökr i ställt aväda ruduktior som impuls, m äv st och ramp. Vi sr att vi ka bya upp d örsta [] dl av sial (till och md tid 4) som tt st md höd tt om vi bara korrirar vid tid tt om att släcka ut stts impuls och dssutom å ativ impuls. Dt krävr tt st ördröd impuls md skalaktor,5 trsom,5 -,5 Vi har alltså hittills - [] u[],5 δ [ ] ' Frå 4 skall sial böra väa liärt vilkt vi ka åstadkomma md ramp och trsom d skall väa md luti,5 så blir dtta ramps skalaktor. Lä märk till att ramp börar vid tid 4 trots att sial börar väa örst vid 5, dtta bror på att ramps örsta värd är oll. Vi lär alltså till yra st ördröd ramp och år så låt [] 3 - Sida 3

'' [] u[],5 δ [ ],5r[ 4] Frå tid 6 skall sial plaa ut och dt ordar vi om att rå da tid iöra ramp som avtar lika myckt som vår tidiar ramp vät. D skall alltså vara s st ördröd och ha skalaktor,5 och vi år u [] 3 - ' '' [] u[],5 δ [ ],5 r[ 4],5r[ 6] Frå tid 8 skall sial böra avta liärt och dt lösr vid md yttrliar y ramp, da å åtta st ördröd och trsom d har lutiskoicit,5 så blir dtta också skalaktor, så vi år [] - ' ''' [] u[],5 δ [ ],5r[ 4],5 r[ 6],5r[ 8] Till slut skall [] sial bli oll vid tid 6 och dt ordar vi om att upphäva d ativa ramp md lika stark positiv ramp rå - tid 6, dvs vi tar 6 st ördröd ramp md skalaktor,5 och år slutli [] u[],5 δ [ ],5r[ 4],5 r[ 6],5r[ 8],5r[ 6] Sida 4

Bilaa 3 Impulssvar Eklt mpl md bara ördröda variatr av isial y [] [],5 [ ], [ ],5 -, [] [-] [-] y[] -,5 -, 3 Vad hädr om vi ökar på kostatra y [] [] 59 [ ] 468 [ ] -59 468 [] [-] [-] y[] - -59 468 3 Värda blir stora md blir så småiom oll så systmt är stabilt. Vi iör ördröda variatr av utsial y [] [],8 y[ ] -,8 [] y[-] y[] - -,8 -,8 (-,8).64 3 (-,8) (-,8) 3 -,5 y[] år mot oll då år mot oädliht och systmt är stabilt Är dt alltid stabilt? y [] [],5 y[ ] Sida 5

,5 [] y[-] y[] -,5,5 (,5),5 3 (,5) (,5) 3 3,375 y[] år mot oädliht då år mot oädliht och systmt är istabilt Vi sr på tt systm md båd ördröda variatr av i- och utsial y [] [],5 [ ], [ ], y[ ], y[ ],5 -,,, [] [-] [-] y[-] y[-] y[] -,7,7,4 3,7,4,78 4,4,78,96 5,78,96,7 Sida 6

Bilaa 4 Stsvar Eklt mpl md bara ördröda variatr av isial y [] [],5 [ ], [ ],5 -, [] [-] [-] y[] -,5,3 3,3 Vad hädr om vi ökar på kostatra y [] [] 59 [ ] 468 [ ] -59 468 [] [-] [-] y[] - -58 3 3 3 Vi iör ördröda variatr av utsial y [] [],8 y[ ] -,8 [] y[-] y[] - -,8,, -,8*(-,8) -,8,8,84 3,84 -,8,8 -,8 3,38 4,38 -,8,8 -,8 3,8 4,7376 5,7376 -,8,8 -,8 3,8 4 -,8 5,499 y[] år mot kostat värd då år mot oädliht och systmt är stabilt Slutvärdt blir (omtrisk sri) Sida 7

k,8 k (,8), 556 Är dt alltid stabilt? y,5 y [] [] [ ] [] y[-] y[] -,5,5,5,5*(,5),5(,5) 4,75 3 4,75,5*(,5(,5) ),5,5,5 3 8,5 y[] år mot oädliht då år mot oädliht och systmt är istabilt Vi sr på tt systm md båd ördröda variatr av i- och utsial y [ ] [ ],5 [ ], [ ], y[ ], y[ ],5 -,,, [] [-] [-] y[-] y[-] y[] -,7,7,74 3,7,74,88 4,74,88,8376 5,88,8376,8493 Sida 8

Bilaa 5 Två srikopplad systm. Bstäm dt totala systmts dirskvatio. Vi börar md två ick-rkursiva systm srikopplad så att Systm kommr ör Systm y y [] [],4 [ ],6 [ ] [].5 [].8 [ ] [] h [] y [] h [] y tot [] OBS att [] it är dtsamma i d två all. För Systm är [] dt totals systmts isial, ör Systm är [] dt adra systmts isial, dvs dt örstas systmts utsial,. Vi ka alltså ör dt totala systmt skriva y y y [] [] [],4 [ ],6 [ ] [] y [].5 y [].8 y [ ] tot som r y tot,5 [].5{ [],4 [ ],6 [ ] }.8{ [ ],4 [ 3],6 [ 4] } [ ], [ ],5 [ ],3 [ 3],48 [ 4] d[] h [] h [] h [] h tot [] Systm :s impulssvar blir alltså isial till Systm och vi år impulssvart h tot [],5δ [],4δ [ ],δ [ ],3δ [ 3],48δ [ 4] Ma ka is att dtta är likvärdit md att örst bstämma dt örsta systmts impulssvar och sda aväda dtta impulssvar som isial till dt adra systmt och lösa utsialr via alti. Vi har h [] δ [],4δ [ ],6δ [ ] och år dt totala impulssvart Sida 9

,5,8 []h [] [-] [-] y tot [] - -,4, -,6,4,5 3 -,6,4,3 4 -,6 -,48 5 Vilkt aturlitvis r samma rsultat. Bytr vi plats på systm så kommr vi också att å samma rsultat. Om vi u låtr Systm vara rkursivt y y [] [],4 [ ],6 [ ] [].5 [].8 y [ ] Så år vi y tot [].5{ [],4 [ ],6 [ ] }.8 y[ ].5 [], [ ],3 [ ].8 y [ ] som r impulssvart h tot [].5δ [],δ [ ],3δ [ ].8h [ ] som vi klast lösr via tabll,8 []h [] h tot [-] h tot [-] h tot [] - -,5,5,,5, -,3,5,,4 3,,4,6 4,4,6,8 5,6,3,8 Och trsom vi har tt rkursivt systm så ortsättr impulssvart, i tori i oädli tid. Bytr vi plats på systm så är it rsultatt lika uppbart här. Vi år böra md Systm :s impulssvar (dtta systm sittr u örst) tot Sida

,5,8 [] h [-] h [-] h [] - -,5,5,5,4 3,4 4,4,3 5,3 Impulssvart tar u it slut här m vi slutar vid tid 5 ör ämörlss skull. Vi år u utsial som h tot [] h [],4h [ ],6h [ ],4 -,6 h [] h [-] h [-] h tot [] - -,5,5,5,,4,5, 3,4,6 4,3,4,8 5,3,8 Dt ka syas lit märklit att vi år samma svar obrod av ordi mlla systm m dt är vad vi ka väta oss av LTI-systm. Sida

Bilaa 6 Vi parallllkopplar systm rå Bilaa 5. Först d två ick-rkursiva systm y y [] [],4 [ ],6 [ ] [].5 [].8 [ ] [] h [] y [] y tot [] h [] y [] D två systm har samma isial [] och d passrar d två systm parallllt uta att på vrka varadra och vi ka d totala utsial ör d två systm om att hlt klt addra d två kvatiora y tot [] y[] y[] [],4 [ ],6 [ ].5 [].8[ ].5[],4 [ ],6[ ] Vi ör åtr Systm rkursivt y y [] [],4 [ ],6 [ ] [].5 [].8 y [ ] Åtr i har d två systm samma isial [] m i Systm :s kvatio örkommr dtta systms utsial y [] och dt är it dt samma som d totala utsial y tot [] uta dt är Systm :s utsial ör summatio md Systm :s utsial. Vi år då y tot [] y[] y[] [],4 [ ],6 [ ].5 [].8 y[ ].5 [ ],4 [ ],6 [ ].8 y [ ] och måst bräka utsial om att aväda kvatiossystmt y y [].5 [].8 y[ ] [].5 [],4 [ ],6 [ ].8 y [ ] tot Sida

Bilaa 7 Empl.4 sida 57 C, vär C/skud, start på 4 C 4 y h [],5 [],5 y[ ] [],5δ [],5 h[ ] h[],5 h[],5,5 h[],5 3,5 y[],5 4 y[],5 5,5 3,5 y[],5 6,5 3,5 4,75 Altrativt alti [] h[] Vi år statioärt partikulärlösi y p [] [] y [ ] y [ ] p h omo lösi y h p [],5 y [ ] y [],5( ) y [],5( ), 5 h h h [ ] y i partikulärlösi y y p [ ] [] [ ] C p! Sida 3

Sida 4 Bilaa 8 [] 8 cos 8 si cos 4 si N 8 Eulrs ormlr () () cos si [] 8 8 8 8 8 8 8 8 Att sial upprpas cykliskt md N 8 ör att vi ka skriva [] 8 7 8 6 8 8 a a a a 3 4 a 5 a a 6 7 a

Sida 5 Bilaa 9 [] 4 si,5 8 cos,6 6 cos 64 si 63 N 64 [] 64 6 si,5 64 8 cos,6 64 4 cos 64 si vi ka ämöra md [] k N k a k och bör då omorma vårt uttryck till potialuktior vilkt vi ka öra via Eulrs ormlr () () cos si [] 64 6 64 8 64 4 64 64 64 4 64 8 64 6 64 6 64 6 64 8 64 8 64 4 64 4 64 64 4,3,5,5,3 4,5,6 Cykl md N 64 ör att vi ka skriva [] 64 63 64 6 64 56 64 48 64 6 64 8 64 4 64,5,3 4 4,3,5

a a4 a 8, 3 a 6 4 4 a48 a 56, 3 4 4 a 6 a 63 Sida 6

Bilaa Låt oss btrakta siusormad sial md rkvs,5 s s, dvs priodisk sial md da rkvs som r da spktralkompot a om vi bräkar ourirsri md sampl, dvs N [] si(,5) si Vi skapar u priod av sial om att bräka [] ör 9 och sda upprpar vi dssa sampl å tr å ör att rra priodisk sial. Vi ritar vi upp två priodr av sial samt bräkar sials spktra så år vi daståd två iurr N N.5 -.5 Normrat spktra.8.6.4. - 3...3.4.5 Ralativ rkvs Skapar vi u i ställt sial om att bräka [] ör och rrar priodisk sial på samma sätt som ova så år vi N3 N3.5 -.5 Normrat spktra.8.6.4. - 3 4...3.4.5 Ralativ rkvs Sida 7

Obsrvra diskotiuitt i mitt av tidsdiarammt som r tt utspritt spktra och i distikt kompot i spktrat.. Etrsom vi u har N 3 så kommr spktralkompotra it att lia vid k s uta vid k s 3 Sida 8

Bilaa Vi vill bya upp sial bståd av d tr siusormad rkvskompotra,5 s och,3 s. Dlsialra skall ha amplitudra,,4 rspktiv,6. Vi år dlsialra [] si(,) [],4si(,5) [],6si(,3) si,4si 4 3,6si,, Vi sr att örsta dlto upprpar si var tiod sampl, dvs d har priodtid som är tio år så lå som samplispriod. På samma sätt har d adra dlto priodtid som är 4 samplispriodr. D trd to har priodtid samplispriodr m 3 dtta blir u tt ratiollt tal som it ka ralisras i tt samplat systm. Ma ka is att dt mista atal sampl som krävs ör tt hlt atal priodr av dlsial 3 är tio sampl och vi kommr då att å tr priodr av dlsial 3. För att d totala sial skall vara priodisk uta diskotiuittr så måst atalt sampl udr priod vara hltalsmultiplar av priodtid hos dlsialra. Vi hittar d mista atalt sampl om att hitta mista msamma ämar ör d tr priodtidra, som alltså är, 4 rpktiv sampl. s MGN A B4 C sampl r it öskat rsultat trsom dt skull,5 priodr av dlsial och it tt hlt atal priodr. Vi ka därmot is att sampl urar, dt r två priodr av dlsial, m priodr av dlsial och s priodr av dlsial3 (vi had.u tr priodr rda rå böra) Vi skapar sial som 5 6 [] si,4si,6si D örsta iur på ästa sida visar sials bloppsspktra som bstår av ra spikar då vi avädr priodtid N och alltså rrar prcis priod av sial. D adra iur visar vad som hädr om vi i ställt välr N Sida 9

N N 8 8 6 6 4 4...3.4.5 Ralativ rkvs...3.4.5 Ralativ rkvs Sida

Bilaa X Ω Ω Ω Ω Ω ( Ω) [] [ ] Ω Ω Ω 5 5 Ω Fiur 3.8 a) sida 83 Rsultatt är rllt och sakar alltså asvridi 5 [ cos( Ω) cos( Ω) ] N5, blopp.8 Blopp.6.4...4.6.8 Frkvs (rlativt s) Sida

Bilaa 3 Fiur 3.8 a) sida 83 X Ω Ω Ω Ω3 Ω4 ( Ω) [] [ ] Ω 5 Ω 5 Ω Ω Ω Ω [ ] [ cos( Ω) cos( Ω) ] [ cos( Ω) cos( Ω) ] Ω 5 5 Ω 5 Ω Ω Ω Ω N5, blopp N5, asvikl.8.6.8.4 Blopp.6.4 Fas (rlativt Pi). -. -.4. -.6..4.6.8 Frkvs (rlativt s) -.8..4.6.8 Frkvs (rlativt s) samma blopp som dt ick-kausala iltrt (Bilaa 7) m md asvikl - Ω Sida

Bilaa 4 y y Y [],5 [],5 y[ ] [],5 y[ ], 5 [] Ω ( Ω),5Y ( Ω),5 X ( Ω) Övrörisuktio ( Ω) Y X ( Ω),5,5 Ω ( Ω),5,5cos( Ω),5si ( Ω),5 [,5cos( Ω) ] [,5si ( Ω) ],5si arcta,5cos ( Ω) ( Ω) Ω Blopp Fas 45,68-8,7 9,45-6,6 35,36-4,6 8,33 Blopp Fasvikl.8 -.5 Blopp.6.4 Fas (rlativt Pi) -.. -.5...3.4.5 Frkvs (rlativt s) -....3.4.5 Frkvs (rlativt s) Sida 3

Bilaa 5 Jämör mdlvärdsbildad iltr Bilaa och 3. Rktaulärt östr Vi lär östrt symmtriskt, placri kommr bara att påvrka asvikl it bloppskurva, s sar avsitt om FIR-iltr. Bräki blir också klar om vi avädr tt udda atal sampl N [] N i övrit N.8 Rktaulärt östr N.6 X ( Ω) [] N Ω cos Nollomåar vid ( Ω) N N N Ω Sius()/.4. - -8-6 -4-4 6 8 8 6 4 N - -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 Normrad rkvs N.8 Normrat blopp.6.4. -.5 -.4 -.3 -. -....3.4.5 Normrad rkvs Sida 4

Bilaa 6 Bräka tio puktrs DFT ör siusormad sial md rkvs är tt. Bstäm vad som hädr om vi ädrar rkvs till Vi har alltså,,3 s, N N,. Amplitud s [] si(, T ) si si si och vi har DFT-bräki X N N [] k [] [] s k N W k N s som it är så roli att räka ut s ör bara puktr. Vi ka is att vår sial lir prcis vid X [] och dt är d da rkvskompo3t som kommr att ias md. Vi låtr att bräkisproram öra arbtt och år prcis dtta. Vi kommr bara att aväda spktrat som ämörls varör höd på spktralkompotras blopp är oitrssat och vi ormrar kommad räkiar rlativt X []. Dt btydr att vi år k 3 4 5 6 7 8 9 X k [] Obsrvra splsymmtri som ör att vi äv har X [ N ] X [ 8] Låt oss u höa rkvs till,3, dvs [] si(,3 T ) si s s,3 bräkisprorammt r u (ormrat mot d tidiar X [] ) k 3 4 5 6 7 8 9 X k,436,966,94,94,74,3,74,94,94,966 [] Läckat kommr si av att sial u lir mlla två spktralkompotr. si() Spktralkompotra har iltrrats ram av badpassiltr som ölr -kurvor som r ollomåar vid alla adra spktralkompotr. Etrsom siusuktio har ollomåar vid viklrkvs i, där i är tt hltal så ka vi is att avstådt mlla två spktralkompotr motsvaras av vilkt vi ka aväda ör att bräka läckats storlk. s Sida 5

D största spktralkompot blir d som lir ärmast sialrkvs dvs X [], där vi år (,3 ) si X [],8584,3 om vi räkar sialstorlk ormrat mot vad d ahd varit om sialrkvs had varit, s. Vi år på samma sätt si [] (,3 ) X, X [],3 si [] (,7 ) X 3,3679 X [],7 (,3 ) si,98,3 (,7 ) si 4,55,7 si vilkt u it är vad DFT-bräki av. Dtta bror på att d -uktior som is vid rspktiv rkvskompot har sidoloobr som kommr att ha sidoloobr som bord lia i rkvsområd som lir utaör itrvallt s. Vi kommr då att å åot som likar vikisdistorsio. D sidoloobr som bord lia övr s kommr att vikas r i itrvallt s mda sidoloobr som bord lia vid ativ rkvs kommr att vikas upp till motsvarad postiva rkvs. Ekt blir att vår sial kommr att bidra lra år till samma rkvskompot (via huvudloob och vikt sidoloob llr via korrkt sidoloob och vikt sidoloob). Ekt blir mr markat om vi lir ära DC s llr ära aska stora. () där d vikta sidoloobra lir aska ära huvudloob och därmd är Sida 6

Bilaa 7 För att örsöka studra läckat vid DFT uta att samtidit bli så störda av vikisdistorsio så ökar vi atalt spktralkompotr och samtidit studrar vi tt områd som lir så låt som mölit irå d områd ära DC och s där viki märks mst, dvs vi välr att läa oss ära s. Vi tar sampl, dvs N 4 och studrar sial som lir lika låt irå spktralkompot som i Bilaa 6 ör ämörlss skull. Vi välr rkvs,53 s och vi tar d och tittar på d spktralkompotr som lir lika låt rå sialrkvs som spktralkompotra i Bilaa 6 lå, dvs vi sr på X [ 498] X [ 5]. Läar vi åtr bräki till tt matmatikproram så år vi k 498 499 5 5 5 X k,,98,8585,3678,54 [] Vilkt stämmr md dt örvätad läcka som vi bräkad i Bilaa 6. Sida 7

Bilaa 8 Föstruktior aväds på mätsri vid rkvsaalys via DFT och FFT samt vid dimsiori av FIR-iltr via ivrs ourirtrasorm. Vi skall här s på utsdt hos tt atal östruktior samt på dras rkvså (bloppskurva) i liär skala och md dbskala och kommtarra ällr i örsta had östr vid rkvsaalys. Vi sr på all md och trmr, dvs N och N. Alla östr har i rkvsplat tt huvudpassbad, så kallad huvudloob av viss brdd som kommr att vara dt rkvsbad som rämst släpps iom, dssutom har vi sväiar (rippl) i spärrbadt som ör att vi äv där år bad (sidoloobr) där dl av sial släpps iom, dock mr dämpad ä i huvudloob. Dt är bräkismässit klast att studra östr om vi btraktar dom som symmtriska dvs om d bskrivs av uktio [] w M M M N örutsätti ör dtta är då att totalt atal trmr är udda, vilkt i allmäht it bhövr älla, m dt örklar som sat bräkiara. Vid rkvsaalys har vi ormalt samplsri [] N där var trm då skall viktas md si östrtrm w []. är har vi alltså it symmtriska trmr m skillad mlla dssa ick-symmtruiska trmr och symmtriska trmr är bara liär asvridi i rkvsplat (s sar avsitt om FIR-iltr)och vi ka öa oss md att btrakta dt symmtriska allt. I iltrsammaha därmot är dt aturlit att bhadla symmtriska trmr, s åtri FIR-iltravsittt. Rktaulärt östr Dt klast östrt tar md alla N sampl prcis som d är upp till, dvs w[] M i övrit M M N Etrsom vi tar md sampl prcis som d är så sär ma också ota att ma it avädr åot östr. Rktaulärt N.8.6.4. - -5 5 Sida 8

Spktra rktaulärt N Spktra rktaulärt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Rktaulärt N.8.6.4. -5 5 Spktra rktaulärt N Spktra rktaulärt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi sr att huvudloob blir smalar då atalt trmr ökar. uvudloob har brdd s N mda sidoloobra har brdd N s. D rlativa höd hos var idividull loob örädras it md atalt trmr, dvs örsta sidoloob har alltid samma höd i örhållad till huvudloob tc. Sida 9

Ett idalt östr som är oädlit brtt och tar md alla rtrmr skull oädlit smal huvudloob. Bloppskurva ör rktaulärt östr, iur 5.3 sida 47 Triaulärt östr Fiur 5.4 sida 48 Vi har uktio [] w k N k N k k N Och spktrat W M ( Ω) M [ M k] cos( k Ω) k Mavärdt iträar då M och är W [] M ( M k) ( M ) W ma k Traulärt N M.8.6.4. - -5 5 Spktra traulärt N Spktra triaulärt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 3

Traulärt N.8.6.4. -5 5 Spktra traulärt N Spktra triaulärt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Ett sarlikt östr är Bartlttöstrt som bskrivs av uktio Fiur 5.4 sida 48 och iur 5.6 a) sida 5 [] w k N k N k k N Bartltt N.8.6.4. - -5 5 Sida 3

Spktra Bartltt N Spktra Bartltt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Bartltt N.8.6.4. -5 5 Spktra Bartltt N Spktra Bartltt N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Om vi ämör dt triaulära östrt (llr Bartlttöstrt) md dt rktaulära östrt (iur 5.3 sida 47) så r dt triaulära östrt uär dubblt så stor dämpi av d örsta sidoloob. Samtidit blir huvudloob uär dubblt så brd vilkt r lackar övrå mlla pass- och spärrbad. Sida 3

vo aöstr (ai, raisd cosi) w M [],5,5cos M M Fiur 5.5 a) sida 5 och iur 5.6 b) sida 5 ai N.8.6.4. - -5 5 Spktra ai N Spktra ai N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) ai N.8.6.4. -5 5 Sida 33

Spktra ai N Spktra ai N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) ammiöstr Fiur 5.5 b) sida 5 och iur 5.6 sida 5 w M [],54,46cos M M ammi N.8.6.4. - -5 5 Spktra ammi N Spktra ammi N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 34

ammi N.8.6.4. -5 5 Spktra ammi N Spktra ammi N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) E ämörls (iur 5.6 sida 5) r att ammiöstrt har åot brdar huvudloob ä dt triaulära östrt och aiöstrts huvudloob är yttrliar åot brdar. aiöstrt har å sidoloobr som är åot mr dämpad ä motsvarad loobr hos dt triaulära östrt. ammiöstrt har lr sidoloobr m d örsta sidoloobra är väl dämpad, spcillt d örsta sidoloob. Blackmaöstr w[],4,5cos,8cos N N Sida 35

Blackma N.8.6.4. - -5 5 Spktra Blackma N Spktra Blackma N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Blackma N.8.6.4. -5 5 Sida 36

Spktra Blackma N Spktra Blackma N db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Md tt Kaisröstr, iur 5.9 sida 54, har vi lr rihtsradr så att vi ka väla att optimra iltrt ör brat övrå mlla pass- och spärrbad llr litt rippl i pass- och sidbad, dvs vi bytr lit badbrdd mot små sidoloobr. Vi ka it å båda samtidit uta vi bytr i pricip dt a mot dt adra. Kaisröstr N ala8.8.6.4. - -5 5 Spktra Kaisröstr N ala8 Spktra Kaisröstr N ala8 db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 37

Kaisröstr N ala8.8.6.4. -5 5 Spktra Kaisröstr N ala8 Spktra Kaisröstr N ala8 db-skala.8 - Normrat blopp.6.4 Blopp (db-skala) -4-6. -8...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Om vi sr på d olika östruktiora i rkvsplat så sr vi att ökat atal trmr alltid r smalar huvudloob, m rktaulärt östr r alltid smalast huvudloob. Vi sr att olika östruktior r lit olika brda huvudloobr och dssutom är dt olika dlar av sidoloobra som dämpas mst av olika östr. Ma ka it rllt säa att åo östruktio är bättr ä d adra, d ramhävr olika dlar av sials spktra och vid rkvsaalys ka dt vara lämplit att öra aalys av samma samplmäd md lra olika östr. Sida 38

Bilaa 9 Låt oss öra puktrs DFT-bräki ör sial md rkvs,453 s. X 45 och Sialrkvs lir mlla [ ] X [ 46] vilkt btydr att vi år läcka och trsom vi lir så ära så år vi dssutom rätt krati viki som iur visar. Låt u d samplad sial passra tt ammiöstr ia vi ör DFTbräki. D adra iur visar att vikisdistorsio är mr llr midr limirad trsom ammiöstrt har midr sidoloobr ä vad dt rktaulära östrt har, m vi har ortarad läcka i d ärliad spktralkompotra. Vi ka till och md s att X [ 45] har miskat i storlk båd absolut och rlativt X [ 46], dtta är kt av att ammiöstrt har brddad huvudloop och it badpassiltr ör spktralkompotra u it har ollomåar vid övria spktralkompotr. s Normrat absolutblopp Normrat absolutblopp DFT.453*s N.8.6.4..5..5..5.3.35.4.45.5.8.6.4. Normrad rkvs (rlativt s) DFT.453*s N ammiöstr.5..5..5.3.35.4.45.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 39

Bilaa Låt oss btrakta 56 puktrs FFT (N56) och ata ör klhts skull att vi har samplisrkvs 56 så att upplösi är. Vi skall s på sial bståd av två siusormad kompotr, båda md amplitud tt. Om d har rkvsra 5 och 6 så har d tt ibörds avståd som är lika md upplösi och dssutom kommr d att lia vid rkvskompotra X[5] och X[6]. Vi år vidståd tidsdiaram. FFT 5 6 N56.5.5 -.5 - -.5-5 5 5 Och vi år vidståd rkvsspktra, som bara visar dt aktulla rkvsområdt. Frkvskompotra blir så ra tack var att vi har sialr som lir prcis på två spktralkompotr (k5 rpktiv k6). Normrat absolutblopp.8.6.4. FFT 5 6 N56 3 4 5 6 7 8 9 3 Frkvs [] Låt oss s vad som hädr om vi i ställt tar sialrkvsra 5,3 rspktiv 6,3, vi bhållr alltså dt ibörds avstådt lika md upplösi m d lir u it vid åra rkvskompotr. Tidsdiarammt blir i stort stt likadat varör vi it ritar upp dtta. Vi sr ur bloppsspktrat att vår ra it alls blir lika bra. Vi skall u iöra mtod som btydr att vi ör mr dtalrad bräki i rkvsplat. Mtod som kallas ropaddi ibär i pricip att vi 3 4 5 6 7 8 9 3 itrpolrar mlla d, i dtta all, 56 rkvskompotr som vi har i ovaståd bräki. Dtta btydr att vi räkar ram lr puktr på d kurvor som is atydda i ovaståd iur, där vi dock har så å puktr att vi it ka s kurvorm klart. Dt skall Normrat absolutblopp.8.6.4. FFT 5.3 6.3 N56 Frkvs [] Sida 4

btoas att mtod it ökar upplösi i mäti uta vi har ortarad tait 56 sampl md samplisrkvs 56 så upplösi i mäti är ortarad. Zro-paddi ibär att vi komplttrar vår mätsri md tt atal ollor i slutt på mätsri och sda ör vår FFTbräki på da, lär samplsri, som dock ortarard bara ihållr 56 styck uppmätta sampl. Om vi lär till lika måa ollor som vi har sampl så kommr vi att å itrpolrad pukt mlla var rkvskompot och vi år då vidståd iur. Vi sr att vi år lit bättr iormatio m vi har ortarad rätt dius bild. Normrat absolutblopp.8.6.4. FFT 5.3 6.3 N56 3 4 5 6 7 8 9 3 Frkvs [] Låt oss itrpolra i su puktr mlla våra rkvskompotr, dvs vi lär till su år så måa ollor som vi har sampl ( 7 56 79 ) och år då daståd tidssri och rsultat av FFT-bräki. FFT 5.3 6.3 N56.5.5 -.5 - -.5-4 6 8 4 6 8 Vi sr att vi u har ått två tydlia loobr rut d aktulla rkvsra. Låt oss ta 5 år så måa ollor som sampl ör att s om vi ka å ut mr iormatio. Vi sr att d tra ollora it r spcillt myckt. D tra itrpolrispuktra ör bara att vi år lr puktr på kurva, vi år it mr markata toppar vid d aktulla rkvsra. Vi sr att vi örutom d två stora toppara har ått midr toppar vid sida av dssa. Kurvora likar d Sida 4

() si -kurvor vi tidiar stt ör rktaulära östr och dt är aktiskt prcis vad vi har. Vår korta skvs om 56 sampl av d totala öld, där rst är ollor, ibär krati östri md tt rktaulärt östr. uvudloob har då äv här brdd, dvs här. Låt oss läa i s sial mlla d två tidiar sialra ör att s vad som hädr. Vi lär d mitt mlla, dvs md rkvs 5,8 och äv d md amplitud tt. Vi bhållr dt atal ollor som vi har i d sast bild ( 5 56 384). Vi sr att da rkvskompot it sys och dssutom stör d bild av d tidiar två rkvskompotrs, dtta bror på att vi u har tt avståd mlla rkvsra som är midr ä upplösi. Låt oss slutli s vad som hädr om avädr ro-paddi på vår ursprulia sial som u lå prcis vid öskad rkvskompotr och därmd av ullod iormatio rå böra. Vi sr att tillät av ollor här har ivit sämr bild, dt bror på att vi äv här itrpolrar ram kompotr mlla våra vrklia rkvskompotr och dssa itrpolrad värd kommr u att å läcka rå d aktulla sialra och i pricip smama kurvor som tidiar. I praktik är dt myckt osamm olikt att vi mätr på sial som bara ihållr sialr som har rkvsr som sammaallr md spktralkompotra så i allmäht kommr ro-paddi att oss bättr bild av FFT:. Sida 4

Bilaa Bstäm -trasorm ör vårt tidiar otchiltr y [ ] [ ],9 [ ] [ ],853 y[ ],94833 y[ ] vi övrår till -plat Y () X (),9 X () X (),853Y(),94833Y() omstuvi r Y (),853Y(),94833Y() X (),9 X () X () vi brytr ut () Y Y och X () ()[,853,94833 ] X ()[,9 ] Vi dlar ram övrörisuktio () Y X (),9 (),853,94833 Då vi bhadlar sialr i -plat är dt, som vi skall s sar, praktiskt att bara ha positiva potr på, så vi örlär md. (),9,853,94833 Sida 43

Sida 44 Bilaa Empl ur iur.8 sida 4 md [] startad vid tid. Bstäm utsial då sial [] aväds som isial till tt systm md impulssvart [] h [] [] [ ] [ ] [ ] 3 3 δ δ δ δ [] [] [ ] [ ] h δ δ δ dvs systmt ka bskrivas av dirskvatio [] [] [ ] [ ] y Vi ka å utsial y[] via suprpositio om vi sr isial som sri impulsr [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 7 3 5 4 6 3 4 4 3 3 3 3 5 4 3 3 4 3 3 3 3 y δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Vi år utsial om alti i tidsplat och trsom dtta är dtsamma som multiplikatio i -plat så ka vi å utsial via multiplikatio av isials -trasorm och impulssvarts -trasorm. Isial och impulssvart har -trasormra () 3 3 X () som r utsial

Sida 45 () () () ( )( ) 5 4 5 4 3 4 3 3 3 7 3 6 4 3 3 3 X Y och år vi tillbaka till tidsplat så år vi utsial [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 7 3 y δ δ δ δ δ vilkt som vätat är dtsamma som vi ick via alti i tidsplat.

Sida 46 Bilaa 3 Utvcklad vrsio av uppit Q4.c) sida 7 () { } ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 3 3 k k k k k k k k k k k k k k sri Gomtrisk X " " " Vi ka också dividra ram svart ( ) ( ) 3 : k k " Dtta är mtod som alltid urar uta att vi bhövr idtiira åra kla ruduktior i vårt -uttryck. ur sr tidsuktio ut? [] [] [ ] [ ] " δ δ δ Vi år ur ruduttryckt () [] [] [ ] u u X Om kvatio vor tt systms övrörisuktio i -plat, hur sr då systmts dirskvatio ut? Etrsom positivt tal motsvarar att vi sr i i ramtid så vill vi it ha sådaa trmr uta vi brytr ut och örkortar ör att bli av md dss. Vi år i dtta all bryta ut () () () X Y ()[ ] ()[ ] X Y () () () () X X Y Y () () () () [] [] [ ] [ ] y y Y X X Y

Bilaa 4 Läk y [] [],5 y[ ] Läk y [] [], [ ],7 y[ ] ur sr d totala dirskvatio ut om vi srikopplar systm? Vi övrår till - plat (),5,5 (),,7,,7 I tidsplat så skull vi ha altat ihop d två systms impulssvar ör att å dt totala impulssvart. Etrsom alti i tidsplat motsvaras av multiplikatio i -plat och tidsplats impulssvar motsvaras av -plats övrörisuktior så multiplicrar vi i ställt ihop d två systms övrörisuuktior ör att å d totala övrörisuktio () () (),5,,7 (,), (,5) (,7),, 35 Gom åtrå till tidsplat så år vi dt totala systmts dirskvatio. Vi vill bara ha ördröda variatr av sialra y (),,,35 [ ] [ ], [ ], y[ ],35 y[ ] Sida 47

Bilaa 5 y [ ],5 [ ],4 [ ],5 y[ ] (),5,4,5,8,5,5,8,5 dvs ollställ i -,8 och pol i,5. Vi sr på vrklia sialr, dvs på htscirkl där Ω ( Ω) Ω Ω,8,5,8 cos,5 cos ( Ω) si ( Ω) ( Ω) si ( Ω) [,8 cos( Ω) ] si ( Ω) [,5 cos( Ω) ] si ( Ω) si arcta,8 cos ( Ω) ( Ω) si arcta,5 ( Ω) cos( Ω) Låt oss btrakta tälar örst och s om vi ka komma ram till raisk rprstatio av blopp och asvikl. Vi börar md bloppt där vi ka rita vidståd tolki då vi studrar örhållada vid slumpmässit vald rkvs. Vi sr att bloppts tälar är avstådt rå ollställt till d pukt på htscirkl som motsvarar rkvs ( ). s På samma sätt år vi vidståd iur ör ämars blopp, dvs ämars blopp är lika md avstådt rå pol till d pukt på htscirkl som motsvarar rkvs. Vi år alltså dt totala bloppt som proportiollt moavstådt rå ollställt till d aktulla pukt på htscirkl dlat md avstådt rå pol till d aktulla pukt på htscirkl. Dt är proportiollt mot avstådt och it lika md trsom vi it sr uttryckts skalaktor,5 i [,8cos(Ω)] si (Ω) [cos(ω)-,5] si (Ω) Ω Ω si(ω),8cos(ω) si(ω) cos(ω)-,5 Sida 48

pol/ollställstolki Låt oss s på as. Vi år iur Vi sr att asvikl blir vikl mlla li mlla ollställt och d aktulla pukt på htscirkl och rlla al mius vikl mlla li mlla pol och d aktulla pukt på htscirkl och rlla al. si(ω) arcta,8cos(ω) si(ω) arcta cos(ω)-,5 Ω si(ω) cos(ω)-,5,8cos(ω) Om vi u tar och i tak låtr rkvs å rå oll till sr vi rätt lätt att,8,5 () 3, 6 s och örsökr tolka bloppt så,8,5 s 4,45 s,8,33,5 Vid rkvsr därmlla så kommr dt it att bli åra plötslia hopp i bloppt uta vi år kurva som har sitt maimum vid rkvs oll och sda avtar md rkvs, dvs vi har tt låpassiltr. Vi ka öra motsvarad rsoma ör as och år daståd två iurr. 4 Blopp Fasvikl 3.5 -.5 Blopp 3.5.5 a -. -.5 rl ti -. t Pi) -.5 -.3.5 -.35...3.4.5 Frkvs (rlativt s) -.4...3.4.5 Frkvs (rlativt s) Sida 49

Vi ka aväda samma rsoma om vi har kompla polr och ollställ, dvs sådaa som it lir på rlla al och vi ka utvida rsomat till att älla övrörisuktior som har lra polr och ollställ. Vi år då Avstådt till ollställ Avstådt till pol p L L p L Lp där tckt btydr produkt. Sida 5

Bilaa 6 Vi börar md tt rt rllt ollställ i t mda vi stär av pol om att placra d i orio. Kom ihå att dt är lämplit md lika måa polr och ollställ. y t () t [] [] t [ ] Vi sättr i vrklia rkvsr, dvs Ω, och tittar på åra värd på t då vi svpr rkvs mlla och s, dvs vi svpr Ω mlla och. t () t ( Ω) t t cos( Ω) t t ( ) t t t > t [] [/] [] [/4] [3 /4],,,56,,86,3,4,77,85,9,,35,9,73,76,5,5,,5,74,4,.9,4,,93,7 -,,,4,9,7,93 -,5,5,,5,4,74 -,9,9,35,,76,73 -,4,85,77 -,,,56,,3,86 t < Vi börar md kurvora ör t > Trasvrsaliltr, :a rad, t. Trasvrsaliltr, :a rad, t.5..6.4..8 Blopp.6 Blopp.8.4.6.4.....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 5

Trasvrsaliltr, :a rad, t.9 Trasvrsaliltr, :a rad, t..8.6.4 Blopp..8 Blopp.5.6.4.5....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi ämör kurvora dirkt, ormrad till maivå tt och i db-skala. Trasvrsaliltr t>, :a rad Trasvrsaliltr t>, :a rad, ormrad t. t. t.9.8 Blopp.5 t.5 t. Blopp (ormrat).6.4 t.5.5. t.9 t....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Trasvrsaliltr t>, :a rad, ormrad (db) t. -5 t.5 Blopp ormrat (db) - t.9-5 t. - -5-3...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi sr att iltrts ktivitt ökar md t. Vi övrår till t < Sida 5

. Trasvrsaliltr, :a rad, t-..6 Trasvrsaliltr, :a rad, t-.5.4..8 Blopp.6 Blopp.8.4.6.4.....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Trasvrsaliltr, :a rad, t-.9 Trasvrsaliltr, :a rad, t-..8.6 Blopp.4..8 Blopp.5.6.4.5....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi ämör i dirkt, ormrat till maivå tt och i db-skala. Trasvrsaliltr t<, :a rad Trasvrsaliltr t<, :a rad, ormrad t-. t-. t-.9.8 Blopp.5 t-.5 t-. Blopp (ormrat).6.4 t-.5.5. t-.9 t-....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 53

Trasvrsaliltr t<, :a rad, ormrad (db) t-. -5 t-.5 Blopp ormrat (db) - -5 - t-. t-.9-5 -3...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) dvs t < t > låpassiltr höpassiltr där iltr md positivt och ativt t blir splbildr av varadra i 4 och iltrt blir allt mr ktivt u ärmar htscirkl ollställt lir, dvs u störr t är. Obrod av ollställas placri så kommr vi att ha tt stabilt systm, dtta sys dock it av bloppskurva. s Sida 54

Bilaa 7 Vi låtr u ollställt lia i orio mda vi varirar pols lä r r [] r > y [] [] r y[ ] r [] [ Ω] r r [ ] r r cos ( Ω) r [] [/] [] [/4] [3 /4], 5,64,45,6,49,7,5,3,54,9,74,53,36,57,5,89,67,36,7,,,995,9,7,93 -,,9,995,,93,7 -,5,67,89,7,36 -,9,53,74,57,36 -,5,7,54,3 -,,45,64 5,49,6 r < Vi börar åtr md kurvora ör r >. r r istabilt systm, trots att dtta it sys ur bloppsuttryck uta måst ss i pol/ollställsdiarammt llr ur systmts impulssvar, varör vi it tar md dtta. Rkursivt iltr, :a rad, r. Rkursivt iltr, :a rad, r.5.8.5 Blopp.6 Blopp.4.5....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 55

Rkursivt iltr, :a rad, r.9 8 Blopp 6 4...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi ämör kurvora dirkt, ormrad till maivå tt och i db-skala. Rkursivt iltr r>, :a rad Rkursivt iltr r>, :a rad, ormrad t. 8.8 Blopp 6 4 r.9 Blopp (ormrat).6.4 t.5 r.5. t.9 r....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Rkursivt iltr r>, :a rad, ormrad (db) r. -5 Blopp ormrat (db) - -5 - r.5-5 r.9-3...3.4.5 Frkvs (rlativt s) Vi sr att iltrts ktivitt ökar md r. Sida 56

. Rkursivt iltr, :a rad, r-. Rkursivt iltr, :a rad, r-.5.8.6.8.4 Blopp.6 Blopp..4.8.6..4....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Rkursivt iltr, :a rad, r-.9 9 8 7 Blopp 6 5 4 3...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi ämör åtr kurvora dirkt, ormrad till maivå tt och i db-skala. Rkursivt iltr r<, :a rad Rkursivt iltr r<, :a rad, ormrad t-. 9 8.8 Blopp 7 6 5 4 r-.9 Blopp (ormrat).6.4 t-.5 3 r-. r-.5...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s). t-.9...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 57

Rkursivt iltr r<, :a rad, ormrad (db) r-. -5 Blopp ormrat (db) - -5 - r-.5-5 r-.9-3...3.4.5 Frkvs (rlativt s) dvs r > r < låpassiltr höpassiltr där iltr md positivt och ativt r blir splbildr av varadra i 4 och iltrt blir allt mr ktivt u ärmar htscirkl pol lir. Dt är värt att otra att örhålladt att iltr blir istabila om r pol it sys ur bloppskurvora. Vi så ova hur vi ick tt ädlit blopp ör p ±,. s Sida 58

Bilaa 8 Vi ämör :a ordis trasvrsaliltr och rkursiva iltr. Filtr, :a rad, r. r. t..8 r. Blopp.6.4....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Etrsom positiva ollställ r höpassiltr mda positiva polr r låpassiltr så är dom lit svåra att ämöra. Vi ämör i ställt iltr md positiva ollställ md iltr md ativa polr ör att å höpassiltr i båda all. Filtr, :a rad, t. r-. Filtr, :a rad, t. r-. ormrad t. r-..8 t. r-. Blopp.8.6.4 Blopp (ormrat).6.4.....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Filtr, :a rad, t. r-. ormrad (db) -. Blopp ormrat (db) -.4 -.6 -.8 - -. -.4 t. r-. -.6 -.8 -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 59

Filtr, :a rad, t.5 r-.5 Filtr, :a rad, t.5 r-.5 ormrad.8.6.8 Blopp.4..8 t.5 r-.5 Blopp (ormrat).6.4 t.5 r-.5.6.4.....3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Filtr, :a rad, t.5 r-.5 ormrad (db) - Blopp ormrat (db) - -3-4 -5-6 -7-8 t.5 r-.5-9 -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Filtr, :a rad, t.9 r-.9 Filtr, :a rad, t.9 r-.9 ormrad 9 8.8 Blopp 7 6 5 4 r-.9 Blopp (ormrat).6.4 t.9 3 t.9. r-.9...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s)...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 6

Filtr, :a rad, t.9 r-.9 ormrad (db) -5 t.9 Blopp ormrat (db) - -5 - -5 r-.9-3...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi ka kostatra att polr har störr ivrka på rkvskurva ä ollställ och dtta blir att mra markat u ärmar htscirkl vi kommr md ollställ och polr. Sida 6

Bilaa 9 Dimsiora tt smalt badpassiltr md mittrkvs 3 k och badbrdd samt passbadsörstärki tt () om samplisrkvs är 8 k. Om vi udrar på polr och ollställs ivrka på rkvskurva så mis vi att polr har myckt kratiar ivrka ä vad ollställ har, däör år vi örsöka aväda polr ör att skapa tt smalt badpassiltr. För att vi skall ha åo rimli möliht att öra dimsiori md kl pol/ollställsplacri så måst vi s till att dt är da pol som styr mittrkvs och badbrdd. Vi mis att dt är avstådt till polr och ollställ som avör storlk på bloppt vid viss rkvs. För att å tt passbad år vi då s till att vi har pol åostas på radi vid d aktulla rkvs (vikl) så att avstådt till pol blir som mist där och därmd bloppt som störst. Lär vi pol ära htscirkl så år vi stor skillad mlla bloppt vid da rkvs och vid adra rkvsr och därmd tt smalt passbad. Dtta år dssutom till öld att dt hädr myckt md bloppt då vi rör oss i tt litt rkvsområd (litt viklområd) rut mittrkvs vilkt btydr att vi ka btrakta avstådt till polr och ollställ som lir lär bort som i stort stt kostat då vi rör oss i dtta smala områd varör vi bara bhövr bhadla staka pol ära htscirkl i dimsiori. ad vi öskat stor badbrdd på badpassiltrt så had vi varit tvua att röra oss i tt störr rkvsområd och då had vi it kuat btrakta avståd till d adra polra och ollställa som kostata. Vi ka dock kostatra att dt måst ias mist pol till trsom vi skall skapa tt badpassiltr och d aktulla vikl lir då it på d rlla al i -plat och då måst d aktulla pol ha komplkourad pol ör att rlla kostatr. Mr ä två polr är dock it öskvärt trsom lra polr då skull ivrka på rkvskurva vilkt skull örsvåra dimsiori. Vi har dssutom tidiar stt att vi bör ha lika måa ollställ som polr ör att å tt kausalt systm uta oödi ördröi, dvs vi bör äv ha två ollställ. Vi år u tt smalt badpass om att läa pol ära htscirkl vid aktull rkvs (vikl) och dssutom pol som är d örsta pols komplkouat. Komplttri md två ollställ i orio r tt kausalt systm uta tra ördröi uta att ollställa kommr att påvrka bloppskurva, dras avståd till aktull rkvs är u alltid tt. Vi år r r Ω Ω Dubblt ollställ 3 k B 3 3 Ω s 8 4, Ω B 8 4 I iur iör vi d som avstådt till pol vid vikl Ω. Gräsrkvs diiras som d pukt där bloppt har sukit till av bloppt vid mittrkvs. Dtta d d u d r-d Sida 6

btydr att vid d viklar Ω u och Ω ö som motsvarar udr räsrkvs u och övr räsrkvs ö så måst avstådt till pol vara år så låt som avstådt är vid mittrkvs, dvs avstådt måst vara d. Vi sr i iur att vi år likbt rätvikli trial om vi approimrar d korta bit av htscirkl md rät li. Da korta bit av htscirkl motsvarar halva badbrdd och trsom hla htscirkl motsvarar samplisrkvs s så år vi B Ω B d s som r pols radi r d,9673 8 Om vi iör kostat A ör att kua korrira passbadsörstärki till tt och mis att polr och ollställ skilda rå d rlla al måst vara komplkourad så år vi övrörisuktio () A [ ][ ] A Ω Ω Ω [ r ][ r ] r [ ] Ω r A r cos Vid Ω har vi bloppt ( Ω ) A ( Ω ) r Ω Ω Ω Ω [ r ][ r ].8.6.4 Blopp (ollställ i orio) Passbadsörstärki uta dämpi8.36 dvs A Ω r Ω cos ( Ω ) r 8,3633....3.4.5 A 8,3633 och vi år,545 Sida 63

(),545 3,9673cos,9673 4,545,545,3587,93,3587,93 som r dirskvatio y [],545 [],3587 y[ ],93 y[ ] Sida 64

Bilaa 3 Upprpa bilaa 9 om vi i ställt öskar total utsläcki ör likspäi och ör rkvs s. Rsomat rut polras placri örädras it och vi har ortarad Ω 3 4 r Ω r,9673 r Ω Vi år utsläcki vid DC om att läa tt ollställ i s och utsläcki vid om att läa tt ollställ vid -. Vi lyttar alltså d två ollställ som tidiar lå i orio till dssa puktr. Dtta kommr då att btyda att vi it har kostat avståd till ollställa vid alla rkvsr m ollställa lir låt irå dt områd som r d aktulla badbrdd och i dtta lilla områd ka vi btraka avståd som kostata. d d u d () A [ ][ ] Ω Ω [ r ][ r ] r-d A r Ω Ω [ ] r A r cos ( Ω ) r Vi år u tt aat värd på passbadsörstärki och vi bhövr tt ytt värd på A ör att å passbadsörstärki tt.vid Ω har vi bloppt Ω Ω ( ) [ ][ ] Ω A Ω Ω Ω Ω [ r ][ r ] A Ω r Ω Ω cos ( Ω ) r 5,9696 Sida 65

dvs A 5,9696,385.8.6 Blopp Passbadsörstärki uta dämpi5.97.4. och vi år...3.4.5 (),385 3,9673cos,9673 4,385,385,3587,93,3587,93 som r dirskvatio y [],385{ [] [ ] },3587 y[ ],93 y[ ] Sida 66

Bilaa 3 Dimsiora tt smalt otchiltr md mittrkvs 6 och badbrdd om samplisrkvs är, k. Passbadsörstärki skall vara tt (). E smal otch ibär att vi skall ha tt iltr som släppr iom alla rkvsr lika bra, här passbadsörstärki tt, utom i tt smalt områd där vi skall å krati dämpi och vid dtta områds mittrkvs utsläcki. E smal otch låtr u som motsats till smalt badpassiltr och vi skall s att vi ka rsora uär som i Bilaa 9. Vi år utsläcki vid mittrkvs om att läa tt ollställ på htscirkl vid motsvarad vikl Ω. För att släppa iom adra rkvsr lika bra så måst vi s till att ör dssa rkvsr är avstådt till iåd polr och ollställ uär kostata llr också skall d örädras lika myckt. Vi skull kua å kostata avståd till polra om att placra dom i orio m då skull d it ivrka på bloppskurva och trsom vi då bara skull ha ollställ som ivrkar på bloppskurva så skull vi it å skarp otch, ollställ r u it så krati ivrka på bloppskurva. 4 Blopp 3.5 Dubbl pol Ω Ω 3.5.5.5...3.4.5 Bloppskurvas osymmtri kommr si av att d aktulla vikl it lir vid, 4 kt blir att avstådt till polra är kortar vid lå rkvs ä vad d är vid hö rkvs Om vi då i ställt örsökr att å avståd till polra och ollställa att ädras uär lika myckt ör alla rkvsr utom dom som lir ära så ka vi is att om vi lär pol ära ollställt på htscirkl så uppyllr vi dtta, Ω ör stabilitt så måst pol lia iaör htscirkl. r Avstådt till pol och ollställt blir uär lika stort utom ära där avstådt till ollställt år mot oll. Samtidit blir avstådt till pol och ollställts komplkouat Ω r uär lika stora och dt ällr vid alla rkvsr, äv. Dtta ibär att vi år passbadsörstärki på uär tt uta att korrira örstärki. s Sida 67

Sida 68 Vi lär pol vid samma vikl Ω som där vi har placrat ollställt, m vi lär pol stra iaör htscirkl. 6, 6 6 Ω Ω B s B Diitio av badbrdd är uär likada som ör badpassiltr, örstärki vid badräs skall vara av vad d är i passbadt. Dtta btydr här att vid badräs skall avstådt till pol vara år så låt som avstådt till ollställt. Vi år samma likbta, rätviklia trial som i badpassallt och samma rsoma r B s B d Ω,9738 Ω d r Vi år alltså övrörisuktio (),9738,9738 A,94833,853,9,94833,853,9,9738 cos,9738 cos,9738,9738 A A A A d d r-d d

Diitio på passbad är i dtta all lit dius m vi ka s vilk örstärki vi år vid DC och vid s,9,853,94833,9,853,94833 () ( ) A A, 96 A ( ),9( ) ( ),853( ),9 s ( ) A A,67 A,94833,853,94833 Vi ör alltså små l om vi it avädr åo skalaktor och vi ka aväda övrörisuktio,9,853,94833,9,853,94833 () som r dirskvatio y [ ] [ ],9 [ ] [ ],853 y[ ],94833 y[ ] Blopp.8.6.4....3.4.5 Sida 69

Bilaa 3 Vi skal s hur lå- och höpassiltr md i asvridi, liär asvridi och oliär aasvridi påvrkar sial md lra dltor. Vi studrar aalo yrkatvå md rkvs och amplitud. Sial har positiv lak vid t. Sial ka dlas upp i sia ourirkompotr lit () t si [ ( k ) ] k k Sial bstår alltså av rudto md samma rkvs som yrkatvå och udda övrtor av da där toras amplitud avtar md övrtoras rkvs. Värt att otra är att rudto har störr amplitud ( ) är yrkatvå. Vi studrar sials dltor, där vi välr att bara studra rudto md rkvs och d två örsta övrtora md rkvsra 3 och 5 (3 rspktiv 5 ). Vi studrar också d hopsummrad sial där vi avädr rudto md rkvs och d yra örsta övrtora md rkvsr 3, 5, 7 och 9. Vi avädr lr dltor här ör att å total sial som mr likar d öskad yrkatvå. Fyrkatvås örsta tr tor sr ut lit iur.5 Tr tor ur yrkatvå.5 -.5 - -.5..4.6.8 Lä märk till d sammaallad ollomåara. Addrar vi ihop d m örsta av sials dltor så år vi Sida 7

.5 Fyrkatvå av m tor.5 -.5 - -.5..4.6.8 Lä märk till symmtri hos båd positiv och ativ halvpriod. Vi iltrrar yrkatvå md tt örsta ordis låpassiltr md räsrkvs. Ett aalot iltr md dssa skapr bskrivs av övrörisuktio ( ω) arcta ω ω Förstaradsiltr LP Förstarads LP db-skala.8 Blopp.6.4 Blopp (db) -5 -. 3 4 Frkvs () -5.5.5.5 3 3.5 4 Frkvs () Förstaradsiltr LP -. Fasvikl rlativt pi -. -.3 -.4 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Frkvs () Sida 7

Filtrt r alltså båd örädri av sialamplitudr och asvridi, där asvridi är oliär. Om vi örst atar att iltrt bara påvrkar bloppt m it r åo asvridi så år vi Tr tor ur yrkatvå,i asvridi LP.5 Fyrkatvå av m tor, i asvridi LP.5.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Ju hör rkvs to har u mr dämpas d alltså. Lä märk till d sammaallad ollomäara och symmtri hos sial äv om d örädrad storlk hos dltora har örädrat d totala kurvorm. Vi ka också täka oss tt iltr md liär aså Θ k ω, äv om dtta it ka ralisras aalot. I d lsta all är k ativt vilkt ibär ördröi. Md k, 3 år vi t askurva Liär as -,3 w -. Fasvikl rlativt pi -. -.3 -.4 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Frkvs () Vi välr att aväda ativ asvridi trsom dtta motsvarar ördröi av sial och dt är ust dtta vi kommr att öra i sambad md dimsiori av trasvrsaliltr. Vilkt r iltrri Sida 7

.5 Tr tor ur yrkatvå,asliärt LP.5 Fyrkatvå av m tor, asliärt LP.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Lä märk till att dltora alla blir ördröda m att dras ollomåar ortarad sammaallr. Dtta ibär att alla dltor ördrös lika lå tid (,3 skudr) och därör bhållr också d totala sial si orm, m ördröd..5 Fyrkatvå av m tor, LP i asvridi.5 -.5 - liär asvridi -.5..4.6.8 Tar vi u och tittar på dt vrklia aaloa örstarads låpassiltrt så år vi.5 Tr tor ur yrkatvå,lp.5 Fyrkatvå av m tor, LP.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Sida 73

Vi sr på dltora att ollomåara it lär sammaallr vilkt btydr att dltora har ördröts olika låa tidr och d totala sial örädrar då si orm..5.5 Fyrkatvå av m tor, LP i asvridi oliär asvridi -.5 - -.5..4.6.8 Vi sr på motsvarad om vi iör tt aalot höpassiltr md räsrkvs 5 ω ω ( ω) arcta ω ω Äv här r iltrt båd örädri av sialamplitud och asvridi av sial. Förstaradsiltr P 5 Förstarads P 5 db-skala.8 Blopp.6.4 Blopp (db) -5 -. 3 4 5 6 Frkvs () -5 3 4 5 6 Frkvs () Förstaradsiltr P 5.5 Fasvikl rlativt pi.4.3.. 3 4 5 6 Frkvs () Sida 74

är har vi positiv asvridi av sial som dock är oliär. Vi år då om vi örst atar att iltrt sakar asvridi Tr tor ur yrkatvå,i asvridi P 5.5 Fyrkatvå av m tor, i asvridi P 5.5.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Som vätat avtar dämpi md rkvs, dvs tora md lär rkvs dämpas mst. Lä märk till d sammaallad ollomåara och sials symmtri. Θ k ω k,3 så har vi aså Md liär asvridi ( ) Liär as -,3 w -. Fasvikl rlativt pi -. -.3 -.4 -.5.5.5.5 3 3.5 4 Frkvs () Vi välr att äv här aväda ativ asvridi (ördröi) trots att dt aaloa iltrt har positiv asvridi trsom vi som avt skall aväda ördröi i sambad md dimsiori av trasvrsaliltr. Vilkt r iltrri Sida 75

.5 Tr tor ur yrkatvå,asliärt P 5 Fyrkatvå av m tor, asliärt P 5.5.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Äv här ördröss dltora m ollomåara sammaallr ortarad, dvs dltora örskuts lika lå tid och d totala sial bhållr si orm m blir tidsördröd..5.5 Fyrkatvå av m tor, P 5 i asvridi liär asvridi -.5 - -.5..4.6.8 Md dt vrklia aaloa örstaradsiltrt av höpasstyp år vi.5 Tr tor ur yrkatvå,p 5.5 Fyrkatvå av m tor, P 5.5.5 -.5 -.5 - - -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 Nollomåara sammaallr it lär, dvs dltora har olika lå tidsörskuti och d totala sials kurvorm har ädrats. Lä märk till att dtta iltr r positiv asörskuti. Sida 76

.5 Fyrkatvå av m tor, P 5 i asvridi.5 -.5 - oliär asvridi -.5..4.6.8 Vår slutsats blir alltså att om sial skall bhålla si rudorm, äv om olika dltor dämpas olika myckt, då sial passrar tt systm så måst systmt ha liär asvridi, där i asvridi är tt spcialall av liär asvridi. Sida 77

Bilaa 33 Låt oss btrakta mdlvärdsbildad iltr, som i si symmtriska ursprusorm har dirskvatio y N N [] [] N k Obsrvra att uttryckt örutsättr udda atal trmr, aars ka dt it bli symmtriskt. Vi skall stra äv s på tt mdlvärdsbildad iltr md ämt atal trmr. Vi år i dt allt utå rå tortisk modll som it is i vrkliht. Vi börar dock md oämt atal trmr trsom dt är klast att hatra. Om vi iör M N så ka vi tcka rkvsspktrat ( Ω) h[] Ω N M M Ω N ( ) Ω( ) Ω [ ] ΩM Ω M Ω Ω Ω Ω M M " " N M k cos ( Ωk) Vi sr att uttryckt är rt rllt, dvs iltrt sakar asvridi. Fiurra visar tidsuktio samt rkvsspktra då N 5. Mdlvärdsbildad iltr, N5..5..5-4 -3 - - 3 4 Sida 78

Bloppsspktra, mdlvärdsbildad iltr, N5 Bloppsspktra, mdlvärdsbildad iltr, N5 db-skala -.8 Blopp.6.4 Blopp, db rlativt ma - -3-4. -5...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -6...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Vi sr att vi har ått tt låpassiltr, vilkt är vad ma ka väta si då ma bildar si () mdlvärdt av tt atal tal. Filtrt bskrivs av samma -kurva som vi had ör dt rktaulära östrt, bortstt rå skalaktor och dt var väl vätat, systm har u N samma utsd. Kausalt mdlvärdsbildad iltr, N5 Ovaståd iltr är u it kausalt och vi år ördröa M st ör att år dt. kausalt y N N k [] [] och vi år då rkvsspktrat.5..5 - - 3 4 5 6 ( Ω) h[] Ω N M M Ω N Ω Ω Ω( N ) Ω( N ) [ " ] N ΩM Ω( M ) Ω Ω Ω Ω Ω( M ) Ω M [ " ] Ω M N M k cos N Ω ( Ωk) cos( Ωk) ΩM M k Sida 79

Vi år alltså samma blopp som ör dt symmtriska iltrt m har dssutom ått d liära asvridi ΩM, som ör allt N 5 r Fasvikl rlativt pi Fasspktra, kausalt mdlvärdsbildad iltr, N5 -.5 - -.5 -...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Om vi sr på dt kausala iltrts -trasorm så år vi N [ ] ( N ) ( N ) () " N N N N " N N k N k N dvs vi har N polr i orio och lika måa ollställ på htscirkl vid viklara k N k N Fyra polr Låt oss u s vad som hädr om vi ökar atalt trmr i iltrt samtidit som vi avädr tt ämt atal trmr, t dt dubbla mot tidiar, dvs N. Vi ka rita dt tortiska symmtriska iltrt Sida 8

Mdlvärdsbildad iltr, N..8.6.4. -6-4 - 4 6 Varör är då da bild tortisk. Jo, tittar vi i iur så sr vi att staplara lir vid N k,5 5 < 4 dvs d lir it vid hltalsvärd på och lir alltså it i våra samplispuktr. Trots dtta ka vi aväda dtta iltr som utåspukt ör att skapa tt kausalt iltr. Dt symmtriska iltrt sakar då asvridi och vi år tt rkvsspktra som ölr kvatio N Ω Ω (,5) ( Ω) h[] N N N N Ω,5 N Ω,5 " Ω (,5) Ω,5 N Ω,5 N Ω,5 N N k cos ( Ω( k,5) ) Bloppsspktra, mdlvärdsbildad iltr, N Bloppsspktra, mdlvärdsbildad iltr, N db-skala -.8 Blopp.6.4 Blopp, db rlativt ma - -3-4. -5...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) -6...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) Sida 8

Jämör vi md dt tidiara iltrt md m trmr så sr vi att huvudloob har blivit smalar, vilkt är aturlit då vi tar mdlvärdt övr lr trmr vilkt skall tt låpassiltr md lär räsrkvs. På samma sätt som tidiar år vi Kausalt mdlvärdsbildad iltr, N ördröa ör att å tt kausalt systm och. vi ördrör M N N,5.8.6 st. Lä märk till att dtta it är tt hlt atal st, ör allt md N så år vi ördröa 4,5 st. y N N k [] [] Vi år spktrat.4. - 4 6 8 N N N N Ω ( Ω) cos[ Ω( k,5) ] cos[ Ω( k,5) ] k N k N Ω som ör allt N r asspktrat Fasspktra, kausalt mdlvärdsbildad iltr, N -.5 - -.5 Fasvikl rlativt pi - -.5-3 -3.5-4 -4.5...3.4.5 Normrad rkvs (rlativt s) I -plat år vi ör dt kausala systmt åtr Sida 8

Sida 83 () ( ) ( ) [ ] N N k N k N N N N N N N N " " dvs N polr i orio och lika måa ollställ ämt ördlad uttr htscirkl vid viklara N k N k Vi sr alltså att tt ökad atal trmr hos dt mdlvärdsbiuldad iltrt r tt bättr mdlvärd,. Vilkt är dt samma som att säa att vi år lär räsrkvs på passbadsiltrt. För tt kausalt systm splar dt i roll om vi avädr udda llr ämt atal trmr i mdlvärdt. Filtrt kommr att ördröi mlla i- och utsial på N samplispriodr. Nio polr

Bilaa 34 Låt oss aväda ivrs ourirtrasorm ör att dimsiora tt trasvrsaliltr. Vi vt att ör tt trasvrsaliltr är iltrkoicitra lika md systmts impulssvar trsom y N N [] tk [ k] h[] tk δ [ k] k k vi vt också att tt impulssvar h [] motsvaras av ourirtramsorm ( Ω) i rkvsplat. Låt oss då å bakvä och spciisra öskad rkvså i rkvsplat vartr vi avädr ivrs ourirtrasorm ör att bräka motsvarad impulssvar och därmd trasvrsaliltrts trmr t k. Vi har ivrs ourirtrasorm h [] ( ) Ω Ω dω där vi alltså skall itrra övr itrvallt som motsvarar itrvallt s. Vi måst alltså ta md hla iltrkurva och it lömma att vi har splbild av iltrkurva s ovaör. Etrsom rkvsspktrat är cykliskt så ka vi om vi vill i ställt itrra övr itrvallt, dvs s s och då placra splbild i dt ativa områdt i ställt. Låt oss u dimsiora tt låpassiltr md lådormad övrörisuktio, dvs sial slippr iom upp till räsrkvs och ör hör rkvsr spärras sial hlt. Vi har dssutom passbadsörstärki pb. Vi år då d två altrativa iurra s / s - s - s / - s / Där vi ka is att d övr iur r två itratiositrvall mda d dr iur bara r tt itrvall, vi välr därör d sar modll. Vi bhövr it itrra övr dt områd där sial skall vara oll, varör våra itratiosräsr blir Sida 84